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专题分层突破练4　万有引力定律及其应用
A组
1.(2024河南期末)由于地球自转,地球两极和赤道处的重力加速度不同,若地球两极处的重力加速度为g,地球的自转周期为T,将地球看成质量分布均匀、半径为R的球体,则质量为m的物体在赤道处受到的重力大小为(　　)
A.mg B.mR
C.mg+mR D.mg-mR
2.(2024云南昆明期末)2024年5月9日,长征三号乙运载火箭将中国首颗中轨宽带“智慧天网一号01星”通信卫星送入预定轨道。该卫星在预定轨道的运动可视为匀速圆周运动,其轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的,该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期约为(　　)
A.0.1天 B.0.3天
C.0.5天 D.0.8天
3.(2024福建福州期末)2024年2月3日,长征二号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞,以“一箭十一星”的方式发射“吉利星座02组”卫星,随后成功将卫星送入预定轨道,发射任务取得圆满成功。如图所示,“吉利星座02组”卫星在轨道1上运行,地球同步轨道卫星在轨道2上运行,则下列说法正确的是(　　)
A.“吉利星座02组”卫星的线速度比地球同步轨道卫星的线速度大
B.“吉利星座02组”卫星的角速度比地球同步轨道卫星的角速度小
C.“吉利星座02组”卫星的向心加速度比地球同步轨道卫星的向心加速度小
D.“吉利星座02组”卫星的周期比地球同步轨道卫星的周期大
4.(2024江西卷)嫦娥六号探测器于2024年5月8日进入环月轨道,后续经调整环月轨道高度和倾角,实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道),其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(多选)(2024湖南卷)2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过上升器将月壤转移至绕月运行的返回器,返回器再通过返回轨道返回地球。设返回器绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的,月球半径约为地球半径的。关于返回器在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是(　　)
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
6.已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,卫星轨道半径为r,则卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积为(　　)
A.r B.2r
C. D.Rr
7.(多选)天问一号火星探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空。如图所示,设地球半径为R,地球表面的重力加速度为g0,天问一号在半径为R的近地圆形轨道Ⅰ上运动,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道Ⅱ的远地点B时,再次点火进入轨道半径为4R的圆形轨道Ⅲ,绕地球做圆周运动。设天问一号质量保持不变,则(　　)
A.天问一号在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为1∶8
B.天问一号在轨道Ⅲ的运行速率大于
C.天问一号在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅲ上的加速度
D.天问一号在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能
8.(多选)(2024广东卷)如图所示,探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”,探测器与背罩断开连接,背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg,背罩的质量为50 kg,该行星的质量和半径分别为地球的,地球表面重力加速度大小g取10 m/s2,忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有(　　)
A.该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C.“背罩分离”后瞬间,背罩的加速度大小为80 m/s2
D.“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
B组
9.(2024广西桂林模拟)2024年6月2日,嫦娥六号成功着陆月球背面。设想嫦娥六号被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行,周期为T1;当经过近月点M点时启动点火装置,完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行,周期为T2。已知月球半径为R,圆形轨道Ⅱ距月球表面的距离为R,椭圆轨道Ⅰ远月点距月球表面的距离为5R,如图所示,引力常量为G。忽略其他天体对嫦娥六号的影响,则下列说法正确的是(　　)
A.T2>T1
B.月球的质量为
C.月球第一宇宙速度大于轨道Ⅱ上的运行速度
D.嫦娥六号由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其加速才能完成
10.(多选)(2024河北卷)2024年3月20日,鹊桥二号中继星成功发射升空,为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图所示),近月点A距月心约为2.0×103 km,远月点B距月心约为1.8×104 km,CD为椭圆轨道的短轴,下列说法正确的是(　　)
A.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
B.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C.鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
11.(2025广西柳州模拟)我国的北斗系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成,若其中两卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动,且绕行方向相同,如图甲所示;两卫星之间的距离Δr随时间变化的关系如图乙所示,图中R为地球半径,地球表面重力加速度大小为g,不考虑两卫星之间的作用力,计算时≈3。下列说法正确的是(　　)
A.中轨道卫星与同步卫星的轨道半径之比为1∶2
B.中轨道卫星的加速度大小为g
C.图乙中的T为24小时
D.中轨道卫星的运动周期为T
12.(2024北京卷)科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型:在宇宙大尺度上,所有的宇宙物质(星体等)在做彼此远离运动,且质量始终均匀分布,在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点,以质量为m的小星体(记为P)为观测对象。当前P到O点的距离为r0,宇宙的密度为ρ0。
(1)求小星体P远离到2r0处时宇宙的密度ρ;
(2)以O点为球心,以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为m1和m2、距离为R的两个质点间的引力势能Ep=-G,G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。
a.求小星体P从r0处远离到2r0处的过程中动能的变化量ΔEk;
b.宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v=Hr,其中r为星体到观测点的距离,H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关,分析说明H随t增大还是减小。
答案：
1.D　解析 在地球的两极有G=mg,设赤道上物体重力加速度大小为g,在赤道上G-mg0=mR,解得mg0=mg-mR,故A、B、C错误,D正确。
2.C　解析 该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T卫,轨道半径为R卫,同步卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T同,轨道半径为R同,根据开普勒第三定律得,R卫≈R同,解得T卫≈0.5天,故A、B、D错误,C正确。
3.A　解析 根据卫星运动是万有引力充当向心力得G=ma=m=mω2r=mr,可知v=,ω=,a=,T=2π,“吉利星座02组”卫星的线速度、角速度、向心加速度均比地球同步轨道卫星的大,“吉利星座02组”卫星的周期比地球同步轨道卫星的小,故A正确,B、C、D错误。
4.A　解析 设月球的质量为m月,探测器的质量为m,则轨道半径为r时有G=m=mr,解得v=,T=2π,动能Ek=mv2=,可得动能和周期的比值分别为。
5.BD　解析 返回器绕月运行的轨道半径近似为月球半径,则有G=m,在月球表面,由万有引力和重力的关系有G=m'g月,解得v月=;同理可得地球第一宇宙速度即近地卫星的环绕速度v地=,代入题中数据可得v月=v地,故A错误,B正确;根据T=,得T月=T地,故C错误,D正确。
6.C　解析 在地球表面有G=mg,对于做匀速圆周运动的卫星,则有G=m,解得v=,根据扇形面积可知,单位时间内扫过的面积为S=vr=,故选C。
7.AD　解析 由开普勒第三定律得,解得,A正确。天问一号在轨道Ⅲ运行时,由万有引力提供向心力得G=m,又Gm地=g0R2,联立解得v=,B错误。根据公式=ma,可知半径越大加速度越小,则天问一号在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度,C错误。天问一号在A、B点进入高轨道时,都进行了点火加速,机械能增大,则天问一号在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能,D正确。
8.AC　解析 在星球表面,根据G=mg,可得g=,行星的质量和半径分别为地球的。地球表面重力加速度大小g取10 m/s2,可得该行星表面的重力加速度大小g'=4 m/s2,故A正确;在星球表面上空,根据万有引力提供向心力得G=m,解得星球的第一宇宙速度v=,行星的质量和半径分别为地球的,可得该行星的第一宇宙速度v行=v地,地球的第一宇宙速度为7.9 km/s,所以该行星的第一宇宙速度v行=×7.9 km/s,故B错误;“背罩分离”前,探测器及其背罩和降落伞整体做匀速直线运动,对探测器受力分析,可知探测器与背罩之间的作用力F=mg'=4 000 N,“背罩分离”后,背罩所受的合力大小为4 000 N,对背罩根据牛顿第二定律得F=m'a,解得a=80 m/s2,故C正确;“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率P=mg'v=1 000×4×60 W=240 kW,故D错误。
9.C　解析 轨道Ⅰ的半长轴比轨道Ⅱ的半径大,根据开普勒第三定律可知T210.BD　解析 根据开普勒第二定律可知,从A→C→B鹊桥二号做减速运动,从B→D→A鹊桥二号做加速运动,则从C→B→D的运动时间大于半个周期,即大于12 h,故A错误;根据牛顿第二定律在A点有G=maA,在B点有G=maB,解得aA∶aB=81∶1,故B正确;因为鹊桥二号做曲线运动,其速度方向应为轨迹的切线方向,则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线,故C错误;鹊桥二号未脱离地球的束缚,故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s,故D正确。
11.D　解析 将中轨道卫星设为a,同步卫星设为b,两卫星做匀速圆周运动的半径分别为ra、rb,根据题图甲和题图乙可得ra+rb=9.6R,rb-ra=3.6R,解得ra=3R,rb=6.6R,故A错误。由万有引力定律及牛顿第二定律得=ma,=mg,将ra=3R代入解得中轨道卫星的加速度为a=g,故B错误。设卫星a、b的运行周期分别为Ta、Tb,由题图乙可知每隔时间T两卫星距离最近,即每隔时间T,卫星a就比卫星b多转了一周,则有T-T=2π,根据开普勒第三定律有,联立解得Ta=T,Tb=2T,由于Tb=24 h,所以T=12 h,故C错误,D正确。
12.答案 (1)ρ0
(2)a.-Gπρ0m　b.H随t增大而减小
解析 (1)在宇宙中所有位置观测的结果都一样,则小星体P运动前后距离O点半径为r0和2r0的球内质量相同,即ρ0·=ρ·π(2r0)3
解得小星体P远离到2r0处时宇宙的密度ρ=ρ0。
(2)a.此球的质量M=ρ0·
P从r0处远离到2r0处,由能量守恒定律得,动能的变化量ΔEk=-G=-Gπρ0m
b.由a知星体的速度随r0增大而减小,星体到观测点距离越大,运动时间t越长,由v=Hr知,H减小,故H随t增大而减小。

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