资源简介

(共61张PPT)
第二课时　双曲线及其标准方程（二）
1.能灵活应用双曲线的定义及标准方程解决焦点三角形问题（直观想象、数学运算）.
2.能熟练地求与双曲线有关的轨迹方程（逻辑推理、数学运算）.
3.会解决与双曲线的定义和标准方程有关的实际问题（数学建模、数学运算）.
课标要求
知识点一　双曲线中的焦点三角形问题
01
知识点二　与双曲线有关的轨迹问题
02
知识点三　000
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
双曲线中的焦点三角形问题
问题　（1）与椭圆一样，双曲线也有焦点三角形，思考一下，它的三边
有哪些关系？
提示：①｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a.
②｜MF1｜2＋｜MF2｜2－2｜MF1｜｜MF2｜· cos θ＝4c2.
（2）在椭圆中有焦点三角形面积公式S＝b2tan ，那么在双曲线中此公式
还适用吗？
提示：不适用.双曲线中焦点三角形的面积公式为S＝ .
【例1】（1）若F1，F2是双曲线 － ＝1的两个焦点，点P是双曲线上
的一点，且∠F1PF2＝120°，则△F1PF2的面积为（　A　）
A. B.
C. 8 D. 16
A
解析：法一　由双曲线的定义和余弦定理得，｜PF1｜－｜PF2｜＝
±6，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜ cos 120°＝
（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋3｜PF1｜·｜PF2｜，即100＝36＋3｜PF1｜·｜
PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝ ，则 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜ sin
∠F1PF2＝ × × ＝ .
法二　 ＝ ＝ ＝ .
（2）设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上
一点，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则∠F1PF2的大小为（　C　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
C
解析：根据双曲线的定义得｜PF1｜－｜PF2｜＝4，又因为｜PF1｜＝3｜
PF2｜，所以｜PF1｜＝6，｜PF2｜＝2.又因为｜F1F2｜＝2 ，所以在
△F1PF2中结合余弦定理的推论得， cos ∠F1PF2＝ ＝ ，因
为0°＜∠F1PF2＜180°，所以∠F1PF2＝60°.故选C.
变式　若将本例（1）中的“∠F1PF2＝120°”改为“｜PF2｜∶｜PF1｜
＝2∶5”，则△F1PF2的面积为 .
解析：由｜PF2｜∶｜PF1｜＝2∶5，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，可知｜
PF1｜＝10，｜PF2｜＝4，所以 ＝ ×｜PF2｜
× ＝ ×4× ＝8 .
8
【规律方法】
　在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜－｜
PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系，求
解｜PF1｜和｜PF2｜的值，△PF1F2的周长与面积等问题.
训练1　（1）已知有相同焦点F1，F2的椭圆 ＋y2＝1（m＞1）和双曲线
－y2＝1（n＞0），P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　B　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上均有可能
解析：因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2 ，｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 ，又
m－1＝n＋1，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝2（m＋n）＝4（m－1）＝｜
F1F2｜2，所以△F1PF2是直角三角形.
B
（2）已知双曲线C：x2－ ＝1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一
点，M（0，2），则△PFM的周长的最小值为 .
解析：设双曲线C的左焦点为F1，则｜PF｜－｜PF1｜＝2a，由题可知a
＝1，c＝2，所以｜PF｜＝2＋｜PF1｜，F1（－2，0），F（2，0），所
以｜MF｜＝2 ，△PFM的周长为｜MF｜＋｜MP｜＋｜PF｜＝2
＋2＋｜MP｜＋｜PF1｜.当M，P，F1三点共线时，｜MP｜＋｜PF1｜
取最小值，最小值为｜MF1｜＝2 ，所以△PFM的周长的最小值为2＋
4 .
2＋4
02
PART
知识点二
与双曲线有关的轨迹问题
【例2】如图，在△ABC中，已知｜AB｜＝4 ，O为线段AB的中点，且
三内角A，B，C满足2 sin A＋ sin C＝2 sin B，试求顶点C的轨迹方程.
解：由题意得A（－2 ，0），B（2 ，0）.由正弦定理，得 sin A＝
， sin B＝ ， sin C＝ （R为△ABC的外接圆半
径）.∵2 sin A＋ sin C＝2 sin B，
∴2｜BC｜＋｜AB｜＝2｜AC｜，即｜AC｜－｜BC｜＝ ＝2
＜｜AB｜.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为 － ＝1（x＞a），
∵a＝ ，c＝2 ，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为 － ＝1（x＞ ）.
【规律方法】
　与曲线有关的轨迹问题的求解步骤
第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件
确定动点满足的等量关系式；
第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确
定轨迹的形状；
第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程；
第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意.
训练2　（1）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B
（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（　A　）
A. － ＝1（x＞2）
B. － ＝1（x＞3）
C. ＋ ＝1（0＜x＜2）
D. ＋ ＝1（0＜x＜3）
A
解析：如图，设△ABC与其内切圆的切点分别为D，E，
F，则有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝
1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝
4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长
为4的双曲线的右支（右顶点除外），即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为 － ＝1（x＞2）.
（2）设P为双曲线 －y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的
中点，则点M的轨迹方程为 .
解析：设M（x，y），P（x0，y0），则 即 又 －
＝1，则 －（2y）2＝1，整理得x2－4y2＝1，即点M的轨迹方程
为x2－4y2＝1.
x2－4y2＝1
03
PART
知识点三
双曲线的实际应用
【例3】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队
奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6
km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的
求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时
发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方
向角应是多少？
解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（－3，0），C（－5，2 ）.
∵｜PB｜＝｜PC｜，∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－ ，线段BC的中点D（－4， ），
∴直线PD的方程为y－ ＝ （x＋4），　①
又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，∴b2＝c2－
a2＝5，
∴商船的轨迹方程为 － ＝1（x≥2），　②
联立①②，得点P坐标为（8，5 ），
∴kPA＝ ＝ ，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
【规律方法】
　利用双曲线解决实际问题的步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
训练3　如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方
向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点D到A的距离比到B的距离
远2 km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货
物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
2 －2
解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平
分线为y轴建立平面直角坐标系.则A（－2，0），B
（2，0），｜DA｜－｜DB｜＝2，根据双曲线定义知，
点D的轨迹（即曲线PQ）为双曲线的右支.故2c＝4，c
＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2－ ＝1（x≥1）.根据题意知C（3， ），｜MB｜＋｜MC｜＝｜MA｜＋｜MC｜－2≥｜AC｜－2＝2 －2.当且仅当A，M，C三点共线时，等号成立，故两条公路MB，MC的路程之和最短是2 －2 km.
1. 相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k
千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（　　）
A. 双曲线的一支 B. 双曲线
C. 椭圆 D. 圆
解析：　由已知可得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝2k＜4k＝｜AB｜，根据双
曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的
轨迹可能是双曲线.
√
2. 设点P在双曲线 － ＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜
PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于（　　）
A. 10 B. 20
C. 22 D. 25
解析：　由题意知｜F1F2｜＝2 ＝10，｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝
6，又｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，∴｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝9，故
△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
√
3. 已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）
满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为
.
解析：设M（x，y），因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，
故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋ ，即｜MA｜－｜MB｜＝
2＜4.故点M（x，y）的轨迹是以A（0，2），B（0，－2）为焦点的双
曲线的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程为y2－ ＝1（y≤
－1）.
y2
－ ＝1（y≤－1）
解析：由题可得，a2＝6，b2＝3，c2＝a2－b2＝9，所以
F1（－3，0），F2（3，0），设M（－3，yM），则 －
＝1，解得yM＝± ，由于对称性，不妨取M（－3， ），所以｜MF1｜＝ .根据双曲线的定义可得｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝2 ，解得｜MF2｜＝ ，设F1到直线F2M的距离为d，在Rt△MF1F2中， ×｜MF1｜×｜F1F2｜＝ ×｜MF2｜×d，所以d＝ .
4. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线上，
且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为 .

课堂小结
1.理清单
（1）双曲线的焦点三角形问题；
（2）与双曲线有关的轨迹问题；
（3）双曲线的实际应用问题.
2.应体会
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关
系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
3.避易错
应检验所求的轨迹对应的双曲线是双曲线的一支还是两支.
04
PART
课时作业
1. 设定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜
－｜PF2｜＝4，则动点P的轨迹是（　　）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 不存在
D. 双曲线或线段或不存在
解析：　因为定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条
件｜PF1｜－｜PF2｜＝4＜｜F1F2｜，所以根据双曲线的定义及｜PF1｜
＝4＋｜PF2｜＞｜PF2｜，可知动点P的轨迹是双曲线的一支，故选B.
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√
2. 已知F1，F2是双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点，点P在C上，且
PF2⊥x轴，则∠PF1F2＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由题意得a＝1，b＝ ，c＝ ，当x＝ 时，y＝±2，
故｜PF2｜＝2.｜F1F2｜＝2 ，所以tan∠PF1F2＝ ＝ ，又
∠PF1F2∈（0， ），所以∠PF1F2＝ .故选A.
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3. 设F1，F2分别是双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点，点P在双曲线C
的右支上，当｜PF1｜＝6时，△PF1F2的面积为（　　）
A. 4 B. 3
C. D. 6
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解析：　因为双曲线C：x2－ ＝1，所以a＝1，b＝ ，c＝2，又点
P在双曲线C的右支上，｜PF1｜＝6，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，即6
－｜PF2｜＝2，所以｜PF2｜＝4，又｜F1F2｜＝2c＝4，所以△PF1F2面
积为 ×6× ＝3 .故选B.
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4. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”
抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损
失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过
两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线
的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震
预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中
到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站
的距离至少为（　　）
A. 8 km B. 6 km C. 4 km D. 2 km
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解析：　设震中为P，依题意有｜PB｜－｜PA｜＝6＜｜AB｜＝10，所
以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，因为｜PA｜＋｜
PB｜≥｜AB｜＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，所以｜
PB｜－6＋｜PB｜≥10，所以｜PB｜≥8，所以震中到地震台B站的距离
至少为8 km.
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5. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的焦点分别为F1（－5，
0），F2（5，0），P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝ ，则
双曲线C的标准方程为（　　）
A. x2－ ＝1 B. －y2＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
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解析：∵F1（－5，0），F2（5，0），∴c＝5，｜F1F2｜＝10.∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝ ，∴ cos ∠PF1F2＝ ＝ ，∴｜
PF1｜＝8，｜PF2｜＝6.由双曲线的定义可知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＝
2a，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.∴双曲线C的标准方程为x2－
＝1.故选A.
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6. 〔多选〕（2025·莆田质检）数缺形时少直观，形少数时难入微.事实
上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与
相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与
点B（a，b）之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程｜
－ ｜＝2的解为（　　）
A. x＝ B. x＝
C. x＝－ D. x＝－
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解析：　由｜ － ｜＝2得｜
－ ｜＝2.其几何意义为平面内一点（x，1）与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2.平面内与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），则 解得 所以该双曲线的方程是x2－ ＝1.由 解得x＝± .故选A、C.
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7. 〔多选〕设F1，F2分别是双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点，P为C
上一点且｜PF1｜＝2｜PF2｜，则点P的纵坐标为（　　）
A. －2 B. －
C. 2 D.
解析：根据题意可知，a＝1，b＝ ，c＝ ，由｜PF1｜＝2｜PF2｜以及｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2可得｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，又｜F1F2｜＝2c＝2 ，由于｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，故PF2⊥F1F2，即△PF1F2为直角三角形，将x＝ 代入x2－ ＝1得｜y｜＝2，故点P的纵坐标为2或－2.故选A、C.
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8. 已知动点M与两定点A（－1，0），B（1，0）构成△MAB，且直线
MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为
.
解析：设点M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；
当x＝1时，直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的
斜率为 ，直线MB的斜率为 .由题意有 · ＝4，化简得x2－
＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－ ＝1
（y≠0）.
x2－
＝1（y≠0）
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9. 已知双曲线C：x2－ ＝1（m＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直
线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则△ABF1的周
长为 .
解析：由x2－ ＝1（m＞0）得a＝1，由双曲线的定义，可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝2，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝2，所以｜AF1｜＝2＋｜AF2｜，｜BF1｜＝2＋｜BF2｜，则△ABF1的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋
｜AB｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋6＝｜AB｜＋6＝8.
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10. 设动圆M的半径为r，分别求满足下列条件的圆心M的轨迹方程：
（1）与圆C：（x＋2）2＋y2＝2内切，且过点A（2，0）；
解：连接MC，MA（图略），∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，
∴｜MC｜＝r－ ，｜MA｜＝r，∴｜MA｜－｜MC｜＝ ，即动点
M到两定点A（2，0），C（－2，0）的距离之差为常数 ，且 ＜｜
AC｜＝4，∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，∴点M的轨
迹方程是2x2－ ＝1（x≤－ ）.
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（2）与圆C1：（x＋3）2＋y2＝9外切，且与圆C2：（x－3）2＋y2＝1
内切.
解：连接MC1，MC2（图略），∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，∴｜MC1｜＝r＋3，｜MC2｜＝r－1，∴｜MC1｜－｜MC2｜＝4＜｜C1C2｜＝6，∴点M的轨迹是以C1（－3，0），C2（3，0）为焦点的
双曲线的右支，∴点M的轨迹方程是 － ＝1（x≥2）.
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11. 半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动
圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（　　）
A. 双曲线的一支
B. 椭圆或圆
C. 双曲线的一支或椭圆或圆
D. 双曲线的一支或椭圆
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解析：　两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设
两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R. 又圆O与
圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜
＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨
迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜
＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨
迹是椭圆.故选D.
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12. 〔多选〕已知双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为
双曲线右支上的一点，∠PF1F2＝30°，I是△PF1F2的内心，则下列结论
正确的是（　　）
A. △PF1F2是直角三角形
B. 点I的横坐标为1
C. ｜PI｜＝2 －2
D. △PF1F2的内切圆的面积为π
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解析：　由已知可得，｜PF1｜－｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2 ，
设｜PF2｜＝x，｜PF1｜＝x＋2，则 cos ∠PF1F2＝ ＝
，得x＝2，所以｜PF2｜＝2，｜PF1｜＝4，即｜PF2｜2＋｜F1F2｜2
＝｜PF1｜2，所以PF2⊥F1F2，所以A正确；
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设内切圆半径为r，则 ·（｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）·r＝ ·｜PF2｜·｜F1F2｜，得r＝ －1，所以点I的横坐标为 －（ －1）＝1，内切圆的面积为S＝π·（ －1）2＝（4－2 ）π，所以B正确，D错误；
不妨设点P在第一象限，则P（ ，2），I（1， －1），所以｜PI｜
＝ ＝2（ －1）＝2 －2，所以C正确.故
选A、B、C.
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13. 双曲线 － ＝1的两个焦点为F1，F2，点P在该双曲线上，且
∠F1PF2＝ ，则点P到x轴的距离为 　 　.
解析：由双曲线的定义得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，平方得｜
PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，又因为∠F1PF2＝ ，所以
由勾股定理得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2＋b2）＝
100，代入｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，解得｜
PF1｜·｜PF2｜＝32，因为 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜＝ ｜F1F2｜
×｜yP｜，所以｜yP｜＝ ，所以点P到x轴的距离为｜yP｜＝ .

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14. （2025·苏州质检）已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4x2＋9y2＝36
有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
解：椭圆方程可化为 ＋ ＝1，焦点在x轴上，且c＝ ＝
，故设双曲线方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），
则有 解得
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
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（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且｜MF1｜＋｜
MF2｜＝6 ，试判断△MF1F2的形状.
解：不妨设M点在右支上，则有｜MF1｜－｜MF2｜＝2 ，
又｜MF1｜＋｜MF2｜＝6 ，
故解得｜MF1｜＝4 ，｜MF2｜＝2 ，
又｜F1F2｜＝2 ，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
而 cos ∠MF2F1＝ ＜0，
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
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15. （2025·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形
列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB
＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接
收到信号的时间早 秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默.
（1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
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解：如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所
在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P
（x，y），
由题意可知｜PB｜－｜PA｜＝v0· ＝4＜｜AB｜＝6.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，
且2a＝4，c＝3，所以b＝ .所以敌舰艇的轨迹方程为 － ＝1（x≤－2）.
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（2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇
处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？
解：设方程 － ＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0），
由题意知 － ＝1（x0≤－2），
即 ＝4＋ ，又C（0，3），
所以｜MC｜＝
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＝
＝ （y0∈R），
所以当y0＝ 时，｜MC｜min＝2 ，即无人机飞行的最小距离是2 .
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