辽宁省2025中考数学压轴点一填空压轴题题型一尺规作图 课件(10份打包)

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辽宁省2025中考数学压轴点一填空压轴题题型一尺规作图 课件(10份打包)

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(共36张PPT)
题型二 旋转问题(2024 真题.22)
压轴点二 几何压轴题
典例解构
1
突破训练
2
典例解构
1
例[2024 辽宁真题第22 题12 分] 如图,在△ ABC 中,∠ ABC=9 0°,∠ ACB= α(0°< α <45°).将线段CA 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CD,过点D 作DE ⊥ BC,垂足为E.
原题设问
(1)如图1,求证:△ ABC ≌△ CED.
设问拆分
(1)a. 求证:∠ A= ∠ DCE;
证明:∵线段CA绕点C顺时针旋转90°
得到线段CD,
∴∠ACD=90°.∴∠ACB+∠DCE=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠A+∠ACB=90°,
∴∠A=∠DCE;
b. 求证:△ ABC ≌△ CED;
证明:∵∠ABC=90°,DE⊥BC,
∴∠ABC=∠CED=90°.
由旋转的性质,得AC=CD,
由a得∠A=∠DCE,∴△ABC≌△CED(AAS);
要点提炼
模型
异侧一线三垂直模型(全等)
条件:∠ ACD=90°,
AB ⊥ BC,DE ⊥ BC,
AC=DC
结论:△ ABC ≌△ CED
原题设问
(2)如图2, ∠ ACD 的平分线与AB 的延长线相交于点F,连接DF,DF 的延长线与CB 的延长线相交于点P,猜想PC 与PD的数量关系,并加以证明.
设问拆分
(2)a. 求证:△ ACF ≌△ DCF;
证明:∵CF是∠ACD的平分线,
∴∠ACF=∠DCF.
∵CF=CF,AC=DC,∴△ACF≌△DCF(SAS);
b. 猜想PC 与PD 的数量关系,并加以证明.
解:PC=PD.
证明:∵△ACF≌△DCF,∴∠A=∠CDF,
由(1)a得∠A=∠DCE,∴∠DCE=∠CDF.
∴PC=PD;
要点提炼
模型抽离
对称型全等模型
知识必备
证明两条线段相等的常用方法:
1. 若两条线段在同一个三角形中,常利用等角证等腰,其中证等角时常需要借助第三个角度,如本题中的∠ A;
2. 若两条线段不在同一个三角形中,常利用三角形全等证明
原题设问
(3)如图3,在(2)的条件下,将△BFP沿AF折叠,在α变化过程中,当点P落在点E的位置时,连接EF.① 求证:点F是PD的中点;
设问拆分
(3)①a. 求证:BF∥DE;
证明:∵DE⊥BC,AF⊥PE,∴BF∥DE;
b. 求证:点F是PD的中点;
证明:由折叠的性质得PB=EB,
∵BF∥DE,∴PF=DF,即点F是PD的中点;
要点提炼
图形抽离
知识必备
1. 折叠的性质:对应线段 相等;
2. 垂直于同一条直线的两条直线平行;
3.平行线分线段成比例定理
原题设问
②若CD=20,求△CEF的面积.
设问拆分
②设CE=m,DE=n.
a. 用含m,n的式子表示BE和PC;
解:∵△ABC≌△CED,∴BC=DE=n,∴BE=BC-CE=n-m.∵BE=BP,
∴PC=CE+2BE=m+2(n-m)=2n-m;
b. 用含m,n的式子表示AF和PD;(要求:利用AF表示PD,结论不能与PC所表达的式子相同);
c. 利用PC和PD之间的关系求m和n之间的关系;
d.求m和n的值;
解:∵PC=PD,∴2n-m=2m+n.∴n=3m.
e.求△CEF的面积.
要点提炼
图形抽离
结论:①AB=CE,BC=ED;
②BE=BC-CE =ED-CE,PC=CE+2BE;
③BF=DE;
④△ACF≌△DCF;
⑤AF=DF=PD
1. 如图,在正方形ABCD 中,点E 在线段AD 上,点F 在线段CD 上,且始终满足AE=CF,连接BE,BF,将线段BE 绕点E 逆时针旋转一定角度,得到线段EG(点G 是点B 旋转后的对应点),并使点G 落在
线段BC 上,EG 与
BF 交于点H.
突破训练
2
(1) 判断线段EG 与BF 的数量关系和位置关系,并说明理由;
解:EG=BF,EG⊥BF;理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠C=∠ABC=90°,AB=CB,
∵AE=CF,∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴BE=BF,∠ABE=∠CBF.
由旋转的性质,得BE=EG,∴EG=BF,∠EBG=∠EGB.
∵∠ABE+∠EBG=∠ABC=90°,
∴∠CBF+∠EGB=90°,∴∠BHG=90°,即EG⊥BF.
(2)如图2,再将线段EG 绕点E 逆时针旋转90 °,得到线段EM(点M 是点G 旋转后的对应点),连接FM,请判断四边形BEMF 的形状,并说明理由;
解:四边形BEMF为菱形,理由如下:
由旋转得EG=EM,∠GEM=90°,∴EM⊥EG.
又∵EG⊥BF,∴EM∥BF.∵EG=EM,EG=BF,
∴EM=BF.∴四边形BEMF是平行四边形.
又∵BE=BF,∴四边形BEMF是菱形;
(3)如图3,若点G 落在BC 的延长线上,且当点H 恰好为EG 的中点时,设CD 与EG 交于点N,AD=3,求线段FN 的长.
2. [2024 葫芦岛连山区二模] 如图1,在Rt △ ABC中,∠ BAC=9 0°,∠ ABC=3 0°,AC=2,将Rt △ ABC 绕点A 顺时针旋转α(0°< α <18 0°),点B,C 的对应点分别为点B',C',连接BB',CC'.
证明:由题意知,∠ACB=90°-∠ABC=60°,
由旋转的性质可知,AB=AB′,AC=AC′,
∠C′=∠ACB=60°,∠AB′C′=∠ABC=30°,
∠BAB′=∠CAC′,∴△ACC′是等边三角形,∴∠CAC′=60°,
∴∠BAB′=∠CAC′=60°,∴△ABB′是等边三角形,
∴∠AB′B=60°,∴∠BB′C=∠AB′B+∠AB′C′=90°.
(1) 如图2,当B'C' 恰好经过点C 时,求证:∠ BB'C=90°;
(2) 如图3,当BB' 恰好经过点C 时,求BC'的长;
解:∵∠BAC=90°,AC=2,∠ABC=30°,
∴BC=2AC=4,∠ACB=60°.
由旋转的性质可知,AB=AB′,AC=AC′,
B′C′=BC=4,∠CAC′=∠BAB′,
∠AB′C′=∠ABC=30°,
∴∠AB′B=∠ABC=30°,
(3)在图2 的基础上,将△ ACC' 沿直线B'A的方向平移,点A,C,C' 的对应点分别为D,E,F.连接BC',BE,EC',若△ BC'E是以BE 为底的等腰三角形.
① 当点D 在B'A 的延长线上时,如图4,求线段AD 的长;
② 当点D 在射线AB' 上时,请直接写出线段AD 的长.(共46张PPT)
题型三 阅读理解(含新定义)
压轴点二 几何压轴题
典例解构
1
突破训练
2
典例解构
1
例 [2024辽宁样卷第23题12分]
原题设问
【问题初探】(1) 在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图1,在△ACD中,∠D=2∠C,AB⊥CD,垂足为B,且BC>AB.求证:BC=AD+BD.
①如图2,小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路:在BC上截取BE=BD,连接AE,将线段BC与AD,BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系. 请借助小鹏的解题思路,写出证明过程.
设问拆分
(1)①a. 求证:∠AED=2∠C;
证明:∵BE=BD,AB⊥CD,∴AB是线段DE的垂直平分线,∴AE=AD,∴∠D=∠AED.
∵∠D=2∠C,∴∠AED=2∠C;
b. 求证:BC=AD+BD.
证明:∵∠AED=2∠C,∠AED=∠C+∠CAE,
∴∠C=∠CAE,∴CE=AE.∵AE=AD,
∴CE=AD,∴BC=CE+BE=AD+BD;
要点提炼
知识必备
条件:AB⊥DE,BE= BD
结论:AE=AD(垂直平分线的性质)
原题设问
② 如图3,小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路:作AC的垂直平分线,分别与AC,CD交于F,E两点,连接AE,将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系.请借助小亮的解题思路,写出证明过程.
设问拆分
②a. 求证:∠D=∠AED;
证明:∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴AE=EC,∴∠C=∠CAE,∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠C,又∵∠D=2∠C,∴∠D=∠AED;
b. 求证:BC=AD+BD.
b.证明:∵∠D=∠AED,∴AE=AD,∵AE=CE,
∴CE=AD.∵AE=AD,AB⊥CD,∴BE=BD,
∴BC=CE+BE=AD+BD;
要点提炼
知识必备
条件:AE=AD,AB⊥ DE
结论: BE=BD,∠BAE= ∠BAD(等腰三角形“三线合一”)
原题设问
【类比分析】(2) 李老师发现之前两名同学都运用了转化思想,将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系;为了帮助学生更好地感悟转化思想,李老师将图1进行变换并提出了下面问题,请你解答.
如图4,在Rt △ ABC 中,∠ ABC=90°,
过点A 作AD ∥ BC( 点D 与点C 在AB
同侧),若∠ ADB=2 ∠ C.求证:BC=AD+BD.
设问拆分
(2)过点A作AE∥DB交CB的 延长线于点E,在BC上截取BF=BE,连接AF,如图,
a. 求证:∠ E=2∠C.
证明:∵AE∥DB,AD∥BC,∴四边形AEBD是平行四边形,∴∠ADB=∠E,∵∠ADB=2∠C,∴∠E=2∠C;
b. 求证:BC=AD+BD.
证明:∵四边形AEBD是平行四边形,∴AE=BD,AD=BE,由(1)①可得BC=BE+AE,∴BC=AD+BD.
要点提炼
构造模型
通过作平行四边形ADBE,将∠D转化为∠E,从而构造出(1)中的模型
原题设问
【学以致用】
(3)如图5,在四边形ABCD 中,AD=,CD= ,sin D=,∠ BCD= ∠ BAD,∠ ABC=3 ∠ ADC,求四边形ABCD 的面积.
(3)延长AB 交DC 的延长线于点E,作AH ⊥ DE 于点H,作BF ⊥ DE 于点F,如图,
设问拆分
a. 求证: ∠ ABC=2 ∠ E+∠ D;
证明:∵∠BCD=∠BAD,∠BCD+∠BCE=180°,∠BAD+∠E+∠D=180°,∴∠BCE=∠E+∠D.∵∠ABC=∠E+∠BCE,∴∠ABC=∠E+∠E+∠D=2∠E+∠D;
b. 求证:EF=BC+CF;
证明:∵∠ABC=3∠ADC,∠ABC=2∠E+∠D,
∴3∠D=2∠E+∠D,∴∠D=∠E,∴∠BCE=∠E+∠D=2∠E.∵BF⊥DE,∴由(1)可得EF=BC+CF;
c. 求DE 和CE 的长;
d. 设EF=x,用含x 的代数式分别表示出CF,BC 和BF 的长并求x 的值;
e. 求四边形ABCD 的面积.构造模型
要点提炼
构造模型
通过延长AB 和DC使其交于点E, 作BF ⊥ DE 于点F, 利用角度关系证得∠ BCE=2 ∠ E,即可构造出(1)中的模型
知识必备
利用同一未知数表示出直角三角形的三条边长,利用勾股定理列方程求解.
1. [2024营口二模]我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C',当α+β=180°时,我们
称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,
△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的
“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
突破训练
2
特例感知:
(1)如图2,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为__________;
猜想论证:
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明;
证明:如解图1,延长AD到M,使得DM=AD,连接B′M,C′M,
∵B′D=DC′,AD=DM,∴四边形AC′MB′是平行四边形,
∴AC′=B′M=AC,B′M∥AC′.∴∠B′AC′+∠AB′M=180°.
又∵∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠BAC=∠MB′A.
拓展应用:
(3)如图3,四边形ABCD中,∠C=105°,∠D=120°,BC=8,CD=4,DA=4,在四边形内部是否存在点P,使△PCD是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
2. [2024 沈阳二模]【问题初探】
(1)在数学活动课上,张老师给出如下问题:如图1,在△ ABC 中,AB=BC,∠ ABC=9 0°,点D是边BC 上一点,连接AD,在AB 右侧作△ ADE,使DE=AD,∠ ADE=90°,连接CE,求证:∠ DCE=135°;
①小创同学从△ ABC 与△ ADE 均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路:通过证明△ ABD ∽△ ACE,将∠ DCE 转化为∠ ABD+ ∠ ACB;
②小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路:如图2,在线段AB 上截取BP=BD,连接DP,通过证明△ APD ≌△ DCE,将∠ DCE 转化为∠ APD;请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程.
【类比分析】
(2)张老师发现之前两名同学都运用了转化思想,为了帮助学生更好地感悟转化思想,张老师将图1 进行变换并提出了下面问题,请你解答.
如图3,在△ ABC 中,AB=BC,点D 是边BC
上一点,连接AD,在AB 右侧作△ ADE,使
DE=AD,∠ ADE= ∠ ABC=α(α>9 0 °),连
接CE,过点C 作CF ∥ AB 交AE于点F,探
究∠ECF 与α 的数量关系;
(3)如图4,在(2)的条件下,当α=120°时,若AB=BC=3 ,CF=2 ,求CD 的长.(共39张PPT)
题型一 折叠问题
压轴点二 几何压轴题
典例解构
1
突破训练
2
例 [2024 辽宁省一模第22 题 12分 ] 如图,在矩形 ABCD 中, AB=2, BC=2 ,点 E 为射线 BA 上一点(点 E 不与点 B 重合),将△ BCE 沿 EC 折叠,得到△ FCE,点 P 为线段 FC 上一点,再将△ EFP 沿 EP 折叠,得到△ EGP, PG 的延长线与边 BC 相交于点 Q.
典例解构
1
原题设问 设问拆分 要点提炼
(1) 如图1, 连接EQ, 求证: QB=QG. (图 1) (1) a. 求证: BE=GE, ∠ EGP=90°; b. 求证: QB=QG. 知识必备
将 △ ABC 沿 AC 折 叠 后 得 到△ ADC.
结论: △ ABC ≌△ ADC.
“原题设问”答案略,“设问拆分”答案如下:
(1)证明:a.∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,
由折叠知EG=EF=EB,∠EGP=∠F=∠B=90°,
b.∵∠EGP=90°,∴∠EGQ=180°-∠EGP=90°,
在Rt△EBQ和Rt△EGQ中,∵EQ=EQ,EG=EB,
∴Rt△EBQ≌Rt△EGQ(HL),∴QB=QG;
(2) 如图 2, 当点 E 与点 A 重合时,若 点 G 落 在 边 AD 上, 连 接BF, EC 与 BF 相交于点 M, 与PQ 相交于点 N, 求 MN 的长. (图 2) (2) a. 求∠ ACB的度数和CM的长; b. 求 CQ 的长; c. 求 MN 的长 . 知识必备
1.将△ ABC 沿 AC 折叠后得到△ ADC,连接 BD.
结论: AC 垂直平分 BD.
2.已知 AB, BC 的长,求 CM的长 .
两种常用思路:
(1) 利用锐角三角函数 :cosC= = ;
(2) 利用△ CBM ∽△ CAB
(3) 若点 G 落在边 AD 上, 且 BQ=322 , CE 所在直线与 AD 所在直线相交于点 H.①如图 3, 当点 E 在线段 BA 延长线上时, 求 HG 的长; (3) ①过点 G 作 GR ⊥ BC 于点 R." a.求 QG, QR 和 AG 的长;b. 设 AE=x, 用含 x 的式子表示 EG, 并求 x 的值; c. 求 AH 和 HG 的长 . 模型抽离
条件: AH ∥ BC
结论:△ EAH ∽△ EBC
②当点 E 在线段 AB 上时, 请直接写出 HG 的长. ②过点G作GR⊥BC, 垂足为R, a. 求 QG, QR 和 AG 的长;b. 设 AE=x, 用含 x 的式子表示 EG, 并求 x 的值;c. 求 AH 和 HG 的长 . 模型抽离
条件: AH ∥ BC
结论:△ EAH ∽△ EBC知识必备
利用同一未知数表示出直角三角形的三条边长,利用勾股定理列方程 .
1. 【原创题】 在 菱 形 ABCD 中, AB=8,∠ BAD=120°, E, F 分别是边 AB, BC 上的点,沿直线 EF 折叠△ BEF,点 B 的对应点为 B',连接 AC, BD,相交于点 O.
(1) 如 图 1,当 点 B' 与点 O 重合时,求证:△ BEO ≌△ BFO;
突破训练
2
证明:由折叠的性质得,∠EOB=∠EBO,∠FOB=∠FBO,
∵四边形ABCD是菱形,∴∠EBO=∠FBO,
∴∠EOB=∠FOB.
又∵BO=BO,∴△BEO≌△BFO(ASA);
(2) 如图 2,当点 B' 落在 AC 上,且 B'C=3AB'时,求 CF 的长;
解:如解图1,过点F作FH⊥AC于点H,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB =BC=8,AD∥BC,
又∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°,
∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°,AC=AB=8.
∵B′C=3AB′,∴CB′=6.
(3)如图 3,若点 B' 落在 AD 上 .
①当 B'E ⊥ AC 时,求 四 边 形 B'FCD 的面积;
②当 B' 为 AD 的 中点 时,求 cos ∠ BFE的值 .
2. [2023 沈阳改编 ] 如图 1,在 ABCD 纸片中,AB=10, AD=6,∠ DAB=60°,点 E 为 BC边 上 的 一点(点 E 不 与点 C 重合),连 接AE,将 ABCD 纸片沿 AE 所在直线折叠,点 C, D 的对应点分别为 C', D',射线 C'E与射线 AD 交于点 F.
(1)求证: AF=EF;
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠FAE+∠AEC=180°,
由折叠的性质可知,∠AEC′=∠AEC,
∴∠FAE+∠AEC′=180°,
∵∠AEF+∠AEC′=180°,∴∠FAE=∠AEF,
∴AF=EF;
(2) 如图 2,当 EF⊥ AF 时,求 DF 的长;
(3)如图 3,当 CE=2 时.
①求 AE 的长;
②求△ AEF 的面积 .
3. [2024 盘锦市兴隆台区二模 ] 实践操作:在矩形纸片 ABCD 中, AB=4, AD=3,现将纸片折叠,点 D 的对应点记为点 P,折痕为 EF(点 E,F 为折痕与矩形的边的交点),再将纸片还原 .
初步思考:
(1) 若点 P 落在矩形 ABCD 的边 AB 上(如图 1).当点 P 与点 A 重合时,∠ DEF= ______,当点 E 与点 A 重合时,∠ DEF= ___________;
90°
45°
点拨:
深入探究:
(2) 当点 E 在 AB 上,点 F 在 DC 上时(如图 2),
①求证:四边形 DEPF 为菱形;
证明:由折叠的性质,得DE=PE,
DF=PF,EF⊥DP,∴∠FDP=∠FPD.
∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠FDP=∠EPD.∴∠FPD=∠EPD.∵EF⊥DP,∴根据等角的余角相等可得∠PEF=∠PFE.∴PE=PF.
∴DE=PE=PF=DF. ∴ 四边形DEPF为菱形;
②当 AP= 72 时,直接写出四边形 EPFD 的边长.
拓展延伸:
(3) 若点 F 与点 C 重合,点 E 在 AD 上,射线 BA 与射线 FP 交于点 M(如图 3).在折叠过程中,是否存在使得线段 AM 与线段 DE 的长度相等的情况?若存在,请求出线段 AE 的长度;若不存在,请说明理由 .
解:存在,分两种情况讨论:
①如解图3,当点M在线段AB上时, 连接 EM,
由折叠和矩形的性质得∠EPM=∠EDC=90°,DE=PE,CP=CD=AB=4,∵AM=DE,∴ AM=EP.
又∵EM=ME,∠A=90°,
∴Rt△EAM≌Rt△MPE(HL).∴MP=AE.
设 AE=x, 则 AM=DE=3-x, 则 BM=AB-AM=4-(3-x)=x+1,∵ MP=EA=x,CP=4,∴ MC=4-x,(共77张PPT)
题型一 新定义问题
压轴点三 二次函数压轴题
典例解构
1
突破训练
2
例1 [2024辽宁真题第23题13分]已知y1是自变量x的函数,当y2=xy1时,称函数y2为函数y1的“升幂函数”.在平面直角坐标系中,对于函数y1图象上任意一点A(m,n),称点B(m,mn)为点A“关于y1的升幂点”,点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上.
典例解构
1
例如:函数y1=2x,当y2=xy1=x·2x=2x2时,则函数y2=2x2是函数y1=2x的“升幂函数”.
在平面直角坐标系中,函数y1=2x的图象上任意一点A(m, 2m),点B(m,2m2)为点A“关于y1的升幂点”,点B在函数y1=2x的“升幂函数”y2=2x2的图象上.
原题设问
(1)求函数y1=x的“升幂函数”y2的函数表达式.
要点提炼
定义理解
给原函数乘x即可得其“升幂函数”.
原题设问
(2)如图,点A在函数y1=(x>0)的图象上,
点A“关于y1的升幂 点”B在点A上方,
当AB=2时,求点A的坐标.
设问拆分
(2)a. 求函数y1的“升幂函数”y2的函数表达式;
b. 求点A的纵坐标;
c. 求点A的坐标.
∵y2=3,∴点B的纵坐标是3.
∵点B在点A的上方,AB=2,∴点A的纵坐标是3-2=1.
要点提炼
思维引导
给函数y1=乘x即可得到其“升幂函数”,结合AB=2可得点A的纵坐标,再利用y1的函数表达式求出点A的横坐标.
原题设问
(3)点A在函数y1=-x+4的图象上,点A“关于y1的升幂点”为点B,设点A的横坐标为m.①若点B与点A重合,求m的值;
设问拆分
(3)①a. 求函数y1的“升幂函数”y2的函数表达式;
b. 用含m的式子表示出点A和点B的坐标;
c. 求m的值.
解:y2=xy1=x(-x+4)=-x2+4x.
∵点A的横坐标为m,∴A(m,-m+4),B(m,-m2+4m).
∵点B与点A重合,∴-m+4=-m2+4m.
整理,得m2-5m+4=0.解得m=1或m=4.
要点提炼
知识必备
平面直角坐标系中两个点重合,则这两个点的横、纵坐标分别相等.
原题设问
② 若点B 在点A 的上方,过点B 作x 轴的平行线,与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C,以AB,BC 为邻边构造矩形ABCD,设矩形ABCD的周长为y,求y关于m的函数表达式;
设问拆分
② a. 画出函数y1 和y2 图象的草图,判断线段AB 与y 轴的位置关系,并结合图象判断,当点B 在点A的上方时,求m 的取值范围;
解:画出函数y1和y2图象的草图如解图1,
∵点A(m,-m+4),B(m,-m2+4m),
∴AB∥y轴.
易知两个函数图象的交点横坐标分别是1和4. 由图象可以判断,当点B在点A的上方时,m的取值范围是1<m<4;
b. 当点C 在点B 的右侧时,画出草图,求m 的取值范围,并求y 关于m 的函数表达式;
解:当点C在点B的右侧时,画出草图如解图2,此时1<m<2.
易知B,C两点关于直线x=2对称.
∴由抛物线的对称性可知BC=2(2-m)=4-2m.
∵点B在点A的上方,
∴AB=(-m2+4m)-(-m+4)=-m2+5m-4.
∴y=2(AB+BC)=2(-m2+5m-4+4-2m)=-2m2+6m.
∴当1<m<2时,y=-2m2+6m.
c. 当点C 在点B 的左侧时,画出草图,求m 的取值范围,并求y 关于m 的函数表达式;
解:当点C在点B的左侧时,画出草图如解图3,此时2同理可得AB=(-m2+4m)-(-m+4)=-m2+
5m-4,BC=2(m-2)=2m-4.
∴y=2(AB+BC)=2(-m2+5m-4+2m-4)=
-2m2+14m-16.
∴当2<m<4时,y=-2m2+14m-16.
d. 根据b 和c, 求y 关于m 的函数表达式.
要点提炼
知识必备
1. 平行于x 轴的直线与抛物线相交,则两个交点关于抛物线的对称轴对称,能根据对称轴和其中一点的坐标求另一点的坐标;
2. 平面直角坐标系内两个点B(b,m),C(c,n). 由BC∥x 轴可得到m=n.
① 若点C 在点B 的右侧,则BC=c-b;
② 若点C 在点B 的左侧,则BC=b-c.
原题设问
③ 在②的条件下,当直线y=t1与函数y的图象的交点有3个时,从左到右依次记为E,F,G,当直线y=t2与函数y 的图象的交点有2 个时,从左到右依次记为M,N,若EF=MN,请直接写出t2-t1的值.
设问拆分
③ a. 画出②中y 关于m 的函数图象的草图;
解:画出草图如解图4.
b. 直线y=t2不过抛物线y=-2m2+6m的顶点时,求t2-t1的值;
解:画出草图如解图5,
∵抛物线y=-2m2+6m和抛物线y=
-2m2+14m-16的二次项系数相同,
∴两条抛物线的开口大小相同.
∵EF∥MN,且EF=MN,∴EF和MN
之间的距离等于两个顶点之间的竖直高度.
c. 直线y=t2过抛物线y=-2m2+6m的顶点时,求t2-t1的值;
d. 根据b 和c, 直接写出t2-t1的值.
要点提炼
知识必备
1. 二次函数图象的开口方向和大小只由二次项系数决定.
2. 如图,抛物线y1 和y2 的二次项系数相同,
直线l∥x轴交y1于点A,B,直线n∥x轴
交y2于点C,D. 若AB=CD, 则直线l和
n之间的距离等于两个顶点的高度差.
例2 [2024辽宁省一模23题13分]在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为n(n为正整数),点A在x轴正半轴上,点C在y轴正半轴上.若点M(x,y)在正方形OABC的边上,且x,y均为整数,定义点M为正方形OABC的“LS点”.
若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点,且交点均是正方形OABC的“LS点”,定义该函数为正方形OABC的“LS函数”.
例如:如图1,当n=2时,某函数的图象C1经过点(0,1)和(2,2),则该函数是正方形OABC的“LS函数”.
“原题设问”答案略
原题设问
(1)当n=1时,若一次函数y=kx+t是正方形OABC的“LS函数”,则一次函数的表达式是_________(写出一个即可);
设问拆分
(1)a. 求点A,B,C的坐标;
b. 一次函数的表达式是_________________(写出一个即可).
解:如解图,当n=1时,A(1,0),
B(1,1),C(0,1).
y=x(答案不唯一)
点拨:当一次函数y=kx+t的图象过点O(0,0),B(1,1)时,其表达式为y=x,如解图,可知直线y=x与正方形OABC只有两个交点,
∴一次函数y=x是正方形OABC的“LS函数”.
要点提炼
知识必备
用待定系数法求一次函数的表达式.
原题设问
(2)如图2,当n=3时,函数y=(x>0)的图象经过点D(1,3),与边AB相交于点E,判断该函数是不是正方形OABC的“LS函数”,并说明理由;
设问拆分
(2)a. 求m的值和点E的坐标;
b. 判断该函数是不是正方形OABC的“LS函数”,并说明理由.
要点提炼
知识必备
用待定系数法求反比例函数的表达式.
原题设问
(3)当n=4 时,二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点B,若该函数是正方形OABC 的“LS 函数”,求a的取值范围;
设问拆分
(3)a. 用含a 的代数式表示二次函数图象的顶点坐标;
解:当n=4时,点B的坐标为(4,4),
把点B(4,4)的坐标代入y=ax2+bx+4中,得4=16a+4b+4,∴b=-4a.∴y=ax2-4ax+4.
∴该函数图象的顶点坐标为(2,-4a+4).
b. 当该二次函数图象开口向上时,求a 的取值范围;
解:当n=4时,点C的坐标为(0,4).在y=ax2+bx+4中,令x=0,得y=4,
∴点C(0,4)在二次函数 y=ax2+bx+4的图象上.
∵二次函数 y=ax2+bx+4 是正方形OABC的“LS函数”,其图象经过点B,C,且开口向上,
∴a>0,且抛物线顶点在x轴上方,∴-4a+4>0,解得a<1.∴a的取值范围是0<a<1.
c. 当该二次函数图象开口向下时,求a 的取值范围;
d. 由b 和c 直接写出a 的取值范围.
a的取值范围为0<a<1或a<0.
要点提炼
知识必备
当二次函数的图象开口向上时,若要保证二次函数图象与线段OA 无交点,需使顶点纵坐标大于0.
原题设问
(4)在(3)的条件下,点P(a-1,y1),Q(a+3,y2)是二次函数y=ax2+bx+4 图象上的两点, 若点P,Q 之间的图象(包括点 P,Q)的最高点与最低点纵坐标的差为10a2,求a 的值.
设问拆分
(4)a. 若抛物线开口向上,求a 的值;
解:由(3)知,该函数图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-4a+4),当抛物线开口向上时,
0∴点P,Q之间的图象(包括点P,Q)的最高点是点P,最低点是顶点,
∴a(a-1)2-4a(a-1)+4-(-4a+4)=10a2,
b. 若抛物线开口向下且点Q 位于抛物线对称轴上或对称轴右侧时,求a 的值;
解:由(3)知,该函数图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-4a+4).当抛物线的开口向下时,a<0.
当点Q位于抛物线对称轴上或在对称轴右侧时,a+3≥2,
∴-1≤a<0. ∴-2≤a-1<-1,2≤a+3<3.
∴点P,Q之间的图象(包括点P,Q)的最高点是顶点,最低点是点P.∴(-4a+4)-[a(a-1)2-4a(a-1)+4]=10a2,
整理,得a(a2+4a+9)=0.∵-1≤a<0,∴a2+4a+9=0,此方程无实数根,∴a的值不存在.
c. 若抛物线开口向下且点Q 位于抛物线对称轴的左侧时,求a 的值;
解:由(3)知,该函数图象的对称轴是直线x=2,当抛物线的开口向下时,a<0.
当点Q位于抛物线对称轴的左侧时,
a+3<2,∴a<-1,a-1∴点P,Q之间的图象(包括点P,Q)的最高点是点Q,最低点是点P.
∴[a(a+3)2-4a(a+3)+4]-[a(a-1)2-4a(a-1)+4]=10a2,
整理,得a(a+4)=0.∵a<-1,∴a+4=0,解得a=-4.
∴a的值是-4.
d. 结合a,b 和c,直接写出a的值.
要点提炼
知识必备
1. 若抛物线开口向上,离对称轴越近的点, 纵坐标越小;
2. 若抛物线开口向下,离对称轴越近的点, 纵坐标越大;
3. 若抛物线的对称轴为直线x=2,点M 的坐标是(m,n), 则点M 与对称轴的距离为|m-2|.
1. 已知y1是自变量x的函数,当y2=kxy1(k≠0)时,称函数y2为函数y1的“k倍升值函数”.在平面直角坐标系中,对于函数y1图象上任意一点A(m,n),称点B(m,kmn)为点A“关于y1的k倍升值点”,点B 在函数y1的“k倍升值函数”y2的图象上.
突破训练
2
例如:函数y1=2x,当k=1时,y2=xy1=x·2x=2x2,则函数y2=2x2是函数y1=2x的“1倍升值函数”. 在平面直角坐标系中,函数y1=2x的图象上任意一点A(m,2m),当k=1时,点B(m,2m2)为点A“关于y1的1倍升值点”,点B在函数y1=2x的“1倍升值函数”y2=2x2的图象上.
(1)当k=时,求函数y1=x的“k倍升值函数”y2的函数表 达式;
(2)如图1,点A在函数y1=(x>0)的图象上,点A“关于y1的-1倍升值点”为点B,当AB=6时,求点A的坐标.
(3)点A在函数y1=-x+4的图象上,点A“关于y1的2倍升值点”为点B,设点A的横坐标为m.
①若点B与点A重合,求m的值;
② 将点A和点B之间的距离记为W,求W与m的函数表达式;
③ 在②的条件下,当一次函数y=km+8(k≠0)与函数W的图象有四个交点时,求k的取值范围.
2. [2024 大连三十四中模拟改编]定义:在平面直角坐标系中,若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍,则称该点为“纵三倍点”.例如(1,3),(-2,-6),( ,3 )都是“ 纵三倍点”.
(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_____;(填序号)
① y=-2 x+1;② y=;③ y=x2+x+1.
①③
(2)已知抛物线y=x2+mx+n(m,n 均为常数)与直线y=x+4只有一个交点,且该交点是“纵三倍点”,求抛物线的表达式;
(3)若抛物线y=ax2+bx+(a,b 是常数,a>0)上有且只有一个“纵三倍点”.
① 用含b 的代数式表示a;
② 若点(a,b)为“纵三倍点”,求a 的值.
③令ω=b2-2b+6a,是否存在一个常数t,使得当t≤b≤t+1时,ω的最小值恰好等于t?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
3. [2024 辽宁十四地市民间大联考二模] 给定两个函数y1,y2,若对于任意一个x 所对应的函数值y1,y2,我们用m(x)表示 y1,y2 中的较小值,即m(x)=则称m(x)为关于 y1,y2 的“二元最小值函数”.
(1)已知一次函数y1=2x-1,y2=-2x+3,请写出关于y1,y2 的“二元最小值函数”m(x),及函数m(x)随x 的增大而增大时x 的取值范围,并求出函数m(x)的最大值;
(2)已知二次函数y1=ax2-4ax+2,y2=-ax2+4ax+2,其中a>0,求出两个函数所对应的图象的交点A,B(A 在B 的左边)的坐标,及关于y1,y2 的“二元最小值函数”m(x),并写出函数m(x)随x 的增大而减小时x 的取值范围;
(3)直线AB 与(2)中关于y1,y2 的“二元最小值函数”m(x)围成的封闭图形内部有四个x,y 均为整数的点N(x,y),求a 的取值范围;
(4)若点C 为(2)中关于y1,y2的“二元最小值函数”m(x)上任意一点,与A,B构成△ABC,讨论满足S△ABC=8 a,08a 时,点C 的个数.
如解图3,作直线l,使其过点D且与x轴平行,由图象可得,当S△ABC=8a时,点C的个数为3个;当08a时,点C的个数为无数个.(共73张PPT)
微技能 二次函数图象交点问题分点精讲练(2024 真题.23,2024 省一模.23)
压轴点三 二次函数压轴题
逐点分析与典例
1
针对练习
2
逐点分析与典例
1
类型一 定抛物线与动直线的交点问题<2024 真题. 23(3)③ >
动直线平行于x 轴<2024 真题. 23 问题 抛物线开口向上,顶点纵坐标为-4,探究直线y=m 和抛物线的交点个数 图示、方法和结论 方法:
上下平移直线法
结论:
1. 当m<-4 时,无交点;
2.当m=-4 时,有①_____个交点;
3.当m②_____ 时,有两个交点
1
>-4
动直线不平行于x 轴 问题 抛物线开口向上,当直线y=x+b 与抛物线只有一个交点时,直线y=x+b 与y 轴的交点为(0,m),探究当b 取不同值时直线和抛物线的交点个数 图示、 方法 和结 论 方法:
上下平移直线法
结论:
1.当b ③_____时,无交点;
2. 当b=m 时,有1 个交点;
3. 当b>m时,有 ④_____个交点
<m

动直线过 定点 问题 将抛物线在0 ≤ x ≤ 3 的一段图象记为W,直线y=kx+b 过定点A,探究直线与图象W 的交点个数 图示、 方法 和结 论 方法:
绕定点旋转法
结论:
当b < b3 或b > b1 时,无交点;
当⑤________时,有两个交点;
当b2 < b ≤ b1 或b=b3 时,有
⑥______个交点
b3<b≤b2
1
【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示.
(1) 画出y=|ax2+bx+c| 的图象;
解:y=|ax2+bx+c| 的图象如解图所示.
【点拨】将二次函数y=ax2+bx+c图象中x轴下方的部分对称上来(关于x轴对称),即可得到y=|ax2+bx+c| 的图象.
(2) 当直线y=m 与(1)中的图象有四个交点时,m的取值范围
是________ .
0<m<3
【例2】如图, 将抛物线y=- x2+3x-4(0类型二 定抛物线与动线段的交点问题
动线段两端点在同一条直线上移动 问题 抛物线开口向上,交x轴负半轴于点A,交y轴于点B,线段MN在直线AB上移动,且长度为定值,MN> AB,点M,N,A的横坐标分别记为m,n,t,探究m,n的取值范围与线段MN和抛物线交点个数的关系 图示、 方法 和结 论 结论:1.当n0时,无交点;
2.当t≤n<0或t3.当⑧_________时,有2个交点
1
n≥0且m≤t
【例3】如图,抛物线y= -x2+2x+3与x轴交于A,B两点,点M的坐标是(m,0),将点M向右移动5个单位长度得到点N,当线段MN与抛物线有两个交点时,m的取值范围是__________.
-2≤m≤-1
【点拨】令y=-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3.∴点A(-1,0),B(3,0).∴AB=4.∵MN=5>AB,∴当线段MN与抛物线有两个交点时,需满足m≤-1,且m+5≥3.∴-2≤m≤-1.
动线段一个端点在某条直线上移动 问题 抛物线开口向下,M是直线l上一点,将点M向右平移3个单位长度得到点N,将线段MN沿直线l向下平移,分别得到M1N1,M2N2,M3N3,M4N4四个临界状态,其中N1,N3在抛物线上,M2,M4分别为抛物线与直线l的交点,点M,M1,M2,M3,M4的横坐标分别记为m,m1,m2,m3,m4.探究m的取值与线段MN和抛物线交点个数的关系 图示、 方法 和结 论 结论:1. 当⑨______________
______________时,无交点;
2. 当m1≤m≤m2或m3≤m≤ m4时,有⑩______个交点
m<m1或m2<m<
<m3或m>m4
1
【例4】如图,抛物线y= -x2+x+经过 A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点
C,连接AC,将线段AC沿x轴向右移动m个单位长度,若它与抛物线只有一个交点,则m的取值范围是________ .
2≤m≤4
∵A(-1,0),B(3,0),∴AB=OA+OB=4.∴当线段AC向右水平移动m个单位长度,与抛物线只有一个交点时,m的取值范围是2≤m≤4.
类型三
含参抛物线与定线段的交点问题<2024省一模.23(3)>
分类 a为定值 a不为定值<2024省一模.23(3)>
抛物线的变化 表现为位置的变化 表现为形状和位置的变化
寻找不变的因素(对称轴或所过定点)限定抛物线的部分图象 1. 若顶点横坐标(或对称轴)确定,抛物线顶点在对称轴上上下移动;2. 若顶点纵坐标确定,抛物线顶点左右移动 当二次项系数a与一次项系数b成倍数关系时,对称轴确定<2024省一模.23(3)>
看是否过定点:将解析式按照参数整理,令参数的系数为0,从而可求出定点坐标,如要求抛物线y=ax2+(a-1)x+2所过定点,需将解析式变形为y=a(x2+x)-x+2,令x2+x=0即可求得所过定点坐标是 _________________ (0,2)和(-1,3)
【例5】如图,已知抛物线y=-x2+4x-2和线段MN,点M和点N的坐标分别为(0,4),(5,4),将抛物线向上平移k(k>0)个单位长度后与线段MN仅有一个交点,则k的取值范围是
_________________.
6【一题多解】将抛物线向上平移k个单位长度后所得抛物线为y=-x2+4x-2+k,对称轴为直线x=2.当抛物线顶点恰好平移到线段MN上时,易得-22+4×2-2+k=4,解得k=2;当抛物线的顶点不在线段MN上且线段MN与抛物线仅有一个交点时,需同时满足:当x=0时,y>4;当x=5时,y≤4.即-2+k>4,-25+20-2+k≤4.解得6利用抛物线可变部分图象需满足的关系列不等 式(组)确定交点个数 问题 含参抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴记作直线x=t,已知点A(2,3),B(6,4),则线段AB 中点M 的横坐标为4. 现分析探究抛物线满足什么关系时与线段AB 只有一个交点 分类 讨论 t ≤ 2 2利用抛物线可变部分图象需满足的关系列不等 式(组)确定交点个数 图示
需同 时满 足的 条件 当x=2 时, y ≤ 3; 当 x = 6 时, y ≥ 4 当x=2 时, y ___3; 当x=6 时, y ___4 当x=2 时, y ___3; 当x=6 时, y ___4 当x=2 时,y ≥ 3;当x=6时,y ≤ 4




【例6】已知抛物线y=ax2-4x+2 的顶点坐标为(2,n),将抛物线y=ax2-4x+2 向下平移m(m>0)个单位长度.
(1) 平移后的抛物线在-1 ≤ x ≤ 4范围内与x 轴只有一个交点,则m 的取值范围是________;
(2) 平移后的抛物线在-12<m≤7
2≤m<7
类型四 整点问题<2024 省一模. 23 涉及>
问题情境 横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点(题目会给定义),常见设问是根据封闭区域内整点的个数确定参数的取值范围
一般做法 以定边界为基准,根据区域内整点的个数画出动边界的大概位置,再根据这个位置需要满足的限定条件列不等式(组)求解
常见情形 若抛物线的顶点坐标确定,其他不定,则画出满足条件的抛物线与x 轴(或其他边界直线)交点的位置,根据该位置需要满足的限定条件列不等式(组)求解,或利用临界点列方程求解
若抛物线与x 轴的两个交点坐标确定,则顶点横坐标确定,纵坐标不定,可上下平移顶点,画出满足条件的顶点位置,根据该位置需要满足的限定条件列不等式(组)求解,或利用临界点列方程求解
技巧 根据抛物线的对称性,区域内整点问题通常只需要考虑抛物线一侧的情况,然后利用对称性考虑另一侧即可大大简化解题过程
【例7】如图,抛物线y=mx2+2mx+m+
1(m<0)与x 轴的交点为A,B.
(1) 此抛物线的顶点坐标是_________;
【点拨】∵y=mx2+2mx+m+1=m(x+1)2+1,
∴此抛物线的顶点坐标是(-1,1).
(-1,1)
(2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点, 当抛物线在点A,B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(包括边界)恰有8 个整点, 则m 的取值范围为_____________ .
1. 如图,抛物线y=-x2+x+3与直线AB相交于A(0,3),B(3,1)两点.把拋物线y=-x2+x+3沿它的对称轴向下平移h(h>0)个单位长度,在平移过程中,该抛物线与
直线AB始终有交点,则h的最大值是( )
A. B. C.1 D.2
针对练习
2
A
2. 在平面直角坐标系中,点A和点B的坐标分别为(-4,-2)和(0,-2),若抛物线y=ax2+2ax-3(a>0)与线段AB有且只有一个交点,则a的取值范围是 ( )
A.a≥ B.0 D.0A
3. 若抛物线y=-x2+2x-4向上平移p(p为正数且不等于3)个单位后,在-2A.p>7 B.7C.p≥12 D.7≤p<12
D
4. 如图,直线AB与二次函数y1=2x2+bx+c的图象交于A(-1,0),B(1,2).将二次函数y1=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位,得到函数y2的图象,将直线AB向下平移n(n>0)个单位后与二次函数y2的图象有唯一交点,
则n的值是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
A
5. 如图,抛物线L:y=ax2-2ax+a+k(a,k均为常数且a≠0)交y轴于点C,点P(2,-3)针对练习在抛物线L上,连接CP.横,纵坐标都是整数的点叫作整点.当a<0时,若L在点C,P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有5个整点,则a的取值范围是( )
A.-6C.-6≤a<-5 D.-6C
D
6. 如图,抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于点A(2,0)和点B.点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,则点M的横坐标xM的取值范围是 ( )
A.xM=3 B.-1≤xM<2
C.1≤xM<2或xM=3 D.-1≤xM<2或xM=3
当点M在线段AB上时,线段MN与抛物线y=x2-2x只有一个公共点,此时-1≤xM<2;当线段MN经过抛物线的顶点(1,-1)时,线段MN与抛物线y=x2-2x也只有一个公共点,此时点M1的纵坐标为-1,则-1=-xM+2,解得xM=3.综上所述,点M的横坐标xM的取值范围是-1≤xM<2或xM=3.
7. [2024大连二模改编]如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+mx+2与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,点D是OC的中点,点E的坐标是(2,0),过点E作
x轴的垂线l,点D关于直线l的对称点
为D',连接DE,D'E.若D'E与抛物线
有一个公共点,则m的取值范围是
________.
8. [2024大连五区第三次联考]如图,在平面直角坐标系中,将抛物线C1:y=x2绕原点O顺时针旋转180°后得到C2,再将C2先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度得到C3.点A为C3的顶点,作直线OA.
点Q(0,m)为平面内一动点,将点Q 向上平移2 个单位长度得到点B,过点B 作y 轴的垂线交直线OA 于点C,以
BC,BQ 为边构造矩形BQDC.设C1,C2,C3 的图象为
G.当矩形BQDC 与图象G 有三个公共点时,m 的取值范围为_________________________________.
【点拨】由题意知,C2的解析式为y=-x2,C3的解析式为y=-(x-4)2+2.∴A(4,2).①当B与原点重合时,m=-2,此时矩形不存在;②如解图1,当点Q在C3与y轴的交点上时,矩形BQDC与
图象G有三个公共点,当
x=0时,y=-(x-4)2+
2=-14,即Q(0,-14);
故当m=-14时,矩形
BQDC与图象G有三个公共点;
③当m<-14时,矩形BQDC与图象G有四个公共点,不合题意;④如解图2,当-14有四个公共点;设直线
OA的函数解析式为
y=kx,
9. 已知分段函数y=
(1)在下图中画出此分段函数的图象,当直线y=m 与图象有三个公共点时,结合函数图象,请直接写出实数m 的取值范围;
解:画出该分段函数的图象如解图,由函数图象可知当此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点时,-2(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点,记(1)中的函数图象与直线y= x-1 围成的封闭区域(不含边界)为“W 区域”,请直接写出W 区域内所有整点的坐标.
10. 如图,是某位同学设计的动画,随着音乐节奏起伏变化,屏幕上就会闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为y=ax2+bx(x ≥ 0,y ≥ 0),且顶点始终在直线y=kx 上.
(1)试推断:k 与b 的数量关系;
(2)横、纵坐标都是整数的点称为整点,若抛物线的顶点恰好是整点时,抛物线就会改变颜色.那么,当k=6 时,这组抛物线中有几条会改变颜色?
11. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=ax2-2 ax-3a(a ≠ 0).
(1) 求抛物线的对称轴及抛物线与y 轴交点坐标;
(2)已知点B(3,4),将点B 向左平移3 个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.
∵y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3),∴设抛物线与x轴交于点A(-1,0),D(3,0),与y轴交于点E(0,-3a),顶点坐标是(1,-4a).
∵B(3,4),C(0,4),∴分三种情况讨论:
①当a>0时,如解图1.∵点B和点D的横坐标相等,点B的纵坐标大于点D的纵坐标,
∴此时抛物线与线段BC无公共点.
②当a<0时,若抛物线的顶点在线段BC上,如解图2,则顶点坐标为(1,4),∴-4a=4,解得a=-1.(共35张PPT)
微技能 二次函数性质分点精讲练(2024真题.23,2024省一模.23)
压轴点三 二次函数压轴题
逐点分析与典例
1
针对练习
2
逐点分析与典例
1
考向一 抛物线的形状<2024真题.23(3)③>
决定因素
1. 抛物线的形状由二次项系数a唯一确定,b和c只决定抛物线在坐标系中的位置,具体如下:a和b共同决定对称轴的位置,c决定抛物线与y轴的交点位置;
2. a的正负决定抛物线的开口方向;|a|决定抛物线的开口大小:|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大;
3.若两条抛物线的形状相同,开口方向相同,则a值相等
有用结论<2024真题.23 ③ >
如图,直线l,m,n是平行于x轴的三条直线,三条抛物线的二次项系数相等或互为相反数,M1,M2,
M3分别是三条抛物线的顶点,M1到直
线l的距离为d1,M2到直线m的距离为
d2,M3到直线n的距离为d3 .
1.若d1=d2=d3,则AB=CD=EF;
2.若AB=CD=EF,则d1=d2=d3,且直线l和直线m 之间的距离等于点M1和M2的高度差
【例1】如图,直线y=m交抛物线y=x2+2x-3于A,B两点,直线y=n交抛物线y=-x2+9x-14于E,F两点,当AB=EF时,m+n的值是_________ .
考向二 抛物线的对称性<2024真题.23(3)②>
问题情境如图,抛物线交x轴于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线l交抛物线于点C(x3,
y3),D(x4,y4)两点,抛物线的对称轴为直线x=m.
【例2】如图,抛物线y=ax2+ bx+c与x轴相交于点A,B(m+2,
0),与y轴相交于点C,点D在该抛物线上,点D的坐标为(m,
c),则点A的横坐标是 _________.
-2
结论
1. 点A与点B关于抛物线的对称轴对称,点C与点D关于抛物线的对称轴对称,且x1+x2=x3+x4=2m.
2.若A(-1,0),B(3,0),则m= ①_______ ;
3.若m=1,D(2,1.5),则点C的坐标是② _______________
1
(0,1.5)
考向三 二次函数的增减性和最值<2024 省一模. 23(4)>
无区间限定 二次函数在顶点处取最值
限定区间[ 以 y=ax2+bx+c (a>0)在区间m≤ x≤ n为例] 若n < - ,则y 随x 的增大而减小,当x=③_____时,y取得最大值,当x=④_____时,y取得最小值;
若m > - ,则y 随x 的增大而增大,当x= ⑤______时,y取得最小值,当x= ⑥______时,y取得最大值.
m
n
m
n
无区间限定 二次函数在顶点处取最值
限定区间[ 以 y=ax2+bx+c (a>0)在区间m≤ x≤ n为例] 若m ≤ - ≤ n,则当x= ⑦______ 时,y 取得最小值;最大值分两种情况:
1. 若(- )-m > n-(- ),则当x=⑧_______时,y 取得最大值;
2. 若(- )-m < n-(- ),则当x=⑨_______时,y 取得最大值.
m
n
【例3】当0 ≤ x ≤ 3 时,二次函数y=x2+2ax 的最大值是M,最小值是m, 若M-m=4, 求a的值.
1. 二次函数y=mx2+3mx-2 m2+4(其中x 是自变量且m ≠ 0),当x ≥ 1 时,y 随x 的增大而增大,且-3 ≤ x ≤ 2 时,y 的最大值是-8,则m 的值为 ( )
A.-1 B.-6
C.-1 或6 D.6
针对练习
2
D
2. 如图,抛物线y=a1x2与抛物线y=a2x2+bx相交于点P(-1,m),过点P 作x 轴的平行线,与两条抛物线分别交于点M,N,若点M是PN 的中点,则的值是( )
A. B.2
C. D.3
D
3. 在平面直角坐标系xOy 中,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,设抛物线的对称轴为直线x=t.
(1) 若对于x1=3,x2=4,有y1=y2,求t 的值;
(2) 若对于24. 已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数).
(1)若a>0,当x<时,此二次函数y随着x的增大而减小,求m的取值范围.
(2)若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3,求a的值.
5. 已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).
(1)求b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(h,k),当b的值变化时,求k关于h的函数解析式;
(3) 当-5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.
6. 已知二次函数y=x2+bx-3(b为常数).
(1) 该函数图象与x轴交于A,B两点,若点A的坐标为(3,0),
① b的值是______,点B的坐标是______ ;
-2
② 当0(2)对于一切实数x,若函数值y>t总成立,求t的取值范围(用含b的式子表示);
(3)当m画出草图如解图2,若直线y=m位于抛物线顶点的上方或过抛物线的顶点,
当m<y<n时,x的取值范围为关于抛物线对称轴对称的两段,∵x的取值范围是1<x<2,∴直线y=m位于抛物线顶点的下方.(共41张PPT)
题型二 多解题
压轴点一 填空压轴题
题型解读
1
典例解构
2
突破训练
3
题型解读
1
常见类型 分析或示例
1. 点的位置不确定 【例 1】 如图,线段 AB=6.
( 1)点 P 是射线 AB 上的点,若 BP=2,则 AP=_______ ;
( 2)点 Q 是 AB 的三等分点,则 AQ=________ ;
2. 相似三角形对应关系不确定 【例 2】 如图,在 Rt △ ABC 中,
∠ C=90°, AC=6, BC=8, D 是
AB 的中点,点 E 在线段 BC 上,
若△ ABC 与△ BDE相似,则 BE=_______
4或8
2或4
3. 等腰三角形的底边不确定 问题: 已知点 A, B 和直线l,在 l 上求点 P,使△ PAB为等腰三角形 找点: 分别以点 A, B 为圆心,以线段 AB 长为半径作圆,再作 AB的垂直平分线,两圆和垂直平分线与 l 的交点即为所求 P 点(点P 不与点 A, B 共线) 分类讨论:
(1) AB=BP;(2) AP=BP;(3) AP=AB;注:在坐标系中,通常表示出 A, B, P 三点的坐标,利用平方相等列方程求解,如 AB2=BP2
4. 直角三角形的直角顶点不确定 问题: 已知点 A, B 和直线l,在 l 上求点 P,使△ PAB为直角三角形 找点: 分别过点 A, B 作 AB 的垂线,再以线段 AB 为直径作圆,两垂线和圆与 l 的交点即为所求 P 点 分类讨论:(1)∠ ABP= 90°,则 AB2+BP2=AP2;( 2) ∠ APB=90 °, 则AP2+BP2=AB2;( 3) ∠ BAP=90 °, 则AB2+AP2=BP2
5. 特殊四边形边或对角线不确定 三定一动 问题: 已知平面上不共线三个点 A, B, C,求一点 P,使得以 A, B, C, P 四 个 点 为顶点的四边形是平行四边形 找点: 构造已知边的对边,平行且相等于已知边,确定第四个顶点 平行四边形顶点坐标计算方法:
1. 平移法:将 B 移动到点C 与将 A 移动到点 D 的平移方式相同;
两定两动 问题: 已知平面上两个点 A, B,求两点P, Q,使得以 A, B, P, Q 四个点为顶点的 四 边 形 是 平 行 四边形(题目中 P, Q的位置有具体限制) 找点: 分两种情况讨论:①若 AB为平行四边形的边,将 AB 上下左右平移,确定 P, Q 的位置; ②若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 的中点,旋转经过中点的直线确定 P,Q 的位置 2.中心对称法(中点坐标公式):
【解题锦囊】 在二次函数与矩形( 或菱形) 的存在性问题中, 矩形( 或菱形) 问题可将其按照对角线分割为两个直角三角形(或等腰三角形), 先按照直角三角形(或等腰三角形)的存在性求解, 然后再利用平行四边形顶点坐标的计算方法求第四个顶点的坐标
例 [2024 辽宁样卷第 15 题 3 分 ] 如图,
在△ ABC 中, AB=BC,∠ ABC=90°, AC=3,以 AC 为边作正方形 ACDE(点 A, C, D, E 按逆时针方向排列), BC 和 ED 的延长线相交于点 F,点 P 从点 B 出发沿 BF 向点 F 运动,到达点 F 时停止,点 Q 在线段 CD 上运动,且始终满足 DQ= CP,连接 EP, PQ, QE,当△ EPQ 的面积为 5 时, CP 的长是_________________.
典例解构
2
设问拆分 要点提炼
(1) 求证: △ CDF 是等腰直角三角形; 图形抽离
(2) 连接 CE, 求∠ ECF 的度数和 CE, CF 的长; 图形抽离
(3) 过点 Q 作 QM ⊥ CF 于 M. 设 DQ=x, 用含 x 的式子表 示 CP, CQ 和 QM 的长; 知识必备
在 Rt △ CQM 中,
QM=CQ· sin ∠ QCM
设问拆分答案如下:
(1)证明:∵四边形ACDE为正方形,∴∠ACD=∠CDE=90°,∴∠CDF=180°-∠CDE=90°,
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴△ABC为等腰直角三角形.∴∠ACB=45°.∴∠DCF=180°-∠ACB-∠ACD=45°,∴△CDF为等腰直角三角形;
(4) 当△ EPQ 的面积为 5 时 . ①若点 P 在线段 BC 上 . a. 用含 x 的式子表示 PF 的长和△ PEF、 △ PCQ、 △ EDQ 的面积; b. 求 CP 的长; 知识必备
利用和差法求面积:
① S △ EPQ=S △ PEF-S △ EDQ-S △ PCQ-S △ CDF
②若点 P 在线段 CF 上, 且点 Q 在 EP 的右侧. 连接 FQ. a. 用含 x 的式子表示 PF 的长 和△ PEF、 △ EQF 、 △ PQF 的面积; b. 求 CP 的长; ③若点 P 在线段 CF 上, 且点 Q 在 EP 的左侧 . 过 Q 作 QN ⊥ EC 于 N. a. 用含 x 的式子表示 PF 的长和△ PEF、 △ PCQ、 △ ECQ 的面积; b. 求 CP 的长; ② S △ EPQ=S △ PEF-S △ EQF-S △ PQF
③ S △ EPQ=S △ ECF-S △ ECQ-S △ PCQ-S △ EPF
(5) 结合①②和③, 当△ EPQ 的面积为 5 时, 直接写出 CP 的长 .
1. 如图,有一正方形 ABCD,边长为 2 ,点E 是边 CD 的中点,对角线 BD 上有一动点F,当顶点为 A, B, F 的三角形与顶点为 D, E,F 的三角形相似时, BF 的长为________ .
突破训练
3
2. [2024 阜新二模 ] 如图,在 Rt △ ABC 中,∠ ACB=90 °,∠ BAC=60 °, AC=4,点 O 为 AB 的中点,点 P 在 射 线 OC 上,连 接 AP, BP,当△ ABP 为等腰三角形时,线段 OP 的长为________________________.
3. [2024 沈 阳 和 平 区 东 北 育 才 学 校 调 研 ] 在Rt △ ABC 中,∠ C=90 °, AC=6,点 D 为边 BC 上一点,将△ ACD 沿直线 AD 翻 折得到△ AED,点 C 的对应点为点 E,连 接BE,如果△ BDE 是以 BD 为直角边的等腰直角三角形,那么 BC 的长等于___________ .
点拨:
4. 如 图,将 矩 形 纸 片 ABCD 折 叠,折 痕 为MN,点 M, N 分别在边 AD, BC 上,点 C,D 的对应点分别为 E, F.且点 F 在矩形内部,MF 的延长线交边 BC 于点 G, EF 交边 BC于点 H. EN=1, AB=4,当点 H 为 GN 的三等分点时, MD 的长为 __________.
点拨:
5. [2024 丹东东港市二模 ] 如图,矩形 ABCD 中,AC, BD 为 对 角 线, AD=6, AB=4,点 E为 边 BC 的 中点,动 点 F 从 点 B 出 发,沿B → A → D 的方向在边 BA, AD 上以每秒 1个单位的速度运动,设运动时间为 t 秒,将矩形沿 EF 折叠,点 B 的对应点为 B',当点 B'落在矩形对角线上时(不与矩形顶点重合),t 的值为 _______.
点拨:
6. [2024 沈 阳 二 模 ] 如 图,在 菱 形 ABCD 中,AB= +1, ∠ ABC=60 °,点 P1 为 直 线BC 上方一点,且∠ P1BC=15°,分别作点 P1关于直线 AB 和直线 AD 的对称点 P 2, P 3,连接 P 2P 3,当 P 2P 3 与菱形 ABCD 的边平行时,△ P1P 2P 3 的面积为______________ .
点拨:分两种情况:①如解图1,当P2P3∥AB时,∵AB∥CD,∴P2P3∥AB∥CD,设P1P2与AB交于
点E,P1P3交AD于点F,则有P2P3∥AE,连接EF,
由对称性可知,AB垂直平分P1P2,AD垂直平分P1P3,∴EF为△P1P2P3的中位线,∴EF∥P2P3,∴点F在直线AB上,又∵点F在直线AD上,∴F与点A重合,∵∠EBP1=∠ABC-∠P1BC=45°,∴△BEP1为等腰直角三角形,设BE=x,则EP1=BE=x,(共34张PPT)
题型三 二次函数与几何图形结合
压轴点一 填空压轴题
典例解构
1
突破训练
2
例 [2024 辽宁省一模第 15 题 3 分 ] 如图,抛物线 y=- x2+ x+3 与 x 轴相交于A, B 两点.点 C 的坐标为( , 0),点 P 在抛物线上,将线段 PC 绕点P 顺时针旋转 90°得到
线段 PD,当点 D 落在 y 轴正半轴上时,
点 D 的坐标为 ___________.
典例解构
1
设问拆分 要点提炼
过点 P 作 PM ⊥ x 轴于点 M, PN ⊥ y 轴于点 N, (1) 求证 PM=PN; (2) 求点 P 的坐标; (3) 求点 D 的坐标 . 模型抽离(对角互补模型)
条件:∠ DOC=90°,
∠ DPC=90°, DP=CP
辅助线作法:构造双垂直
结论:△ PCM ≌△ PDN
【温馨提示】 本题为等邻对角互补模型,若 DP ≠ CP,则
△ PCM ∽△ PDN.
设问拆分答案如下:
(1)证明:由旋转可知PC=PD,∠CPD=90°.
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°,
∴四边形PNOM是矩形.∴∠MPN=90°,
∵∠CPD=90°,∴∠CPD-∠CPN=∠MPN-∠CPN,
即∠NPD=∠MPC.
又∵CP=PD,∠PND=∠PMC=90°,
∴△PND≌△PMC(AAS),∴PN=PM;
1. [2024 沈阳一二六中学三模 ] 如图,已知抛物线y=x2-2 x,等边△ ABC 的边长为 2 ,顶点 A 在抛物线上滑动,且 BC 边始终平行水平方向,当△ ABC 在滑动过程中,点 B 落在 y 轴上时, C 点的坐标是 _________.
突破训练
2
2. 将抛物线 y=ax 2(a ≠ 0) 向左平移 1 个单位,再向上平移 4 个单位后,得到如图所示的抛物 线 H: y=a(x-h) 2+k.抛 物 线 H 与 x 轴交于点 A, B(1, 0), 与 y 轴交于点 C.
点 M是抛物线 H 的对称轴 l 上的一个动点, 若以
点 A, M, C 为顶点的三角形是直角三角形,
则点 M 的坐标是
________________________________________________ .
3. [2024 盘锦一中二模 ] 如图,将一个含 45°角的直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系的第一象限,使 直角顶点 A 的坐标为(1, 0),点 C 在 y 轴上,过点 A, C 作抛物线 y=2x 2+bx+c,且点 A 为抛物线的顶点 . 要使这条抛物线经过点 B,那么抛物线要沿对称轴向下平移__________个单位.
7
∴OC=2.∵∠CAB=∠AMB=90°,∴∠CAO+∠BAM=
∠ABM+∠BAM=90°.∴∠CAO=∠ABM.又∵∠COA=
∠AMB=90°,AC=AB,∴△CAO≌△ABM(AAS).∴AM=
CO=2,BM=OA=1.∴OM=OA+AM=3.∴B(3,1).
∵y=2x2-4x+2=2(x-1)2,设抛物线向下平移n个单位后过点B,∴抛物线y=2(x-1)2-n过点B,∴ 8-n=1,解得n=7.
∴抛物线要沿对称轴向下平移7个单位.
4. [2024 葫芦岛兴城市二模 ] 如图,抛物线 y=-x 2+2x+3 与 x 轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是第一象限的抛物线上的一个动点,过点 D 作 DE ∥ AB,与第二象限的抛物线交于点 E,点 C 和点 F 关于直线 DE 对称,当CF=DE 时,点 D 的横坐标为_________ .
点拨:
5. 如图, 二次函数 y=- x2- x+2 的图象与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C.点 Q 是直线 AC 上方的抛物线上一动点,过点 Q 作 QE 垂直于 x 轴,垂足为 E. 若以点 B, Q, E 为顶点的三角形与△ AOC 相似,则点 Q 的坐标是 __________________.
点拨:
6. [2024大连瓦房店市模拟]如图,抛物线 y=- x2+ x+4 与 x 轴交于A,B 两点,与 y轴交于点 C,连接 AC,点 N 在 y 轴负半轴上,点 A 绕点N 顺时针旋转,恰好落在第四象限的抛物线上点 M 处,且∠ ANM+ ∠ ACM=180°,则点 M 的坐标是 _________.
点拨:
由旋转可知AN=MN.如解图,过点N作NE⊥CA交CA的延长线于点E,过点N作NF⊥CM于点F,则∠CEN=∠NFC=90°,∴∠CEN+∠NFC=180°,∴∠ENF+∠ACM=180°.
∵∠ANM+∠ACM=180°,∴∠ANM=∠ENF,∴∠ANE=∠MNF.
又∵∠AEN=∠MFN=90°,AN=MN,
∴△AEN≌△MFN,∴NE=NF,
∴∠ACO=∠MCO.
7. 如 图,二 次 函 数 y=ax 2+ x+c 的 图 象 与x 轴交于点 A(-4, 0) 、点 B,交 y 轴于点 C (0, -2).点 D 是第三象限内抛物线上一点,连接 AD, BD, AC,且 AC 与 BD 交于点 E.设 △ ADE 的面 积 为 S1,△ ABE 的面 积 为S 2, 则 的最大值是 ___________.
点拨:
8. [2024 阜新太平区二模 ] 如图,抛物线 y=-x 2+2x+3 交 x 轴于 A, B 两点, A 点在 B 点右侧,交 y 轴于点 C,若点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 PQ ⊥ x 轴交直线 AC 于 Q 点,点E 为 y 轴上一点,则以 P, Q, E, C 为顶点的四边形是菱形时,点 E 的坐标为____________________________ .
点拨:令y=-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3. ∴B(-1,0),A(3,0).当x=0时,
y=-x2+2x+3=3.∴C(0,3).∴OA=OC=3.∴∠OAC=∠OCA=45°.由A(3,0),C(0,3)可得直线AC的解析式是y=-x+3,设P(m,-m2+2m+3),则Q(m,-m+3).①如解图1,当CQ为菱形的对角线时,CE=EQ=PQ,∴∠EQC=∠OCA=45°.∴∠CEQ=90°.(共18张PPT)
题型四 最值问题及其他
压轴点一 填空压轴题
最值问题解读
1
突破训练
2
最值主要用到的知识点有:
1. 若动点的轨迹为直线或射线或线段,则最值问题一般最终都会归结为垂线段最短(相关知识链接: P105 微技能 利用垂线段最短及对称求最值)或两点之间线段最短(相关知识链接: P10 6微技能 利用两点之间线段最短及对称求最值);
2. 若动点的轨迹为圆或弧,则最值问题一般最终都会归结为点圆最值或线圆最值(相关知识链接:P84 微技能 与圆有关的最值及构造问题);
3. 判断动点轨迹相关知识链接: P87 微技能 主从联动(瓜豆原理)模型 .
最值问题解读
1
1. [2024 营口一模改编 ] 如图,在矩形 ABCD 中,AB=8, BC=10.点 E 在 边 AD 上,且 DE=8, M, N 分别是 边 AB, BC 的中点, P 是 线段 CE 上的动点,连接 PM, PN.则 PM+PN的最小值是___________ .
突破训练
2
考向一 最值问题
【点拨】如解图.∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠BCD=90°,CD=AB=8.∵DE=8,∴CD=DE.∴∠DCE=45°.∴∠BCE=45°=∠DCE.作点N关于CE的对称点N′,则点N′在CD上,连接PN′,MN′,则PN=PN′.∴PM+PN=PM+PN′≥MN′,此时PM+PN的最小值是线段MN′的长度.
2. [2024 丹东二模 ] 如图,在边长为 6 的正方形ABCD 中,点 E, F 分 别是 BC, CD 上 的两个动点(不与端点重合), AE, BF 交于点 O,若 线 段 AE 与 BF 始 终 保 持 垂 直,点 M 是线 段 CD 上 的 动点,则 BM+OM 的 最小 值为 _____________.
【点拨】如解图,延长BC到B′,使B′C=BC,连接B′M.∵四边形ABCD是正方形,∴CD⊥BC.∴B′M=BM.∴B′M+OM=BM+OM.∵AE⊥BF,∴∠AOB=90°.∴点O在以AB为直径的半圆上(半圆在正方形ABCD内)运动(不包括端点),取AB边的中点为G,连接GB′,交半圆G于点O′,交CD于点M′,
3. [2024 葫芦岛连山区二模 ] 如图,在 Rt △ ABC中,∠ BAC=90 °, AB=AC=4, D 是 AC 延长线上的一点, CD=2. M 是边 BC 上的一点 (点 M 与点 B, C 不重合),以 CD, CM 为邻边作 CMND.连接 AN 并取 AN 的中点 P,连接 PM,则 PM 的最小值是 _________.
点拨:
如解图,过点B作BN′∥CD交DN的延长线于点N′,连接AN′,过点P作BC的平行线交AN′于点P′,交AD于点P″,过点P″作P″G⊥BC于G,∵四边形CMND是平行四边形,∴CM∥DN,∴点N在线段N′D上运动(不与点N′,D重合),点P在线段P′P″上运动(不与点P′,P″重合),∴当PM⊥BC时,PM取得最小值,最小值等于P″G的长,
4. [2024 大连七十六中一模改编 ] 如图,在边长为2 的正方形 ABCD 中,点 E 在正方形内部且∠ CED=90°.连接 BE,以 BE, DE 为边构造 BEDF,连接 CF,则△ CDF 的最小面积是_________ .
最值问题 几何画板动态演示
1
点拨:
如解图1,连接AF和BD,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∠ABD=∠CDB=45°,∵四边形BFDE是平行四边形,∴BF∥DE,BF=DE,∴∠FBD=∠EDB,∴∠ABD-∠FBD=∠CDB-∠EDB,即∠ABF=∠CDE,∴△ABF≌△CDE,∴∠AFB=∠CED=90°,∴点F在以AB为直径的半圆上(半圆在正方形ABCD内)运动(不包括端点),设AB的中点,即圆心为O,如解图2,过点O作OH′⊥CD于点H′,交弧AB于点F′,
5. [2024 本溪二模 ] 小明要网购一个七巧板墙上置物架,如图是他在上网时看到的实物图和示意图,并获得如下信息:正方形 ABCD 的边长为 60 cm(边框厚度忽略不计),在图 3中,若点 E 是 MN 的中点,则点 F 到 PM 的距离是 __________.
考向二 其他问题
点拨:(共14张PPT)
题型一 尺规作图
压轴点一 填空压轴题
突破训练
1
1.如图,在 等 腰 △ ABC 中, AB=AC.以 点 C为圆心,以 BC 长为半径画弧,交 AB 于点 E,连接 CE;以点 C 为圆心,以任意长为半径画弧,分别交 CB, CE 于点 G, F,再分别以点G, F 为圆心,以大于 GF 的长为半径画弧,
两弧在△ ABC 内部交于点 H,作射线 CH,交
AB 于点 D.若∠ A= α,则∠ BCD 的 度数为
________.
突破训练
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2. 如 图,已知 △ ABC 中, AB=AC,小明用直尺和圆规按下列步骤完成作图:①在 AB 和AC 上分别截取 AD, AE,使 AD=AE,再分别以点 D, E 为圆心,以大于 DE 的长为半 径 作弧,两 弧在 ∠ BAC 内交于点 F,作射线 AF 交 BC 于点 G;②以点 B 为圆心,以 BC 的长为半径作弧,交 AC 于点 H,
再分 别 以 点 C, H 为 圆 心,以 大 于 CH 的长为 半 径作弧,两 弧 相 交于点 M,作射 线BM 交 AC 于点 N;若 AB=2 , BC=4,则BN=________ .
3. 如图,在△ ABC 中,∠ ACB=90°.小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图:①分别以点 A, B 为圆心,以大于 AB 长为半径画弧,两弧交于点 M, N,过点 M, N 作直线与AB 交于点 D;②连接 CD,以点 D 为圆心,以一定长为半径画弧,交 DM 于点 E,交 CD于点 F,以点 C 为圆心,以同样定长为半径画弧,与 CD 交于点 G,以点 G 为圆心,
以EF 长为半径画弧与前弧交于点 H.作射线CH 与 AB 交 于 点 K,若 CD=5, AK=2, 则CK 的长是_________ .
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4. 如图, 在Rt△ ABC中,∠ C=90°, = ,按下列步骤作图:①分别以点 A, B 为圆心、大于 AB 的长为半径作弧,两弧交于点 M,N;②作直线 MN 交 AB 于点 D,交 AC 于点E,连接 BE;③以点 D 为圆心, AD 的长为半 径 作弧,交 直 线 MN 于点 F,连 接 AF,BF.
若 AF=5 ,则 CE 的长为_______ .
5. 如图,已知∠ AOB,以点 O 为圆心,适当长为半径作圆弧,与角的两边分别交于 C, D 两点,分别以点 C, D 为圆心,大于 CD 长为半径作圆弧,两条圆弧在∠ AOB 内交于点 E,作射线 OE.以点 C 为圆心, CO 长为半径作圆弧,恰好经过点 D,与射线 OE 交于点 F,连接CF, DF.
若 OF=4 ,则四边形 CODF 的面积
为 _________.
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