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06 平衡中的临界和极值问题
题型1　“活结、死结”问题
1．据报道2024年6月2日浙江台州石人峡景区内两名游客在横渡峡谷溪流时借助绳索横渡，两岸有人拽住绳子协助他们，但当两人行进到河中央时突然被湍流冲倒从石头上滑下，两人紧抓绳索，两岸协助人员用尽全力试图将两人救起，突然绳索崩断，两人被水流冲走，人们不禁要问：粗大的绳索为什么会突然崩断呢？假设两人所受重力和水流冲击力的合力大小，两岸间拉紧的绳索长12m，人被水流冲下0.6m，如图所示，假设两绳拉力与力F在同一平面内，重力加速度g取，则绳中弹力最接近（　　）
A．3200N B．4800N C．6400N D．8000N
【答案】D
【详解】根据平衡条件可得
根据几何关系可得
解得
故选C。
2．高一年级每次月考后会颁发流动红旗，班长通过一根不可伸长的轻绳将其悬挂在光滑钉子上。开始时如图1所示，两悬点AB处于水平状态，某天刮风后出现了图2的倾斜状态，班长就将绳子中间打了一个结，再次挂正，如图3所示。若图1中绳子的张力为，图2中绳子的张力为，图3中绳子的张力为，则三种情况下绳中张力的大小关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因钉子光滑可知，图1和图2两边绳子的拉力相等，两边细绳与竖直方向夹角相等，但是图1中两边细绳间夹角较大，设两边细绳与竖直方向夹角为，则由平衡可知
因
可知
对图1和图3比较，图3中细绳与竖直方向的夹角比图1大，可知
即
故选B。
3．如甲图所示是用一根绳穿过牛奶箱上的提手晾晒辣椒的情景，可等效为一根轻绳穿过一个轻圆环，如乙图所示，A位置比B位置高。不计绳与圆环间的摩擦力，辣椒的质量为m，左右两侧绳与竖直方向的夹角分别为和，OA部分绳上的拉力为，OB部分绳上的拉力为，重力加速度为g，下面说法正确的是（　　）
A． B．
C．当时， D．变大时，变大
【答案】D
【详解】根据“活结”模型的特点可知，、
根据力的矢量合成可知
当 α = 60 ° 时，解得
变大时，减小，则变大。
故选D。
4．（多选）如图所示，在天花板的A点安装光滑定滑轮，把质量为M的物块a放在水平地面的C点，连接物块a的吊线绕过A点滑轮后，另一端固定在天花板的B点；质量为m的物块b用光滑轻质小挂钩挂在段吊线的O点，此时段吊线与竖直方向夹角为，且间吊线的总长度是水平间距的2倍，a和b都保持静止，重力加速度为。下列说法正确的是（　　）
A．吊线的拉力
B．物块a对地面的压力
C．物块a受到的摩擦力
D．若将B端吊线向左缓慢移动少许，物块a始终保持静止
【答案】AD
【详解】A．对物块b受力分析，如图
由题意三角形为正三角形，则与竖直方向的夹角，
解得，故A正确；
B．对物块a进行受力分析，如图
竖直方向有
解得，故B错误；
C．由物块a的受力分析图可知，水平方向有，故C错误；
D．将B端吊线向左缓慢移动少许，与竖直方向的夹角减小，绳子拉力减小，物块a所受摩擦力减小，物块a对地面的压力增大，最大静摩擦力增大，摩擦力始终小于最大静摩擦力，物块a始终保持静止，故D正确。
故选AD。
5．如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段经绳的结点为O。绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，人与水平面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g。求：
(1)OA、OB绳中的拉力大小；
(2)若人的质量，欲使人不滑动，物体甲的质量的最大值。
【答案】(1)，；(2)
【知识点】“活结”、“死结”问题、直接合成法解决三力平衡问题
【详解】（1）对结点O受力分析如图
，
解得
，
（2）当甲的质量增大到人刚要滑动时，静摩擦力达到最大值，如图所示
则
由平衡条件得
联立解得，物体甲的质量最大值为
6．如图所示，一根光滑轻绳穿过质量为m的小环A，轻绳的两端分别固定在等高的B、C两点，给小环施加一个水平向左的拉力，小环静止时，AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为。已知重力加速度为，，，试求解下列问题：
(1)此时施加的拉力的大小？
(2)若将水平拉力缓慢增加到，求此时绳中拉力大小？
【答案】(1)；(2)
【知识点】直接合成法解决三力平衡问题、“活结”、“死结”问题、正交分解法解共点力平衡问题
【详解】（1）设轻绳上的拉力大小等于，对环进行分析，根据平衡条件有
，
解得
（2）将水平拉力缓慢增加到，对小环进行受力分析，如图所示
拉力F2与重力mg的合力为
令上述合力方向与水平方向夹角为，则有
解得
根据对称性可知，此时环两侧绳与上述合力方向的延长线的夹角相等，令夹角为，则有
根据对称性，作出几何示意图，如图所示
令绳长为L，则有
当AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为时有
解得
则有
结合上述解得
题型2　“定杆、动杆”问题
7．如图所示，质量均为的A、B两滑块一端与两轻杆相连，另一端放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆上方施加一竖直向下的力，使整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为。下列说法正确的是（　　）
A．当一定时，越小，滑块对地面的压力越大
B．当一定时，越大，轻杆受力越小
C．当一定时，越大，滑块与地面间的摩擦力越大
D．当一定时，越小，可施加的力越大
【答案】B
【详解】A．以A、B两滑块和两轻杆为整体，根据受力平衡可得
解得
当一定时，地面对滑块的支持力保持不变，可知滑块对地面的压力保持不变，A错误；
B．以杆与杆间连接点为对象，根据受力平衡可得
解得
可知当一定时，越大，越大，轻杆受力越小，B正确；
C．对A分析，受重力、杆的推力、地面支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有
可知滑块与地面间的摩擦力与无关， C错误；
D．根据整体法可得
可知越小，地面对滑块的支持力越小，地面对滑块的最大静摩擦力越小，根据
可知当一定时，可施加的力越小，D错误；
故选B。
8．如图所示，两个质量均为m的小球用轻质细杆连接静止于内壁光滑的半球形碗内，杆及碗口平面均水平，碗的半径及两小球之间的距离均为R，不计小球半径，则碗对每个小球的支持力大小为（　　）
A． mg B．mg C． mg D．2mg
【答案】B
【详解】以其中一小球为研究对象，受力情况如图所示
根据题意可知θ＝30°，对小球根据平衡条件可知
故选B。
9．（多选）如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　）
A．轻杆AC上的弹力大小为mg
B．轻杆 BC上的弹力大小为
C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置
D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置
【答案】AC
【详解】AB．以C点为对象，进行受力分析，如图所示
由于为等边三角形，根据图中几何关系可得
故A正确，B错误；
C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，则细线AC的拉力仍沿AC向上，物块仍能静止在原来位置，故C正确；
D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，则细线BC的拉力应沿CB向下，物块不能静止在原来位置，故D错误。
故选AC。
10（多选）．以下的四个图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链连接，且系统均处于静止状态。关于能否用等长的轻绳来代替轻杆以保持系统的平衡，下列说法正确的是（　　）
A．图中的AB杆可以用轻绳代替的有甲、乙、丙
B．图中的AB杆可以用轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的BC杆可以用轻绳代替的有乙、丙、丁
D．图中的BC杆不可以用轻绳代替的有甲、乙、丁
【答案】BD
【详解】ABCD．图中的杆均有固定转轴，那么杆上的力均沿杆，如果杆端受拉力作用，可以用与之等长的轻绳代替，如果杆端受压力作用，则不可用等长的轻绳代替，如图甲、丙、丁中的AB杆均受拉力作用，而图甲、乙、丁中的BC杆均受沿杆的压力作用，故A、C错误，B、D正确。
故选BD。
题型3　发生相对滑动的临界问题
11．如图甲所示，用两根手指对称地抓起一个截面为圆的杯盖．将其简化成如图乙所示，手指与杯盖截面始终处于竖直平面内，手指接触点1、2的连线水平且相距为L，截面半径为，两接触点与圆心的连线与水平方向的夹角均为，手指和杯盖间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，能保持杯盖始终静止，则L不能小于（　　）
A．3.6cm B．4cm C．4.8cm D．5.4cm
【答案】C
【详解】对杯盖两接触点受力分析如图所示
设杯盖质量为m，保持静止则有
所以则有
可得
由图可知
联立可得
解得
故选C。
12．2021年春节前，西安街头一位大姐用9米多的长杆推动拖把头擦玻璃的视频曾引起网民关注，该视频中截图为图1和图2，假设拖把头与玻璃间的动摩擦因数μ恒定，拖把头匀速上升过程中杆与竖直方向的夹角越来越小，示意图如图3所示，则在拖把头匀速上升过程中下列有关说法正确的是（　　）

A．拖把头受到四个力作用，杆对拖把头的作用力大小不变
B．拖把头受到四个力作用，杆对拖把头的作用力变大
C．拖把头对玻璃的压力越来越大，摩擦力越来越大
D．杆与竖直方向的夹角必须小于某一值才可以推动拖把头上升
【答案】D
【详解】ABC．如图所示
拖把头受重力、支持力、摩擦力和杆的压力四个力作用做匀速运动，合力始终为零。设杆与竖直方向夹角为θ，拖把头匀速上升时，根据平衡条件可得
，
又
可得
当θ减小时，杆对拖把头的作用力F减小，拖把头受到支持力减小，则拖把头对玻璃的压力减小，摩擦力减小，故ABC错误；
D．当
即
时等式不再成立，无论推力多大都不能推动拖把头上升，所以杆与竖直方向的夹角必须小于某一值才可以推动拖把头上升，故D正确。
故选D。
13．（多选）图（a）为答题卡扫描仪，其内部结构如图（b）所示。扫描仪内部有一个摩擦滚轮放置在水平答题卡上方。正常工作时滚轮对顶部答题卡的正压力为F，摩擦滚轮顺时针转动，摩擦力只带动与之接触的顶部答题卡进入扫描仪内部进行逐张扫描，直至所有答题卡扫描完毕。已知每张答题卡的质量均为m，摩擦滚轮与答题卡间的动摩擦因数恒为μ=0.8，各答题卡间的动摩擦因数可能不同，但范围为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。要使该扫描仪能一直正常工作，正压力F的最小值和最大值分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】要使扫描仪正常工作，每次只能带动顶部答题卡，对顶部第一张答题卡需满足
其中，令（取最大值保证所有情况），解得
同时第二张答题卡不能动，对第二张答题卡需满足
解得
因为第二张答题卡下方的答题卡受到的正压力更大，所以当第二张答题卡不动时，第三张一定不动，直到第n张也不动。综上分析可知，要使该扫描仪能一直正常工作，正压力F的最小值和最大值分别为、。
故选AD。
14．某博物馆举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量m=2.5kg的棱台形金砖，挑战者须戴上主办方提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持静止状态10s，就算挑战成功。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为θ=78.5°，挑战者施加给金砖的单侧压力为F，手套与金砖之间的动摩擦因数为μ=0.25，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2。计算时取sin78.5°≈1.0，cos78.5°≈0.2，现要徒手抓起金砖，则F至少需要多大
【答案】250N
【详解】对金砖受力分析，如图所示
正交分解可得
又
联立可得
代入数据可得
15．2025年8月11日第12届世界运动会在四川成都圆满闭幕，中国体育代表团收获36金17银11铜，领跑金牌榜。一运动员体重，成功硬拉质量的杠铃，如图所示。假设运动员与杠铃的全部重力集中在人体重心上，鞋与地面间的动摩擦因数为，双臂竖直，腿与地面间的夹角均为，保持静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。
(1)该运动员每只手臂所承受的拉力；
(2)地面对运动员左腿的作用力；
(3)的最小值。
【答案】(1) 方向：竖直向下；(2) 方向：斜向右上方；(3)0.75
【详解】（1）对杠铃受力分析可知，两手臂等大的拉力与重力平衡，有
由牛顿第三定律可知杠铃对手臂的拉力
解得
方向竖直向下
（2）对整体受力分析
根据平衡可得
解得
对左腿受力分析如图所示
方向斜向右上方53°
（3）根据最大静摩擦力等于滑动摩擦力，有
解得
16．如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为0.5m，与地面的动摩擦因数均为。初始时三者处于静止状态。现用水平向右的力拉A，使A一直缓慢向右移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
(1)未拉A时，C受到B的作用力F大小为多少？
(2)从开始拉A到C刚刚着地的过程中，C的位移大小为多少？
(3)A、B与地面间的动摩擦因数的最小值为多少？
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）未拉A时，对C受力分析，如图所示
由平衡条件得
解得C受到B作用力F的大小为
（2）从开始拉A到C刚刚着地的过程中，C竖直方向下降的高度为
水平方向向右移动的距离为
则C的位移大小为
（3）C恰好降到地面时，根据几何关系可知，此时A、B对C的作用力方向与水平方向的夹角为，根据平衡条件得
解得B对C的作用力大小为
此时B受C压力的水平分量最大，为
以A、B、C为整体，竖直方向根据受力平衡可得
又
联立解得
可知A、B与地面间的动摩擦因数的最小值为。
17．如图所示，三根长都是l的轻杆，上端用一个三连铰链连接（每根杆都可以绕自由转动），下端支在水平地面上的、、三点，形成一个三角架。在点上连接一根轻绳，下端吊着一个重力为的物体。已知、、三点在水平地面上恰好形成一个边长为的正三角形，问：
(1)水平地面对每根杆的支持力是多大？
(2)每根杆对三连铰链的支撑力多大？
(3)设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则地面和杆的“动”摩擦因数至少多大，支架系统才能保持稳定。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）将整个支架系统视为整体，由平衡条件
可得地面对每根杆的支持力为
（2）将轻绳向下延长交水平地面于，如图所示
则
是竖直面内的直角三角形，其中
令，则，
在竖直平面内，杆对三连铰链的支撑力在竖直方向的分量为
则
（3）在点，杆沿方向的支撑力在水平方向上有沿方向的分量
静摩擦力为
而此处地面所给支持力为
则地面和杆的摩擦因数至少为
题型4　平衡问题中的极值问题
18．如图所示，细线下悬挂着一重为20N的小物块，现对小物块施加一大小为的力（图中未画出），待小物块静止时，细线与竖直方向的夹角最大为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【详解】当细线与竖直方向的夹角为时，为使小物块保持静止，所需最小拉力为，如图所示
当所需最小拉力为时，最大，此时
即，故选A。
18．三个相同的足球按照如图所示的方式静止在一端有垂直挡板的平板上，平板与水平面的夹角为，现逐渐减小，三个足球仍能按图示状态保持静止，不计所有摩擦，则正切值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当取最小时，即将发生相对滑动，下面两积木间恰好无弹力，对最右边积木进行受力分析，如下图所示
建立如图所示直角坐标系，沿x轴方向，根据平衡条件有
当取最小时，对最上面积木受力分析，如下图所示
根据平衡条件有
联立解得
即木板与水平面夹角的正切值的最小值为，故选A。
20．（多选）筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球受到3个力作用
B．当增大时，筷子对小球的作用力不变
C．当时，只要筷子对小球的压力足够大，图中小球就可以保持静止
D．使小球不掉落，筷子对小球的最小压力是
【答案】BD
【详解】A．小球受到重力、两根筷子的两个弹力和两个摩擦力作用，共5个力，故A错误；
B．当增大时，由于小球处于静止，根据受力平衡可知，筷子对小球的作用力与重力等大反向，则筷子对小球的作用力不变，故B正确；
D．对小球受力分析，如图所示
竖直方向根据平衡条件可得
又
联立解得
故使小球不掉落，筷子对小球的最小压力是，故D正确；
C．要想用筷子夹住小球，则有
则
可得
可知当时，无论筷子对小球的压力多大，图中小球都不可以保持静止，故C错误。
故选BD。
21．（多选）文物记载着我国灿烂的文明，观看文物展览已经成为一种研学方式，如图所示，一块玉石放置在倾斜的玻璃展板上，下端有小挡板支撑，假设玻璃展板倾角为，固定的两小挡板A和B与图中水平虚线也成为角，玉石质量为m，重力加速度为g，不计玉石与玻璃展板间的摩擦，则下列说法正确的是（　　）
A．挡板A、B对玉石的弹力是相同的
B．玻璃展板对玉石的支持力大小为
C．挡板A对玉石的弹力大小为
D．若挡板与虚线的夹角变小，则每块挡板对玉石的弹力变小
【答案】BCD
【详解】A．根据对称性可知，挡板A、B对玉石的弹力大小相等，但方向不同，故A错误；
B．以玉石为对象，垂直玻璃展板方向，根据受力平衡可得，玻璃展板对玉石的支持力大小为
故B正确；
C．以玉石为对象，沿玻璃展板平面，根据平衡条件可得
解得挡板A对玉石的弹力大小为
故C正确；
D．若挡板与虚线的夹角变小，设减小为，沿玻璃展板平面，根据平衡条件可得
由于
可知每块挡板对玉石的弹力变小，故D正确。
故选BCD。
22．《吕氏春秋》记载，“腊月二十四，掸尘扫房子”。每逢春节来临，家家户户都要打扫卫生，有着“除尘布新”的美好寓意。如图所示，某同学通过拖把对质量的拖头施加斜向上的推力，使拖头沿玻璃竖直向上做匀速直线运动。已知推力与玻璃平面的夹角为，拖头与玻璃间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。
(1)求推力的大小；
(2)若改变推力，使拖头恰好不沿玻璃下滑，求推力的最小值以及此时与玻璃平面夹角的正弦值。（可用根号及分式表示）
【答案】(1)；(2)，
【详解】（1）拖头沿玻璃竖直向上做匀速直线运动，根据平衡条件可得，
又
联立解得推力的大小为
（2）若改变推力，使拖头恰好不沿玻璃下滑，设推力与玻璃平面的夹角为，根据平衡条件可得，
又
联立可得
其中
可得当时，推力具有最小值，且大小为
此时推力与玻璃平面夹角的正弦值为
23．劳动人民的智慧是无穷的！工人经常利用木板、钢管等物体来装卸货物。工人将木板搭在车厢末端与地面构成一个倾角为θ=37°的固定斜面，如图甲所示，质量m=60kg的货物刚好能从该斜面上匀速滑下。重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)若要将货物推上货车，工人沿斜面方向的最小推力为多大？
(2)如图乙，工人利用两根等长的相同钢管A、B搭在车厢末端与水平地面之间，构成一倾斜轨道，该轨道平面与地面夹角θ=37°，如图丙所示为圆筒与钢管A、B的截面图，当两钢管间的距离d与圆筒的半径R关系为d=1.6R且固定时，圆筒可沿该轨道匀速下滑，忽略钢管粗细。求圆筒与钢管间的动摩擦因数μ。
(3)若图乙中用与圆筒间的动摩擦因数均为的两根管构成θ不变的轨道，改变d，要让圆筒能静止在轨道上，判断应满足什么条件？（此问直接写出结果即可，最大静摩擦可认为等于滑动摩擦）
【答案】(1)720N；(2)0.45；(3)
【详解】（1）货物匀速下滑，则有
沿斜面向上推动货物，货物匀速上滑时推力最小，则
联立解得
（2）设两钢管对圆筒的支持力的合力为N，每个导轨摩擦力为Ff，垂直轨道平面方向有
沿轨道平面方向有
由几何知识可知
将圆筒所受支持力的合力N沿AO、BO方向分解，则
且
解得
（3）刚好平衡时，根据平衡有，
其中
设，则
解得
此时，所以要让圆筒能静止在轨道上
题型5　自锁问题
24．如图所示，在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置质量为2m的正方体ABCD，在正方体与墙壁之间放置一质量为m的匀质光滑球，球心为O，OB与竖直方向的夹角为37°，此时正方体恰好能保持静止。已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求正方体对球的弹力F1大小和竖直墙壁对球的弹力F2大小；
(2)求正方体对地面的压力F压和正方体与地面间的动摩擦因数μ；
(3)若改变正方体到墙壁之间的距离，保持球的半径不变。当正方体右侧面BC到墙壁之间距离小于d时，无论球质量为多大，球和正方体始终处于静止状态，求d的值。
【答案】(1)，；(2)3mg，0.25；(3)
【详解】（1）对球受力分析，如图
根据平衡条件可得，
所以，
（2）对球、正方体整体受力分析，根据平衡条件可得，，
联立可得，
根据牛顿第三定律可得
（3）要使球、正方体整体都能静止，则
即
所以
故所求条件应满足
根据几何关系
联立解得
25．如题图所示，三个相同的小物块 、 、 （可视为质点）静止在粗糙水平面上，三根等长的轻杆一端分别通过光滑铰链连接在 上，另一端通过光滑铰链连接在 处，各杆与水平面间的夹角均为 。现在 处连接一质量为 的平台，已知三个物块与水平面间的动摩擦因数相同，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)若 、 、 的质量均为 ，物块与水平面间的动摩擦因数为 ，连接平台后三个物块恰好刚要发生滑动，求平台质量 应满足什么条件？
(2)若在平台上放置一个物体，无论物体质量多大均不能使 A、 B、C 与水平面发生相对滑动， 求物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）
以A物体为研究对象，受到重力、水平面的支持力、水平的摩擦力、轻杆的弹力，在四个力作用下处于平衡状态，如上图所示
水平方向 ，竖直方向 ，，研究平台的平衡
解得
（2）若在平台上放置一个物体，物体质量越大，轻杆对A（B、C）物体的弹力F越大，原问题相当于无论F多大，A（B、C）均不能滑动，三个小物块与水平面之间为静摩擦力
，，
联立可得 ，当F很大时，
可得
26．小明和小语到机场去为朋友送行，看到有一些旅客斜向上拉着旅行箱走，也有一些旅客斜向下推着旅行箱走。小刘突然产生了一个想法，他问小赵：“若在粗糙水平面上，为使质量为25kg的行李箱在水平面上做匀速直线运动，往往可以采用“拉”或“推”两种方式，这两种方式可简化为如图1的模型，甲受到与水平方向成角的拉力乙受到与水平方向成角的推力，g取。（结果可用分数和根号表示）
（1）求行李箱与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ；
（2）求的大小；
（3）若此题已知行李箱与水平面间的动摩擦因数为μ ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对它作用一个推力F，如图2所示，若F无论为多大也不能推动行李箱，则F与水平地面间的夹角α的正切值（tanα）满足什么关系？（提示：
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对甲图行李箱受力分析，可得
由
解得
（2）将换成推力后，行李箱仍向右匀速直线运动，所以合力为0。则由题意可得
由
解得
（3）对行李箱进行受力分析，由题意可得
联立解得
由题意，F取无限大，则恒有
即
提分题型练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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06 平衡中的临界和极值问题
题型1　“活结、死结”问题
1．据报道2024年6月2日浙江台州石人峡景区内两名游客在横渡峡谷溪流时借助绳索横渡，两岸有人拽住绳子协助他们，但当两人行进到河中央时突然被湍流冲倒从石头上滑下，两人紧抓绳索，两岸协助人员用尽全力试图将两人救起，突然绳索崩断，两人被水流冲走，人们不禁要问：粗大的绳索为什么会突然崩断呢？假设两人所受重力和水流冲击力的合力大小，两岸间拉紧的绳索长12m，人被水流冲下0.6m，如图所示，假设两绳拉力与力F在同一平面内，重力加速度g取，则绳中弹力最接近（　　）
A．3200N B．4800N C．6400N D．8000N
2．高一年级每次月考后会颁发流动红旗，班长通过一根不可伸长的轻绳将其悬挂在光滑钉子上。开始时如图1所示，两悬点AB处于水平状态，某天刮风后出现了图2的倾斜状态，班长就将绳子中间打了一个结，再次挂正，如图3所示。若图1中绳子的张力为，图2中绳子的张力为，图3中绳子的张力为，则三种情况下绳中张力的大小关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如甲图所示是用一根绳穿过牛奶箱上的提手晾晒辣椒的情景，可等效为一根轻绳穿过一个轻圆环，如乙图所示，A位置比B位置高。不计绳与圆环间的摩擦力，辣椒的质量为m，左右两侧绳与竖直方向的夹角分别为和，OA部分绳上的拉力为，OB部分绳上的拉力为，重力加速度为g，下面说法正确的是（　　）
A． B．
C．当时， D．变大时，变大
4．（多选）如图所示，在天花板的A点安装光滑定滑轮，把质量为M的物块a放在水平地面的C点，连接物块a的吊线绕过A点滑轮后，另一端固定在天花板的B点；质量为m的物块b用光滑轻质小挂钩挂在段吊线的O点，此时段吊线与竖直方向夹角为，且间吊线的总长度是水平间距的2倍，a和b都保持静止，重力加速度为。下列说法正确的是（　　）
A．吊线的拉力
B．物块a对地面的压力
C．物块a受到的摩擦力
D．若将B端吊线向左缓慢移动少许，物块a始终保持静止
5．如图所示，质量为的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段经绳的结点为O。绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角，物体甲及人均处于静止状态。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，人与水平面之间的动摩擦因数为，重力加速度为g。求：
(1)OA、OB绳中的拉力大小；
(2)若人的质量，欲使人不滑动，物体甲的质量的最大值。
6．如图所示，一根光滑轻绳穿过质量为m的小环A，轻绳的两端分别固定在等高的B、C两点，给小环施加一个水平向左的拉力，小环静止时，AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为。已知重力加速度为，，，试求解下列问题：
(1)此时施加的拉力的大小？
(2)若将水平拉力缓慢增加到，求此时绳中拉力大小？
题型2　“定杆、动杆”问题
7．如图所示，质量均为的A、B两滑块一端与两轻杆相连，另一端放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆上方施加一竖直向下的力，使整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为。下列说法正确的是（　　）
A．当一定时，越小，滑块对地面的压力越大
B．当一定时，越大，轻杆受力越小
C．当一定时，越大，滑块与地面间的摩擦力越大
D．当一定时，越小，可施加的力越大
8．如图所示，两个质量均为m的小球用轻质细杆连接静止于内壁光滑的半球形碗内，杆及碗口平面均水平，碗的半径及两小球之间的距离均为R，不计小球半径，则碗对每个小球的支持力大小为（　　）
A． mg B．mg C． mg D．2mg
9．（多选）如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　）
A．轻杆AC上的弹力大小为mg
B．轻杆 BC上的弹力大小为
C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置
D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置
10（多选）．以下的四个图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链连接，且系统均处于静止状态。关于能否用等长的轻绳来代替轻杆以保持系统的平衡，下列说法正确的是（　　）
A．图中的AB杆可以用轻绳代替的有甲、乙、丙
B．图中的AB杆可以用轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的BC杆可以用轻绳代替的有乙、丙、丁
D．图中的BC杆不可以用轻绳代替的有甲、乙、丁
题型3　发生相对滑动的临界问题
11．如图甲所示，用两根手指对称地抓起一个截面为圆的杯盖．将其简化成如图乙所示，手指与杯盖截面始终处于竖直平面内，手指接触点1、2的连线水平且相距为L，截面半径为，两接触点与圆心的连线与水平方向的夹角均为，手指和杯盖间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，能保持杯盖始终静止，则L不能小于（　　）
A．3.6cm B．4cm C．4.8cm D．5.4cm
12．2021年春节前，西安街头一位大姐用9米多的长杆推动拖把头擦玻璃的视频曾引起网民关注，该视频中截图为图1和图2，假设拖把头与玻璃间的动摩擦因数μ恒定，拖把头匀速上升过程中杆与竖直方向的夹角越来越小，示意图如图3所示，则在拖把头匀速上升过程中下列有关说法正确的是（　　）

A．拖把头受到四个力作用，杆对拖把头的作用力大小不变
B．拖把头受到四个力作用，杆对拖把头的作用力变大
C．拖把头对玻璃的压力越来越大，摩擦力越来越大
D．杆与竖直方向的夹角必须小于某一值才可以推动拖把头上升
13．（多选）图（a）为答题卡扫描仪，其内部结构如图（b）所示。扫描仪内部有一个摩擦滚轮放置在水平答题卡上方。正常工作时滚轮对顶部答题卡的正压力为F，摩擦滚轮顺时针转动，摩擦力只带动与之接触的顶部答题卡进入扫描仪内部进行逐张扫描，直至所有答题卡扫描完毕。已知每张答题卡的质量均为m，摩擦滚轮与答题卡间的动摩擦因数恒为μ=0.8，各答题卡间的动摩擦因数可能不同，但范围为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。要使该扫描仪能一直正常工作，正压力F的最小值和最大值分别为（　　）
A． B． C． D．
14．某博物馆举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量m=2.5kg的棱台形金砖，挑战者须戴上主办方提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持静止状态10s，就算挑战成功。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为θ=78.5°，挑战者施加给金砖的单侧压力为F，手套与金砖之间的动摩擦因数为μ=0.25，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2。计算时取sin78.5°≈1.0，cos78.5°≈0.2，现要徒手抓起金砖，则F至少需要多大
15．2025年8月11日第12届世界运动会在四川成都圆满闭幕，中国体育代表团收获36金17银11铜，领跑金牌榜。一运动员体重，成功硬拉质量的杠铃，如图所示。假设运动员与杠铃的全部重力集中在人体重心上，鞋与地面间的动摩擦因数为，双臂竖直，腿与地面间的夹角均为，保持静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。
(1)该运动员每只手臂所承受的拉力；
(2)地面对运动员左腿的作用力；
(3)的最小值。
16．如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为0.5m，与地面的动摩擦因数均为。初始时三者处于静止状态。现用水平向右的力拉A，使A一直缓慢向右移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
(1)未拉A时，C受到B的作用力F大小为多少？
(2)从开始拉A到C刚刚着地的过程中，C的位移大小为多少？
(3)A、B与地面间的动摩擦因数的最小值为多少？
17．如图所示，三根长都是l的轻杆，上端用一个三连铰链连接（每根杆都可以绕自由转动），下端支在水平地面上的、、三点，形成一个三角架。在点上连接一根轻绳，下端吊着一个重力为的物体。已知、、三点在水平地面上恰好形成一个边长为的正三角形，问：
(1)水平地面对每根杆的支持力是多大？
(2)每根杆对三连铰链的支撑力多大？
(3)设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则地面和杆的“动”摩擦因数至少多大，支架系统才能保持稳定。
题型4　平衡问题中的极值问题
18．如图所示，细线下悬挂着一重为20N的小物块，现对小物块施加一大小为的力（图中未画出），待小物块静止时，细线与竖直方向的夹角最大为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
18．三个相同的足球按照如图所示的方式静止在一端有垂直挡板的平板上，平板与水平面的夹角为，现逐渐减小，三个足球仍能按图示状态保持静止，不计所有摩擦，则正切值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
20．（多选）筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球受到3个力作用
B．当增大时，筷子对小球的作用力不变
C．当时，只要筷子对小球的压力足够大，图中小球就可以保持静止
D．使小球不掉落，筷子对小球的最小压力是
21．（多选）文物记载着我国灿烂的文明，观看文物展览已经成为一种研学方式，如图所示，一块玉石放置在倾斜的玻璃展板上，下端有小挡板支撑，假设玻璃展板倾角为，固定的两小挡板A和B与图中水平虚线也成为角，玉石质量为m，重力加速度为g，不计玉石与玻璃展板间的摩擦，则下列说法正确的是（　　）
A．挡板A、B对玉石的弹力是相同的
B．玻璃展板对玉石的支持力大小为
C．挡板A对玉石的弹力大小为
D．若挡板与虚线的夹角变小，则每块挡板对玉石的弹力变小
22．《吕氏春秋》记载，“腊月二十四，掸尘扫房子”。每逢春节来临，家家户户都要打扫卫生，有着“除尘布新”的美好寓意。如图所示，某同学通过拖把对质量的拖头施加斜向上的推力，使拖头沿玻璃竖直向上做匀速直线运动。已知推力与玻璃平面的夹角为，拖头与玻璃间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。
(1)求推力的大小；
(2)若改变推力，使拖头恰好不沿玻璃下滑，求推力的最小值以及此时与玻璃平面夹角的正弦值。（可用根号及分式表示）
23．劳动人民的智慧是无穷的！工人经常利用木板、钢管等物体来装卸货物。工人将木板搭在车厢末端与地面构成一个倾角为θ=37°的固定斜面，如图甲所示，质量m=60kg的货物刚好能从该斜面上匀速滑下。重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)若要将货物推上货车，工人沿斜面方向的最小推力为多大？
(2)如图乙，工人利用两根等长的相同钢管A、B搭在车厢末端与水平地面之间，构成一倾斜轨道，该轨道平面与地面夹角θ=37°，如图丙所示为圆筒与钢管A、B的截面图，当两钢管间的距离d与圆筒的半径R关系为d=1.6R且固定时，圆筒可沿该轨道匀速下滑，忽略钢管粗细。求圆筒与钢管间的动摩擦因数μ。
(3)若图乙中用与圆筒间的动摩擦因数均为的两根管构成θ不变的轨道，改变d，要让圆筒能静止在轨道上，判断应满足什么条件？（此问直接写出结果即可，最大静摩擦可认为等于滑动摩擦）
题型5　自锁问题
24．如图所示，在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置质量为2m的正方体ABCD，在正方体与墙壁之间放置一质量为m的匀质光滑球，球心为O，OB与竖直方向的夹角为37°，此时正方体恰好能保持静止。已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求正方体对球的弹力F1大小和竖直墙壁对球的弹力F2大小；
(2)求正方体对地面的压力F压和正方体与地面间的动摩擦因数μ；
(3)若改变正方体到墙壁之间的距离，保持球的半径不变。当正方体右侧面BC到墙壁之间距离小于d时，无论球质量为多大，球和正方体始终处于静止状态，求d的值。
25．如题图所示，三个相同的小物块 、 、 （可视为质点）静止在粗糙水平面上，三根等长的轻杆一端分别通过光滑铰链连接在 上，另一端通过光滑铰链连接在 处，各杆与水平面间的夹角均为 。现在 处连接一质量为 的平台，已知三个物块与水平面间的动摩擦因数相同，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)若 、 、 的质量均为 ，物块与水平面间的动摩擦因数为 ，连接平台后三个物块恰好刚要发生滑动，求平台质量 应满足什么条件？
(2)若在平台上放置一个物体，无论物体质量多大均不能使 A、 B、C 与水平面发生相对滑动， 求物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？
26．小明和小语到机场去为朋友送行，看到有一些旅客斜向上拉着旅行箱走，也有一些旅客斜向下推着旅行箱走。小刘突然产生了一个想法，他问小赵：“若在粗糙水平面上，为使质量为25kg的行李箱在水平面上做匀速直线运动，往往可以采用“拉”或“推”两种方式，这两种方式可简化为如图1的模型，甲受到与水平方向成角的拉力乙受到与水平方向成角的推力，g取。（结果可用分数和根号表示）
（1）求行李箱与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ；
（2）求的大小；
（3）若此题已知行李箱与水平面间的动摩擦因数为μ ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对它作用一个推力F，如图2所示，若F无论为多大也不能推动行李箱，则F与水平地面间的夹角α的正切值（tanα）满足什么关系？（提示：
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