资源简介

(共65张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 向量的加法运算
1 向量加法的定义及两个重要法则
定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的 三角形法则 前提 已知非零向量, .
作法 在平面内任取一点,作,,连接 .
结论 向量叫做与的和，记作,即 .
图形
向量加法的 平行四边形 法则 前提 已知两个不共线的向量, .
作法 在平面内任取一点,作,,以, 为邻边作
.
结论 以为起点的向量就是向量与的和，即 .
图形
规定 对于零向量与任意向量,我们规定 . 续表
发散探讨 当非零向量，共线，你能作出向量 吗？
在平面内任取一点，作，，则 ，如图6.2.1-1（1）表
示两个同向共线向量和的情形，如图6.2.1-1（2）表示两个反向共线向量和的情形.#1.1.1
图6.2.1-1
辨析比较
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关 系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的
情况
两向量起点、 终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起 点，即“首尾相接,首尾连” 两向量起点相同，即应用
前提是“共起点”
（【教材链接】这回答了教材第8页第二个【思考】）
2 多个向量相加
图6.2.1-2
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量
的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图
6.2.1-2所示.
图6.2.1-3
特别提醒1.向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推
广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是
“首尾相接,首尾连”．
2. 当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量
的和为0．如图6.2.1-3，在边形 中，有
特别地，在中，,在四边形 中，
.（链接教材第24页 ）
+… .运用以上结论也可以判断一个图形是
否为封闭图形．
学思用·典例详解
【想一想丨情景引入】
图6.2.1-10
从物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.
当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时，
如图6.2.1-10所示，物体会沿着力或 的方向运动吗 如果不会，
物体的运动方向将是怎样的
提示 我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则，因此，
情景中的物体不会沿着或的方向运动，其会沿着以, 为邻边的平行四边形
（记为四边形）的对角线对应的向量 的方向运动.从力的合成得到启发，本
节引入了向量的加法.
例1-1 [教材改编P8例1]如图6.2.1-11,已知向量,,不共线,作向量 .
图6.2.1-11
图6.2.1-12
【解析】 （三角形法则） 如图6.2.1-12（1）,在平面
内作,,则 ；
再作,则 .
（平行四边形法则） 如图6.2.1-12（2）,在平面内作
,,以与为邻边作平行四边形 ,则
；
再作,以与为邻边作平行四边形,则 .
图6.2.1-13
例1-2 (2025·湖南省娄底市期末)如图6.2.1-13所示的方格纸中有定
点，，，，，，，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】以，为邻边作平行四边形，可知 为所作平行四
例1-3 [教材改编P22 T4（1）](2025·重庆市大学城第一中学校月考)
化简后等于___．
【解析】 ．
边形的对角线，故由平行四边形法则可知对应的向量 即为所求向量.
知识点2 向量加法的运算律
1 交换律：
在如图6.2.1-4所示的平行四边形中,， ，则在
中，,在中， ，故
，即向量的加法满足交换律.
2 结合律：
如图6.2.1-5所示，,,所以在
中，，在中， ，从
而 ,即向量的加法满足结合律.
特别提醒 1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.
2.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点出发,方案①先走过的位移为向量,再走过的位移为向量 ,方案②先走过
的位移为向量，再走过的位移为向量 ,则方案①②中这一质点一定会到达同一终点.
3.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如
; .
学思用·典例详解
图6.2.1-14
例2-4 (2025·山东省春季高考研究联合体联考)如图6.2.1-14，
在矩形中， ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 （三角形法则）在矩形中， ，
（平行四边形法则） .
则 .
例2-5 [教材改编P22 T4（2）]化简： .
【解析】 .
知识点3 向量的减法运算
1 相反向量
我们规定，与向量 长度相等，方向相反（【类比理解】与相等向量一样，从
“长度”和“方向”两方面进行定义）的向量，叫做 的 相反向量（【必记结论】互为
相反向量的两个向量必互相平行），记作 .零向量的相反向量仍是零向量.
由相反向量的定义，我们有如下结论：
（1） ;
（2）；（3）若,互为相反向量，则 ,
, .
. .
. .
. .
2 向量减法的定义
向量加上的相反向量,叫做与的差，即 （【文字理解】减
去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是一个向量）.求两个
向量差的运算叫做向量的减法.
3 向量减法的三角形法则
图6.2.1-6
如图6.2.1-6，已知向量, ,在平面内任取一点
，作， ，则
（【易混点】强调了差向量
的“箭头”指向被减向量）.即 可以表示为从向
（ 作非零向量,的差向量 ,可以简记为“共起点,连终点,指向被减”.）
量的终点指向向量 的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
. .
. .
知识剖析 1.由于 ，因此也
可用向量加法的平行四边形法则作差向量，
如图6.2.1-7.
2.如图6.2.1-8,以， 为邻边作平行
四边形,则两条对角线所对应的向量, ，这一结论在以后
的学习中应用非常广泛.
. .
学思用·典例详解
例3-6 [教材改编P12例3]如图6.2.1-15，已知向量，，，求作向量 ．
图6.2.1-15
图6.2.1-16
【解析】如图6.2.1-16所示，以为起点分别作向量和 ，使
，,连接，得向量；再以 为起点作
向量，使，连接，得向量，则向量 即所求作
的向量 ．
图6.2.1-17
例3-7 ［多选题］(2025·福建省莆田市期中)如图6.2.1-17，在
平行四边形中,为上任一点, 则 等于
( )
AB
A. B. C. D.
【解析】 .
释疑惑 重难拓展
知识点4 向量形式的绝对值三角不等式
（1）当向量，不共线时，作，，则 ,如图6.2.1-9
（1），根据三角形的三边关系，有 ．
教材深挖
该知识点是针对教材第9页第一个【探究】第（2）小问的拓展.
图6.2.1-9
（2）当与同向共线或， 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图6.2.1-
9（2），此时 ；
当与反向共线或，中至少有一个为零向量时，不妨设 ，作法同上，
如图6.2.1-9（3），此时 .
故对于任意向量，，总有 ①．
由于 ，
所以 ，
即 ②．
将①②两式结合起来，即 （【对比理解】结合三
角形中两边之差小于第三边，两边之和大于第三边理解），我们称之为向量形式的
绝对值三角不等式.
. .
学思用·典例详解
例4-8 对于不等式 ，给出下列四个结论：
①不等式左端的不等号“ ”只能在时取“ ”；
②不等式左端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”；
③不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且同向共线时取“ ”；
④不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”．
其中正确的结论有( )
A
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
【解析】当时, 也成立，故①不正确；
当,时， 也成立，故②不正确；
当,至少有一个为 时， 也成立，故③不正确；
当与反向共线时， 也成立，故④不正确.
所以正确的结论有0个.
解题课丨关键能力构建
题型1 向量的加、减法运算
例9 化简：
（1） ；
【解析】
（2） .
【解析】 （利用相反向量把减法转化为加法）
.
（利用交换律和结合律）
.
例10 ［教材改编P10 T3］根据图6.2.1-18填空：
图6.2.1-18
（1） ______；
【解析】.（【易错点】注意算式中向量 的方向与题
图中向量 的方向相反）
. .
. .
（2） ____；
【解析】 .
（3） ____.
【解析】
.（【易错点】此处容易错写为 .切记，差向量是从减向
量的终点指向被减向量的终点）
【解析】由题图知，，，，， .
. .
向量加、减法运算的基本方法
（1）充分利用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相连”.
（2）利用相反向量，把向量的减法运算转化为向量的加法运算.
（3）转化为同一起点的向量后，再进行加减运算.
【学会了吗丨变式题】
1.［多选题］下列四式中能化简为 的是( )
ABC
A. B.
C. D.
图 D 6.2.1-1
【解析】 （或
），故A符合；
，故B符合；
，故C符合；
，故D不符合．故选 ．
题型2 向量加、减法几何意义的综合应用
例11 若向量,满足，,则 ____.
图6.2.1-19
【解析】如图6.2.1-19,在平面内任取一点,作, ,以
,为邻边作平行四边形,则, .
因为,所以四边形 为矩形，所以
是直角三角形.
在中，, ，
所以 .
在平行四边形 中，由平行四边形的性质对角线长的平方和等于四边长
的平方和，得 ，即
，解得，即 .
名师点评 下列平行四边形中有关向量的结论，在解题中可以直接使用.在 中，
记， ，①对角线长的平方和等于四边长的平方和，即
；②若，则平行四边形 为
矩形.
【学会了吗丨变式题】
2.(全国Ⅰ卷)设,为单位向量,且,则 ____.
【解析】如图D 6.2.1-1所示，设,,利用平行四边形法则得 ,
,
为正三角形, .
题型3 向量形式的绝对值三角不等式的应用
例12 ［多选题］下列说法正确的是( )
AD
A.若，同向，则有
B.若，不共线，则有
C. 恒成立
D.对任意两个向量，，总有
【解析】由向量形式的绝对值三角不等式可知，当， 同向时，有
；当，不共线时，有；当， 是任意向量时，
有 ，故A，D正确，B错误.
当时， ，故C错误.
例13 [教材改编P23 T10]已知，,则 的取值范围为
_______.
【解析】因为,且, ,
当与同向时， ;
当与反向时， ;
当与不共线时， .
所以的取值范围为 .
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·陕西省西安市期中)已知,是两个单位向量，且，则 的取值
范围是______.
【解析】因为,是两个单位向量，且 ，
所以，则，又 ，
当且仅当, 方向相同时，等号成立，
，当且仅当,方向相反时，等号成立，所以 .
题型4 向量的应用
1 证明几何问题
图6.2.1-20
例14 如图6.所示，已知点，在平行四边形
的对角线上，且，连接，，， ．求
证：四边形 是平行四边形．
【解析】由题意得，， .
因为四边形 为平行四边形，
所以，且，所以 .
又，且,均在线段上，所以 ，
所以，即，且 ，
所以四边形 是平行四边形．
2 向量的实际应用
例15 [教材改编P22习题6.2 T1]某人第1次的位移为向量“向北走 ”，第2次的
位移为向量:“向东走”，则 表示的意义是_________________.
向东北走
【解析】如图6.2.1-21，适当选取比例尺，作 ，
图6.2.1-21
，则 .
因为 是等腰直角三角形，
所以 .
又 ，所以表示向东北走 .
例16 [教材改编P10 T5]一条河两岸平行，河的宽度为 ，一个人从岸边游向
对岸，已知他在静水中游泳时，速度为，水流速度为 .
①当此人垂直游向河对岸时，他实际的前进速度为____ ；
24
图6.2.1-22
【解析】由题意作图,如图6.2.1-22所示，由图可知，他实际的前
进速度为 .
②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要____ ．
20
【解析】由题意作图,如图6.2.1-23所示，
此时实际的前进速度为 ，
故他游到河对岸需要 .
图6.2.1-23
例17 如图6.2.1-24，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子 上．
， ，求和 处所受拉力的大小．（忽略绳子重量）
图6.2.1-24
【解析】根据力的分解，画出图形，如图6.2.1-25所示.
图6.2.1-25
设，分别表示，所受的拉力，的重力用表示，则 ，
易得 ， ．
所以 ，
，
所以处所受的拉力的大小为，处所受的拉力的大小为 ．
用向量解决实际应用题的步骤
（1）表示：用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量.
（2）运算：利用三角形法则或平行四边形法则求向量的和或差，再利用相关知识解
决问题.
（3）作答：根据题意作答.
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1. ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
2.(2025·福建省龙岩市期末)下列结果不是零向量的是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】对于A，由 ；
对于B，由 ；
对于C，由 ；
对于D，由 .
3.新情境 八卦模型 (2025·四川省遂宁中学校月考)八卦是中国古老文化的深奥概念，
其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图6.2.1-1（1）所示的是八卦模型图，其平
面图形记为图6.2.1-1（2）中的正八边形，其中 为正八边形的中心，则
( )
B
图6.2.1-1
A. B. C. D.
【解析】由题意可得，,则 .
4.(2025·北京市期末)在中，，则 是
( )
A
A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】, ，
，
，所以 是等边三角形.故选A.
图6.2.1-2
5.[多选题](2025·河北省承德市部分学校月考)如图6.2.1-2，在正六
边形 中，下列说法正确的是( )
AD
A.
B.
C.
D.向量与向量 是平行向量
【解析】对于A，， ，由正六边形的性质可
知，即 ，A正确；
对于B，设正六边形每条边长为，则, ，B错误；
图D 6.2.1-1
对于C，如图D 6.2.1-1，记 为正六边形的中心，根据平行四边
形法则有，与 共线但方向相反，C错误；
对于D，根据平行四边形法则有，与 方向相同，
D正确.故选 .
图6.2.1-3
6.[多选题](2025·山西省大同市期末)如图6.2.1-3，在等腰
梯形中，，， ，
为 的中点．则下列式子正确的是( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】由题意，，，，所以 ，
且四边形和四边形都是平行四边形，所以， .
对于A，在平行四边形中， ，故A正确；
对于B，，，所以 ,故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，，所以，故D正确.故选 .
7.如图6.2.1-4,在四边形中,设,,,则 ____.
图6.2.1-4
【解析】 .
8.[教材改编P22习题6.2 T2]如图6.2.1-5所示，一架飞机从地按北偏东 的方向飞
行到达地，然后又从地按南偏东 的方向飞行到达 地，求这架
飞机飞行的路程及两次位移的和（参考数据： ）.
图6.2.1-5
【答案】设,分别表示飞机从地按北偏东 的方向飞行，从 地按
南偏东 的方向飞行，则飞机飞行的路程指的是 ；两次位移
的和指的是 .
依题意，有， .
在中， ,所以
,所以 ，即两次位移的和的方向为北偏东
.
从而飞机飞行的路程是,两次位移的和的大小为 ，方向为北偏东
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.(2025·上海交通大学附属中学摸底考试)若向量与 方向相反，则下列等式中必定
成立的是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】因为向量与方向相反，所以， .故选A.
10.在中心为的正八边形中， , ,
,则 ____.
【解析】如图D 6.2.1-2， ，
图D 6.2.1-2
.
11.已知为等腰直角三角形，且 ，给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中结论正确的序号为__________.
①②③④
【解析】以，为邻边作平行四边形，由题意知其为正方形，连接
（图略）.
,, ,
正确；
,, ,
正确；
,,, 正确;
,
,
正确.
12.若非零向量和满足，则的取值范围是______， 的取
值范围是______.
【解析】因为，且 是非零向
量，所以的取值范围是 .
因为 ，所以
， .
又，且是非零向量，所以的取值范围是 .(【易错点】
若,则，此时,是以， 为边长的矩形的
对角线长，又矩形的对角线长不可能等于其边长，这与 相矛盾，故
)
13.如图6.2.1-6，为的外心，为垂心，求证： .
图6.2.1-6
图D 6.2.1-3
【答案】如图D 6.2.1-3，连接,,延长交圆于点 ，连
接，，则,， ．
又， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
.
又 ，
.

展开更多......

收起↑