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(共36张PPT)
题型二 旋转问题（2024 真题.22）
压轴点二 几何压轴题
典例解构
1
突破训练
2
典例解构
1
例[2024 辽宁真题第22 题12 分] 如图，在△ ABC 中，∠ ABC=9 0°，∠ ACB= α（0°< α <45°）．将线段CA 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CD，过点D 作DE ⊥ BC，垂足为E．
原题设问
(1)如图1，求证：△ ABC ≌△ CED.
设问拆分
(1)a. 求证：∠ A= ∠ DCE；
证明：∵线段CA绕点C顺时针旋转90°
得到线段CD，
∴∠ACD＝90°.∴∠ACB＋∠DCE＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠DCE；
b. 求证：△ ABC ≌△ CED；
证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，
∴∠ABC＝∠CED＝90°.
由旋转的性质，得AC＝CD，
由a得∠A＝∠DCE，∴△ABC≌△CED(AAS)；
要点提炼
模型
异侧一线三垂直模型(全等)
条件：∠ ACD=90°，
AB ⊥ BC，DE ⊥ BC，
AC=DC
结论：△ ABC ≌△ CED
原题设问
(2)如图2， ∠ ACD 的平分线与AB 的延长线相交于点F，连接DF，DF 的延长线与CB 的延长线相交于点P，猜想PC 与PD的数量关系，并加以证明.
设问拆分
(2)a. 求证：△ ACF ≌△ DCF；
证明：∵CF是∠ACD的平分线，
∴∠ACF＝∠DCF.
∵CF＝CF，AC＝DC，∴△ACF≌△DCF(SAS)；
b. 猜想PC 与PD 的数量关系，并加以证明.
解：PC＝PD.
证明：∵△ACF≌△DCF，∴∠A＝∠CDF，
由(1)a得∠A＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDF.
∴PC＝PD；
要点提炼
模型抽离
对称型全等模型
知识必备
证明两条线段相等的常用方法：
1. 若两条线段在同一个三角形中，常利用等角证等腰，其中证等角时常需要借助第三个角度，如本题中的∠ A；
2. 若两条线段不在同一个三角形中，常利用三角形全等证明
原题设问
(3)如图3，在(2)的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF.① 求证：点F是PD的中点；
设问拆分
(3)①a. 求证：BF∥DE；
证明：∵DE⊥BC，AF⊥PE，∴BF∥DE；
b. 求证：点F是PD的中点；
证明：由折叠的性质得PB＝EB，
∵BF∥DE，∴PF＝DF，即点F是PD的中点；
要点提炼
图形抽离
知识必备
1. 折叠的性质：对应线段 相等；
2. 垂直于同一条直线的两条直线平行；
3.平行线分线段成比例定理
原题设问
②若CD=20，求△CEF的面积．
设问拆分
②设CE=m，DE=n.
a. 用含m，n的式子表示BE和PC；
解：∵△ABC≌△CED，∴BC＝DE＝n，∴BE＝BC－CE＝n－m.∵BE＝BP，
∴PC＝CE＋2BE＝m＋2(n－m)＝2n－m；
b. 用含m，n的式子表示AF和PD；(要求：利用AF表示PD，结论不能与PC所表达的式子相同);
c. 利用PC和PD之间的关系求m和n之间的关系；
d.求m和n的值；
解：∵PC＝PD，∴2n－m＝2m＋n.∴n＝3m.
e.求△CEF的面积．
要点提炼
图形抽离
结论：①AB=CE，BC=ED；
②BE=BC-CE =ED-CE，PC=CE+2BE；
③BF=DE；
④△ACF≌△DCF；
⑤AF=DF=PD
1. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在线段AD 上，点F 在线段CD 上，且始终满足AE=CF，连接BE，BF，将线段BE 绕点E 逆时针旋转一定角度，得到线段EG(点G 是点B 旋转后的对应点)，并使点G 落在
线段BC 上，EG 与
BF 交于点H．
突破训练
2
(1) 判断线段EG 与BF 的数量关系和位置关系，并说明理由；
解：EG＝BF，EG⊥BF；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝CB，
∵AE＝CF，∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF.
由旋转的性质，得BE＝EG，∴EG＝BF，∠EBG＝∠EGB.
∵∠ABE＋∠EBG＝∠ABC＝90°，
∴∠CBF＋∠EGB＝90°，∴∠BHG＝90°，即EG⊥BF.
(2)如图2，再将线段EG 绕点E 逆时针旋转90 °，得到线段EM(点M 是点G 旋转后的对应点)，连接FM，请判断四边形BEMF 的形状，并说明理由；
解：四边形BEMF为菱形，理由如下：
由旋转得EG＝EM，∠GEM＝90°，∴EM⊥EG.
又∵EG⊥BF，∴EM∥BF.∵EG＝EM，EG＝BF，
∴EM＝BF.∴四边形BEMF是平行四边形．
又∵BE＝BF，∴四边形BEMF是菱形；
(3)如图3，若点G 落在BC 的延长线上，且当点H 恰好为EG 的中点时，设CD 与EG 交于点N，AD=3，求线段FN 的长．
2. [2024 葫芦岛连山区二模] 如图1，在Rt △ ABC中，∠ BAC=9 0°，∠ ABC=3 0°，AC=2，将Rt △ ABC 绕点A 顺时针旋转α(0°< α <18 0°)，点B，C 的对应点分别为点B'，C'，连接BB'，CC'．
证明：由题意知，∠ACB＝90°－∠ABC＝60°，
由旋转的性质可知，AB＝AB′，AC＝AC′，
∠C′＝∠ACB＝60°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∠BAB′＝∠CAC′，∴△ACC′是等边三角形，∴∠CAC′＝60°，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，∴∠BB′C＝∠AB′B＋∠AB′C′＝90°.
(1) 如图2，当B'C' 恰好经过点C 时，求证：∠ BB'C=90°；
(2) 如图3，当BB' 恰好经过点C 时，求BC'的长；
解：∵∠BAC＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4，∠ACB＝60°.
由旋转的性质可知，AB＝AB′，AC＝AC′，
B′C′＝BC＝4，∠CAC′＝∠BAB′，
∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′B＝∠ABC＝30°，
(3)在图2 的基础上，将△ ACC' 沿直线B'A的方向平移，点A，C，C' 的对应点分别为D，E，F．连接BC'，BE，EC'，若△ BC'E是以BE 为底的等腰三角形．
① 当点D 在B'A 的延长线上时，如图4，求线段AD 的长；
② 当点D 在射线AB' 上时，请直接写出线段AD 的长.(共46张PPT)
题型三　阅读理解(含新定义)
压轴点二 几何压轴题
典例解构
1
突破训练
2
典例解构
1
例 [2024辽宁样卷第23题12分]
原题设问
【问题初探】(1) 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足为B，且BC>AB．求证：BC=AD+BD．
①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系. 请借助小鹏的解题思路，写出证明过程.
设问拆分
(1)①a. 求证：∠AED=2∠C；
证明：∵BE＝BD，AB⊥CD，∴AB是线段DE的垂直平分线，∴AE＝AD，∴∠D＝∠AED.
∵∠D＝2∠C，∴∠AED＝2∠C；
b. 求证：BC=AD+BD.
证明：∵∠AED＝2∠C，∠AED＝∠C＋∠CAE，
∴∠C＝∠CAE，∴CE＝AE.∵AE＝AD，
∴CE＝AD，∴BC＝CE＋BE＝AD＋BD；
要点提炼
知识必备
条件：AB⊥DE，BE= BD
结论：AE=AD(垂直平分线的性质)
原题设问
② 如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与AC，CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．请借助小亮的解题思路，写出证明过程.
设问拆分
②a. 求证：∠D=∠AED；
证明：∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∴∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C，又∵∠D＝2∠C，∴∠D＝∠AED；
b. 求证：BC=AD+BD.
b．证明：∵∠D＝∠AED，∴AE＝AD，∵AE＝CE，
∴CE＝AD.∵AE＝AD，AB⊥CD，∴BE＝BD，
∴BC＝CE＋BE＝AD＋BD；
要点提炼
知识必备
条件：AE=AD，AB⊥ DE
结论： BE=BD，∠BAE= ∠BAD(等腰三角形“三线合一”)
原题设问
【类比分析】(2) 李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答.
如图4，在Rt △ ABC 中，∠ ABC=90°，
过点A 作AD ∥ BC( 点D 与点C 在AB
同侧)，若∠ ADB=2 ∠ C．求证：BC=AD+BD．
设问拆分
(2)过点A作AE∥DB交CB的 延长线于点E，在BC上截取BF=BE，连接AF，如图，
a. 求证：∠ E=2∠C.
证明：∵AE∥DB，AD∥BC，∴四边形AEBD是平行四边形，∴∠ADB＝∠E，∵∠ADB＝2∠C，∴∠E＝2∠C；
b. 求证：BC=AD+BD．
证明：∵四边形AEBD是平行四边形，∴AE＝BD，AD＝BE，由(1)①可得BC＝BE＋AE，∴BC＝AD＋BD.
要点提炼
构造模型
通过作平行四边形ADBE，将∠D转化为∠E，从而构造出(1)中的模型
原题设问
【学以致用】
(3)如图5，在四边形ABCD 中，AD=，CD= ，sin D=，∠ BCD= ∠ BAD，∠ ABC=3 ∠ ADC，求四边形ABCD 的面积．
(3)延长AB 交DC 的延长线于点E，作AH ⊥ DE 于点H，作BF ⊥ DE 于点F，如图，
设问拆分
a. 求证： ∠ ABC=2 ∠ E+∠ D；
证明：∵∠BCD＝∠BAD，∠BCD＋∠BCE＝180°，∠BAD＋∠E＋∠D＝180°，∴∠BCE＝∠E＋∠D.∵∠ABC＝∠E＋∠BCE，∴∠ABC＝∠E＋∠E＋∠D＝2∠E＋∠D；
b. 求证：EF=BC+CF；
证明：∵∠ABC＝3∠ADC，∠ABC＝2∠E＋∠D，
∴3∠D＝2∠E＋∠D，∴∠D＝∠E，∴∠BCE＝∠E＋∠D＝2∠E.∵BF⊥DE，∴由(1)可得EF＝BC＋CF；
c. 求DE 和CE 的长；
d. 设EF=x，用含x 的代数式分别表示出CF，BC 和BF 的长并求x 的值；
e. 求四边形ABCD 的面积．构造模型
要点提炼
构造模型
通过延长AB 和DC使其交于点E， 作BF ⊥ DE 于点F， 利用角度关系证得∠ BCE=2 ∠ E，即可构造出(1)中的模型
知识必备
利用同一未知数表示出直角三角形的三条边长，利用勾股定理列方程求解.
1. [2024营口二模]我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'，当α+β=180°时，我们
称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，
△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的
“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
突破训练
2
特例感知：
(1)如图2，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为__________；
猜想论证：
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；
证明：如解图1，延长AD到M，使得DM＝AD，连接B′M，C′M，
∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M＝AC，B′M∥AC′.∴∠B′AC′＋∠AB′M＝180°.
又∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A.
拓展应用：
(3)如图3，四边形ABCD中，∠C=105°，∠D=120°，BC=8，CD=4，DA=4，在四边形内部是否存在点P，使△PCD是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
2. [2024 沈阳二模]【问题初探】
(1)在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图1，在△ ABC 中，AB=BC，∠ ABC=9 0°，点D是边BC 上一点，连接AD，在AB 右侧作△ ADE，使DE=AD，∠ ADE=90°，连接CE，求证：∠ DCE=135°；
①小创同学从△ ABC 与△ ADE 均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明△ ABD ∽△ ACE，将∠ DCE 转化为∠ ABD+ ∠ ACB；
②小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图2，在线段AB 上截取BP=BD，连接DP，通过证明△ APD ≌△ DCE，将∠ DCE 转化为∠ APD；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
(2)张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图1 进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图3，在△ ABC 中，AB=BC，点D 是边BC
上一点，连接AD，在AB 右侧作△ ADE，使
DE=AD，∠ ADE= ∠ ABC=α(α>9 0 °)，连
接CE，过点C 作CF ∥ AB 交AE于点F，探
究∠ECF 与α 的数量关系；
(3)如图4，在(2)的条件下，当α=120°时，若AB=BC=3 ，CF=2 ，求CD 的长.(共39张PPT)
题型一　折叠问题
压轴点二　几何压轴题
典例解构
1
突破训练
2
例 [2024 辽宁省一模第22 题 12分 ] 如图，在矩形 ABCD 中， AB=2， BC=2 ，点 E 为射线 BA 上一点(点 E 不与点 B 重合)，将△ BCE 沿 EC 折叠，得到△ FCE，点 P 为线段 FC 上一点，再将△ EFP 沿 EP 折叠，得到△ EGP， PG 的延长线与边 BC 相交于点 Q．
典例解构
1
原题设问 设问拆分 要点提炼
（1） 如图1， 连接EQ， 求证： QB=QG. （图 1） （1） a. 求证： BE=GE， ∠ EGP=90°； b. 求证： QB=QG. 知识必备
将 △ ABC 沿 AC 折 叠 后 得 到△ ADC.
结论： △ ABC ≌△ ADC.
“原题设问”答案略，“设问拆分”答案如下：
(1)证明：a.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，
由折叠知EG＝EF＝EB，∠EGP＝∠F＝∠B＝90°，
b．∵∠EGP＝90°，∴∠EGQ＝180°－∠EGP＝90°，
在Rt△EBQ和Rt△EGQ中，∵EQ＝EQ，EG＝EB，
∴Rt△EBQ≌Rt△EGQ(HL)，∴QB＝QG；
（2） 如图 2， 当点 E 与点 A 重合时，若 点 G 落 在 边 AD 上， 连 接BF， EC 与 BF 相交于点 M， 与PQ 相交于点 N， 求 MN 的长． （图 2） （2） a. 求∠ ACB的度数和CM的长； b. 求 CQ 的长； c. 求 MN 的长 . 知识必备
1.将△ ABC 沿 AC 折叠后得到△ ADC，连接 BD.
结论： AC 垂直平分 BD.
2.已知 AB， BC 的长，求 CM的长 .
两种常用思路：
(1) 利用锐角三角函数 :cosC= = ；
(2) 利用△ CBM ∽△ CAB
（3） 若点 G 落在边 AD 上， 且 BQ=322 ， CE 所在直线与 AD 所在直线相交于点 H．①如图 3， 当点 E 在线段 BA 延长线上时， 求 HG 的长； （3） ①过点 G 作 GR ⊥ BC 于点 R." a.求 QG， QR 和 AG 的长；b. 设 AE=x， 用含 x 的式子表示 EG， 并求 x 的值； c. 求 AH 和 HG 的长 . 模型抽离
条件： AH ∥ BC
结论：△ EAH ∽△ EBC
②当点 E 在线段 AB 上时， 请直接写出 HG 的长． ②过点G作GR⊥BC， 垂足为R， a. 求 QG， QR 和 AG 的长；b. 设 AE=x， 用含 x 的式子表示 EG， 并求 x 的值；c. 求 AH 和 HG 的长 . 模型抽离
条件： AH ∥ BC
结论：△ EAH ∽△ EBC知识必备
利用同一未知数表示出直角三角形的三条边长，利用勾股定理列方程 .
1. 【原创题】 在 菱 形 ABCD 中， AB=8，∠ BAD=120°， E， F 分别是边 AB， BC 上的点，沿直线 EF 折叠△ BEF，点 B 的对应点为 B'，连接 AC， BD，相交于点 O.
(1) 如 图 1，当 点 B' 与点 O 重合时，求证：△ BEO ≌△ BFO；
突破训练
2
证明：由折叠的性质得，∠EOB＝∠EBO，∠FOB＝∠FBO，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠EBO＝∠FBO，
∴∠EOB＝∠FOB.
又∵BO＝BO，∴△BEO≌△BFO(ASA)；
(2) 如图 2，当点 B' 落在 AC 上，且 B'C=3AB'时，求 CF 的长；
解：如解图1，过点F作FH⊥AC于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB ＝BC＝8，AD∥BC，
又∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝180°－∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝8.
∵B′C＝3AB′，∴CB′＝6.
(3)如图 3，若点 B' 落在 AD 上 .
①当 B'E ⊥ AC 时，求 四 边 形 B'FCD 的面积；
②当 B' 为 AD 的 中点 时，求 cos ∠ BFE的值 .
2. [2023 沈阳改编 ] 如图 1，在 ABCD 纸片中，AB=10， AD=6，∠ DAB=60°，点 E 为 BC边 上 的 一点(点 E 不 与点 C 重合)，连 接AE，将 ABCD 纸片沿 AE 所在直线折叠，点 C， D 的对应点分别为 C'， D'，射线 C'E与射线 AD 交于点 F．
(1)求证： AF=EF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠FAE＋∠AEC＝180°，
由折叠的性质可知，∠AEC′＝∠AEC，
∴∠FAE＋∠AEC′＝180°，
∵∠AEF＋∠AEC′＝180°，∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF；
(2) 如图 2，当 EF⊥ AF 时，求 DF 的长；
(3)如图 3，当 CE=2 时．
①求 AE 的长；
②求△ AEF 的面积 .
3. [2024 盘锦市兴隆台区二模 ] 实践操作：在矩形纸片 ABCD 中， AB=4， AD=3，现将纸片折叠，点 D 的对应点记为点 P，折痕为 EF(点 E，F 为折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原 .
初步思考：
(1) 若点 P 落在矩形 ABCD 的边 AB 上(如图 1)．当点 P 与点 A 重合时，∠ DEF= ______，当点 E 与点 A 重合时，∠ DEF= ___________；
90°
45°
点拨：
深入探究：
(2) 当点 E 在 AB 上，点 F 在 DC 上时(如图 2)，
①求证：四边形 DEPF 为菱形；
证明：由折叠的性质，得DE＝PE，
DF＝PF，EF⊥DP，∴∠FDP＝∠FPD.
∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠FDP＝∠EPD.∴∠FPD＝∠EPD.∵EF⊥DP，∴根据等角的余角相等可得∠PEF＝∠PFE.∴PE＝PF.
∴DE＝PE＝PF＝DF. ∴ 四边形DEPF为菱形；
②当 AP= 72 时，直接写出四边形 EPFD 的边长．
拓展延伸：
(3) 若点 F 与点 C 重合，点 E 在 AD 上，射线 BA 与射线 FP 交于点 M(如图 3)．在折叠过程中，是否存在使得线段 AM 与线段 DE 的长度相等的情况？若存在，请求出线段 AE 的长度；若不存在，请说明理由 .
解：存在，分两种情况讨论：
①如解图3，当点M在线段AB上时， 连接 EM，
由折叠和矩形的性质得∠EPM＝∠EDC＝90°，DE＝PE，CP＝CD＝AB＝4，∵AM＝DE，∴ AM＝EP.
又∵EM＝ME，∠A＝90°，
∴Rt△EAM≌Rt△MPE(HL)．∴MP＝AE.
设 AE＝x, 则 AM＝DE＝3－x, 则 BM＝AB－AM＝4－(3－x)＝x＋1，∵ MP＝EA＝x，CP＝4，∴ MC＝4－x，(共77张PPT)
题型一 新定义问题
压轴点三 二次函数压轴题
典例解构
1
突破训练
2
例1 [2024辽宁真题第23题13分]已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m，n)，称点B(m，mn)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
典例解构
1
例如：函数y1＝2x，当y2＝xy1＝x·2x＝2x2时，则函数y2＝2x2是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A(m， 2m)，点B(m，2m2)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”y2＝2x2的图象上．
原题设问
(1)求函数y1＝x的“升幂函数”y2的函数表达式．
要点提炼
定义理解
给原函数乘x即可得其“升幂函数”.
原题设问
(2)如图，点A在函数y1＝(x>0)的图象上，
点A“关于y1的升幂 点”B在点A上方，
当AB＝2时，求点A的坐标．
设问拆分
(2)a. 求函数y1的“升幂函数”y2的函数表达式；
b. 求点A的纵坐标；
c. 求点A的坐标.
∵y2＝3，∴点B的纵坐标是3.
∵点B在点A的上方，AB＝2，∴点A的纵坐标是3－2＝1.
要点提炼
思维引导
给函数y1＝乘x即可得到其“升幂函数”,结合AB＝2可得点A的纵坐标，再利用y1的函数表达式求出点A的横坐标.
原题设问
(3)点A在函数y1＝－x＋4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．①若点B与点A重合，求m的值；
设问拆分
(3)①a. 求函数y1的“升幂函数”y2的函数表达式；
b. 用含m的式子表示出点A和点B的坐标；
c. 求m的值.
解：y2＝xy1＝x(－x＋4)＝－x2＋4x.
∵点A的横坐标为m，∴A(m，－m＋4)，B(m，－m2＋4m).
∵点B与点A重合，∴－m＋4＝－m2＋4m.
整理，得m2－5m＋4＝0.解得m＝1或m＝4.
要点提炼
知识必备
平面直角坐标系中两个点重合，则这两个点的横、纵坐标分别相等.
原题设问
② 若点B 在点A 的上方，过点B 作x 轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC 为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
设问拆分
② a. 画出函数y1 和y2 图象的草图，判断线段AB 与y 轴的位置关系，并结合图象判断，当点B 在点A的上方时，求m 的取值范围；
解：画出函数y1和y2图象的草图如解图1，
∵点A(m，－m＋4)，B(m，－m2＋4m)，
∴AB∥y轴．
易知两个函数图象的交点横坐标分别是1和4. 由图象可以判断，当点B在点A的上方时，m的取值范围是1＜m＜4；
b. 当点C 在点B 的右侧时，画出草图，求m 的取值范围，并求y 关于m 的函数表达式；
解：当点C在点B的右侧时，画出草图如解图2，此时1＜m＜2.
易知B，C两点关于直线x＝2对称．
∴由抛物线的对称性可知BC＝2(2－m)＝4－2m.
∵点B在点A的上方，
∴AB＝(－m2＋4m)－(－m＋4)＝－m2＋5m－4.
∴y＝2(AB＋BC)＝2(－m2＋5m－4＋4－2m)＝－2m2＋6m.
∴当1＜m＜2时，y＝－2m2＋6m.
c. 当点C 在点B 的左侧时，画出草图，求m 的取值范围，并求y 关于m 的函数表达式；
解：当点C在点B的左侧时，画出草图如解图3，此时2同理可得AB＝(－m2＋4m)－(－m＋4)＝－m2＋
5m－4，BC＝2(m－2)＝2m－4.
∴y＝2(AB＋BC)＝2(－m2＋5m－4＋2m－4)＝
－2m2＋14m－16.
∴当2＜m＜4时，y＝－2m2＋14m－16.
d. 根据b 和c, 求y 关于m 的函数表达式.
要点提炼
知识必备
1. 平行于x 轴的直线与抛物线相交，则两个交点关于抛物线的对称轴对称，能根据对称轴和其中一点的坐标求另一点的坐标；
2. 平面直角坐标系内两个点B(b，m)，C(c，n). 由BC∥x 轴可得到m＝n.
① 若点C 在点B 的右侧，则BC＝c－b；
② 若点C 在点B 的左侧，则BC＝b－c.
原题设问
③ 在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y 的图象的交点有2 个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2－t1的值．
设问拆分
③ a. 画出②中y 关于m 的函数图象的草图；
解：画出草图如解图4.
b. 直线y＝t2不过抛物线y＝－2m2＋6m的顶点时，求t2－t1的值；
解：画出草图如解图5，
∵抛物线y＝－2m2＋6m和抛物线y＝
－2m2＋14m－16的二次项系数相同，
∴两条抛物线的开口大小相同．
∵EF∥MN，且EF＝MN，∴EF和MN
之间的距离等于两个顶点之间的竖直高度．
c. 直线y＝t2过抛物线y＝－2m2＋6m的顶点时，求t2－t1的值；
d. 根据b 和c, 直接写出t2－t1的值.
要点提炼
知识必备
1. 二次函数图象的开口方向和大小只由二次项系数决定.
2. 如图，抛物线y1 和y2 的二次项系数相同，
直线l∥x轴交y1于点A，B，直线n∥x轴
交y2于点C，D. 若AB＝CD， 则直线l和
n之间的距离等于两个顶点的高度差.
例2 [2024辽宁省一模23题13分]在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n(n为正整数)，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点M(x，y)在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．
若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．
例如：如图1，当n＝2时，某函数的图象C1经过点(0，1)和(2，2)，则该函数是正方形OABC的“LS函数”．
“原题设问”答案略
原题设问
(1)当n＝1时，若一次函数y＝kx＋t是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是_________(写出一个即可)；
设问拆分
(1)a. 求点A，B，C的坐标；
b. 一次函数的表达式是_________________(写出一个即可).
解：如解图，当n＝1时，A(1，0)，
B(1，1)，C(0，1)．
y＝x(答案不唯一)
点拨：当一次函数y＝kx＋t的图象过点O(0，0)，B(1，1)时，其表达式为y＝x，如解图，可知直线y＝x与正方形OABC只有两个交点，
∴一次函数y＝x是正方形OABC的“LS函数”．
要点提炼
知识必备
用待定系数法求一次函数的表达式.
原题设问
(2)如图2，当n＝3时，函数y＝(x>0)的图象经过点D(1，3)，与边AB相交于点E，判断该函数是不是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由；
设问拆分
(2)a. 求m的值和点E的坐标；
b. 判断该函数是不是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由.
要点提炼
知识必备
用待定系数法求反比例函数的表达式.
原题设问
(3)当n＝4 时，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点B，若该函数是正方形OABC 的“LS 函数”，求a的取值范围；
设问拆分
(3)a. 用含a 的代数式表示二次函数图象的顶点坐标；
解：当n＝4时，点B的坐标为(4，4)，
把点B(4，4)的坐标代入y＝ax2＋bx＋4中，得4＝16a＋4b＋4，∴b＝－4a.∴y＝ax2－4ax＋4.
∴该函数图象的顶点坐标为(2，－4a＋4)．
b. 当该二次函数图象开口向上时，求a 的取值范围；
解：当n＝4时，点C的坐标为(0，4)．在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0，得y＝4，
∴点C(0，4)在二次函数 y＝ax2＋bx＋4的图象上．
∵二次函数 y＝ax2＋bx＋4 是正方形OABC的“LS函数”，其图象经过点B，C，且开口向上，
∴a>0，且抛物线顶点在x轴上方，∴－4a＋4>0，解得a<1.∴a的取值范围是0＜a＜1.
c. 当该二次函数图象开口向下时，求a 的取值范围；
d. 由b 和c 直接写出a 的取值范围.
a的取值范围为0＜a＜1或a<0.
要点提炼
知识必备
当二次函数的图象开口向上时，若要保证二次函数图象与线段OA 无交点，需使顶点纵坐标大于0.
原题设问
(4)在(3)的条件下，点P(a－1，y1)，Q(a＋3，y2)是二次函数y＝ax2＋bx＋4 图象上的两点， 若点P，Q 之间的图象(包括点 P，Q)的最高点与最低点纵坐标的差为10a2，求a 的值．
设问拆分
(4)a. 若抛物线开口向上，求a 的值；
解：由(3)知，该函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－4a＋4)，当抛物线开口向上时，
0∴点P，Q之间的图象(包括点P，Q)的最高点是点P，最低点是顶点，
∴a(a－1)2－4a(a－1)＋4－(－4a＋4)＝10a2，
b. 若抛物线开口向下且点Q 位于抛物线对称轴上或对称轴右侧时，求a 的值；
解：由(3)知，该函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－4a＋4)．当抛物线的开口向下时，a＜0.
当点Q位于抛物线对称轴上或在对称轴右侧时，a＋3≥2，
∴－1≤a＜0. ∴－2≤a－1＜－1，2≤a＋3＜3.
∴点P，Q之间的图象(包括点P，Q)的最高点是顶点，最低点是点P.∴(－4a＋4)－[a(a－1)2－4a(a－1)＋4]＝10a2，
整理，得a(a2＋4a＋9)＝0.∵－1≤a<0，∴a2＋4a＋9＝0，此方程无实数根，∴a的值不存在．
c. 若抛物线开口向下且点Q 位于抛物线对称轴的左侧时，求a 的值；
解：由(3)知，该函数图象的对称轴是直线x＝2，当抛物线的开口向下时，a＜0.
当点Q位于抛物线对称轴的左侧时，
a＋3<2，∴a<－1，a－1∴点P，Q之间的图象(包括点P，Q)的最高点是点Q，最低点是点P.
∴[a(a＋3)2－4a(a＋3)＋4]－[a(a－1)2－4a(a－1)＋4]＝10a2，
整理，得a(a＋4)＝0.∵a<－1，∴a＋4＝0，解得a＝－4.
∴a的值是－4.
d. 结合a，b 和c，直接写出a的值.
要点提炼
知识必备
1. 若抛物线开口向上，离对称轴越近的点， 纵坐标越小；
2. 若抛物线开口向下，离对称轴越近的点， 纵坐标越大；
3. 若抛物线的对称轴为直线x＝2，点M 的坐标是(m,n), 则点M 与对称轴的距离为|m－2|.
1. 已知y1是自变量x的函数，当y2＝kxy1(k≠0)时，称函数y2为函数y1的“k倍升值函数”.在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m，n)，称点B(m，kmn)为点A“关于y1的k倍升值点”，点B 在函数y1的“k倍升值函数”y2的图象上.
突破训练
2
例如：函数y1＝2x，当k＝1时，y2＝xy1＝x·2x＝2x2，则函数y2＝2x2是函数y1＝2x的“1倍升值函数”. 在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A(m,2m)，当k＝1时，点B(m,2m2)为点A“关于y1的1倍升值点”，点B在函数y1＝2x的“1倍升值函数”y2＝2x2的图象上.
(1)当k＝时，求函数y1＝x的“k倍升值函数”y2的函数表 达式；
(2)如图1，点A在函数y1＝(x＞0)的图象上，点A“关于y1的－1倍升值点”为点B，当AB＝6时，求点A的坐标.
(3)点A在函数y1＝－x＋4的图象上，点A“关于y1的2倍升值点”为点B，设点A的横坐标为m.
①若点B与点A重合，求m的值；
② 将点A和点B之间的距离记为W，求W与m的函数表达式；
③ 在②的条件下，当一次函数y＝km＋8(k≠0)与函数W的图象有四个交点时，求k的取值范围.
2. [2024 大连三十四中模拟改编]定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如(1，3)，(－2，－6)，( ，3 )都是“ 纵三倍点”．
(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_____；(填序号)
① y＝－2 x＋1；② y＝；③ y＝x2＋x＋1．
①③
(2)已知抛物线y＝x2＋mx＋n(m，n 均为常数)与直线y＝x＋4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的表达式；
(3)若抛物线y＝ax2＋bx＋(a，b 是常数，a>0)上有且只有一个“纵三倍点”.
① 用含b 的代数式表示a；
② 若点(a,b)为“纵三倍点”，求a 的值.
③令ω＝b2－2b＋6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t＋1时，ω的最小值恰好等于t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
3. [2024 辽宁十四地市民间大联考二模] 给定两个函数y1，y2，若对于任意一个x 所对应的函数值y1，y2，我们用m(x)表示 y1，y2 中的较小值，即m(x)＝则称m(x)为关于 y1，y2 的“二元最小值函数”．
(1)已知一次函数y1＝2x－1，y2＝－2x＋3，请写出关于y1，y2 的“二元最小值函数”m(x)，及函数m(x)随x 的增大而增大时x 的取值范围，并求出函数m(x)的最大值；
(2)已知二次函数y1＝ax2－4ax＋2，y2＝－ax2＋4ax＋2，其中a>0，求出两个函数所对应的图象的交点A，B(A 在B 的左边)的坐标，及关于y1，y2 的“二元最小值函数”m(x)，并写出函数m(x)随x 的增大而减小时x 的取值范围；
(3)直线AB 与(2)中关于y1，y2 的“二元最小值函数”m(x)围成的封闭图形内部有四个x，y 均为整数的点N(x，y)，求a 的取值范围；
(4)若点C 为(2)中关于y1，y2的“二元最小值函数”m(x)上任意一点，与A，B构成△ABC，讨论满足S△ABC＝8 a，08a 时，点C 的个数．
如解图3，作直线l，使其过点D且与x轴平行，由图象可得，当S△ABC＝8a时，点C的个数为3个；当08a时，点C的个数为无数个．(共73张PPT)
微技能　二次函数图象交点问题分点精讲练(2024 真题.23，2024 省一模.23)
压轴点三 二次函数压轴题
逐点分析与典例
1
针对练习
2
逐点分析与典例
1
类型一 定抛物线与动直线的交点问题<2024 真题. 23(3)③ >
动直线平行于x 轴<2024 真题. 23 问题 抛物线开口向上，顶点纵坐标为-4，探究直线y=m 和抛物线的交点个数 图示、方法和结论 方法：
上下平移直线法
结论：
1. 当m<-4 时，无交点；
2.当m=-4 时，有①_____个交点；
3.当m②_____ 时，有两个交点
1
＞－4
动直线不平行于x 轴 问题 抛物线开口向上，当直线y=x+b 与抛物线只有一个交点时，直线y=x+b 与y 轴的交点为(0，m)，探究当b 取不同值时直线和抛物线的交点个数 图示、 方法 和结 论 方法：
上下平移直线法
结论：
1.当b ③_____时，无交点；
2. 当b=m 时，有1 个交点；
3. 当b>m时，有 ④_____个交点
＜m
两
动直线过 定点 问题 将抛物线在0 ≤ x ≤ 3 的一段图象记为W，直线y=kx+b 过定点A，探究直线与图象W 的交点个数 图示、 方法 和结 论 方法：
绕定点旋转法
结论：
当b ＜ b3 或b ＞ b1 时，无交点；
当⑤________时，有两个交点；
当b2 ＜ b ≤ b1 或b=b3 时，有
⑥______个交点
b3＜b≤b2
1
【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示.
(1) 画出y=|ax2+bx+c| 的图象；
解：y＝|ax2＋bx＋c| 的图象如解图所示．
【点拨】将二次函数y＝ax2＋bx＋c图象中x轴下方的部分对称上来(关于x轴对称)，即可得到y＝|ax2＋bx＋c| 的图象．
(2) 当直线y=m 与(1)中的图象有四个交点时，m的取值范围
是________ .
0＜m＜3
【例2】如图， 将抛物线y=- x2+3x-4(0类型二 定抛物线与动线段的交点问题
动线段两端点在同一条直线上移动 问题 抛物线开口向上，交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，线段MN在直线AB上移动，且长度为定值，MN＞ AB，点M，N，A的横坐标分别记为m，n，t，探究m，n的取值范围与线段MN和抛物线交点个数的关系 图示、 方法 和结 论 结论：1.当n0时，无交点；
2.当t≤n<0或t3.当⑧_________时，有2个交点
1
n≥0且m≤t
【例3】如图，抛物线y= -x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点M的坐标是(m，0)，将点M向右移动5个单位长度得到点N，当线段MN与抛物线有两个交点时，m的取值范围是__________．
－2≤m≤－1
【点拨】令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴点A(－1，0)，B(3，0)．∴AB＝4.∵MN＝5＞AB，∴当线段MN与抛物线有两个交点时，需满足m≤－1，且m＋5≥3.∴－2≤m≤－1.
动线段一个端点在某条直线上移动 问题 抛物线开口向下，M是直线l上一点，将点M向右平移3个单位长度得到点N，将线段MN沿直线l向下平移，分别得到M1N1，M2N2，M3N3，M4N4四个临界状态，其中N1，N3在抛物线上，M2，M4分别为抛物线与直线l的交点，点M，M1，M2，M3，M4的横坐标分别记为m，m1，m2，m3，m4.探究m的取值与线段MN和抛物线交点个数的关系 图示、 方法 和结 论 结论：1. 当⑨______________
______________时，无交点；
2. 当m1≤m≤m2或m3≤m≤ m4时，有⑩______个交点
m＜m1或m2＜m＜
＜m3或m＞m4
1
【例4】如图，抛物线y= -x2+x+经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点
C，连接AC，将线段AC沿x轴向右移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，则m的取值范围是________ ．
2≤m≤4
∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝OA＋OB＝4.∴当线段AC向右水平移动m个单位长度，与抛物线只有一个交点时，m的取值范围是2≤m≤4.
类型三
含参抛物线与定线段的交点问题<2024省一模.23(3)>
分类 a为定值 a不为定值<2024省一模.23(3)>
抛物线的变化 表现为位置的变化 表现为形状和位置的变化
寻找不变的因素(对称轴或所过定点)限定抛物线的部分图象 1. 若顶点横坐标(或对称轴)确定，抛物线顶点在对称轴上上下移动；2. 若顶点纵坐标确定，抛物线顶点左右移动 当二次项系数a与一次项系数b成倍数关系时，对称轴确定<2024省一模.23(3)>
看是否过定点：将解析式按照参数整理，令参数的系数为0，从而可求出定点坐标，如要求抛物线y=ax2+(a-1)x+2所过定点，需将解析式变形为y=a(x2+x)-x+2，令x2+x=0即可求得所过定点坐标是 _________________ (0，2)和(－1，3)
【例5】如图，已知抛物线y=-x2+4x-2和线段MN，点M和点N的坐标分别为(0，4)，(5，4)，将抛物线向上平移k(k>0)个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是
_________________．
6【一题多解】将抛物线向上平移k个单位长度后所得抛物线为y＝－x2＋4x－2＋k，对称轴为直线x＝2.当抛物线顶点恰好平移到线段MN上时，易得－22＋4×2－2＋k＝4，解得k＝2；当抛物线的顶点不在线段MN上且线段MN与抛物线仅有一个交点时，需同时满足：当x＝0时，y＞4；当x＝5时，y≤4.即－2＋k＞4，－25＋20－2＋k≤4.解得6利用抛物线可变部分图象需满足的关系列不等 式(组)确定交点个数 问题 含参抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴记作直线x=t，已知点A(2，3)，B(6，4)，则线段AB 中点M 的横坐标为4. 现分析探究抛物线满足什么关系时与线段AB 只有一个交点 分类 讨论 t ≤ 2 2利用抛物线可变部分图象需满足的关系列不等 式(组)确定交点个数 图示
需同 时满 足的 条件 当x=2 时， y ≤ 3； 当 x = 6 时， y ≥ 4 当x=2 时， y ___3； 当x=6 时， y ___4 当x=2 时， y ___3； 当x=6 时， y ___4 当x=2 时，y ≥ 3；当x=6时，y ≤ 4
＜
≥
≥
＜
【例6】已知抛物线y=ax2-4x+2 的顶点坐标为(2，n)，将抛物线y=ax2-4x+2 向下平移m(m>0)个单位长度.
(1) 平移后的抛物线在-1 ≤ x ≤ 4范围内与x 轴只有一个交点，则m 的取值范围是________；
(2) 平移后的抛物线在-12＜m≤7
2≤m<7
类型四 整点问题<2024 省一模. 23 涉及>
问题情境 横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点(题目会给定义)，常见设问是根据封闭区域内整点的个数确定参数的取值范围
一般做法 以定边界为基准，根据区域内整点的个数画出动边界的大概位置，再根据这个位置需要满足的限定条件列不等式(组)求解
常见情形 若抛物线的顶点坐标确定，其他不定，则画出满足条件的抛物线与x 轴(或其他边界直线)交点的位置，根据该位置需要满足的限定条件列不等式(组)求解，或利用临界点列方程求解
若抛物线与x 轴的两个交点坐标确定，则顶点横坐标确定，纵坐标不定，可上下平移顶点，画出满足条件的顶点位置，根据该位置需要满足的限定条件列不等式(组)求解，或利用临界点列方程求解
技巧 根据抛物线的对称性，区域内整点问题通常只需要考虑抛物线一侧的情况，然后利用对称性考虑另一侧即可大大简化解题过程
【例7】如图，抛物线y=mx2+2mx+m+
1(m<0)与x 轴的交点为A，B．
(1) 此抛物线的顶点坐标是_________；
【点拨】∵y＝mx2＋2mx＋m＋1＝m(x＋1)2＋1，
∴此抛物线的顶点坐标是(－1，1)．
(－1，1)
(2)若横、纵坐标都是整数的点叫做整点， 当抛物线在点A，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(包括边界)恰有8 个整点， 则m 的取值范围为_____________ ．
1. 如图，抛物线y=-x2+x+3与直线AB相交于A(0，3)，B(3，1)两点．把拋物线y=-x2+x+3沿它的对称轴向下平移h(h>0)个单位长度，在平移过程中，该抛物线与
直线AB始终有交点，则h的最大值是( )
A. B. C.1 D.2
针对练习
2
A
2. 在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为(-4，-2)和(0，-2)，若抛物线y=ax2+2ax-3(a>0)与线段AB有且只有一个交点，则a的取值范围是 ( )
A.a≥ B.0 D.0A
3. 若抛物线y=-x2+2x-4向上平移p(p为正数且不等于3)个单位后，在-2A.p>7 B.7C.p≥12 D.7≤p<12
D
4. 如图，直线AB与二次函数y1=2x2+bx+c的图象交于A(-1，0)，B(1，2)．将二次函数y1=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，得到函数y2的图象，将直线AB向下平移n(n>0)个单位后与二次函数y2的图象有唯一交点，
则n的值是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
A
5. 如图，抛物线L：y=ax2-2ax+a+k(a，k均为常数且a≠0)交y轴于点C，点P(2，-3)针对练习在抛物线L上，连接CP.横，纵坐标都是整数的点叫作整点.当a<0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有5个整点，则a的取值范围是( )
A.-6C.-6≤a<-5 D.-6C
D
6. 如图，抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于点A(2，0)和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标xM的取值范围是 ( )
A.xM=3 B.-1≤xM<2
C.1≤xM<2或xM=3 D.-1≤xM<2或xM=3
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线y＝x2－2x只有一个公共点，此时－1≤xM<2；当线段MN经过抛物线的顶点(1，－1)时，线段MN与抛物线y＝x2－2x也只有一个公共点，此时点M1的纵坐标为－1，则－1＝－xM＋2，解得xM＝3.综上所述，点M的横坐标xM的取值范围是－1≤xM<2或xM＝3.
7. [2024大连二模改编]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+mx+2与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D是OC的中点，点E的坐标是(2,0)，过点E作
x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点
为D'，连接DE，D'E．若D'E与抛物线
有一个公共点，则m的取值范围是
________．
8. [2024大连五区第三次联考]如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y=x2绕原点O顺时针旋转180°后得到C2，再将C2先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到C3．点A为C3的顶点，作直线OA．
点Q(0，m)为平面内一动点，将点Q 向上平移2 个单位长度得到点B，过点B 作y 轴的垂线交直线OA 于点C，以
BC，BQ 为边构造矩形BQDC．设C1，C2，C3 的图象为
G．当矩形BQDC 与图象G 有三个公共点时，m 的取值范围为_________________________________．
【点拨】由题意知，C2的解析式为y＝－x2，C3的解析式为y＝－(x－4)2＋2.∴A(4，2)．①当B与原点重合时，m＝－2，此时矩形不存在；②如解图1，当点Q在C3与y轴的交点上时，矩形BQDC与
图象G有三个公共点，当
x＝0时，y＝－(x－4)2＋
2＝－14，即Q(0，－14)；
故当m＝－14时，矩形
BQDC与图象G有三个公共点；
③当m<－14时，矩形BQDC与图象G有四个公共点，不合题意；④如解图2，当－14有四个公共点；设直线
OA的函数解析式为
y＝kx，
9. 已知分段函数y=
(1)在下图中画出此分段函数的图象，当直线y=m 与图象有三个公共点时，结合函数图象，请直接写出实数m 的取值范围；
解：画出该分段函数的图象如解图，由函数图象可知当此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点时，－2(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点，记(1)中的函数图象与直线y= x-1 围成的封闭区域(不含边界)为“W 区域”，请直接写出W 区域内所有整点的坐标．
10. 如图，是某位同学设计的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线．抛物线的统一形式为y=ax2+bx(x ≥ 0，y ≥ 0)，且顶点始终在直线y=kx 上．
(1)试推断：k 与b 的数量关系；
(2)横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色．那么，当k=6 时，这组抛物线中有几条会改变颜色？
11. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2-2 ax-3a(a ≠ 0)．
(1) 求抛物线的对称轴及抛物线与y 轴交点坐标；
(2)已知点B(3，4)，将点B 向左平移3 个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x2－2x－3)＝a(x＋1)(x－3)，∴设抛物线与x轴交于点A(－1，0)，D(3，0)，与y轴交于点E(0，－3a)，顶点坐标是(1，－4a)．
∵B(3，4)，C(0，4)，∴分三种情况讨论：
①当a＞0时，如解图1.∵点B和点D的横坐标相等，点B的纵坐标大于点D的纵坐标，
∴此时抛物线与线段BC无公共点．
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段BC上，如解图2，则顶点坐标为(1，4)，∴－4a＝4，解得a＝－1.(共35张PPT)
微技能 二次函数性质分点精讲练(2024真题.23，2024省一模.23)
压轴点三 二次函数压轴题
逐点分析与典例
1
针对练习
2
逐点分析与典例
1
考向一 抛物线的形状<2024真题.23(3)③>
决定因素
1. 抛物线的形状由二次项系数a唯一确定，b和c只决定抛物线在坐标系中的位置，具体如下：a和b共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点位置；
2. a的正负决定抛物线的开口方向；|a|决定抛物线的开口大小：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大；
3.若两条抛物线的形状相同，开口方向相同，则a值相等
有用结论<2024真题.23 ③ >
如图，直线l，m，n是平行于x轴的三条直线，三条抛物线的二次项系数相等或互为相反数，M1，M2，
M3分别是三条抛物线的顶点，M1到直
线l的距离为d1，M2到直线m的距离为
d2，M3到直线n的距离为d3 .
1.若d1=d2=d3，则AB=CD=EF；
2.若AB=CD=EF，则d1=d2=d3，且直线l和直线m 之间的距离等于点M1和M2的高度差
【例1】如图，直线y=m交抛物线y=x2+2x-3于A，B两点，直线y=n交抛物线y=-x2+9x-14于E，F两点，当AB=EF时，m+n的值是_________ .
考向二 抛物线的对称性<2024真题.23(3)②>
问题情境如图，抛物线交x轴于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线l交抛物线于点C(x3，
y3)，D(x4，y4)两点，抛物线的对称轴为直线x=m.
【例2】如图，抛物线y=ax2+ bx+c与x轴相交于点A，B(m+2，
0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，点D的坐标为(m，
c)，则点A的横坐标是 _________.
－2
结论
1. 点A与点B关于抛物线的对称轴对称，点C与点D关于抛物线的对称轴对称，且x1+x2=x3+x4=2m.
2.若A(-1，0)，B(3，0)，则m= ①_______ ；
3.若m=1，D(2，1.5)，则点C的坐标是② _______________
1
(0，1.5)
考向三 二次函数的增减性和最值<2024 省一模. 23(4)>
无区间限定 二次函数在顶点处取最值
限定区间[ 以 y=ax2+bx+c (a＞0)在区间m≤ x≤ n为例] 若n ＜ - ，则y 随x 的增大而减小，当x=③_____时，y取得最大值，当x=④_____时，y取得最小值；
若m ＞ - ，则y 随x 的增大而增大，当x= ⑤______时，y取得最小值，当x= ⑥______时，y取得最大值.
m
n
m
n
无区间限定 二次函数在顶点处取最值
限定区间[ 以 y=ax2+bx+c (a＞0)在区间m≤ x≤ n为例] 若m ≤ - ≤ n，则当x= ⑦______ 时，y 取得最小值；最大值分两种情况：
1. 若(- )-m ＞ n-(- )，则当x=⑧_______时，y 取得最大值；
2. 若(- )-m ＜ n-(- )，则当x=⑨_______时，y 取得最大值.
m
n
【例3】当0 ≤ x ≤ 3 时，二次函数y=x2+2ax 的最大值是M，最小值是m， 若M-m=4， 求a的值.
1. 二次函数y=mx2+3mx-2 m2+4(其中x 是自变量且m ≠ 0)，当x ≥ 1 时，y 随x 的增大而增大，且-3 ≤ x ≤ 2 时，y 的最大值是-8，则m 的值为 ( )
A．-1 B．-6
C．-1 或6 D．6
针对练习
2
D
2. 如图，抛物线y=a1x2与抛物线y=a2x2+bx相交于点P(-1，m)，过点P 作x 轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是PN 的中点，则的值是( )
A. B.2
C. D.3
D
3. 在平面直角坐标系xOy 中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x=t．
(1) 若对于x1=3，x2=4，有y1=y2，求t 的值；
(2) 若对于24. 已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数).
(1)若a>0，当x<时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
(2)若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
5. 已知函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(-2，4)．
(1)求b，c满足的关系式；
(2)设该函数图象的顶点坐标是(h，k)，当b的值变化时，求k关于h的函数解析式；
(3) 当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
6. 已知二次函数y=x2+bx-3(b为常数)．
(1) 该函数图象与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(3，0)，
① b的值是______，点B的坐标是______ ；
－2
② 当0(2)对于一切实数x，若函数值y>t总成立，求t的取值范围(用含b的式子表示)；
(3)当m画出草图如解图2，若直线y＝m位于抛物线顶点的上方或过抛物线的顶点，
当m＜y＜n时，x的取值范围为关于抛物线对称轴对称的两段，∵x的取值范围是1＜x＜2，∴直线y＝m位于抛物线顶点的下方．(共41张PPT)
题型二　多解题
压轴点一　填空压轴题
题型解读
1
典例解构
2
突破训练
3
题型解读
1
常见类型 分析或示例
1. 点的位置不确定 【例 1】 如图，线段 AB=6.
（ 1）点 P 是射线 AB 上的点，若 BP=2，则 AP=_______ ；
（ 2）点 Q 是 AB 的三等分点，则 AQ=________ ；
2. 相似三角形对应关系不确定 【例 2】 如图，在 Rt △ ABC 中，
∠ C=90°， AC=6， BC=8， D 是
AB 的中点，点 E 在线段 BC 上，
若△ ABC 与△ BDE相似，则 BE=_______
4或8
2或4
3. 等腰三角形的底边不确定 问题： 已知点 A， B 和直线l，在 l 上求点 P，使△ PAB为等腰三角形 找点： 分别以点 A， B 为圆心，以线段 AB 长为半径作圆，再作 AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与 l 的交点即为所求 P 点（点P 不与点 A， B 共线） 分类讨论：
（1） AB=BP；（2） AP=BP；（3） AP=AB；注：在坐标系中，通常表示出 A， B， P 三点的坐标，利用平方相等列方程求解，如 AB2=BP2
4. 直角三角形的直角顶点不确定 问题： 已知点 A， B 和直线l，在 l 上求点 P，使△ PAB为直角三角形 找点： 分别过点 A， B 作 AB 的垂线，再以线段 AB 为直径作圆，两垂线和圆与 l 的交点即为所求 P 点 分类讨论：（1）∠ ABP= 90°，则 AB2+BP2=AP2;（ 2） ∠ APB=90 °， 则AP2+BP2=AB2;（ 3） ∠ BAP=90 °， 则AB2+AP2=BP2
5. 特殊四边形边或对角线不确定 三定一动 问题： 已知平面上不共线三个点 A， B， C，求一点 P，使得以 A， B， C， P 四 个 点 为顶点的四边形是平行四边形 找点： 构造已知边的对边，平行且相等于已知边，确定第四个顶点 平行四边形顶点坐标计算方法：
1. 平移法：将 B 移动到点C 与将 A 移动到点 D 的平移方式相同；
两定两动 问题： 已知平面上两个点 A， B，求两点P， Q，使得以 A， B， P， Q 四个点为顶点的 四 边 形 是 平 行 四边形（题目中 P， Q的位置有具体限制） 找点： 分两种情况讨论：①若 AB为平行四边形的边，将 AB 上下左右平移，确定 P， Q 的位置； ②若 AB 为平行四边形的对角线，取 AB 的中点，旋转经过中点的直线确定 P，Q 的位置 2.中心对称法（中点坐标公式）：
【解题锦囊】 在二次函数与矩形（ 或菱形） 的存在性问题中， 矩形（ 或菱形） 问题可将其按照对角线分割为两个直角三角形（或等腰三角形）， 先按照直角三角形（或等腰三角形）的存在性求解， 然后再利用平行四边形顶点坐标的计算方法求第四个顶点的坐标
例 [2024 辽宁样卷第 15 题 3 分 ] 如图，
在△ ABC 中， AB=BC，∠ ABC=90°， AC=3，以 AC 为边作正方形 ACDE(点 A， C， D， E 按逆时针方向排列)， BC 和 ED 的延长线相交于点 F，点 P 从点 B 出发沿 BF 向点 F 运动，到达点 F 时停止，点 Q 在线段 CD 上运动，且始终满足 DQ= CP，连接 EP， PQ， QE，当△ EPQ 的面积为 5 时， CP 的长是_________________．
典例解构
2
设问拆分 要点提炼
（1） 求证： △ CDF 是等腰直角三角形； 图形抽离
（2） 连接 CE， 求∠ ECF 的度数和 CE， CF 的长； 图形抽离
（3） 过点 Q 作 QM ⊥ CF 于 M. 设 DQ=x， 用含 x 的式子表 示 CP， CQ 和 QM 的长； 知识必备
在 Rt △ CQM 中，
QM=CQ· sin ∠ QCM
设问拆分答案如下：
(1)证明：∵四边形ACDE为正方形，∴∠ACD＝∠CDE＝90°，∴∠CDF＝180°－∠CDE＝90°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°.∴∠DCF＝180°－∠ACB－∠ACD＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形；
（4） 当△ EPQ 的面积为 5 时 . ①若点 P 在线段 BC 上 . a. 用含 x 的式子表示 PF 的长和△ PEF、 △ PCQ、 △ EDQ 的面积； b. 求 CP 的长； 知识必备
利用和差法求面积：
① S △ EPQ=S △ PEF-S △ EDQ-S △ PCQ-S △ CDF
②若点 P 在线段 CF 上， 且点 Q 在 EP 的右侧. 连接 FQ. a. 用含 x 的式子表示 PF 的长 和△ PEF、 △ EQF 、 △ PQF 的面积； b. 求 CP 的长； ③若点 P 在线段 CF 上， 且点 Q 在 EP 的左侧 . 过 Q 作 QN ⊥ EC 于 N. a. 用含 x 的式子表示 PF 的长和△ PEF、 △ PCQ、 △ ECQ 的面积； b. 求 CP 的长； ② S △ EPQ=S △ PEF-S △ EQF-S △ PQF
③ S △ EPQ=S △ ECF-S △ ECQ-S △ PCQ-S △ EPF
（5） 结合①②和③， 当△ EPQ 的面积为 5 时， 直接写出 CP 的长 .
1. 如图，有一正方形 ABCD，边长为 2 ，点E 是边 CD 的中点，对角线 BD 上有一动点F，当顶点为 A， B， F 的三角形与顶点为 D， E，F 的三角形相似时， BF 的长为________ ．
突破训练
3
2. [2024 阜新二模 ] 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 °，∠ BAC=60 °， AC=4，点 O 为 AB 的中点，点 P 在 射 线 OC 上，连 接 AP， BP，当△ ABP 为等腰三角形时，线段 OP 的长为________________________．
3. [2024 沈 阳 和 平 区 东 北 育 才 学 校 调 研 ] 在Rt △ ABC 中，∠ C=90 °， AC=6，点 D 为边 BC 上一点，将△ ACD 沿直线 AD 翻 折得到△ AED，点 C 的对应点为点 E，连 接BE，如果△ BDE 是以 BD 为直角边的等腰直角三角形，那么 BC 的长等于___________ ．
点拨：
4. 如 图，将 矩 形 纸 片 ABCD 折 叠，折 痕 为MN，点 M， N 分别在边 AD， BC 上，点 C，D 的对应点分别为 E， F．且点 F 在矩形内部，MF 的延长线交边 BC 于点 G， EF 交边 BC于点 H． EN=1， AB=4，当点 H 为 GN 的三等分点时， MD 的长为 __________．
点拨：
5. [2024 丹东东港市二模 ] 如图，矩形 ABCD 中，AC， BD 为 对 角 线， AD=6， AB=4，点 E为 边 BC 的 中点，动 点 F 从 点 B 出 发，沿B → A → D 的方向在边 BA， AD 上以每秒 1个单位的速度运动，设运动时间为 t 秒，将矩形沿 EF 折叠，点 B 的对应点为 B'，当点 B'落在矩形对角线上时(不与矩形顶点重合)，t 的值为 _______．
点拨：
6. [2024 沈 阳 二 模 ] 如 图，在 菱 形 ABCD 中，AB= +1， ∠ ABC=60 °，点 P1 为 直 线BC 上方一点，且∠ P1BC=15°，分别作点 P1关于直线 AB 和直线 AD 的对称点 P 2， P 3，连接 P 2P 3，当 P 2P 3 与菱形 ABCD 的边平行时，△ P1P 2P 3 的面积为______________ ．
点拨：分两种情况：①如解图1，当P2P3∥AB时，∵AB∥CD，∴P2P3∥AB∥CD，设P1P2与AB交于
点E，P1P3交AD于点F，则有P2P3∥AE，连接EF，
由对称性可知，AB垂直平分P1P2，AD垂直平分P1P3，∴EF为△P1P2P3的中位线，∴EF∥P2P3，∴点F在直线AB上，又∵点F在直线AD上，∴F与点A重合，∵∠EBP1＝∠ABC－∠P1BC＝45°，∴△BEP1为等腰直角三角形，设BE＝x，则EP1＝BE＝x，(共34张PPT)
题型三　二次函数与几何图形结合
压轴点一　填空压轴题
典例解构
1
突破训练
2
例 [2024 辽宁省一模第 15 题 3 分 ] 如图，抛物线 y=- x2+ x+3 与 x 轴相交于A， B 两点．点 C 的坐标为( ， 0)，点 P 在抛物线上，将线段 PC 绕点P 顺时针旋转 90°得到
线段 PD，当点 D 落在 y 轴正半轴上时，
点 D 的坐标为 ___________．
典例解构
1
设问拆分 要点提炼
过点 P 作 PM ⊥ x 轴于点 M， PN ⊥ y 轴于点 N， （1） 求证 PM=PN； （2） 求点 P 的坐标； （3） 求点 D 的坐标 . 模型抽离（对角互补模型）
条件：∠ DOC=90°，
∠ DPC=90°， DP=CP
辅助线作法：构造双垂直
结论：△ PCM ≌△ PDN
【温馨提示】 本题为等邻对角互补模型，若 DP ≠ CP，则
△ PCM ∽△ PDN.
设问拆分答案如下：
(1)证明：由旋转可知PC＝PD，∠CPD＝90°.
∵∠PNO＝∠NOM＝∠OMP＝90°，
∴四边形PNOM是矩形．∴∠MPN＝90°，
∵∠CPD＝90°，∴∠CPD－∠CPN＝∠MPN－∠CPN，
即∠NPD＝∠MPC.
又∵CP＝PD，∠PND＝∠PMC＝90°，
∴△PND≌△PMC(AAS)，∴PN＝PM；
1. [2024 沈阳一二六中学三模 ] 如图，已知抛物线y=x2-2 x，等边△ ABC 的边长为 2 ，顶点 A 在抛物线上滑动，且 BC 边始终平行水平方向，当△ ABC 在滑动过程中，点 B 落在 y 轴上时， C 点的坐标是 _________．
突破训练
2
2. 将抛物线 y=ax 2(a ≠ 0) 向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到如图所示的抛物 线 H： y=a(x-h) 2+k．抛 物 线 H 与 x 轴交于点 A， B(1， 0)， 与 y 轴交于点 C．
点 M是抛物线 H 的对称轴 l 上的一个动点， 若以
点 A， M， C 为顶点的三角形是直角三角形，
则点 M 的坐标是
________________________________________________ ．
3. [2024 盘锦一中二模 ] 如图，将一个含 45°角的直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系的第一象限，使 直角顶点 A 的坐标为(1， 0)，点 C 在 y 轴上，过点 A， C 作抛物线 y=2x 2+bx+c，且点 A 为抛物线的顶点 . 要使这条抛物线经过点 B，那么抛物线要沿对称轴向下平移__________个单位．
7
∴OC＝2.∵∠CAB＝∠AMB＝90°，∴∠CAO＋∠BAM＝
∠ABM＋∠BAM＝90°.∴∠CAO＝∠ABM.又∵∠COA＝
∠AMB＝90°，AC＝AB，∴△CAO≌△ABM(AAS)．∴AM＝
CO＝2，BM＝OA＝1.∴OM＝OA＋AM＝3.∴B(3，1)．
∵y＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，设抛物线向下平移n个单位后过点B，∴抛物线y＝2(x－1)2－n过点B，∴ 8－n＝1，解得n＝7.
∴抛物线要沿对称轴向下平移7个单位．
4. [2024 葫芦岛兴城市二模 ] 如图，抛物线 y=-x 2+2x+3 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是第一象限的抛物线上的一个动点，过点 D 作 DE ∥ AB，与第二象限的抛物线交于点 E，点 C 和点 F 关于直线 DE 对称，当CF=DE 时，点 D 的横坐标为_________ ．
点拨：
5. 如图， 二次函数 y=- x2- x+2 的图象与 x 轴交于 A， B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ，与 y 轴交于点 C．点 Q 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点 Q 作 QE 垂直于 x 轴，垂足为 E． 若以点 B， Q， E 为顶点的三角形与△ AOC 相似，则点 Q 的坐标是 __________________．
点拨：
6. [2024大连瓦房店市模拟]如图，抛物线 y=- x2+ x+4 与 x 轴交于A，B 两点，与 y轴交于点 C，连接 AC，点 N 在 y 轴负半轴上，点 A 绕点N 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点 M 处，且∠ ANM+ ∠ ACM=180°，则点 M 的坐标是 _________．
点拨：
由旋转可知AN＝MN.如解图，过点N作NE⊥CA交CA的延长线于点E，过点N作NF⊥CM于点F，则∠CEN＝∠NFC＝90°，∴∠CEN＋∠NFC＝180°，∴∠ENF＋∠ACM＝180°.
∵∠ANM＋∠ACM＝180°，∴∠ANM＝∠ENF，∴∠ANE＝∠MNF.
又∵∠AEN＝∠MFN＝90°，AN＝MN，
∴△AEN≌△MFN，∴NE＝NF，
∴∠ACO＝∠MCO.
7. 如 图，二 次 函 数 y=ax 2+ x+c 的 图 象 与x 轴交于点 A(-4， 0) 、点 B，交 y 轴于点 C (0， -2)．点 D 是第三象限内抛物线上一点，连接 AD， BD， AC，且 AC 与 BD 交于点 E．设 △ ADE 的面 积 为 S1，△ ABE 的面 积 为S 2， 则 的最大值是 ___________．
点拨：
8. [2024 阜新太平区二模 ] 如图，抛物线 y=-x 2+2x+3 交 x 轴于 A， B 两点， A 点在 B 点右侧，交 y 轴于点 C，若点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PQ ⊥ x 轴交直线 AC 于 Q 点，点E 为 y 轴上一点，则以 P， Q， E， C 为顶点的四边形是菱形时，点 E 的坐标为____________________________ .
点拨：令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴B(－1，0)，A(3，0)．当x＝0时，
y＝－x2＋2x＋3＝3.∴C(0，3)．∴OA＝OC＝3.∴∠OAC＝∠OCA＝45°.由A(3，0)，C(0，3)可得直线AC的解析式是y＝－x＋3，设P(m，－m2＋2m＋3)，则Q(m，－m＋3)．①如解图1，当CQ为菱形的对角线时，CE＝EQ＝PQ，∴∠EQC＝∠OCA＝45°.∴∠CEQ＝90°.(共18张PPT)
题型四　最值问题及其他
压轴点一　填空压轴题
最值问题解读
1
突破训练
2
最值主要用到的知识点有：
1. 若动点的轨迹为直线或射线或线段，则最值问题一般最终都会归结为垂线段最短(相关知识链接： P105 微技能 利用垂线段最短及对称求最值)或两点之间线段最短(相关知识链接： P10 6微技能 利用两点之间线段最短及对称求最值)；
2. 若动点的轨迹为圆或弧，则最值问题一般最终都会归结为点圆最值或线圆最值(相关知识链接：P84 微技能 与圆有关的最值及构造问题)；
3. 判断动点轨迹相关知识链接： P87 微技能 主从联动(瓜豆原理)模型 .
最值问题解读
1
1. [2024 营口一模改编 ] 如图，在矩形 ABCD 中，AB=8， BC=10．点 E 在 边 AD 上，且 DE=8， M， N 分别是 边 AB， BC 的中点， P 是 线段 CE 上的动点，连接 PM， PN．则 PM+PN的最小值是___________ ．
突破训练
2
考向一 最值问题
【点拨】如解图．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8.∵DE＝8，∴CD＝DE.∴∠DCE＝45°.∴∠BCE＝45°＝∠DCE.作点N关于CE的对称点N′，则点N′在CD上，连接PN′，MN′，则PN＝PN′.∴PM＋PN＝PM＋PN′≥MN′，此时PM＋PN的最小值是线段MN′的长度．
2. [2024 丹东二模 ] 如图，在边长为 6 的正方形ABCD 中，点 E， F 分 别是 BC， CD 上 的两个动点(不与端点重合)， AE， BF 交于点 O，若 线 段 AE 与 BF 始 终 保 持 垂 直，点 M 是线 段 CD 上 的 动点，则 BM+OM 的 最小 值为 _____________．
【点拨】如解图，延长BC到B′，使B′C＝BC，连接B′M.∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥BC.∴B′M＝BM.∴B′M＋OM＝BM＋OM.∵AE⊥BF，∴∠AOB＝90°.∴点O在以AB为直径的半圆上(半圆在正方形ABCD内)运动(不包括端点)，取AB边的中点为G，连接GB′，交半圆G于点O′，交CD于点M′，
3. [2024 葫芦岛连山区二模 ] 如图，在 Rt △ ABC中，∠ BAC=90 °， AB=AC=4， D 是 AC 延长线上的一点， CD=2． M 是边 BC 上的一点 (点 M 与点 B， C 不重合)，以 CD， CM 为邻边作 CMND．连接 AN 并取 AN 的中点 P，连接 PM，则 PM 的最小值是 _________．
点拨：
如解图，过点B作BN′∥CD交DN的延长线于点N′，连接AN′，过点P作BC的平行线交AN′于点P′，交AD于点P″，过点P″作P″G⊥BC于G，∵四边形CMND是平行四边形，∴CM∥DN，∴点N在线段N′D上运动(不与点N′，D重合)，点P在线段P′P″上运动(不与点P′，P″重合)，∴当PM⊥BC时，PM取得最小值，最小值等于P″G的长，
4. [2024 大连七十六中一模改编 ] 如图，在边长为2 的正方形 ABCD 中，点 E 在正方形内部且∠ CED=90°．连接 BE，以 BE， DE 为边构造 BEDF，连接 CF，则△ CDF 的最小面积是_________ ．
最值问题 几何画板动态演示
1
点拨：
如解图1，连接AF和BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB＝45°，∵四边形BFDE是平行四边形，∴BF∥DE，BF＝DE，∴∠FBD＝∠EDB，∴∠ABD－∠FBD＝∠CDB－∠EDB，即∠ABF＝∠CDE，∴△ABF≌△CDE，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∴点F在以AB为直径的半圆上(半圆在正方形ABCD内)运动(不包括端点)，设AB的中点，即圆心为O，如解图2，过点O作OH′⊥CD于点H′，交弧AB于点F′，
5. [2024 本溪二模 ] 小明要网购一个七巧板墙上置物架，如图是他在上网时看到的实物图和示意图，并获得如下信息：正方形 ABCD 的边长为 60 cm(边框厚度忽略不计)，在图 3中，若点 E 是 MN 的中点，则点 F 到 PM 的距离是 __________．
考向二 其他问题
点拨：(共14张PPT)
题型一　尺规作图
压轴点一　填空压轴题
突破训练
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1.如图，在 等 腰 △ ABC 中， AB=AC．以 点 C为圆心，以 BC 长为半径画弧，交 AB 于点 E，连接 CE；以点 C 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交 CB， CE 于点 G， F，再分别以点G， F 为圆心，以大于 GF 的长为半径画弧，
两弧在△ ABC 内部交于点 H，作射线 CH，交
AB 于点 D．若∠ A= α，则∠ BCD 的 度数为
________．
突破训练
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2. 如 图，已知 △ ABC 中， AB=AC，小明用直尺和圆规按下列步骤完成作图：①在 AB 和AC 上分别截取 AD， AE，使 AD=AE，再分别以点 D， E 为圆心，以大于 DE 的长为半 径 作弧，两 弧在 ∠ BAC 内交于点 F，作射线 AF 交 BC 于点 G；②以点 B 为圆心，以 BC 的长为半径作弧，交 AC 于点 H，
再分 别 以 点 C， H 为 圆 心，以 大 于 CH 的长为 半 径作弧，两 弧 相 交于点 M，作射 线BM 交 AC 于点 N；若 AB=2 ， BC=4，则BN=________ ．
3. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图：①分别以点 A， B 为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，两弧交于点 M， N，过点 M， N 作直线与AB 交于点 D；②连接 CD，以点 D 为圆心，以一定长为半径画弧，交 DM 于点 E，交 CD于点 F，以点 C 为圆心，以同样定长为半径画弧，与 CD 交于点 G，以点 G 为圆心，
以EF 长为半径画弧与前弧交于点 H．作射线CH 与 AB 交 于 点 K，若 CD=5， AK=2， 则CK 的长是_________ ．
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4. 如图， 在Rt△ ABC中，∠ C=90°， = ，按下列步骤作图：①分别以点 A， B 为圆心、大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点E，连接 BE；③以点 D 为圆心， AD 的长为半 径 作弧，交 直 线 MN 于点 F，连 接 AF，BF．
若 AF=5 ，则 CE 的长为_______ ．
5. 如图，已知∠ AOB，以点 O 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 C， D 两点，分别以点 C， D 为圆心，大于 CD 长为半径作圆弧，两条圆弧在∠ AOB 内交于点 E，作射线 OE．以点 C 为圆心， CO 长为半径作圆弧，恰好经过点 D，与射线 OE 交于点 F，连接CF， DF．
若 OF=4 ，则四边形 CODF 的面积
为 _________.
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