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(共20张PPT)
第17课时 全等三角形(含简单模型)
第四章 几何初步与三角形
考点梳理典例串
1
聚焦辽宁新中考
2
一、全等三角形的概念、性质
考点梳理典例串
1
概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
性质 1.全等三角形的对应边①______，对应角相等；
2.全等三角形的对应线段(高、中线、角平分线、中位线) ②_______；
3.全等三角形的周长相等，面积 ③_______
相等
相等
相等
【例1】如图，在△ABC 中，BC＝6，AC＝8，△DEF ≌△ABC，
且FE 和AC 在同一直线上，若FC＝3，则AE＝______ .
11
二、全等三角形的判定
条件 图示 判定
两边及 夹角 两边及其夹角分别相等的两个
三角形全等(SAS)(基本事实)
两角及 夹边 两角及其夹边分别相等的两个
三角形全等(ASA)(基本事实)
条件 图示 判定
两角及 对边 两角分别相等且其中一组等角
的对边相等的两个三角形全等
(AAS)
三边 三边分别相等的两个三角形全
等(SSS)(基本事实)
斜边及 直角边 一条直角边与斜边分别相等的
两个直角三角形全等(HL)
【例2】如图， 在等腰三角形ABC中，点D，E 分别在腰AB，AC 上，连接BE，CD， 添加下列条件，不能判定△ABE≌ △ACD 的是( )
A. AD＝AE
B. BE＝CD
C. ∠ADC＝ ∠AEB
D. ∠DCB＝ ∠EBC
B
三、全等三角形的简单模型及隐含条件
图示信息 全等模型 隐含全等条件
有公 共边 轴对称型 中心对称型 一对等边
有公共 角或对 顶角 轴对称型 中心对称型 一对等角
图示信息 全等模型 隐含全等条件
有公共 线段 平移型 轴对称型 中心对称型 通过加或减公共线段得到一对等边
图示信息 全等模型 隐含全等条件
有公共 夹角 旋转型 通过加或减公共夹角得到一对等角
【例3】如图，点E，F 在线段DC 上，且DE＝CF，AE＝BF，AE∥BF. 求证：△AEC ≌△BFD.
证明：∵AE∥BF，∴∠AEC＝∠BFD.
∵DE＝CF，∴DE＋EF＝CF＋EF，即DF＝CE.
又∵AE＝BF，∴△AEC≌△BFD(SAS)．
【例4】如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，连接DE交AC于点F，连接AD，AE．已知∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求 证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAF＝∠2＋∠DAF，即∠BAC＝∠DAE，
∵∠AFE＝∠CFD，∠2＝∠3.
∴∠C＝180°－∠3－∠DFC＝180°－∠2－∠AFE＝∠E.
又∵AB＝AD，∴△ABC≌△ADE(AAS)．
1. 如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若 BC＝4，则CD的长为_______．
2
聚焦辽宁新中考
2
命题点 全等三角形的判定与性质
2. 如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°. 求证：AB＝AD．
3. [人教八上P52习题第7题改编]如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，连接AE.
(1)求证：AE平分∠BAD；
证明：过点E作EF⊥AD于点F，则∠EFD＝∠EFA＝90°，
∵∠C＝90°.∴∠C＝∠EFD＝90°.
又∵DE平分∠ADC，∴CE＝EF.
∵E是BC的中点，∴CE＝BE，
∴EF＝BE.
又∵∠B＝90°＝∠AFE，
∴AE平分∠BAD.
(2)若AB＝6，CD＝4，求AD的长．
解：由(1)得，∠C＝∠EFD＝90°，CE＝EF.
∵DE＝DE，∴Rt△DCE≌Rt△DFE.
又∵CD＝4，∴DF＝DC＝4.
∵EF＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，AE＝AE，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE.
又∵AB＝6，∴AF＝AB＝6.
∴AD＝AF＋DF＝10.(共33张PPT)
第18课时 相似三角形(含简单模型)与图形的位似
第四章 几何初步与三角形
考点梳理典例串
1
聚焦辽宁新中考
2
一、相似三角形的性质和判定
性质
1. 相似三角形的对应边①________，对应角②_____；
2. 相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线、中位线)的比等于③_________；
3. 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于④___________
成比例
考点梳理典例串
1
相等
相似比
相似比的平方
判定
1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似(人教版独有)；
2. ⑤______________的两个三角形相似；
3. 两边成比例且⑥_______相等的两个三角形相似；
4. ⑦_______成比例的两个三角形相似
两角分别相等
夹角
三边
【例1】如图，在△ABC中，△AED的顶点D在BC上，∠BAE＝∠CAD，∠B＝∠E，AC＝4，S△ABC＝2S△ADE，则AD＝_______.
二、相似三角形的简单模型
A字型 正A字型 条件：DE∥BC 结论：△ADE∽△ABC 斜A字型
条件： ∠ADE＝∠ACB (或∠AED＝∠B)结论：△ADE∽△ACB
8字型 正8字型 条件：AB∥CD 结论：△ABE∽△DCE 斜8字型
条件：∠A＝∠C(或∠B＝∠D)
结论：△ABE∽△CDE
斜边高线型(射影定理型) 条件：∠ACB＝90°，CD⊥AB
结论：△ADC∽△ACB∽△CDB
AC2＝AD·AB
BC2＝BD·AB
CD2＝AD·BD
【例2】如图，已知AD，BC相交于点E，△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2，BE＝1，则BC的长为________.
6
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，连接CD，＝． 若AD＝3，BD＝2，则CD的长为________．
三、相似多边形
概念
各角分别相等、各边⑧_______的边数相同的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做⑨_______
性质
1.相似多边形的对应角相等，对应边的比等于 ⑩_______；
2. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于 _________
成比例
相似比
相似比
相似比的平方
【例4】如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH.
(1)α＝_______，β＝________；
(2)四边形ABCD 与四边形 EFGH 的相似比为
_______；
(3)EH 的长度x 为________.
83°
81°
3∶4
28
四、图形的位似
概念
如图，两个多边形不仅相似，而且对应点的连线所在的直线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，其中对应点连线的交点O叫做位似中心
性质
1. 两个图形是相似图形，具有相似图形的一切性质；
2. 对应点连线的所在直线都经过同一点；
3. 对应边互相 ______或在同一条直线上；
4. 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
平行
【解题锦囊】位似变化与坐标的关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为 ____________或 _________
(－kx，－ky)
(kx，ky)
【例5】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是( )
C
【例6】如图，在平面直角坐标系中，点A(－3，2)，B(－2，－2)， 若△OAB与△OCD 位似，且相似比是2∶1，则点B 的对应点D 的坐标为___________________.
(－1，－1)或(1，1)
1. [2024 鞍山二模] 如图， 在△ABC 中，DE ∥ BC，DE 分别交AB，AC 于点D，E，若AD ∶ DB＝1∶2，
则△ADE 与△ABC的周长之比是 (　　)
A. 1∶ 3 B. 1∶ 4
C. 1∶ 9 D. 1∶16
A
聚焦辽宁新中考
2
命题点1 相似三角形的判定与性质<3 卷1考>
2. [2024 辽宁真题第13 题3 分] 如图，AB ∥ CD，连接AD，BC 相交于点O，且△AOB 与△DOC 的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD 的长为________．
12
3. [2024 阜新太平区二模] 如图，DE 是△ABC的中位线，点F 在DB 上，且DF＝2BF，连接EF 并延长，与CB 的延长线交于点M．若BC＝8，则线段CM 的长为________．
10
点拨：
4. [2024葫芦岛兴城市二模]如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，点F在DE的延长线上，连接CF，若∠F＝∠A，AC＝6，BC＝4，则EF的长为________.
点拨：
5. [人教九下P58复习题第11题改编]如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形PQMN的顶点P，N分别在AB，AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC＝48，AD＝16．
(1)若PN＝18，求DE的长；
(2)若矩形PQMN的周长为80，求矩形PQMN的面积．
命题点2 相似三角形的实际应用
6. [2024大连多校联考]如图，为了估计河的宽度AB，我们可以在近岸取点C，E，连接BC，CE，使BC⊥AB，CE⊥BC，连接AE交BC于点D．已测得BD＝40 m，
DC＝20 m，EC＝24 m，则河宽AB
为________m．
48
点拨：
7. 大约在两千四百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到(倒)，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像的实验中，若物距为8 cm，像距为12 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是5 cm，则蜡烛火焰的高度是_______cm．
命题点3 图形的位似
8. [2024沈阳一二六中学三模]如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(4,3)，D(5,0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是 ( )
A. (10,7.5)
B. (8,7)
C. (10,7)
D. (8,6)
A
点拨：
9. [2024大连二模]如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(－3，－1)，(－1，－2).以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段A'B'，点A的对应点A'的坐标是(6,2)，则点B'的坐标是________．
(2，4)
点拨：(共24张PPT)
第18课时 相似三角形(含简单模型)与图形的位似
第四章 几何初步与三角形
D
B
B
4. [2024丹东凤城市二模]如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是(　　)
C
D
6.《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处. 从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树(如图所示)，则正方形城池的边长为(　　)
A. 250步　 B. 300步　
C. 350步　 D. 400步
B
7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上. 添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是____________. (写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C
(答案不唯一)
9. [2024重庆A卷]如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝ CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝________.
3
10. [2024广州]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD 上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
C
D
13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，AD＝5，E是△ACD内一点，AE⊥DE，AE＝4，连接BE.
(1)求证：△ABE∽△ACD；
(2)若△ACD的面积是20，求BE的长.(共35张PPT)
第19课时 锐角三角函数及其应用
第四章 几何初步与三角形
考点梳理典例串
1
聚焦辽宁新中考
2
一、锐角三角函数的定义
考点梳理典例串
1
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为Rt△ABC的一个锐角 ∠A的正弦 sin A＝＝①______
∠A的余弦 cos A＝＝②______ ∠A的正切 tan A＝＝③______ 【例1】如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A， ∠B， ∠C 所对的边分别为a,b,c,则( )
A. c＝bsin B
B. b＝csin B
C. a＝btan B
D. b＝ctan B
B
二、特殊角的三角函数值
α 三角函数 30° 45° 60°
sin α ④______ ⑤______ ⑥______ cos α ⑦______ ⑧______ ⑨______ tan α ⑩______ _____ _____ 1
【例2】如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝4，AD⊥BC 于点D，则AD＝______；AB＝______；BC＝______ .
三、解直角三角形
概念
在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角，共五个元素，由已知元素求出其他未知元素的过程叫做解直角三角形
常用关系
(1)两锐角关系：∠A＋∠B＝ ________°；
(2)三边关系：a2＋b2＝ ________；
(3)边角关系：sin A＝＝cos B，cos A＝＝ _______；
(4)面积关系：S＝ab＝ch(h为斜边上的高)
90
c2
sin B
【例3】在Rt△ABC 中， ∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形(直接写出结果即可).
(1)a＝24，c＝24；
(2)b＝8，∠A＝30° .
b＝24，∠A＝∠B＝45°.
a＝8，c＝16，∠B＝60°.
四、锐角三角函数实际应用的常见背景
仰角、俯角
坡角、坡度(坡比)
坡度(坡比)i＝tan α＝ _________
方向角
点A位于点O的 ______________方向；
点B位于点O的 ______________方向；
点C位于点O的 ______________方向
北偏东30°
南偏东60°
北偏西45°
(西北)
五、锐角三角函数实际应用的常见模型
背靠背型 常见 图示
直角三角形 △ACD和△BCD △ACD和△BCD △CEH和△BCD △ACD和△BEF
常用 结论 AB＝AD＋BD 1. AD＝CE， CD＝AE；2. AB＝AD＋BD 1. EH＝AD，DH＝AE；2. CD＝DH＋CH；3. AB＝AD＋BD 1.CE＝DF，CD＝EF；2.AB＝AD＋DF＋BF
母子型 常见 图示
直角三角形 △ABC和△BCD △ACD和△BCA △ABC和△BDF △ABC和△BDE
常用 结论 AC＝AD＋CD BD＝CD－BC 1. DE＝CF，DF＝CE；2. BC＝BF＋CF， AE＝AC－CE 1. AF＝CE，AC＝EF；2. BE＝BC＋CE
母子型 常见 图示
直角三角形 △ABC和△CDE △ABC和△BFG △ABC和△BEF △ABC和△DEF
常用 结论 BE＝CE－BC 1. AC＝FG， AF＝CG；2. CG＝ BG－BC 1. BC＝FG，BF＝CG；2. EF＝EG－GF， AC＝AG－CG 1. BC＝FG， CG＝BF＝BD＋DF；2. EF＝EG－GF， AC＝AG－CG
拥抱型 常见 图示
直角三角形 △ABC和△BCD △ABC和△DEF △ABC和△CDE △ABC和△CDE
常用 结论 BC为公共边 BE＝BF＋CF＋CE BE＝BC＋CE 1. AG＝BE，AB＝GE；2. BE＝BC＋CE；3. DE＝DG＋GE
1. [2024 大连五区联考最后一卷] 如图，一艘
海轮位于灯塔P 的北偏东45° 方向，距离灯
塔P 80nmile 的A 处，它沿正南方向航行一段
时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30° 方向上的B 处，此时B 处与灯塔P 的距离为多少海里？
聚焦辽宁新中考
2
命题点 锐角三角函数的实际应用<3 卷3 考>
类型一 背靠背型
类型二 母子型
2. [2024 辽宁真题第20 题8 分] 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．
起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3 m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°( 点C，A，D在同一直线上，且直线CD 与地面平行)，图3 中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
(1)求AB 的长；
解：如题图2，在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°.∴AB＝2AC.
又∵AC＝3 m，∴AB＝6 m，
∴AB的长为6 m.
(2)求物体上升的高度CE.( 结果精确到0.1 m. 参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈ 0.75， ≈ 1.73)
类型三 拥抱型
3. [2024 沈阳二模] 某校“综合与实践”活动小组的
同学要测量与地面垂直的两栋楼CD与AB 的高度
之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如
图，无人机悬停在AB，CD 两楼之间上方的点O 处，此时测出到楼AB 顶部点A 处的俯角为60°，OA＝40 m，测出到楼CD 顶部点C 处的俯角为53°，已知两栋楼之间的距离BD＝ 30 m(点A，B，C，D，O 在同一平面内)．
(1)求点O 到楼AB 的距离OE 的长；
(2)求两栋楼CD 与AB 的高度之差.(结果精确到1 m. 参考数据： ≈ 1.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
类型四 实物型
4. [2024辽宁样卷第20题8分]某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳篷，其侧面如图2所示，遮阳篷展开长度AB＝ 200 cm，遮阳篷前端自然下垂边的长度BC＝25 cm，遮阳篷固定点A距离地面的高度AD＝
296.8 cm，遮阳篷与墙面的夹角
∠BAD＝72°．
(1)如图2，求遮阳篷前端B到墙面的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳篷在地面上的遮挡宽度DF的长．(结果精确到1 cm，参考数据：sin 72°≈0.951，cos 72°≈0.309，tan 72°≈3.078，≈1.732)
5. [2024辽宁省一模第20题8分]如图1，在水平桌面上摆放着一个主体部分为圆柱体的透明容器．容器的截面示意图如图2所示，其中CE＝21 cm，∠CEF＝90°．
(1)如图3，点C固定不动，将容器倾斜至A1B1CD1位置，液面刚好位于M1E1处，点E1到直线l的距离E1K，记为h cm，测得∠E1CK＝60°，求h的值；
(2)如图4，在(1)的条件下，再将容器缓慢倾斜倒出适量的液 体，此时容器位于A2B2CD2位置，液面刚好位于M2E2处，E1F1，E2F2的延长线分别与直线l相交于点H，G，点C，G，H都在直线l上，测得∠E2CG＝37°，求GH的长. (参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73，结果精确到0.1 cm)(共31张PPT)
第19课时 锐角三角函数及其应用
第四章 几何初步与三角形
C
2. [2024营口实验中学二模]如图，某海域中有A，B，C三个小 岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是(　　)
A. 北偏东70°
B. 北偏东75°
C. 南偏西70°
D. 南偏西20°
A
3. [2024沈阳苏家屯零模]如图所示的网格是边长为1的正方形网格，A，B，C是网格线的交点，则cos∠ABC＝________.
4. 如图1所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”竖直放可测物体的高度.
如图2所示，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得AB＝1.5 m，BD＝9 m，若“矩”的边EF＝a＝30 cm，边AF＝b＝60 cm，则树高CD为________m.
6
5. 如图，一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它的北偏东31°方向上，继续向东航行10 n mile到达C港，此时测得灯塔B在它的北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离. (结果精确到0.1 n mile)
(参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，
tan 31°≈0.60，sin 61°≈0.87，
cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80)
解：如解图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵AE⊥AC，CF⊥AC，∴BD∥AE∥CF，
∴∠ABD＝31°，∠CBD＝61°，
∴AD＝BD·tan∠ABD＝BD·tan31°≈0.6BD，CD＝
BD·tan∠CBD＝BD·tan61°≈1.8BD.
∵AD＋CD＝AC＝10n mile，
∴0.6BD＋1.8BD≈10n mile，∴BD≈4.2n mile.
答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离约为4.2n mile.
6. [24吉林省卷]图1中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”. 某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873 m，如图2，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高
度CD(结果精确到0.1 m). (参考
数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
tan 37°≈0.75)
在Rt△GAC中，∠EAC＝37°，
∴CG＝AG·tan∠EAC≈873×0.75＝654.75(m)，
∴CD＝DG－CG≈873－654.75≈218.3(m)．
答：吉塔的高度CD约为218.3m.
7. 如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°.从距离楼底B点1米的P点处(P点在AB上)经过树顶E点恰好
看到塔的顶部C点，且仰角β为30°.已知树
高EF＝6米，求塔CD的高度. (结果保留
根号)
8. [2024大连二模]平板电脑借助磁吸背板支架(AC－CD)放置在水平桌面上(如图1)，其侧面示意图如图2所示，AB＝300 mm，AC＝BC＝CD，支架张开角为∠ACD，其范围是120°≤ ∠ACD≤160°，求点A到桌面距离的范围(结果精确到0.1 mm). (参考数据：≈1.732，sin 80°≈
0.985，cos 80°≈0.174，tan 80°≈
5.671)
当∠ACD＝160°时，∵AC＝BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝80°，∠CAD＝∠CDA＝10°，
∴∠ADB＝90°.
∵AB＝300mm，
∴AD＝AB·sin80°≈295.5mm.
∴259.8mm≤AD≤295.5mm，
即点A到桌面距离的范围为259.8mm～295.5mm.
9. 为测量一座古塔的高度，三个数学探究小组分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：
课题 测量古塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等工具 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 古塔AB与地面BC垂直，第三组方案中ED与地面BC垂直，点B，C，D在一条直线上 测量数据 CD＝10米， ∠ACB＝60°， ∠ADB＝45° CD＝38米， ∠ACB＝60°， ∠ADB＝45° CD＝10米，
∠ACB＝60°，
∠ECD＝45°
(1)哪个小组的数据无法计算出古塔的高度？
第三小组的数据无法计算出古塔的高度．
(1)求灯杆AB的高度；(结果保留根号)(共24张PPT)
微技能
角平分线模型及构造
第四章 几何初步与三角形
模型分析及典例
1
针对练习
2
类型一 构造轴对称图形
模型分析及典例
1
作垂线 条件 OP平分∠MON，PA⊥OM于点A.
图示和 辅助线
结论 △BOP≌①_______
△AOP
截等长 条件 OP平分∠MON.
图示和 辅助线
结论 △BOP≌②________
△AOP
三线 合一 条件 OP平分∠MON，AP⊥OP.
图示和 辅助线
结论 结论△BOP≌③________
△AOP
【例1】如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，∠ABC 的平分线BE 交CD 于E，当BC＝6，△BCE 的
面积为12 时，DE的长为( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
C
点拨：
【例2】已知△ABC 中，D 为BC 的中点，AG 平分∠BAC，CG⊥AG 于G，连接DG，若AB＝6，AC＝4，则DG 的长是________．
1
点拨：
类型二 作平行线构造等腰三角形
条件 OP平分∠MON. 作边的 平行线 图示和 辅助线
结论 OQ＝④______，△OPQ是⑤______三角形
PQ
等腰
作角平 分线的 平行线 图示和 辅助线
结论 OA＝⑥______，△AOB是⑦_______三角形
OB
等腰
【例3】如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，BE 平分∠ABC 交CD 于点E，若BC＝12，BD＝2AD，CE＝2DE，则AB的长是_________．
9
点拨：
1. 如图，四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠BCD＝90°，AB＝4，DC＝6，BC＝8，则四边形ABCD 的面积为( )
A. 28
B. 32
C. 36
D. 40
C
针对练习
2
点拨：
2. 如图，P 是△ABC 内一点，且BP 平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC，若△PAB 的面积为6，△PBC 的面积为8，则△PAC的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
点拨：
3. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE 相交于点O，BD 交AC 于点D，CE 交AB 于点E，若已知△ABC的周长为20，BC＝7，AE∶AD＝4∶3，则AE的长为 ________．
点拨：
4. 如图，在△ABC中，BC＝6，E，F 分别是AB，AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于 Q，当CQ＝CE 时，EP＋BP＝________．
12
点拨：
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC于点D．
(1)若AB＝4，BC＝7，求的值；
(2)请判断和之间的数量关系，并证明.(共11张PPT)
微技能 截长补短法
第四章 几何初步与三角形
模型分析及典例
1
针对练习
2
模型分析及典例
1
模型 情境 条件：∠B＝2 ∠C，AD平分∠BAC 证明：AB＋BD＝AC 辅助线 作法 截长法： 在AC上截取 AM＝AB，连接DM 补短法：延长AB至点M，使AM＝AC，
连接DM
问题 转化 证明：BD＝①______ 证明：BD＝③______
证明 思路 通过证明△ABD≌△AMD 得到BD＝②_____，根据∠AMD＝∠B＝2∠C从而 得到∠MDC＝∠C，利用等角对等边即可证明 通过证明△AMD≌△ACD得到∠M＝④_____，根据∠ABD＝2∠C从而得到∠M＝ ∠BDM，利用等角对等边即可证明
CM
DM
BM
∠C
总结 1. 常用“截长补短法”证明线段之间的和差(含倍分)关系；
2. 通过“截长”或“补短”将三条线段之间的关系转化为两条线段之间的关系
【例】如图， 在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，CE⊥AD于点E，延长CE 交AB 于点F. 求 证：AD＝CF＋2DE.
证明：如解图，在EA上截取EG＝DE，连接CG，则DG＝2DE.
∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＋∠ACE＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠CEA＝90°.
∴∠ACE＋∠CAG＝90°.∴∠DCE＝∠CAG.
∵AD平分∠BAC，∴∠CAG＝∠BAD.
∵DE＝EG，CE⊥DG.∴CD＝CG.∴∠CDG＝∠CGD.
又∵∠CDG＝∠B＋∠BAD，∠CGD＝∠GCA＋∠CAG，
∴∠B＝∠GCA.又∵BC＝AC，∴△BCF≌△CAG.
∴CF＝AG.∴AD＝AG＋DG＝CF＋2DE.
1. 如图，在四边形ABCD 中，BC ＞ BA，∠A＋∠C＝180 °，且∠C＝60 °，BD 平分∠ABC. 求证：BC＝AB＋CD.
针对练习
2
证明：如解图，在BC上截取BE＝BA，连接DE.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.
又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD.
∴∠A＝∠BED.
∵∠BED＋∠DEC＝180°，∴∠A＋∠DEC＝180°.
又∵∠A＋∠C＝180°，∴∠C＝60°＝∠DEC.
∴△CDE是等边三角形．
∴DE＝CD＝CE.∴BC＝BE＋CE＝AB＋CD.
2. 如图，△ABC 和△ABD 是具有公共边AB 的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝ ∠ADB＝90°，连接CD．求证：AD－BD＝CD.
证明：如解图，在AD上截取AE＝BD，连接CE，
设AD与BC的交点为F. ∵在△ACF和△BDF中，∠ACF＝
∠BDF＝90°，∠AFC＝∠BFD，∴△AFC∽△BFD.
∴∠CAE＝∠CBD.
又∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCD.∴CE＝CD，∠ACE＝∠BCD.(共28张PPT)
微技能 手拉手模型
第四章 几何初步与三角形
模型分析及典例
1
模型构造及典例
2
针对练习
3
问题情境
如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，将△ADE绕点A旋转，连接BD，CE，延长BD交CE于点F
模型分析及典例
1
条件 AB＝AC，AD＝AE ＝
模型 类别 全等 相似
特点 共顶点，等顶角，双等腰 共顶点，等顶角，两边成比例
结论 △ABD≌①________； ∠BFC＝∠BAC △ABD∽②_______；
∠BFC＝∠BAC
△ACE
△ACE
【例1】如图， 在Rt△ABC 中，∠ABC＝90 °，分别以AB，AC 为边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，
连接DE，若AB＝ 3，AC＝5，则ED＝( )
A. 2 B. 2
C.4 D. 3
C
点拨：∵在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝5，∴由勾股定理得BC＝4.∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD，即∠BAC＝∠DAE.
∴△ABC≌△ADE(SAS)．∴DE＝BC＝4.
模型构造及典例
2
连接 拉手 线 条件和图示 共顶点的4条线段：
1.∠DAE＝∠BAC；
2. ＝＝k(k为定值)
辅助线作法 连接BD
结论 若k＝1,则△ABD≌③______；
若k≠1，则△ABD∽④_______
△ACE
△ACE
构造等 顶角 条件和图示 共顶点的3条线段，＝k(k为定值)
辅助线作法 构造等顶角和另一个三角形(以在AD左侧构
造△ADE为例，使∠DAE＝∠BAC，＝k)
结论 若k＝1,则△ABE⑤______△ACD；
若k≠1,则△ABE⑥_______△ACD
≌
∽
【例2】如图，△ABD，△CDE是两个等边三角形，连接BC，BE.若∠DBC＝30 °，BD＝6，BC＝8， 则BE＝_______．
10
点拨：
【例3】如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝， 以BC 为腰，C 为顶点作等腰三角形BCD，且∠BCD＝120 °，连接AD，则AD 的长是_______．
5
点拨：
1. 如图，点C 在线段AB 上，在AB 的同侧作等边三角形ACM 和等边三角形BCN，连接AN，BM，若∠MBN＝38 °，则∠ANB 的度数是( )
A. 90°
B. 82°
C. 80°
D. 75°
B
针对练习
3
点拨：∵△ACM和△BCN都是等边三角形，∴AC＝MC，CB＝CN，∠ACM＝∠BCN＝∠CBN＝∠CNB＝60°.∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB. ∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴∠ANC＝∠MBC.∵∠MBN＝38°，∴∠MBC＝60°－∠MBN＝60°－38°＝22°，
∴∠ANC＝22°.∴∠ANB＝22°＋60°＝82°.
2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90 °，tan ∠ABC＝， 将△ABC 绕A 点顺时针方向旋转角α(0 °<α<90 °)得到△AB'C'，连接BB'，CC'，则△CAC' 与△BAB' 的面积的比值是 ( )
A. B.
C. D.
C
点拨：
3. 两个大小不同的等腰直角三角板如图1 所示摆放，将两个等腰直角三角板抽象成如图2 所示的△ABC 和△AED，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，点B，C，E 依次在同一条直线上，连接CD，CE．若BC＝4，CE＝2，则△DCE 的面积是______．
6
点拨：
4. 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D 为Rt△ABC 右侧外一点，连接BD，CD，且∠BDC＝45°．连接AD，若△ACD 的面积为，则线段CD 的长度为_______．
点拨：
5. 如图，在△ABC 和△ADE 中，点D 在BC边上，AC 与DE 相交于点F．若∠BAC＝∠DAE ＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，＝，则的值是_______．
3
点拨：
6. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，P为AB 的中点，过点P作PM⊥AB 交AC于点M．将△APM 绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，如图2 .
(1)在旋转过程中，CM 与BP 之间的数量关系是否发生变化？若不变化，求出它们之间的数量关系；若变化，请说明理由；
(2)当△APM 绕点A 顺时针旋转至B，P，M三点共线时，求线段BM 的长．(共31张PPT)
微技能 一线三等角模型
第四章 几何初步与三角形
模型分析及典例
1
模型构造及典例
2
针对练习
3
类型一 同侧一线三等角模型
模型分析及典例
1
基本模型 一线三垂直变式 相似 条件：∠1＝∠2＝∠3 结论：△ACP∽①______ 结论：△ACF ∽③______
结论：△ACP ∽⑤______
△BPD
△BAD
△BED
基本模型 一线三垂直变式 全等 若添加条件：②_______， 可得△APC≌△BDP，AB＝AC＋BD 若添加条件： ④______，可得△ACF≌ △BAD 若添加条件：
⑥_____，可得△ACP≌ △BED
②AC＝BP(或AP＝BD或CP＝PD)
④AC＝BA(或AF＝BD或CF＝AD)
⑥AC＝BE(或AP＝BD或CP＝ED)
【例1】如图，在四边形ABEF中，AB＝4，EF＝6，C是BE上一点，连接AC，CF，若AC＝CF，∠B＝ ∠E＝ ∠ACF，则BE 的长为_______．
10
【例2】如图，点E，F 分别在矩形ABCD的边AB，BC 上， 连接EF，DF， 且∠EFD＝90 ° . 若BF＝3，BE＝4，CD＝9，则FC 的长为_______．
12
点拨：
类型二 异侧一线三等角模型
基本模型 一线三垂直变式
相似 条件：∠1＝∠2＝∠3 结论：△ACP∽⑦______
结论：△ACP∽⑨_______
△BPD
△DPB
基本模型 一线三垂直变式
全等 若添加条件：⑧_____，可得△ACP≌△BPD，AB＝AC－BD 若添加条件： ⑩________，可得△ACP ≌ △DPB，AB＝CP－BD
⑧AC＝BP(或AP＝BD或CP＝PD)
⑩AC＝DP(或AP＝DB或CP＝PB)
【例3】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝90°，AB＝AD，连接AC，且AC⊥CD， 过点B 作BE⊥AC 于点E， 若CD＝2，CE＝2AE， 则BC的长是_______.
点拨：
【例4】如图，E 是矩形ABCD 的边CB上一点，连接DE，AF⊥DE 于点F.若AB＝3，AD＝2，CE＝1, 则DF 的长是______.
点拨：
模型构造及典例
2
当一条直线上有两个等角时，常构造一线三等角
同侧一线三垂直
异侧一线三垂直
【例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4 的图象与x 轴和y 轴分别交于点A，B，点C在第一象限内，连接BC，AC，若△ABC 是等腰直角三角形，则点C的坐标是________.
(7，3)
点拨：
1. 如图，△ABC 是等边三角形，D，E 分别是AB，AC 上的点，连接DE，沿直线DE 折叠△ADE，使点A 的对应点F 恰好落在BC边上，已知△ABC 的边长为9，BD＝5，BF＝2，则CE 的长度是 ( )
A. 2 B.
C. 3 D.
D
针对练习
3
点拨：
2. 如图， 在△AOB 中， ∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A 在反比例函数y＝(x>0)的图象上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝(x<0)的图象上运动，则m 的值为 ( )
A．－9
B．－12
C．9
D．12
A
点拨：
3. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC＝BC，D 为△ABC 内一点，且∠BCD＝∠CAD，若CD＝4，则△BCD 的面积为_______．
8
点拨：
4. 如图， 在矩形ABCD 中，BC＝16，AB＝8，Rt△BEF 的顶点E 在边CD 上，且∠BEF＝90 °，BE＝2EF， 连接DF，DF＝3，则tan ∠DEF 的值是________．
点拨：
5. 如图，四边形ABCD 是边长为10 的正方形，E 是BC 边上一动点(与B，C 不重合)，连接AE，G 是BC 延长线上的点，过点E 作AE 的垂线交∠DCG 的平分线于点F，过点F 作FG⊥BC 交BC 的延长线于点G.
(1)求证：△ABE ∽△EGF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，FG⊥BC，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°.
∴∠BAE＋∠AEB＝90°＝∠AEB＋∠GEF.
∴∠BAE＝∠GEF.
∴△BAE∽△GEF.
(2)若EC＝2，求△CEF 的面积；
(3)当EC为何值时，△CEF的面积最大，并求出△CEF的最大面积.(共37张PPT)
微技能 与中点有关的构造问题
第四章 几何初步与三角形
模型分析及典例
1
针对练习
2
类型一 遇中点，构造中位线
模型分析及典例
1
条件、图示和辅助线 两个中点(D，E分别是AB，AC的中点)
条件、图示和辅助线 1个中点(D是AB的中点)
结论 DE∥BC，DE＝①________BC；△ADE∽ ②_______ △ABC
【例1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∠C＝45°，EF＝3，BF＝5，EF⊥BC于点F，连接DF，则DF的长是_______.
5
点拨：
【例2】如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝6，则AF的值是________.
2
点拨：
类型二 遇斜边的中点，构造斜边上的中线
条件 ∠ACB＝90°，D是AB的中点
图示和辅助线
结论 CD＝③_______AB
【例3】如图，四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠BAD＝∠CBD＝90°，∠ADC＝60°，BC＝2，E是CD的中点，连接 AE，则AE的长是________.
点拨：
类型三 遇等腰三角形＋底边中点，构造三线合一
条件 AB＝AC，D是BC的中点.
图示和辅助线
结论 AD⊥BC，∠BAD＝④_________
∠CAD
【例4】如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是_________.
6
点拨：如解图，连接AF.
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD.
∵E是AC的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6.
类型四 遇过中点的垂线，联想垂直平分线
条件 D是BC的中点，DE⊥BC.
图示和辅助线
结论 CE＝⑤_______
BE
【例5】如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点．OE⊥AC交BC于点E，交AD于点F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长是______．
点拨：
类型五 构造倍长中线或类中线
倍长 中线 条件 D是线段BC的中点
图示
倍长 中线 辅助线作法 延长AD到点E，使DE＝AD(或过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E)，连接CE
结论 △ABD≌⑥_______
△ECD
类型五 构造倍长中线或类中线
倍长类中线 条件 D是线段BC的中点
图示
倍长类中线 辅助线作法 延长ED到点F，使DF＝DE(或过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F)，连接CF
结论 结论△BDE≌ ⑦_________
△CDF
【例6】如图，在△ABC中，AC＝3， AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥ AC，则△ABC的周长为________．
点拨：
【例7】如图，在△ABC中，∠BAC＝ 90°，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，DE⊥DF，若BE＝3，CF＝4，则EF的长是_________．
5
点拨：
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M是AB边上的动点，点D，E分别是CN，MN的中点，则DE的最小值是_______．
针对练习
2
点拨：
2. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，连接AD，则AD长度的取值范围是_______．
2点拨：
3. 如图， 正方形ABCD 的边长为2， 点E 是CD 的中点，点H 是AE 的中点，过点H 作GH⊥AE 交BC 边于点G，则BG＝_______．
点拨：
4. 如图，△ABC 中，BC＝18，BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，F，G 分别为BC，DE 的中点，若ED＝10，则FG 的长为_____．
点拨：
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC＝8，D 在AB 边上，CD＝AC,BD＝2，过点B 作BE⊥AC 于点E， 则BE 的长是_____.
点拨：
6. 如图， 在△ABC 中， ∠BAC＝90 °，AD平分∠BAC，点E 为BC 边的中点，过点E 作EF ∥ AD， 交AC 于点F， 交BA 的延长线于点G， 若AF＝1.5，CF＝4.5， 则△ABC 的面积为_________.
9
点拨：

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