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(共61张PPT)
第二课时　直线与抛物线的位置关系
1.会判断直线与抛物线的位置关系（逻辑推理、直观想象）.
2.会求解抛物线中的弦长及中点弦等问题（数学运算）.
课标要求
知识点一　直线与抛物线的位置关系
01
知识点二　弦长问题
02
知识点三　中点弦问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
直线与抛物线的位置关系
问题1　（1）类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，抛物线与直线有哪几
种位置关系？
提示：位置关系有3种：相交、相切、相离.
（2）试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的
位置关系呢？
提示：不能.如图1，相切时有一个公共点；如
图2，相交时也有一个公共点.
【知识梳理】
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线
方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2（km－p）x＋m2＝0.
（1）若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 时，直线与抛物线相切，有一个切点；
当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.
（2）若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的
对称轴或与对称轴重合.
　　提醒：研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的
情况.
Δ＞0　
Δ＝0　
Δ＜0　
一个　
【例1】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与
C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
解：联立 消去y，得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.（*）
当k＝0时，（*）式只有一个解x＝ ，此时直线l与C只有一个公共点
，此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，（*）式是一个一元二次方程，Δ＝（2k－4）2－4k2＝16（1－
k）.
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k＜1，且k≠0时，l与
C有两个公共点；当k＞1时，l与C没有公共点.
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相
交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
【规律方法】
　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数
不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线
相交于一点.
训练1　（1）已知抛物线x2＝ay（a≠0）与倾斜角为45°的直线l相切于
点（1， ），则该抛物线的焦点坐标为（　　）
A. （0，1） B. （0， ）
解析：　由题意得，直线方程为y－ ＝x－1，即y＝x－1＋ ，将直线
方程代入抛物线方程得x2－ax＋a－1＝0，由Δ＝a2－4a＋4＝0得a＝2，
所以抛物线方程为x2＝2y，焦点坐标为（0， ）.故选B.
C. （0，－1） D. （0，－ ）
√
（2）已知点A（0，2）和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且
仅有一个公共点的直线l的方程.
解：当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A（0，2）可知，直线l就是y
轴，其方程为x＝0.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
与抛物线C的方程联立得
消去x得，ky2－6y＋12＝0.　①
当k＝0时，得－6y＋12＝0，可知此时直线l与抛物线相交于点（ ，
2），即直线l的方程为y＝2.
当k≠0时，关于y的一元二次方程①的判别式Δ＝36－48k.
由Δ＝0得k＝ ，可知此时直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l
的方程为y＝ x＋2，即3x－4y＋8＝0.
综上，直线l的方程为x＝0或y＝2或3x－4y＋8＝0.
02
PART
知识点二
弦长问题
问题2　上一节课我们学习了抛物线的焦点弦公式，那么抛物线的一般弦
长怎么计算？
提示：与椭圆、双曲线一样，用弦长公式计算，注意运用设而不求的
方法.
【例2】已知抛物线C：y2＝4x，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于
A，B两点，且｜AB｜＝5，求AB所在直线的方程.
解：由题意知焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）.若AB⊥x
轴，则｜AB｜＝4＜5，
不满足题意.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k
（x－1）（k≠0）.
法一　与抛物线方程联立消去x，整理得ky2－4y－4k＝0.Δ＞0，y1＋y2
＝ ，y1y2＝－4.
所以｜AB｜＝ ｜y1－y2｜＝ · ＝
· ＝4（1＋ ）＝5，解得k＝±2.所以AB
所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.
法二　与抛物线方程联立消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＞
0，x1＋x2＝2＋ .
所以｜AB｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝4＋ ＝5，解得k＝±2.
所以AB所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0.
法一　解得
则｜AB｜＝ ＝3 .
变式　若将本例中的条件“过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两
点，且｜AB｜＝5”改为“过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C
相交于A，B两点”，求AB的长.
解：直线AB的方程为y＝2（x－2），设A（x1，y1），B（x2，y2），由
法二　消去y整理得x2－5x＋4＝0，则Δ＝9＞0，x1＋x2＝5，x1x2＝4，
｜AB｜＝ ｜x1－x2｜＝ · ＝3 .
【规律方法】
　当直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于两点A（x1，
y1），B（x2，y2）时，弦长｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝
· ＝ ｜y1－y2｜＝
.
　　提醒：直线与对称轴垂直时，可用坐标法求弦长.
训练2　已知抛物线x2＝4y，焦点为F，若直线x－y＋3＝0与抛物线交于
A，B，则S△FAB＝（　　）
A. 4 B. 8
D. 16
解析：　联立 解得x1＝－2，x2＝6，∴｜AB｜＝
·｜－2－6｜＝8 ，又F（0，1）到直线x－y＋3＝0的距离为d
＝ ＝ ，∴S△FAB＝ ×8 × ＝8.
√
03
PART
知识点三
中点弦问题
问题3　已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2＝2px上两点，AB的
中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为k，你能求出k吗？
提示：由已知得 ＝2px1， ＝2px2，相减后整理得 ＝ ＝
，即k＝ .
【例3】过点P（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点P平分，求AB所
在直线的方程及弦AB的长度.
解：法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 ＝8x1， ＝8x2，
两式相减，得（y1－y2）（y1＋y2）＝8（x1－x2）.因为P是AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，则k＝ ＝ ＝4，
所以所求直线AB的方程为y－1＝4（x－4），即4x－y－15＝0.
由
消去x整理得y2－2y－30＝0，因为Δ＞0，所以y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
由弦长公式得｜AB｜＝ ·｜y1－y2｜＝
· ＝ .
法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k（x－4）＋1（k≠0），
由 消去x整理得ky2－8y－32k＋8＝0，则Δ＞0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝ ，因为P是AB的中点，所以
＝1，
所以 ＝2，解得k＝4.所以所求直线AB的方程为4x－y－15＝0.
由 消去x整理得y2－2y－30＝0，因为Δ＞0，所以y1＋
y2＝2，y1y2＝－30，由弦长公式得｜AB｜＝ ·｜y1－y2｜
＝ ·
＝ .
【规律方法】
　解决中点弦问题常用方法
训练3　（1）若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB
的中点坐标是 ；
解析：由 得x2－8x＋4＝0，Δ＞0，设A（x1，y1），B
（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则x1＋x2＝8，∴x0＝4，y0＝2，
∴AB的中点的坐标为（4，2）.
（4，2）
（2）已知抛物线y2＝2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A，B两
点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），则y1＋
y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝ ＝ .
易知
①－②，得（y1＋y2）（y1－y2）＝2（x1－x2），
所以2y ＝2，即2y ＝2，即（y－ ）2＝x－ （y≠0）.
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为（2，0），适合上
式，故所求轨迹方程为（y－ ）2＝x－ .
1. 已知直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交点，则直线l与抛物线
的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 相交或相切
解析：　当直线l与x轴平行或重合时，直线l与抛物线只有一个交点；
当直线l与抛物线相切时，也只有一个交点，故选D.
√
2. 已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的
中点为M（2，1），则直线l的方程为（　　）
A. 2x－y－3＝0 B. 2x－y－5＝0
C. x－2y＝0 D. x－y－1＝0
解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝
＝2，所以k＝2，因为直线过点M（2，1），所以直线l的方程为2x
－y－3＝0.故选A.
√
3. 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q（－2，0）的直线l与抛物线有公
共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x＋2），代
入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，当k＝0
时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝（4k2－8）2－4k2·4k2＝64（1－k2）
≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1，
1].
[－1，1]
4. 设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点.已知弦AB的长为
3 ，则b＝ .
解析：由 消去y得4x2＋4（b－1）x＋b2＝0，由Δ＞0，解得
b＜ ，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝1－b，x1x2＝ ，所
以｜x1－x2｜＝ ＝ ，所以｜AB｜＝
·｜x1－x2｜＝ · ＝3 .所以1－2b＝9，即b＝－4.
－4
课堂小结
1.理清单
（1）直线与抛物线的位置关系；
（2）弦长问题；
（3）中点弦问题.
2.应体会
解决直线与抛物线的问题，常用的办法是将直线方程与抛物线方程联
立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样
可以避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
3.避易错
（1）涉及直线与抛物线位置关系时，应注意斜率不存在和斜率为零两种
特殊情况；
（2）当k＝0时，直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交
点.
04
PART
课时作业
1. 若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k＝（　　）
B. 0
解析：　由 可知若k＝0，直线与抛物线只有一个交点
（4，2）；若k≠0，则ky2－y＋2＝0，Δ＝1－8k＝0，所以k＝ .综上可
知k＝0或 ，故选C.
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D. 8或0
√
2. 已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直
线AB的斜率为（　　）
A. －1
解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1＋y2＝4，因为A，B在
抛物线上，所以 两式相减得 － ＝2（x1－x2），即kAB＝
＝ ＝ ＝ .
√
D. 1
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3. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为
4 ，则抛物线C的方程为（　　）
A. x2＝8y B. x2＝4y
C. x2＝2y D. x2＝y
解析：　由 解得 或 则交点坐标为（0，
0），（4p，8p），则 ＝4 ，解得p＝1.故所求抛
物线C的方程为x2＝2y.
√
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4. 抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（　　）
D. 3
解析：　法一　设与抛物线相切，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方
程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝
0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－ .∴最小值为两平行线之间的
距离d＝ ＝ .
√
法二　设抛物线y＝－x2上一点为（m，－m2），该点到直线4x＋3y－8
＝0的距离为 ，当m＝ 时，取得最小值 .
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5. 设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线
相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且｜OE｜＝
，则p＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 6 D. 12
√
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解析：　由题意可知F（ ，0），则直线AB的方程为y＝x－ ，设A
（x1，y1），B（x2，y2），由题意得 相减得 － ＝2p
（x1－x2） y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以E（ ，
），即E（ ，p），因为E在直线AB：y＝x－ 上，所以E
（ ，p），又因为｜OE｜＝ ，所以p＝2.
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6. 〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为
2，则（　　）
A. 焦点F的坐标为（1，0）
B. 过点A（－1，0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C. 直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8
D. 若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则｜MN｜＝4
√
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解析：　由题可知抛物线C的方程为y2＝4x.对于A，焦点F的坐标为（1，0），故A正确；对于B，过点A（－1，0）可作抛物线的2条切线，且直线y＝0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A（－1，0）共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误；对于C，由 得y2＋4y－4＝0，设弦的两个端点分别为D（x1，y1），E（x2，y2），则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，所以弦长｜DE｜＝ ｜y1－y2｜＝ · ＝ × ＝8，故C正确；对于D，由 得x2＋4x－5＝0，解得x＝1或x＝－5（舍去），将x＝1代入y2＝4x，得y＝±2，故交点为（1，±2），所以｜MN｜＝4，
故D正确.
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7. 〔多选〕已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A（x1，
y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为
k1，k2，则（　　）
A. y1y2为定值
B. k1k2为定值
C. y1＋y2为定值
D. k1＋k2＋t为定值
√
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解析：　由 得y2－4ty－16＝0，则 对于
A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝ ＝ ＝ ＝－1
为定值，故B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D，
k1＋k2＋t＝ ＋ ＋t＝ ＋t＝ ＋t＝
＋t＝ ＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确.
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8. 已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为 的直线l过焦点F交抛物线于A，
B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为 .
解析：依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F（4，0），直线l的方程为
x＝ y＋4.由 消去x，整理得y2－16 y－64＝0.设A
（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝16 ，y1y2＝－64.S△ABO＝ ｜y1
－y2｜·｜OF｜＝2 ＝2 ＝64.
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9. 已知抛物线C：x2＝4y，F为其焦点，若直线l：y＝ x＋1与抛物线
C在第一象限交于点M，则｜MF｜＝ .
解析：由题意得F（0，1），p＝2，准线方程为y＝－1，对于直线l：y
＝ x＋1，当x＝0时，y＝1，即直线l过点F（0，1），联立
得3y2－10y＋3＝0，解得y＝3或y＝ ，由于M在第一象
限，且l：y＝ x＋1的斜率大于0，故M的纵坐标为3，则｜MF｜＝yM
＋ ＝3＋1＝4.
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10. 设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy内的一个动点（其中
O点为坐标原点），点P到定点M（0， ）的距离比点P到x轴的距离大 .
（1）求点P的轨迹方程；
解：过点P作x轴的垂线且垂足为点N（图略），则｜PN｜＝y，
由题意知｜PM｜－｜PN｜＝ ，
∴ ＝y＋ ，
化简得x2＝2y.
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
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（2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且｜AB｜＝
2 ，求实数k的值.
解：由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 消去
y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵｜AB｜＝ · ＝ · ＝2 ，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
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11. M是抛物线y2＝x上一点，N是圆（x＋1）2＋（y－4）2＝1关于直线x
－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则｜MN｜的最小值是（　　）
A. 2
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解析：　设圆心（－1，4）关于直线x－y＋1＝0对称的点为C（x，
y），则 解得 曲线C的方程为（x－3）2＋
y2＝1，设M（a2，a），故｜MC｜＝ ＝
＝ ，当a2＝ 时，｜MC｜有最小值
，故｜MN｜的最小值为 －1.
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12. 〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是
2，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐
标原点，则下列结论正确的是（　　）
A. C的准线方程为x＝－1
B. 线段AB的长度的最小值为4
C. M的坐标可能是（4，2）
D. 存在直线l，使得OA与OB垂直
√
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解析：由已知可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则点F（1，0），准线的方程为x＝－1，A正确；当AB⊥x轴时，｜AB｜有最小值，令x＝1，代入抛物线方程解得y＝±2，所以｜AB｜min＝｜2－（－2）｜＝4，B正确；设直线l的方程为x＝my＋1，代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0，则yA＋yB＝4m，所以xA＋xB＝m（yA＋yB）＋2＝4m2＋2，当m＝1时，可得M（3，2），C错误；因为yAyB＝－4，所以xAxB＝1，所以 · ＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3，D错误.故选A、B.
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13. 如图，圆锥底面半径为 ，体积为 π，AB，CD是底面圆O的两
条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧
面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的
距离等于 .
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解析：由V＝ πr2h＝ π×（ ）2×｜PO｜＝ π，
得｜PO｜＝ ，则｜PB｜＝2，｜OE｜＝1，｜OC｜
＝｜OD｜＝ ，以E为坐标原点，OE所在直线为x轴，与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C（－1， ），设抛物线的方程为y2＝－2px（p＞0），∴（ ）2＝－2p×（－1），解得p＝1，故焦点到其准线的距离等于1.
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14. （2025·洛阳质检）已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
（1）求以M（1，1）为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
解：由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，
则 ＝4x1， ＝4x2，kPQ＝ ＝ ＝2，∴所求直线方程为2x－
y－1＝0.
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（2）若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线
分别相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
解：依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程
为y＝k（x－1），
与抛物线方程联立，得 消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x
＋k2＝0，
设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝ ＋2.由抛物线的定义可知，｜AB｜＝2
＋x3＋x4＝ ＋4，
同理可得｜CD｜＝4k2＋4，
∴四边形ACBD的面积S＝ （4k2＋4）·（ ＋4）＝8（2＋k2＋ ）
≥32，当且仅当k＝±1时等号成立，∴所求四边形ACBD面积的最小值为32.
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15. （2025·广州质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，O
为坐标原点，过点F的直线（不垂直于x轴）且与抛物线C交于A，B两
点，直线OA与OB的斜率之积为－p.
（1）求抛物线C的方程；
解：因为过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，F（ ，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直于x轴）的方程可设为y
＝k（x－ ）（k≠0），
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所以 ＝2px1， ＝2px2，因为直线OA与OB的斜率之积为－p，
所以 ＝－p，所以（ ）2＝p2，得x1x2＝4，
由 得k2x2－（k2p＋2p）x＋ ＝0，其中Δ＝（k2p＋
2p）2－k4p2＞0，
所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，所以p＝4，抛物线C的方程为y2＝8x.
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（2）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证： ＞2.
解：证明：设M（x0，y0），D（x3，y3），因为M为线段AB的中点，
所以x0＝ （x1＋x2）＝ ＝ ，y0＝k（x0－2）＝ ，
所以直线OD的斜率kOD＝ ＝ ，直线OD的方程为y＝kODx＝ x，
代入抛物线C：y2＝8x的方程，得x3＝ ，所以 ＝k2＋2，
因为k2＞0，所以 ＝ ＝k2＋2＞2.
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