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第25 课时 尺规作图
第七章 尺规作图与图形的变化
考点梳理典例串
1
聚焦辽宁新中考
2
一、作一条线段等于已知线段
已知 线段a
求作
线段OA，使OA=a
作法
1. 作射线OP；2. 以点O为圆心， ①___________为半径画弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段.
a
考点梳理典例串
1
作图依据
圆上的点到圆心的距离等于半径
应用
作等长线段、整数倍长线段
【例1】已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ ABC，使AB=c，AC=b，BC=A.
解：如解图，△ABC即为所求作．
二、作一个角等于已知角
已知
∠AOB B
求作
∠A'O'B', 使∠A'O'B'= ∠AOB
作法
1. 作射线O'A'；2. 以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 于点C，交OB 于点D；3. 以点O' 为圆心，②____________长为半径画弧，交O'A'于点C'；4. 以点C' 为圆心， ③_________长为半径画弧，交前面的弧于点D'；5. 过点D' 作射线O'B'，∠A'O'B' 即为所求作的角
OC(或OD)　
CD
作图依据
1. 三边分别相等的两个三角形全等；
2. 全等三角形的对应角相等
应用
作等角，作平行线
【例2】已知：如图，直线l 及直线l 外一点P.
求作：过点P 作直线l 的平行线m.
解：如解图，直线m即为所求作．
三、作角的平分线
已知
∠ AOB
求作
∠ AOB 的平分线
作法
1. 以点O 为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于点M，交OB 于点N；
2. 分别以点M，N 为圆心，大于 ④________的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C；
3. 作射线OC，射线OC 即为∠ AOB 的平分线
MN
作图依据
1. 三边分别相等的两个三角形全等；
2. 全等三角形的对应角相等
应用
1. 平分角；2. 在角内部找一点，使该点到角两边的距离相等
【例3】已知：如图，在Rt △ ABC 中，∠C=90° .
求作：在AC 上找一点P，使得点P 到AB 的距离等于PC.
解：如解图，点P即为所求作．
四、作线段的垂直平分线
已知
线段AB
求作
线段AB的垂直平分线
作法
1. 分别以点A，B为圆心，大于 ⑤___________的长为半径，在AB两侧画弧，两弧相交于M，N两点；2. 作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线
作图依据
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
应用
作直角(垂直)、平分线段(找线段的中点)，过圆外一点作圆的切线
【例4】已知：如图，线段a, h. 求作：等腰△ABC，使得底边长BC=a, BC边上的高等于h.
解：如解图，△ABC即为所求作．
五、过直线上一点作已知直线的垂线
已知
直线l及直线l上一点P
求作
直线PM，使得PM⊥l
作法
1. 以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A和点B；2. 分别以点A，B为圆心，大于⑥________的长为半径向直线同侧作弧，两弧相交于点M；3. 作直线PM，则直线PM即为所求作的垂线
作图依据
等腰三角形的三线合一
应用作
直角(垂线)，过圆上一点作圆的切线
【例5】已知：如图，线段a, B. 求作：Rt△ABC，使得∠ABC=90°，AC=b，BC=A. ab求作直线PM，使得PM⊥l
解：如解图，△ABC即为所求作．
六、过直线外一点作已知直线的垂线
已知
直线l及直线l外一点P
求作
直线PN，使得PN⊥l
作法
1. 在直线l另一侧取点M；2. 以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线l于点A，B；3. 分别以点A，B为圆心，大于⑦_________的长为半径画弧，在点M同侧交于点N；4. 作直线PN，则直线PN即为所求作的 垂线
作图依据
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
应用
作直角(垂线)
【例6】已知：如图，已知△ABC，∠BAC=90°，求作：在BC上找一点D，使△CAD∽△ABD. ABC求作直线PN，使得PN⊥l
解：如解图，点D即为所求作．
1. [2024 铁岭开原市二模]下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°.
求作：Rt△ABC 的外接圆.
作法：如图2.
聚焦辽宁新中考
2
命题点1 尺规作图的依据
(1) 分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q 两点；
(2)作直线PQ，交AB 于点O；
(3)以O 为圆心，OA 为半径作
⊙O， ⊙O 即为所求作的圆.
下列不属于该尺规作图依据的是 (　　)
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端
D
命题点2 根据作图步骤和痕迹判断并计算 <3 卷2 考>
2. [2024 辽宁样卷第10 题3 分] 如图，线段AB=8，点P 在线段AB 上，且AP=5，分别以点A 和点B 为圆心，AP 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和点D，连接AC，BC，AD，BD，则点C 到边AD 的距离是 ( )
A
点拨：
B
点拨：
4. [2024 营口二模] 在△ ABC 中，点M 在AB 边上，且AM=AB，阅读以下作图步骤：
① 以点B 为圆心，以适当长为半径画弧，
交BA 于点D，交BC 于点E；
② 以点M 为圆心，以BD 长为半径画弧，交MA 于点D'；
③ 以点D' 为圆心，以DE 长为半径画弧，交前一条弧于点E'；
④连接ME' 并延长，交AC 于点N，如图所示.
根据以上作图，一定可以推得的结论是(　　)
A
点拨：
5. [2024 沈阳苏家屯中学零模] 如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
(1)作线段AB，分别以A，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C，连接AC；
(2)以C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧
交AC 的延长线于点D；
(3)连接BD，BC.
下列说法不正确的是 ( )
A. △ABC是等边三角形
B. ∠CBD=30°
C. 点C在BD的中垂线上
D. sin2A+cos2D=1
D
点拨：
6. [2024沈阳二模]如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，点D在AB边上，AD=AC=2，连接CD，在DC，DB上截取DE，DF，使DE=DF，以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线DG，交BC于点H，则DH= ( )
B
点拨：
7. [2024辽宁真题第15题3分]如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD>AB，AD=a，AB=10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE. 以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AEC的
内部相交于点P，作射线EP，与AD相
交于点F，则FD的长为_______(用含a的代数式表示).
a－10
点拨：
命题点3 判断作图痕迹并计算
8. [2024鞍山铁东区二模]如图，在△ABC中，∠B=90°，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是 ( )
①DA=DC；
②∠CDE=∠CAB；
③AB+EC=AC.
A. ①②③ B. ②③ C. ② D. ③
B
点拨：
9. [2024营口一模]如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，AB=6，若△ABF的周长为14，则点F到线段BC的距离是 ( )
B
点拨：
命题点4 自主作图 <3卷1考>
10. [2024辽宁省一模第21题8分]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC的延长线上，过点C的切线与OD相交于点E.
(1)如图1，当∠OEC=3∠A时，
求证：DO=DB；
证明：如解图1，连接OC.
∵CE是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，∴CE⊥OC.
∴∠OCE＝90°.∴∠COE＝90°－∠OEC.
∵∠OEC＝3∠A，∠COB＝2∠A，
∴∠DOB＝∠COE＋∠COB＝90°－∠OEC
＋2∠A＝90°－3∠A＋2∠A＝90°－∠A.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠B＝90°－∠A. ∴∠B＝∠DOB. ∴DO＝DB.
(2)如图2，尺规作图：作弧AmC关于弦AC所在直线的对称图形弧AnC(保留作图痕迹，不写作法).
如解图2，弧AnC即为所求作．
点拨：(共22张PPT)
第25课时 尺规作图
第七章 尺规作图与图形的变化
1. [2024北京]下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图 方法.
(1)如图，以点O为圆心，任意长
为半径画弧，分别交OA，OB
于点C，D；
(2)作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；
(3)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是(　　)
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
A
2. [2024河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的(　　)
A. 角平分线
B. 高线
C. 中位线
D. 中线
B
A
4. [2024武汉]小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①如图，画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD.若∠A＝ 44°，则∠CBD的大小是(　　)
A. 64° B. 66°
C. 68° D. 70°
C
5. [2024大连中山区四模]如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连接CD.若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为(　　)
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
D
【点拨】根据作图可知MN是线段BC的垂直平分线，∴CD＝ BD，∴△ACD的周长为AC＋CD＋AD＝AC＋BD＋AD＝AC＋AB＝4＋8＝12.
6
【点拨】由作图可知BP平分∠ABC，∵AD是边BC上的高，MN⊥AB，MN＝2，∴MD＝MN＝2.
∵AD＝4MD，∴AD＝8，∴AM＝AD－MD＝6.
8. [2024烟台]某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
【点拨】对于题图中的第2个，由△OAD≌△OBC(SAS)，得∠OAD＝∠CBO，再证△CAP≌△DBP(AAS)，得CP＝DP，再证△OCP≌△ODP(SSS)，即可得OP为∠AOB的平分线；对于题图中的第3个，由CP∥OB，CP＝OC，易得OP为∠AOB的平分线；对于题图中的第4个，利用等腰三角形的三线合一判断．
9.尺规作图问题：
如图①，点E是 ABCD边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点.
小明：如图②，以点C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦……我明白了！
(1)求证：AF∥CE；
证明：根据小明的作法知，CF＝AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
又∵CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE.
(2)指出小丽作法中存在的问题.
解：以点A为圆心，CE长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意，故小丽的作法有问题．
10. [2024沈阳调研]如图，小明家的房前有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上. 请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
解：如解图，⊙O即为圆形花坛．(共30张PPT)
第26 课时 投影与视图
第七章 尺规作图与图形的变化
考点梳理典例串
1
聚焦辽宁新中考
2
一、投影
概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面(底面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影
考点梳理典例串
1
类别
平行投影
由平行光线形成的投影是平行投影；当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.
【温馨提示】物体在太阳光照射下可以看成平行投影；正投影是平行投影中的一种
中心投影
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影
【例1】下列光线所形成的投影是平行投影的有_____； 是中心投影的有_________. (填序号)
①太阳的光线；
②台灯的光线；
③手电筒的光线；
④路灯的光线
①
②③④
二、三视图的概念、画法及还原
概念
在正面内由前向后观察物体得到的视图叫做 ①_________
在侧面内由左向右观察物体得到的视图叫做 ②_________
在水平面内由上向下观察物体得到的视图叫做 ③__________
主视图
左视图
俯视图
画法
1. 主视图与俯视图要长对正，主视图与左视图要 ④__________，左视图与俯视图要 ⑤______________ ；
2. 看得见的轮廓线画⑥____________ ，看不见的轮廓线画⑦__________ .
高平齐
宽相等
实线
虚线
【例2】在如图的方格图中画出如图所示(图中单位：cm)的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表1 cm.
解：如解图．
三视图还原几何体
根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，结合虚实线确定原几何体的形状
三、常见几何体的三视图
【例3】[2024盘锦一中二模]打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，图中是一款陀螺的示意图，其主视图为( )
A
四、几何体的展开图
正方体(图中颜色相同的面为相对面)
“一四一”型
口诀：中间四个面，上下各一面
“二三一”型
口诀：中间三个面，一、二隔相见
“二二二”型
口诀：中间两个面, 楼梯天天见
“三三”型
口诀：中间没有面，三、三连一线
【温馨提示】1. 用“排除法”判断展开图：
①若出现 ，另两面必须在两侧，即“一线不过四”；
②不能出现图形 ，即“田凹应弃之”.
2. 一般方法判断展开图：
①同一行或同一列间隔一个面的是相对面，如 ；
②不在同一行的，“Z”字型两端的面是相对面，如 .
其他常见几何体
【例4】下列图形是正方体展开图的是( )
C
【例5】如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是( )
A. 发
B. 现
C. 之
D. 美
D
【例6】如图所示的平面图形是某多面体的表面展开图，则该多面体的名称是( )
A. 四棱锥
B. 四棱柱
C. 三棱锥
D. 三棱柱
D
1. [2024 辽宁样卷第2 题3 分] 如图是由4 个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )
D
聚焦辽宁新中考
2
命题点1 三视图的判断<3 卷3 考>
2. [2024 辽宁真题第1 题3 分] 如图是由5 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )
A
3. [2024 辽阳一中四模]下列几何体中，左视图是矩形的有( )
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
B
4. [2024 本溪二模] 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是 (　　)
C
5. [2024 朝阳五中模拟改编] 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是( )
B
6. [2024 辽宁百校联考一模] 如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是 ( )
B
命题点2 由三视图还原几何体
7. [2024 盘锦一中一模] 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为 ( )
B
命题点3 立体图形的展开与还原
8. [2024 营口二模] 下列图形是圆柱侧面展开图的是 (　　)
D
9. [2024 大连三十四中模拟] 如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，-3，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则A= ( )
A. -1
B. -2
C. 1
D. 2
B
点拨：(共9张PPT)
第26课时 投影与视图
第七章 尺规作图与图形的变化
1. [2024辽宁省一模第2题3分]如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是(　　)
A
2. [2024大连多校联考]下列几何体中，俯视图是三角形的是 (　　)
B
3. [2024阜新海州区一模]如图是一个球与三个正方体组成的几何体，则它的左视图是(　　)
B
4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是(　　)
B
5. [2024丹东五中三模]如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成. 判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变(　　)
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
B
6. [2024威海]下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成 的. 其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是(　　)
D
7. 中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型(如图所示)摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池. 类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为(　　)
B
8. [2024营口一模]如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数相等，则方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　)
A. 无实根
B. 有一个实根
C. 有两个相等实根
D. 有两个不相等实根
A(共21张PPT)
第 27课时 图形的对称(含折叠)
第七章 尺规作图与图形的变化
考点梳理典例串
1
聚焦辽宁新中考
2
考点梳理典例串
1
一、轴对称图形与中心对称图形
类别 轴对称图形 中心对称图形
图示
判断方法
轴对称图形
1. 找对称轴；2. 将图形沿对称轴折叠；3. 对称轴两边的图形完全重合
中心对称图形
1. 找对称中心；2. 将图形绕对称中心旋转①_______；3. 旋转后的图形与原图形完全重合
180°　
【例1】判断下列图形：①等腰三角形，②等边三角形，③等腰 直角三角形，④平行四边形，⑤矩形，⑥菱形，⑦正方形，⑧正五边形，⑨正六边形，⑩圆.
(1)轴对称图形有：_______________________；
(2)中心对称图形有：___________________；
(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形的有：_____________；
①②③⑤⑥⑦⑧⑨⑩
④⑤⑥⑦⑨⑩
⑤⑥⑦⑨⑩
二、成轴对称与成中心对称
类别 成轴对称 成中心对称
图示
性质
成轴对称
1. 成轴对称的两个图形是全等的；2. 对应点所连线段被对称轴 ②_________________
成中心对称
1. 成中心对称的两个图形是③__________的；2. 对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心 ④___________
垂直平分
全等　
平分　
作图方法
成轴对称
1. 确定对称轴；2. 找原图形中的关键点；3. 由关键点向对称轴作垂线段，并延长相同长度，得到其对应点；4. 按原图形顺序依次连接各关键点的对应点即可得到轴对称变换后的图形
成中心对称
1. 确定对称中心；2. 找原图形中的关键点；3. 连接关键点和对称中心，并延长相同长度，得到其对应点；4. 按原图形顺序依次连接各关键点的对应点即可得到中心对称变换后的图形
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，-1)，B(1，-2)，C(3，-3).
(1) 请画出与△ABC关于原点O
对称的△A1B1C1；
(2) 请画出△A1B1C1关于y轴对称
的△A2B2C2.
解：(1)如解图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如解图，△A2B2C2即为所求．
三、图形的折叠
实质
折叠问题是轴对称变换
性质
1. 位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；2. 折叠前后的两部分图形全等；3. 折叠前后对应点的连线被折痕⑤_________
垂直平分　
性质(图形示意)
1. AB'=AB=CD, B'C= ⑥_________ =AD；
2. ∠ B'AC= ∠ BAC= ∠ DCA，∠ B'CA= ⑦_________=∠DAC，
∠AB'C=⑧_____________ =∠D=90°；
3. △ AB'C≌ ⑨_________；
4. OA= ⑩_________，△OAC是 _________三角形，
OB'= _________，△ OAB' ≌ _________ ；
5. BB' _________AC，B'E = _________ = BB'
BC　
∠BCA　
∠ABC　
△ABC　
OC　
等腰　
OD　
△OCD　
⊥
BE
【例3】在矩形ABCD中，AB= 6 cm，AD=18 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，如图所示，则DE的长为( )
A. 6 cm B. 8 cm
C. 10 cm D. 12 cm
C
点拨：
1. [新趋势数学文化][2024 辽宁省一模第4 题3 分 ]勾股，为古代传统数学的一个分支，《九章算术》勾股章是中国古代最早的系统的勾股理论. 下列图形是《九章算术》“注释”中的图形，其中是轴对称图形的是 ( )
D
聚焦辽宁新中考
2
命题点1 对称图形的识别<3 卷3 考>
2. [新趋势传统文化][2024 鞍山立山区四模]中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是 ( )
D
3. [新趋势传统文化][2024 辽宁真题第7 题3 分]纹样是我国古代艺术中的瑰宝. 下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
B
4. [2024 辽宁样卷第3 题3 分]下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
D
5. [新趋势传统文化][2024 大连多校联考]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是( )
A
6. [2024 沈阳二模]下列四个图形中，对称轴最多的图形是( )
A
命题点2 图形的折叠
A
点拨：(共24张PPT)
第28课时 图形的平移和旋转
第七章 尺规作图与图形的变化
考点梳理典例串
1
聚焦辽宁新中考
2
一、图形的平移
图示
考点梳理典例串
1
要素
1. 平移方向；2. ①___________
性质
1. 平移前后，各组对应点所连的线段平行(或共线)且②_______；
2. 对应线段平行(或共线)且③__________，对应角④_______；
3. 平移后的图形与原图形⑤__________
平移距离
相等
相等
相等
全等　
作图步骤
1. 确定平移方向和平移距离；
2. 找出原图形的关键点；
3. 按平移方向和平移距离平移各关键点，得到它们的对应点；
4. 按原图形顺序依次连接各关键点的对应点即可得到平移后的图形
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将△ABC沿直线BC向右平移1. 5个单位长度得到△DEF，连接AD，有下列结论： ①△DEF是直角三角形；②AD∥BE；③DE⊥AC；④四边形ABFD的周长是15；⑤△DEF的面积是6. 其中所有正确结论的序号是____________.
①②③④⑤
二、图形的旋转
图示
要素
1. 旋转中心；2. ⑥_________；3. 旋转角
性质
1. 对应点到旋转中心的距离⑦_______；
2. 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于⑧_______；
3. 旋转后的图形与原图形⑨___________
旋转方向
相等
旋转角
全等
作图步骤
1. 确定旋转中心、旋转方向和旋转角；
2. 找出原图形的关键点；
3. 连接关键点与旋转中心，将其绕着旋转中心按照旋转方向和旋转角旋转，得到各关键点的对应点；
4. 按原图形顺序依次连接各关键点的对应点即可得到旋转后的图形
【例2】如图，将△AOB逆时针旋转至△ACD的位置，点C在OB上，OA=4. (1)旋转中心为______；(2) 当△AOC为等边三角形时，旋转角为________度，若此时点B的坐标为(6，0)，则AD的长是_______.
点A
60
点拨：
1. [2024 辽宁省一模第7 题3 分] 在平面直角坐标系中，线段AB 的端点A 的坐标是(-1，1)，将线段AB 沿x 轴正方向平移3 个单位长度，得到线段A'B'，点A 的对应点A' 的坐标是 ( )
A. (-4，1) B. (2，1)
C. (-1，4) D. (-1，-2)
B
聚焦辽宁新中考
2
命题点1 图形的平移<3 卷3 考>
2. [2024 大连三十四中一模] 如图，△ ABC 沿着由点B 到点C 的方向平移得到△ DEF，若BC=4，EC=2，那么平移的距离为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
3. [2024 辽宁真题第12 题3分]在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标分别为A(2，-1)，B(1，0)，将线段AB 平移后，点A 的对应点A' 的坐标为(2，1)，则点B 的对应点B' 的坐标为__________.
(1，2)
4. [2024 辽宁样卷第12 题3 分] 如图，△ AOB 的顶点A，B 的坐标分别为(-1，1)，(1，1)，将△ AOB 平移后，点A 的对应点D 的坐标是(1，2)，则点B 的对应点E 的坐标是__________.
(3，2)
5. [2024 丹东二模] 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，0)，B(3， )，C(1， )，将菱形OABC 平移得到菱形O'A'B'C'，若点A 的对应点A' 的坐标为(5，3)，则点B 的对应点B' 的坐标为___________.
命题点2 图形的旋转
6. [2024 鞍山二模] 如图， 在△ ABC 中，∠BAC=117°，将△ ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△ AB'C'. 若点B' 刚好落在BC 边上，且AB'=CB'，则∠ C' 的度数为 ( )
A. 19°
B. 20°
C. 21°
D. 22°
C
点拨：
7. [2024 大连部分学校模拟] 如图，在△ ABC 中，∠ACB=90 °，∠ABC=40 °，将△ ABC 绕点B 逆时针旋转得到△ A'BC'，使点C 的对应点C' 恰好落在AB 边上，则∠ AA'C' 的度数是 ( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
B
点拨：
8. [2024 阜新太平区二模] 如图，在等边三角形ABC 中，AB=4，点D 是BC 的中点，连接AD，将△ ABD 绕点A 逆时针旋转后得到△ ACE，连接DE，则线段DE 的长为 ( )
D
点拨：
9. [2024 本溪二模] 如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A'B'，则点A(-1，4)的对应点A′的坐标是 ( )
A. (1，2)
B. (2，1)
C. (1，4)
D. (4，1)
D
点拨：(共27张PPT)
第28课时 图形的平移和旋转
第七章 尺规作图与图形的变化
1. [2024抚顺顺城区三模]如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为(　　)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 12
B
2. [2024盘锦一中二模]如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)，(4，0)，将△AOB沿x轴正方向平移至△CBD，此时点C的坐标为(　　)
A. (4，4)
B. (5，4)
C. (6，4)
D. (3，4)
B
B
4. 如图，△ABC的边BC长为6 cm.将△ABC平移2 cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 (　　)
A. 8 cm2　　　
B. 10 cm2
C. 12 cm2　　　　　
D. 14 cm2
C
5. [2024天津]如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是(　　)
A. ∠ACB＝∠ACD
B. AC∥DE
C. AB＝EF
D. BF⊥CE
D
【点拨】由旋转的性质，得AB＝DE，∠BCE＝∠ACD＝60°，∴AB＞EF，∠ACB＜∠ACD，故A，C选项错误；
∵∠B＝30°，∴∠B＋∠BCE＝90°，∴BF⊥CE，
故D选项正确；如解图，设CE与BF的交点为H，
设∠ACH＝x°，∴∠ACB＝60°－x°.又∵∠B＝30°，∴∠EDC＝∠BAC＝180°－30°－(60°－x°)＝90°＋x°.∴∠EDC＋∠ACD＝90°＋x°＋60°＝150°＋x°.∵x°不一定等于30°，∴∠EDC＋∠ACD不一定等于180°. ∴AC∥DE不一定成立，故B选项错误．故选D.
6. [2024沈阳东北育才学校调研]如图，在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，连接AC，BD.若点B(－2，－2)的对应点为D(1，2)，则点A(－3，0)的对应点C的坐标是________.
(0，4)
(1，3)
8. [2024辽宁十四地市民间大联考二模]如图，已知点A的坐标为 (－2，0)，点B的坐标为(－1，3)，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是__________.
(1，－1)
9. 如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度)中，△AOB的顶点坐标分别为A(3，0)，O(0，0)，B(3，4).
(1)将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出
平移后的△A1O1B1(不写作法，标出顶点
字母)；
(2)将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋
转后的△A2OB2(不写作法，标出顶点
字母)；
解：如解图，△A1O1B1即为所求．
如解图，△A2OB2即为所求．
(3)在(2)的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长(结果保留π).
10. 如图，已知△ABC的面积为7，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA，连接BE.
(1)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
解：AF⊥BE.理由如下：
如解图，连接BF，由平移的性质
得CA＝BF，AB＝EF，
∵CA＝AE，AB＝AC，∴AB＝BF＝EF＝AE.
∴四边形AEFB是菱形，∴AF⊥BE.
(2)若∠BEC＝15°，求AC的长.
12. 如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4.
(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最小值和最大值；
解：点M，N距离的最小值为1，最大值为3.
(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长.(共27张PPT)
微技能 利用垂线段最短及对称求最值
第七章 尺规作图与图形的变化
模型分析及典例
1
针对练习
2
类型一 一动一定
问题情境
A是直线l外的一个定点，P是直线l上的一个动点，确定点P的位置，使AP的长度最短
图示
模型分析及典例
1
辅助线作法
过点A作AP⊥直线l于点P
结论
当AP ①_________直线l时，AP的长度最短
⊥
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D是斜边 BC上的一个动点，过点D分别作 DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为___________.
点拨：
类型二 两动一定
问题情境
A是∠MON内的一个定点，P，Q分别是射线OM和ON上的动点，确定P，Q的位置，使得AQ+PQ的值最小
图示
辅助线作法
作点A关于ON的对称点A'，过点A'作A'P⊥OM于点P，
交ON于点Q
结论
AQ+PQ的最小值是线段②_______的长
A′P
【例2】如图，在锐角三角形ABC 中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D. M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是_________.
点拨：
类型三 一动两定(胡不归模型)
问题情境
A为直线l上一定点，点B是直线l外一定点，点P为直线上一动点，确定点P的位置，使kAP+BP(0＜k＜1)的值最小
图示
辅助线作法
1. 找带有系数k的线段AP；
2. 构造以线段AP为斜边的直角三角形，将kAP转化为PE，作法如下：①以点A为顶点作∠PAM，使sin∠PAM=k；②过点P作PE⊥AM于点E，则kAP=PE；
3. 化折为直，作法如下：过点B作BE'⊥AM于点E'，交直线l于点P'，点P'即为所求的点P
结论
kAP+BP的最小值是线段③______的长
BE′
【例3】如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，则AM+BM的最小值为_____.
点拨：
1. 如图，已知点A 的坐标为(2，0)，点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，点B的坐标为 ( )
C
针对练习
2
2. 如图，Rt △ ABC 中，∠C=90 °，AC=4，BC=3，P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥ AB 于点D，则PB+PD 的最小值为_____________.
点拨：
3. 如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=9 0 °，AC=2，BC= ，边AB 上有一动点P，将△ ABC 绕点C 顺时针旋转9 0 °得到△ DEC，点A，B 的对应点分别为点D，E，点P 的对应点为P'，连接CP，CP'，PP'，则△ CPP' 周长的最小值为__________.
点拨：
4. 如图，△ ABC 中，AB=AC=15，tan A=2，BE ⊥ AC 于点E，D 是线段BE 上的一个动点，则CD+ BD 的最小值是______________ .
点拨：
点拨：
5. 如图，正方形ABCD 的边长为2，F 为对角线AC 上的一个动点，过点C 作AC 的垂线并截取CE=AF，连接EF，则△ ECF 周长的最小值为__________________.
点拨：
6. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交于A(1，0)，C(-3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3). 若P 为y 轴上一个动点，连接AP，则 BP+2 AP 的最小值为__________________.
点拨：
点拨：(共39张PPT)
微技能 利用两点之间线段最短及对称求最值
第七章 尺规作图与图形的变化
模型分析及典例
1
针对练习
2
类型一 “一线两点”型(两定一动)
考向1 线段和的最小值
问题
A，B 是定点，在直线l 上找一点P，使AP+BP 的值最小
两个定点位于动点所在直线的异侧
图示
模型分析及典例
1
辅助线作法
连接AB 交直线l 于点P
结论
AP+BP的最小值为线段①_________的长
AB
两个定点位于动点所在直线的同侧
图示
辅助线作法
作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P
结论
AP+BP的最小值为线段②_____________的长
AB′
【例1】如图，正方形ABCD 的边长为4，M 是AC 上一动点.
(1) E 是AB 的中点，EM+DM 的最小值是_____________；
(2) 点F在CD上，且DF=1，则DM+ MF的最小值是________.
5
考向2 线段差的最大值
问题
A，B是定点，在直线l上找一点P，使|AP-BP|的值最大
两个定点位于动点所在直线的同侧
图示
辅助线作法
连接AB并延长，交直线l于点P
结论
|AP-BP|的最大值为线段③______的长
AB
两个定点位于动点所在直线的异侧
图示
辅助线作法
作点B关于直线l的对称点B', 连接AB'并延长，交直线l于点P
结论
|AP-BP|的最大值为线段④________的长
AB′
【例2】如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=8，E是AD的中点. 点M在线段BC上，点P在直线BD上.
(1) 若P是线段BD的中点，则|EM－PM|的最大值是_______；
(2) 若CM=2，则|MP－EP|的最大值是_________.
4
点拨：
点拨：
类型二 “一点两线”型(两动一定)
问题
A是∠MON内的一个定点，在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使△APQ的周长最小
图示
辅助线作法
分别作点A关于射线OM，ON的对称点A'，A''，连接A'A''交OM于点P，交ON于点Q
思路
连接OA，OA'，OA''，则OA=OA'=OA''，∠A'OA''=2∠MON
结论
△APQ周长的最小值是线段⑤________的长
A′A″
【例3】已知∠AOB=45°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN周长的最小值为4，则OP的长为______.
点拨：
点拨：
类型三 两定点+ 定长(含造桥选址模型)
问题
A，B 为直线l 外两定点，在直线l 上找两点M，N(点M 在点N左侧)，使得AM+MN+BN 的值最小
图示
A，B 在直线l 同侧
辅助线作法
将AM 平移，使M 的对应点M'与点N 重合，然后可用同侧线段和的最小值模型确定点N, 将点N向左平移定长即可得到点M
问题
直线l ∥直线k，A，B 为直线l 和直线k 外两定点，在直线l，k 上
分别找两点M，N，使MN ⊥直线l，且AM+MN+BN 的值最小
图示
A，B 在直线l 异侧
辅助线作法
将AM 平移，使M 的对应点M' 与点N 重合，然后可用异侧线段和的最小值模型确定点N，将确定好的点N 向直线l 作垂线即可确定点M
思路总结
通过平移，使不共端点的两条线段共端点，从而剔除定长，将三条线段和的问题转化为共端点的两条线段和的问题
【例4】如图，在矩形ABCD 中AB=5，BC=4，E，F 分别是AD，BC 的中点， 点P，Q在EF 上， 且满足PQ=2，则四边形APQB 周长的最小值为____________.
12
点拨：
点拨：
1. [2024 大连五区第三次联考]如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点O 为对角线AC，BD 的交点，点E 为AD的中点，F 为AB 上一动点，若OD=2，则EF+OF 的最小值为 ( )
A
针对练习
2
点拨：
点拨：
点拨：
点拨：
3. 如图，若△ ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=5，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则|PA-PB|的最大值是_______________.
5
点拨：
点拨：
4. [2024 丹东东港市二模] 如图，点P 是∠AOB内任意一点，OP=6 cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若sin ∠AOB= ，则△ PMN 周长的最小值是___________cm.
6
点拨：
点拨：
5. 如图，正方形ABCD 的边长为3，E，F 是对角线BD 上的两个动点，且EF= ，连接CE，CF，则△ CEF 周长的最小值为_________________.
点拨：
点拨：(共67张PPT)
微技能 折叠分类精讲练
第七章 尺规作图与图形的变化
模型分析及典例
1
针对练习
2
类型一 三角形的折叠
类别
折痕(BP)过顶点
条件和图示
点C'落在AC上
结论
①△C'BP≌△CBP；②BP ①__________CC'
垂直平分
模型分析及典例
1
条件和图示
点C'落在AB上
结论
①△C'BP≌△CBP；
②若∠ABC=90°，∠A= 30°，则CP=C'P=C'A
折痕(DP)过两边
条件和图示
结论
①△C'DP≌△CDP；② 若∠ABC=90°，∠A=30°，则常在△BC'D中利用勾股定理；若C'P∥BC，则四边形C'DCP是 ②_________
菱形
【例1】△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=6，D，P分别是BC，AC上的动点，沿DP折叠△CDP得到△C'DP，点C的对应点为C'.
(1)若点D与点B重合.
①如图1，当点C'落在AC上时，
CP的长度是______，AC'的长度是____；
3
6
点拨：
②如图2，当点C'落在AB上时，AC'的长度是_________，CP的长度是____________；
点拨：
(2)如图3，当点C'落在AB上，且AC'= 时，BD的长度是____，CP的长度是______.
2
4
点拨：
类型二 矩形的折叠
考向1 折痕过顶点
类别
折痕(BD)过两个顶点
条件和图示
结论
①△C'BD≌③________，△ABE≌△C'DE；②常在Rt△ABE或Rt△C'DE中利用勾股定理；③ 若连接CC'，则 BD垂直平分CC'
△CBD　
折痕(BP)过一个顶点+一边(折叠三角形)
条件和图示
点C' 落在BD 上
结论
①△ PBC' ≌△ PBC；
② 常在Rt △ DC'P 中利用勾股定理；
③△ DPC' ∽ ④________
△DBC　
条件和图示
点C' 落在AD 上
结论
①△ PBC' ≌△ PBC；
② 常在Rt △ DC'P 中利用勾股定理；
③ Rt△ C'DP ∽ ⑤_________
Rt△BAC′
折痕(BP)过一个顶点+一边(折叠四边形)
条件和图示
A'D' 过点C
结论
① 四边形BA'D'P ≌四边形BADP；
② 常在Rt△A'BC或Rt△D'PC中利用勾股定理；
③ Rt△ A'BC ∽ ⑥__________ ；
④ 若连接AA'，DD'， 则BP垂直平分AA' 和DD'
Rt△D′CP　
【例2】在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是CD边上的一个动点.
(1)如图1，当点P与点D重合时，将△BCP沿BP折叠得到△BC'P，BC'交AD于点E，则AE的长是_____；
点拨：
(2)如图2，将△ BCP 沿BP 折叠得到△ BC'P，当点C' 恰好落在BD 上时，△ C'DP 的面积是_______；
点拨：
(3)如图3， 将△ BCP 沿BP 折叠得到△ BC'P， 当点C' 恰好落在AD 上时，tan ∠ C'BP 的值是_____________；
点拨：
(4)如图4，将四边形ABPD 沿BP 折叠得到四边形A'BPD'，当点C 在A'D' 上时，DP 的长是______________.
点拨：
考向2 折痕过两邻边
类别
折痕为EP
条件和图示
点C' 落在BD 上
结论
①△ EC'P ≌△ ECP；
② 若连接CC'， 则EP 垂直平分CC'
条件和图示
点C' 落在AD 上
结论
①△ EC'P ≌△ ECP；
② 若C'D已知，常在Rt△C'DP中利用勾股定理；
③ 可过点E 作AD 的垂线构造一线三垂直
【例3】在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E，P 分别在边BC，CD 上，将△ CEP 沿直线EP 折叠得到△ C'EP.
(1)如图1， 连接BD， 若点C' 落在BD 上，且EP∥BD，则CP 的长为______；
2
点拨：
(2)如图2，若点C' 落在AD 的中点处，则DP 的长为_____，
CE 的长为______.
点拨：如解图2，过点E作EF⊥AD于点F，
易得EF＝AB＝4，∠D＝∠EFC′＝90°.
∵C′为AD的中点，
∴C′D＝3.
由折叠的性质得C′P＝CP，C′E＝CE.
设DP＝x，则C′P＝CP＝4－x.
点拨：
考向3 折痕过两对边
类别
条件和图示
折痕为EP点C'落在AD上
结论
①四边形EC'D'P≌四边形ECDP；②∠C'PE=∠CEP=∠C'EP，C'P=C'E；③常在Rt△C'D'P中利用勾股定理；④常过点E作EH⊥AD于点H, 则Rt△EC'H≌Rt△C'PD'，据此可求折痕EP的长；④D'，P，C三点共线，若连接CP， 则四边形C'ECP为 ⑦_______
菱形　
条件和图示
点C'与点A重合A
结论
①四边形EC'D'P≌四边形ECDP；②常在Rt△ABE或Rt△AD'P中利用勾股定理；③Rt△AD'P≌Rt△ABE；④ 常过点E作EH⊥AD于点H, 则Rt△EAH≌⑧_________________，据此可求折痕EP的长；⑤若连接CP，则D'，P，C三点共线，四边形AECP为菱形
Rt△APD′(或Rt△AEB)
条件和图示
点C'落在AB边上
结论
①四边形EC'D'P≌四边形ECDP；②Rt△D'PF∽Rt△AC'F；③ 若AC'已知，则在Rt△C'BE中利用勾股定理；④可过点D'作直线BA的垂线构造一线三垂直
条件和图示
C'D'过点A
结论
① 四边形EC'D'P≌四边形ECDP；③常在Rt△AD'P中利用勾股定理；②Rt△D'PA∽ ⑨________________________
Rt△C′AF(或Rt△BEF)
【例4】在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E，P分别在边BC，AD上，将四边形CDPE沿直线PE折叠得到四边形C'D'PE，点C，D的对应点分别是点C'，D'.
(1)如图1，若AP=3PD，则cos∠PC'E的值为_____；
点拨：如解图1，过点E作EH⊥AD于点H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠C′PE＝∠CEP.
由折叠的性质得D′P＝DP，C′D′＝CD＝2，
∠D′＝∠D＝90°，∠C′EP ＝∠CEP，
∴∠C′PE＝∠C′EP .∴C′P＝C′E.
点拨：
(2)如图2，若点C'和点A重合，则折痕PE的长为_______；
点拨：如解图2，过点E作EH⊥AD于点H，易得四边形ABEH是矩形，∴HE＝AB＝2，AH＝BE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝4，∴∠APE＝∠CEP.由折叠的性质得AE＝CE，∠AEP ＝∠CEP，
∴∠APE＝∠AEP .∴AP＝AE.
∴AP＝CE.设CE＝x，
则AP＝AE＝x，BE＝4－x.
点拨：
(3)如图3，若点C'恰好为AB的中点，连接CC'交EP于点G，则EG的长为___________；
点拨：
(4)如图4，若C'D'经过点A，且AD'=2AC'，C'E 交AB于点F，则
的值为_____________.
点拨：
点拨：
1. 如图，矩形ABCO 放置在平面直角坐标系中，其中点B 的坐标是(-9，3)，若将其沿着OB 对折后展开，A' 为点A 的对应点，A'O交BC 于点D，则A'D 的长为 ( )
A. 3
B. 4
C. 4
D. 4. 5
B
针对练习
2
点拨：
2. 如图，将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点A 落到点E 处，交BC 于点F，折痕为BD，若∠ CBD= ∠ CBE，∠ E=12 0°，则∠ DFC 的度数为 ( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 60°
B
点拨：
3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E，F，H，分别是边BC，CD 和AB 上的一点，将正方形ABCD 沿FH 折叠，使点D 恰好落在BC的中点E 处，点A 的对应点为点P，则折痕FH 的长为__________.
点拨：
4. 如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB=6，BC=8，点E，F 分别在边AD，BC上，连接BE，DF. 将△ ABE 沿BE 翻折，将△ DCF 沿DF 翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD 上的点G，H 处，连接GF，则HG=___________.
2
点拨：
5. 如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是 BC 的中点，将△ ABG 沿AG 对折得到△ AFG, 延长GF 交 DC 于点E, 则DE 的长是_______.
2
点拨：
6. 如图，三角形纸片ABC 中，∠ BAC=90°，AB=2，AC=3. 沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，若折痕与AC 的交点为E，则sin ∠ DEA 的值为____________.
点拨：
7. 如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠ B=12 0 °，点M 是AD 的中点，连接MC，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N，则线段EC 的长为___________.
点拨：如解图，过点M作MF⊥DC，交CD的延长线于点F，
则∠F＝90°.∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝120°，
∴AD＝CD＝2，∠ADC＝120°，∴∠FDM＝60°.
点拨：
8. [2024 鞍山华育外国语模拟] 如图，矩形纸片ABCD 中，AD=12，AB=4，点E 在线段BC上，将△ ECD 沿DE 向上翻折，点C 的对应点C' 落在线段AD 上，点M，N 分别是线段AD 与线段BC 上的点，将四边形ABNM 沿MN 向上翻折，点B 恰好落在线段DE 的中点B' 处，则线段MN 的长____________.
点拨：如解图，过点B′作B′F⊥BC于点F，连接BB′交MN于点G，连接BM.易知B′F是△ECD的中位线，CD＝AB＝4，∴B′F＝
CD＝2，CF＝EF.由题意可知，四边形CDC′E是正方形，∴易得△B′EF是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝B′F＝2.易知BC＝AD＝12，∴BF＝BC－CF＝12－2＝10.
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9. [2024 沈阳大东区学情诊断改编] 如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=8，点P 是AD 边上的一个动点，若将矩形ABCD沿线段BP 折叠，使得点A 恰好落在矩形的对称轴上，则AP 的长等于_____________ .
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