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(共27张PPT)
第16题　　简单计算题专练
第二篇 基础和中档解答题专练
1．
解：原式＝1＋8－3＝6.
类型一　有理数的混合运算<2024样卷.16(1)>
2．[2024辽宁十四地市民间大联考二模]计算：－42＋(－20)÷(－5)－6×(－2)．
解：原式＝－16＋4－(－12)＝－16＋4＋12＝0.
3．[2024沈阳协作体调研改编]计算：
解：原式＝－1＋|－3|＋16÷(－8)＝－1＋3－2＝0.
4．
类型二　实数的混合运算<2024真题.16(1)，2024省一模.16(1)>
5．
6．
7．[2024营口二模]计算：
8．[2024沈阳和平区零模]计算：
9．[2024大连五区联考最后一卷]计算：
类型三　分式计算及化简求值<2024真题.16(2)，2024样卷.16(2)>
10．[2024大连普兰店区、沙河口区模拟]计算：
11．[2024辽宁十四地市民间大联考一模]先化简，再求值：
12．[2024营口一模]先化简，再求值：
13．
解：去分母，得2－＝6.
去括号，得4x＋2－x＋1＝6.
移项、合并同类项，得3x＝3.
系数化为1，得x＝1.
类型四　解一次方程(组)
14．
15．[2024沈阳民办联合体一模]
解：去分母，得4x＋12<3(x＋5)，
去括号，得4x＋12<3x＋15，
移项、合并同类项，得x<3.
∴不等式的正整数解是1，2.
类型五　解一次不等式(组)
16．[2024沈阳调研改编]
17．解方程：(2x－3)2＝25.
类型六　解一元二次方程<2024省一模.16(2)>
18．解方程：7x(5x＋2)＝6(5x＋2)．
19．[2024本溪二模改编]解方程：x2＋6x－16＝0.
解：移项，得x2＋6x＝16.
两边都加32，得x2＋6x＋32＝16＋32.
即(x＋3)2＝25.
两边开平方，得x＋3＝±5.
即x＋3＝5或x＋3＝－5.
∴x1＝2，x2＝－8.
20．[2024丹东十九中三模]解方程：3x2－4x－1＝0.
21．
类型七　解分式方程
22．
解：方程两边同乘x－4，得3－x－5＝x－4，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，x－4≠0.
∴原分式方程的解是x＝1.
23．
24．
解：方程两边同乘(x＋3)(x－3)，
得6＋x2－9＝x(x－3)，解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋3)(x－3)≠0，
∴原分式方程的解为x＝1.(共35张PPT)
第17题　　　方程(组)与不等式(组)的实际应用专练
第二篇 基础和中档解答题专练
1．[2024本溪二模] “劳动创造美好生活”，在本溪市教育局倡议下，某校九(2)班负责校园一个绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种花卉，已知吊兰的单价比绿萝的单价高5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
类型一　购买销售类问题<2024省一模.17，2024样卷.17>
(1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元．
(2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
2．[2024营口二模] “母亲节”来临之际，某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，若购进4束百合和3束康乃馨需要花费230元．若购进6束百合和2束康乃馨需要花费270元．
(1)求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元．
(2)花店打算购进30束百合和20束康乃馨进行销售，若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则每束百合的售价应至少定为多少元才能使两种鲜花全部售完后获得的利润不低于500元？
3．[2024沈阳东北育才学校调研]某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60 000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13 500元，进价和售价如下表：
价格 上衣 裤子
进价(元/件) 100 150
售价(元/件) 125 180
(1)该商店购进的上衣和裤子各是多少件？
(2)该商店第二次以原进价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子按原售价进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第 二次销售活动获利不少于12 300元，则每件裤子最多打几折？
4．[2024阜新海州区一模]若某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了1 000元，乙种商品共用了1 200元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙 两种商品件数相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价．
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于1 320元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
5．某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需 14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
(1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元．
(2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1 200件和1 000件，若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，要求总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8 300件，则该公司有哪几种购买方案？
6．有一个水池，用两根水管注水，如果单开甲管，5小时注满水池，如果单开乙管，10小时注满水池.
(1)如果甲管先注水2小时，然后由甲、乙两管共同注水，那么还需要多长时间才能把水池注满？
类型二　注水排水问题<2024真题.17>
(2)假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管6小时可以把一满池水放完，在空池状态下，如果三管同时开放，且要求水池水量不超过水池容量的一半，则三根管子最多可以同时开放多少小时？
7．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为40℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100℃，流速为15 mL/s，假设整个接水的过程不计热量损失．
阅读并结合以上信息解决下列问题：
(1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯360 mL的水，如果接水的总时长是20 s，求甲同学分别接温水和开水所用的时间．
(2)乙同学先接x s的开水，再接2x s的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于660 mL，大于550 mL，应接多长时间的开水？ (接水时间取整秒数)
8．[2024大连甘井子区一模]某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件和2个B型部件的总质量为2.8吨，2个A型部件和3个B型部件的质量刚好相等．
类型三　其他问题
(1)求1个A型部件和1个B型部件的质量各是多少．
(2)来自工业和信息化部公布的数据显示，2023年我国汽车出口首次跃居全球第一．现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输16个两种型号的部件去往某地，假定其他方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过卡车的最大额定载重质量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件．
9．已知某段铁路全长约90千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前的速度增加了20%，行驶全程所需时间减少了9分钟．
(1)求列车提速前的速度；
(2)现将该段铁路全长延伸至108千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/时，求m的取值范围．(共31张PPT)
第18题　　　统计专练
第二篇 基础和中档解答题专练
1．[2024大连二模]2024年某市体育与健康评价考试执行新标准．男生体育基础体能考试分为必考项目(1 000米)和选考项目(5选2)两部分，其中5项选考项目分别为：①投掷实心球；②引体向上；③立定跳远；④1分钟跳绳；⑤50米跑．对于选考项目(5选2)，小明同学决定先选择1分钟跳绳作为第一项，再从立定跳远和50米跑中选择一项，作为第二项．
为了选择体育基础体能考试的最佳选考项目，小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，进行整理、描述和分析，部分信息如下：
【数据收集与整理】
信息一：50米跑试测成绩(单位：分)依次是
85　80　95　85　95　90　95　95　95　100
信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次．
【数据描述】
【数据分析】
平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 方差
50米跑成绩 91.5 95 a 35.25
立定跳远成绩 91.5 b 90 35.25
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：m＝________，a＝________，b＝________；
10
95
90
(2)为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由．
解：建议小明选择50米跑．理由：从平均数和方差看，立定跳远和50米跑的成绩相同；从中位数和众数看，50米跑成绩的中位数和众数均高于立定跳远成绩的中位数和众数，故建议选择50米跑；建议小明选择立定跳远．理由：小明50米跑成绩只有一次达到100分，而立定跳远成绩有两次达到100分，说明立定跳远达到满分的概率更大，故建议选择立定跳远．
(答案不唯一，合理即可)
2．[2024大连沙河口区一模]据统计，数学家群体是一个长寿群体，在《数学家传略辞典》一书中收录了约2 200位数学家的年龄．某研究小组随机抽取了收录的部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表(部分数据)如下：
(1)填空：m＝______；该小组共统计了_____名数学家的年龄；
5
年龄范围/岁 人数/人
90－91 25
92－93 ■
94－95 ■
96－97 11
98－99 10
100－101 m
100
【点拨】∵10÷10%＝100(位)，故该小组共统计了100位数学家
的年龄，故m＝100×5%＝5.
(2)调查的数学家群体中，哪个年龄范围的长寿数学家最多；
解：由统计图可知，调查的数学家群体中，92－93岁年龄范围的长寿数学家最多．
(3)请预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96－97岁的人数．
3．[2024阜新太平区二模]为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分(满分100分)按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上(含)且低于80分的为“合格”；80分以上(含)且低于90分的为“良好”；90分以上(含90分)的为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图．
请根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽查的学生人数是________人，圆心角α＝________°；
50
72
(2)补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级；
解：补全条形统计图如解图．将这
50人的成绩从小到大排列，处在中
间位置的两个数都是“良好”等级，
∴中位数落在“良好”等级．
(3)学校计划给获得“优秀”“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用．
4．[2024盘锦兴隆台区三模]为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分(满分100分)，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4： 4：2的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图(每组含最小值，不含最大值)如下图．
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲
(1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下(单位：分)：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；
69
69
70
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
小涵能入选，小悦不一定能入选．理由如下：
由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小于80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，故小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，故小悦不一定能入选．
5．[2024鞍山立山区四模]教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理的工作通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，确有需求的，须经家长同意、书面提出申请，进校后应将手机由学校统一保管，禁止带入课堂．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图所示两幅不完整的统计图，已知“查资料”的人数是48人．
解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的扇形圆心角度数为________，补全条形统计图；
126°
解：补全条形统计图如解图．
【点拨】扇形统计图中，“玩游戏”对应的扇形圆心角度数为360°×(1－40%－18%－7%)＝126°，随机抽取的学生数为48÷40%＝120(人)，∴每周使用手机时间在3小时以上的人数为120－2－16－18－32＝52(人)．
(2)该校共有学生2 100人，估计每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数；
(3)请写出一条学生健康使用手机的建议．
解：合理安排时间，不要沉迷于手机；少看手机，保护视力．(答案不唯一，合理即可)
6．[2024鞍山华育外国语实验学校模拟]甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩x(单位：分)的频数分布直方图如图(数据分成6组：40≤x<50, 50≤x<60，60≤x<70, 70≤x<80, 80≤x<90, 90≤x≤100)；
b. 甲学校学生成绩在 80≤x<90这一组的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85
86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(85分及以上为优秀)如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是__________(填“A”或“B”)；
A
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78 46%
(2)根据上述信息，推断哪所学校综合素质展示的水平更高？并说明理由(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)；
解：根据上述信息，推断乙学校综合素质展示水平更高．理由：与甲学校相比，乙学校中位数更高，说明乙学校综合素质展示水平较高的同学更多；与甲学校相比，乙学校的优秀率更高，说明乙学校综合素质展示水平较高的同学更多．
(3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到多少分的学生才可以入选．(共32张PPT)
第19题　　　函数的实际应用专练
第二篇 基础和中档解答题专练
1． [ 2024大连沙河口区一模]某数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买某水果的费用y1(元)与该水果的质量x(千克)之间的关系如图实线所示；在乙商店购买该水果的费用y2(元)与该水果的质量x(千克)
之间的函数关系式为y2＝10x(x≥0)．
类型一　一次函数的实际应用<2024样卷.19>
考向1　两个一次函数对比选择方案问题< 2024样卷.19 >
(1)求y1与x之间的函数关系式．
解：当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx(k≠0)，
把(5，75)的坐标代入，得5k＝75，
解得k＝15，
∴y1＝15x；
当x>5时，设y1与x之间的函数关系式为y1＝mx＋n(m≠0)，
(2)现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
考向2　一次函数最值问题
2． [ 2024沈阳铁西区零模]某工厂计划下个月生产甲、乙两种产品共900件，甲、乙两种产品的相关信息如下表：
产品 每件利润(元) 成品率
甲 100 90%
乙 80 95%
(成品率＝每月生产产品合格可销售的件数÷每月生产产品总的件数×100%)
若该工厂下个月生产甲种产品x件，销售甲、乙两种产品的总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式(不必写自变量的取值范围)．
解：根据题意得y＝90%x×100＋95%(900－x)×80＝14x＋
68 400，
∴y与x之间的函数关系式为y＝14x＋68 400.
(2)若该工厂下个月计划生产的甲、乙两种产品的总成品率不低于92%，且销售利润最大，求此时的最大利润是多少元？
解：∵该工厂下个月计划生产的甲、乙两种产品的总成品率不低于92%，∴90%x＋95%(900－x)≥900×92%，解得x≤540. 在y＝14x＋68 400中，y随x的增大而增大，
∴当x＝540时，y取最大值，最大值为14×540＋68 400＝ 75 960.
∴此时的最大利润是75 960元．
3．人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们的生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进A，B两种型号的芯片．已知每片A型芯片比每片B型芯片少150元，用1 400元购买的A型芯片数量比用相同金额购买的B型芯片多3个．
(1)求购进1片A型芯片和1片B型芯片各需多少元？
(2)若该科创公司计划购进A，B两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A型芯片的数量不少于B型芯片的数量且不能超过B型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？
考向3　行程问题
4． [ 2024辽宁十四地市民间大联考一模]去年国庆节小华家和小明家组队自驾沿同一路线去通化参加某活动，大连到通化距离约540 km，由于小明家临时有事，比小华家晚出发1.25 h(从小华家出发时开始计时)，小华家和小明家所走路程分别记为y1(km)和y2(km)，y1(km)和y2(km)与时间x(h)之间的函数关系如下图所示．
请根据图中所提供的信息，解决下列问题：
(1)由于小华家的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间．求汽车故障排除后小华家所走的路程y1与时间x之间的函数关系式；
(2)两家汽车在第一次相遇后两车之间的距离超过30 km的时间有多长？
解：由题图可知：两家汽车第一次相遇后在点B或点D相距最远．
在点B处有y2－y1＝80×4.6－100－(100×4.6－220)＝28<30，
在点D处有y1－y2＝100×7.6－220－(80×7.6－100)＝32>30，
则第二次相遇之后两车的距离才有可能超过30 km.
令100x－220－(80x－100)＝30，解得x＝7.5.
令540－(80x－100)＝30，解得x＝7.625.
7.625－7.5＝0.125(h)，
∴两车的距离超过30 km的时长为0.125 h.
5． [ 2024丹东振安区三模改编]某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
类型二　利用一元二次方程根的判别式或二次函数的最值进行判断<2024真题.19>
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)商店销售该消毒用品日获利能否达到560元，如果能，求出每件的售价，如果不能，请说明理由．
解：不能．理由如下：设商店销售该消毒用品日获利为w元，
根据题意，得w＝(－5x＋150)(x－8)＝
－5x2＋190x－1200＝－5(x－19)2＋605.
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w取最大值，最大值为525.
∴商店销售该消毒用品日获利不能达到560元．
考向1　最值问题< 2024省一模.19 >
6．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
类型三　二次函数的实际应用<2024省一模.19>
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)如果该企业每天的总成本不超过7 000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)
∴当x＝82时，y的值最大，最大值为4 480，
即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润是4 480元．
考向2　抛物线型问题
7． [ 2024盘锦一中三模]在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线(如图1)，他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，
通过研究发现，以地面为x轴，
以喷枪所在直线为y轴，
请解答下列问题：
(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________m；
2.5
(2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为7 m时，求此时水流的最高点到地面的距离；(共26张PPT)
第20题　　　锐角三角函数的实际应用专练
第二篇 基础和中档解答题专练
1．[2024大连模拟]如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30 m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角∠DAE＝30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角∠CDG＝37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60 m，点A，B，C，D都在同一平面上．
类型一　背靠背型
(1)求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度；(结果保留根号)
2．
类型二　母子型<2024真题.20>
(1)求A，P之间的距离AP；
(2)若海监船由B处继续向东航行有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
解：如解图，设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD于点E，
3．[2024盘锦兴隆台区三模]为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺(约33 cm)，胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸. 如图，BD为桌面，某同学的眼睛P看作业本A的俯角为50°，身体离书桌距离BC＝9 cm，眼睛到桌面的距离PC＝20 cm.
(1)通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；
(2)为确保符合要求，需将作业本沿BA方向移动．当眼睛P看作业本A的俯角为37°时，求作业本移动的距离．(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75. 结果精确到0.1 cm)
4．“风电”是全球主要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影．某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：
类型三　拥抱型
活动 目的 测量风力发电机的塔杆高度 测量 工具 无人机、皮尺等 测量 示意图 说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面AC，用皮尺测量出CD的长度，利用无人机分别在A点、B点(B点在A点的正上方)测量出塔杆顶端P的仰角和俯角
测量 数据 斜坡CD的坡角 30 °
CD的长度 18米
AB的长度 53米
点A处测量的仰角 45 °
点B处测量的俯角 18 °
请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD.(参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325)
在Rt△AFP中，∠PAF＝45°，∴PF＝AF·tan 45°＝x米．
在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，∴GP＝BG·tan 18°≈0.325x米．
∵GP＋PF＝GF，∴0.325x＋x≈53，
解得x≈40.
∴PF≈40米．
∴PD＝PF－DF≈40－9＝31(米)．
∴该风力发电机的塔杆高度PD约为31米．
5．[2024大连三十四中模拟]图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直于地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行于地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，
OA＝2.5米，AD＝0.8米，
∠AGC＝32°.
类型四　实物型<2024省一模.20，2024样卷.20>
(1)求∠GAC的度数；
解：∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°.
∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°－32°＝58°.
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)
解：该运动员能挂上篮网，理由如下：
如解图，延长OA，ED交于点M.
∵OA⊥OB，DE∥OB，∴∠DMA＝90°.
又∵∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝32°.
在Rt△ADM中，AM＝AD·sin 32°≈0.424米，
∴OM＝OA＋AM≈2.5＋0.424＝2.924(米)<3米．
∴该运动员能挂上篮网．
6．如图1是我国古代提水的器具桔槔．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿(小竹竿始终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6 m，O为AB的中点，支架OD垂直于地面EF.
(1)当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离；(结果精确到0.1 m)
由题意可知∠OGP＝∠GPD＝∠PDO＝90°，
∴∠DOG＝90°.
∵∠AOD＝120°，∴∠AOG＝30°.
在Rt△AOG中，OG＝OA·cos 30°≈2.6 m.
∴支点O到小竹竿AC的距离约为2.6 m.
解：如解图2，记OG交A1C1于点H.
∵OD⊥EF，A1C1⊥EF，∴OD∥A1C1.
∴∠OA1H＝180°－∠A1OD＝37°.
在Rt△OA1H中，
A1H＝OA1·cos∠OA1H＝3cos 37°≈2.4(m)．
在Rt△AOG中，AG＝OA·sin∠AOG＝3sin 30°＝1.5(m)．
∴A1H－AG≈2.4－1.5＝0.9(m)．
∴点A上升的高度约为0.9 m.(共33张PPT)
第21题　　圆的综合题专练
第二篇 基础和中档解答题专练
1．[2024铁岭调兵山市二模]如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE.
(1)求证：AC＝BC；
证明：∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE.
∴∠BAC＝∠ACE＝∠ADE.
∵∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠BAC.∴AC＝BC.
类型一　不含切线型<2024样卷.21>
(2)若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的长．
2．[2024盘锦大洼一中二模]如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F, 且∠ECD＝2∠BAD.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
类型二　弦切角型<2024真题.21>
︵
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(2)若AB＝10，CD＝6，求AE的长．
3．[2024辽阳灯塔一中一模改编]如图1，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：如解图1，连接OC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠CAD＋∠ABC＝90°.
∵CE＝CB，∴∠CAE＝∠CAB.
∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠OCB＋∠BCD＝90°，即∠OCD＝90°.
∴OC⊥CD. ∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)如图2，连接OF，若BD＝2，CD＝4，求tan∠BOF的值．
(2)如图2，连接OF，若BD＝2，CD＝4，求tan∠BOF的值．
4．如图，AB是⊙O的直径，延长弦BC到点D，使得CD＝BC，连接DA并延长，交⊙O于点E，连接BE，过点C作⊙O的切线交DE于点F.
(1)求证：BE∥CF；
类型三　平行线型
证明：如解图，连接OC.
∵OA＝OB，CD＝BC，
∴OC是△ABD的中位线．
∴OC∥AD.
∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF. ∴CF⊥AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠E＝90°，即BE⊥DE.
∴BE∥CF.
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5．[2024抚顺顺城区三模]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径，点D为的中点，连接BD，DF是⊙O的切线， 交BC的延长线于点F.
(1)求证：DF⊥BC；
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(2)若AD＝6，BD＝8，求CF的长．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O与线段AC交于点D.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
类型四　双切线型
证明：如解图，过点O作OH⊥AB于点H.
∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径．
∴AB为⊙O的切线．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D.点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
证明：如解图，连接OD，OE.
∵OC＝OB，E为AC边的中点，∴OE是△ABC的中位线．
∴OE∥AB.
∴∠B＝∠COE，∠BDO＝∠DOE.
∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.
∴∠COE＝∠DOE. (SAS)又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE. ∴∠ODE＝∠OCE＝90°.
∵OD为⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线．
8．[2024大连多校联考]如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点．
(1)尺规作图：作直线CD与⊙O相切，切点D在弧AmB上；(保留作图痕迹，不写作法)
解：如解图1，直线CD即为所求．
类型五　与尺规作图结合<2024省一模.21>
解：如解图2，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°，连接OD.
∵CD为⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴CD⊥OD，即∠ODC＝90°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADO＋∠ODB＝∠ADO＋∠ADC，即∠ODB＝∠ADC.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.∴∠B＝∠ADC.

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