资源简介

(共66张PPT)
第二课时　双曲线的标准方程及性质的应用
1.理解判断直线与双曲线位置关系的方法（直观想象）.
2.会求解有关弦长问题（数学运算）.
3.会解决直线与双曲线的综合问题（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
知识点一　直线与双曲线的位置关系
01
知识点二　双曲线的弦长及中点弦问题
02
提能点　直线与双曲线的综合问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
直线与双曲线的位置关系
问题1　（1）类比直线与椭圆的位置关系，可知直线与双曲线有几种位置
关系？
提示：三种.分别为相交、相切、相离.
（2）画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位
置关系？
提示：不能.当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但并
非相切关系，所以不能用公共点个数来区分三种位置关系.
【知识梳理】
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m（m≠0），　①
双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），　②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0.
（1）当A＝0时，直线l与双曲线的 平行，直线与双曲线C相交
于一点.
渐近线　
②Δ＝0，直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相切；
（2）当A≠0时，
①Δ＞0，直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相交；
两个　
③Δ＜0，直线与双曲线 公共点，此时直线与双曲线相离.
　　提醒：（1）相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直
线与双曲线可能相切或相交；（2）消元后注意二次项的系数，二次项系
数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行.
一个　
没有　
解：联立 消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）（－k2－4）＝4（4
－3k2）.
由 得－ ＜k＜ 且k≠±1，
故直线l与双曲线有两个不同的交点时，实数k的取值范围为{k｜ ＜k
＜ ，且k≠±1}.
【例1】已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），直线l与双曲线
有两个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围.
变式　在本例条件不变的情况下，若直线l与双曲线有且只有一个公共
点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解：联立 消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.（*）
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）·（－k2－4）＝4
（4－3k2）.
由 得k＝± ，此时方程（*）有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化
为2x＝5，
故方程（*）只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个
公共点.
故当k＝± 或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.
【规律方法】
1. 解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系
数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2. 双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线
相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3. 注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
训练1　（1）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，
若A，B在双曲线的同一支上，则a的取值范围是
；
解析：由 消去y得（3－a2）x2－2ax－2＝0.当a≠±
时，Δ＝24－4a2.由Δ＞0得－ ＜a＜ 且a≠± ，此时有两解，直
线与双曲线有两个交点.若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝ ＞
0，所以a＜－ 或a＞ ，故当－ ＜a＜－ 或 ＜a＜ 时，
A，B在双曲线的同一支上.
（－ ，－ ）∪
（ ， ）
（2）已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P（1，2），讨论过点P的直线l的
斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公
共点.
解：①当l垂直于x轴时，直线l与双曲线C相切，有一个公共点.
②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－2＝k（x－1），
代入双曲线C的方程，得（2－k2）x2＋2（k2－2k）x－k2＋4k－6＝0.
当k2＝2，即k＝ 或－ 时，方程有一个解.
当k2≠2时，Δ＝48－32k，
令Δ＝0，可得k＝ ；令Δ＞0，可得k＜ 且k≠± ；令Δ＜0，可得k＞
.
综上所述，当直线l的斜率k∈{ ，－ ， }或直线l的斜率不存在时，
直线l与双曲线C有一个公共点；
当直线l的斜率k∈（－∞，－ ）∪（－ ， ）∪（ ， ）时，
直线l与双曲线C有两个公共点；
当直线l的斜率k∈（ ，＋∞）时，直线l与双曲线C没有公共点.
02
PART
知识点二
双曲线的弦长及中点弦问题
问题2　（1）双曲线的弦长公式与椭圆的弦长公式一样吗？
提示：一样.
（2）若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？
提示：有.过焦点且与焦点轴垂直的弦长最短，最短为 .
（3）类比椭圆，已知A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C： － ＝
1（a＞0，b＞0）上两点，AB的中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为
k，你能求出k·kOM（O为坐标原点）的值吗？
提示：由 － ＝1， － ＝1，
两式相减得 － ＝0，
即 ＝ ，所以k·kOM＝ .
【知识梳理】
1. 弦长公式：若斜率为k（k≠0）的直线与双曲线相交于A（x1，y1），
B（x2，y2），则｜AB｜＝ .
2. 已知弦AB的中点为P（x0，y0），若双曲线方程为 － ＝1，则直线
AB的斜率为k＝ · ；若双曲线方程为 － ＝1，则直线AB的斜率为
k＝ · .
　
【例2】已知双曲线的方程是 －y2＝1.
（1）直线l的倾斜角为 ，被双曲线截得的弦长为 ，求直线l的方程；
解：设直线l的方程为y＝x＋m，
代入双曲线方程，
得3x2＋8mx＋4（m2＋1）＝0，
Δ＝（8m）2－4×3×4（m2＋1）＝16（m2－3）＞0，
∴m2＞3.
设直线l与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则x1＋x2＝－ m，x1x2＝ .
由弦长公式得｜AB｜＝ ｜x1－x2｜
＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
即m＝±5，满足m2＞3，
∴直线l的方程为y＝x±5.
（2）过点P（3，1）作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求
直线l'的方程.
解：设直线l'与双曲线交于A'（x3，y3），B'（x4，y4）两点，点P（3，
1）为A'B'的中点，
则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.
由 －4 ＝4， －4 ＝4，
两式相减得（x3＋x4）（x3－x4）－4（y3＋y4）（y3－y4）＝0，
∴k'＝ ＝ ，
∴l'的方程为y－1＝ （x－3），即3x－4y－5＝0.
把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋ ＝0，满足Δ＞0，
即所求直线l'的方程为3x－4y－5＝0.
【规律方法】
　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用
判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
训练2　（1）已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，
B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为（　D　）
C. 6
D
解析：双曲线C： － ＝1，则c2＝4，∴右焦点为F（2，0），根据题
意易得过F的直线斜率存在，设方程为y＝k（x－2），A（xA，yA），B
（xB，yB），联立 化简得（1－k2）x2＋4k2x－4k2－2＝
0，∴xA＋xB＝ ，xAxB＝ .∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋
xB＝ ＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝ ＝10，则（xA－xB）2＝（xA
＋xB）2－4xAxB＝82－4×10＝24，则｜AB｜＝ ＝
＝6 .
（2）（2025·金华月考）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），过
点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为Q
（12，15），则双曲线C的离心率为（　B　）
A. 2
B
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由线段AB的中点为Q（12，
15），得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30.由 两式相减得
＝ ，则 ＝ ＝ .由
直线l的斜率k＝ ＝1，得 ＝1，则 ＝ .则双曲线C的离心率e＝
＝ ＝ .故选B.
03
PART
提能点
直线与双曲线的综合问题
【例3】已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1
（－2，0），F2（2，0），点P（5， ）在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
解：依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为 － ＝1
（0＜a2＜4），
将点P（5， ）代入上式，得 － ＝1，解得a2＝50（舍去）或a2
＝2，
故所求双曲线的方程为 － ＝1.
（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C交于不同的两
点A，B，若△OAB的面积为2 ，求直线l的方程.
解：依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1－k2）x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以
解得 （*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝ ，
x1x2＝－ ，所以｜AB｜＝ · ＝
· .
又原点O到直线l的距离d＝ ，
所以S△OAB＝ d·｜AB｜＝ × × · ＝ .又
S△OAB＝2 ，
即 ＝1，所以k4－k2－2＝0，解得k＝± ，满足（*）.故满足
条件的直线l有两条，
其方程分别为y＝ x＋2和y＝－ x＋2.
【规律方法】
　解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题
进行化归，然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解.
训练3　已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝
± x，右顶点为（1，0）.
（1）求双曲线C的标准方程；
解：由渐近线方程为y＝± x，
所以b＝ a，右顶点为（1，0），所以a2＝1，b2＝3，
故双曲线C的标准方程为x2－ ＝1.
（2）过点E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求
· 的取值范围.
解：如图所示，根据题意易知，直线l的斜率存在，设直线l
的方程为y＝kx＋2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直
线和双曲线方程 消去y可得（3－k2）x2－
4kx－7＝0，
因为直线与双曲线一支交于M，N两点，
所以 解得3＜k2＜7，
因此 · ＝（x1，y1－2）·（x2，y2－2）
＝x1x2＋（y1－2）·（y2－2）
＝x1x2＋k2x1x2＝（k2＋1）x1x2
＝7× ＝7×（1＋ ）.
因为3＜k2＜7，所以0＜k2－3＜4，
所以 ＞1，所以 · ＝7×（1＋ ）＞14，
故 · 的取值范围是（14，＋∞）.
1. 直线y＝ x＋3与双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0
解析：　因为直线y＝ x＋3与双曲线的渐近线y＝ x平行，所以它与双
曲线只有一个交点，故选A.
√
2. 若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围
为（　　）
A. （－2，2） B. [－2，2）
C. （－2，2] D. [－2，2]
解析：　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方
程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
√

解析：双曲线x2－y2＝8的右焦点为（4，0），经过双曲线x2－y2＝8的右
焦点且斜率为2的直线方程为y＝2（x－4），代入x2－y2＝8并整理得3x2
－32x＋72＝0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝ ，x1x2
＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为 × ＝ .

4. 过点M（2，1）作斜率为1的直线，交双曲线 － ＝1（a＞0，b＞
0）于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为 .
解析：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有 两式作差后
整理得 · ＝ ，由已知得 ＝1，x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所
以 ＝ ，又c2＝a2＋b2，所以 ＝ ，得 ＝ .

课堂小结
1.理清单
（1）直线与双曲线的位置关系；
（2）双曲线的弦长及中点弦问题；
（3）直线与双曲线的综合问题.
2.应体会
（1）要注意设而不求点差法在双曲线的弦长、中点弦问题中的应用；
（2）直线与双曲线的综合问题要注意数形结合思想的应用.
3.避易错
判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，切记要对含参数的二
次项系数进行分类讨论.
04
PART
课时作业
1. “直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切（也
可能直线与双曲线的渐近线平行）；直线与双曲线相切时，直线与双曲线
一定有唯一公共点.
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√
2. （2025·周口月考）直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点
坐标是（　　）
A. （1，2） B. （－2，－1）
C. （－1，－2） D. （2，1）
解析：　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的
中点的横坐标为 ＝ ＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为
（－1，－2）.
√
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3. 已知F是双曲线C：x2－ ＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴
垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）
解析：　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），将x＝2代入x2－
＝1，得y＝±3，所以｜PF｜＝3.又A的坐标是（1，3），故△APF的面
积为 ×3×（2－1）＝ .
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4. 已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝ x交于
A，B两点，若｜AB｜＝2 ，则该双曲线的方程为（　　）
A. x2－y2＝6 B. x2－y2＝9
C. x2－y2＝16 D. x2－y2＝25
解析：　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝ x联立，
得 x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－
，∴｜AB｜＝ × a＝2 ，∴a＝3，故选B.
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5. （2025·扬州月考）若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交
点，则实数k的取值范围是（　　）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （－1，1） D. （1，＋∞）
解析：　直线y＝kx过原点，且与双曲线x2－y2＝1
的两支各有一个交点，如图.因为双曲线的渐近线方程
为y＝±x，所以k∈（－1，1）.
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6. 〔多选〕已知双曲线C： － ＝1过点（3， ），则下列结论正确
的是（　　）
A. C的焦距为4
√
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解析：　由双曲线C： － ＝1过点（3， ），可得m＝1，则双
曲线C的标准方程为 －y2＝1.所以a＝ ，b＝1，c＝ ＝2，
因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为
＝ ＝ ，所以选项B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝±
x，所以选项C正确；将直线2x－ y－1＝0与双曲线 －y2＝1联立，消
去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝（－4）2－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x
－ y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确.
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7. 〔多选〕已知直线l经过双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左焦
点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得｜AB｜的最小值为
4，则下列四个点中，C经过的点为（　　）
√
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解析：若直线l与C的两支交于顶点A，B，则｜AB｜min＝2a，若直线l与C的一支交于A，B两点，则通径最短，｜AB｜min＝ ，由题意得 ＝2a＝4，解得a＝b＝2，故双曲线C的方程为 － ＝1，把选项A，B，C，D中点的坐标分别代入方程，得B选项表示的点不在双曲线上，A、C、D选项表示的点在双曲线上.故选A、C、D.
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8. 若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e
的取值范围是 .
解析：由题意可得， ≤2，所以e＝ ≤ .又e＞1，所以离
心率e的取值范围是（1， ].
（1， ]
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9. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点， · ＝0，且△PF2Q的面积为
4a2，则C的离心率为 .
解析：如图，若点P在第一象限，因为 · ＝0，所
以PF1⊥QF1，由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形，
因为△PF2Q的面积为4a2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝
8a2，又因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，在Rt△PF1F2中，（4a）2＋（2a）2＝（2c）2，解得e＝ ＝ .

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10. 双曲线的两条渐近线的方程为y＝± x，且经过点（3，－2 ）.
（1）求双曲线的方程；
解：因为双曲线的两条渐近线方程为y＝± x，
所以可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ（λ≠0）.
又因为双曲线经过点（3，－2 ），代入方程可得λ＝6，
所以所求双曲线的方程为 － ＝1.
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（2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，
求｜AB｜.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝ （x－3），
联立 消去y得x2－18x＋33＝0，因为Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝18，x1x2＝33，
所以｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝
2 ＝16 .
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11. 已知双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，直线l的
斜率为－ ，且过点M（a，b），直线l与x轴交于点C，点D在E的右支
上，且满足 ＝λ ，则λ＝（　　）
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解析：　由题意知e＝ ＝ ，所以a＝2b，所以M（2b，b），
故直线l的方程为y－b＝－ （x－2b）.令y＝0，得x＝4b，所以C
（4b，0）.又因为 ＝λ ，所以D（（2λ＋2）b，（1－λ）
b），代入 － ＝1，化简得4（λ＋1）2（ ）2－（1－λ）2＝1，解得
λ＝ .故选D.
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12. 〔多选〕在平面直角坐标系Oxy中，动点P与两个定点F1（－ ，
0）和F2（ ，0）连线的斜率之积等于 ，记点P的轨迹为曲线E，直线
l：y＝x－2与E交于A，B两点，则（　　）
C. E的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切
√
√
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解析：设点P（x，y），由直线PF1与PF2的斜率之积为 ，可得 · ＝ ，整理得 －y2＝1，即曲线E的方程为 －y2＝1（x≠± ），所以A正确；曲线E的离心率e＝ ＝ ，所以B不正确；由圆（x－2）2＋y2＝1，可得圆心为（2，0），可得圆心到曲线E的渐近线y＝± x的距离d＝ ＝1，又由圆的半径为1，所以曲线E的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切，所以C正确；联立方程组 整理得2x2－12x＋15＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝ ，所以｜AB｜＝ · ＝ × ＝2 ，所以D正确.故选A、C、D.
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13. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直
线l：y＝ x＋2 与双曲线C的一条渐近线平行，过点F2作MF2⊥l，
垂足为M，则△MF1F2的面积为 .
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解析：由题意可知 所以a＝1，c2＝a2＋b2＝4，
即c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0），直线l：y＝
x＋2 ，令y＝0，得x＝－2，故直线l过点F1，因为
直线l的斜率为 ，且MF2⊥l，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，又点F2到直线l的距离｜MF2｜＝ ＝2 ，所以△MF1F2的面积为 ｜MF2｜·｜F1F2｜· sin 30°＝2 .
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14. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，离心率为 ，点A（2，2），且△AF1F2的面积为2 .
（1）求双曲线C的标准方程；
解：由题知
解得
∴双曲线C的标准方程为 － ＝1.
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（2）直线l：x＝my＋1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于
点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线x＝1交于点M，
N，证明：B是MN的中点.
解：证明：将l：x＝my＋1代入双曲线C： －
＝1，得（2m2－1）y2＋4my－2＝0.
设E（x1，y1），F（x2，y2），则2m2－1≠0，Δ＝32m2
－8＞0，
y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ .
直线AE的方程为y＝ （x－2）＋2，
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令x＝1，得yM＝ ＋2；
直线AF的方程为y＝ （x－2）＋2，
令x＝1，得yN＝ ＋2.
∵ ＋
＝ ＝－4，
∴yM＋yN＝0，
又B（1，0），∴｜BM｜＝｜BN｜，即B是MN的中点.
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15. （2025·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为 ，且过点（ ，2 ）.
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（1）求双曲线的标准方程；
解：∵双曲线C的离心率e＝ ＝ ，∴c
＝ a，∴c2＝a2＋b2＝ a2，∴b2＝ a2，
∴双曲线的方程为 － ＝1，过点（ ，2 ），即 － ＝1，a2＝3，b2＝1，
∴双曲线方程为 －x2＝1.
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（2）若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分
所示的图形，求阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.
解：由（1）知双曲线的渐近线方程为y＝± x，取直线x＝m（0≤m≤1），代入 －x2＝1，得y＝ ，代入y＝ x，得y＝ m，
∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝（3＋3m2）π－3m2π＝3π.
又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半
径为 ，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的
体积为3π.
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