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第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 向量的数乘运算
1 向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘
（运算结果为向量）,记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） ；
（2）当时，的方向与 的方向相同；
当时，的方向与 的方向相反.
. .
由（1）可知，当时，;（【详解释】当时,;当 时，
.注意结果是零向量，而非实数0.即零乘任何向量的结果为零向量，任意实数
乘零向量的结果为零向量）
由可知（【文字理解】 乘任何向量得到这个向量的相反向
量）.
教材链接
此处回答了教材第13页[ ]
. .
. .
2 向量的数乘的几何意义
如图6.2.3-1，在向量数乘中，可视为将向量的长度伸长 或缩短
的倍数. 的正负表示是否改变向量的方向.
图6.2.3-1
3 向量的数乘的运算律
设 , 为实数，那么（1）； 类比实数的乘法运算进行理解,同
时，
（2）；（3） .
特别地，我们有, .
特别提醒（1）实数与向量可以相乘，但不能相加减，如, 均没有意义.
（2）对于非零向量,当时，即表示与同向的单位向量；当
时，即表示与 反向的单位向量.
（3）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算.主要是“合并同类项”“提取公因
式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数.
. .
4 向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算（向量线性运算的结果仍是向
量）.对于任意向量,，以及任意实数 ，， ，恒有
.
知识延伸 线性表示的概念
根据向量的线性运算，若一个向量是由向量, 通过线性运算得到的，我们就
说向量是向量,的线性表示.例如，，则称由与 线性表示.
. .
学思用·典例详解
例1-1 [多选题]已知, 为两个非零向量，下列说法中正确的是( )
ABC
A.与的方向相同，且的模是 的模的2倍
B.与的方向相反，且的模是的模的
C.表示与向量 同向的单位向量
D.与 是一对相反向量
【解析】，与的方向相同，且, 正确,
,与的方向相同，且,又，与 的方向相反，且
,与的方向相反，且的模是的模的, 正确.
且的模为1, 正确.
与是一对相反向量，与是一对相反向量， 与
为相等向量, 不正确.
例1-2 [教材改编P15 T1]如图6.2.3-2，已知非零向量,求作向量,，, .
图6.2.3-2
【解析】将向量依次同向伸长为原来的2倍，同向缩短为原来的 ，反向伸长为原来
的3倍，反向缩短为原来的，就分别得到向量,,, ,如图6.2.3-3所示.
图6.2.3-3
例1-3 [教材改编P16 T2]化简： ___.
【解析】原式
.（结果是零
向量，不是实数零）
知识点2 向量共线定理
向量（【释疑】不能漏掉.若,则实数 可以是任意实数;
若,,则不存在实数 ,使得；若，则满足的实数 存在
且唯一）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ,使 .
知识剖析 1.向量共线的判定定理：已知向量与，若存在实数 ,使 ，
则与 共线.
2.向量共线的性质定理：已知向量与，若与 共线，则存在唯一一个
实数 ,使 .
3.根据该定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量 ，
都存在唯一的一个实数 ，使 .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于
这条直线上的一个非零向量表示.
. .
学思用·典例详解
例2-4 [教材改编P16 T1]判断下列各小题中的向量,是否共线（其中, 是两个不
共线向量）.
（1）, ;
【解析】,与 共线.
（2）, .
【解析】设,则 ,
.
与 是两个不共线向量，
这样的 不存在，
因此与 不共线.
释疑惑 重难拓展
知识点3 三点共线定理
1 三点共线的判定定理
利用向量共线定理可以判断三点共线，那么如何利用向量共线的判定定理来寻
找三点共线的判定定理呢？
教材深挖
该知识点是针对教材第26页例1及【？】的拓展.
我们知道，对于平面内任意三点，，，若存在一个实数 使得
（或或），则根据向量共线的判定定理可知向量
（或或）.又由它们具有公共点（或或）可知三点,, 共线.
所以我们有：对于平面内任意三点，，，为不同于，， 的任意一点，
设,若实数 , 满足，则三点，， 共线.
事实上，由，可得 ，代入 可得
,即，也即.从而，， 三
点共线
2 三点共线的性质定理
根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理.
若平面内三点，，共线，为不同于，，的任意一点，设 ,
则存在实数 , 使得 .
事实上，若三点，，共线，则一定存在实数使得 .即
,从而，令, ，则
.
综上，我们得到如下的三点共线定理:已知平面内三点,,,为不同于,, 的
任意一点，,，三点共线当且仅当存在实数 , 使得 ,且
注意是存在 , ，且,并非一定有.如,为线段 的三
等分点时，, , 不唯一，当 在直线
外时，则一定有 .
. .
. .
学思用·典例详解
例3-5 已知,,三点共线,为直线外任意一点,若,则 ( )
B
A. B.1 C.2 D.
【解析】 由于,,三点共线,所以向量, 在同一直线上,由向量共线定理
可知,必定存在实数 使 ,
即 ,
所以 ,
故, ,即 .
由三点共线的性质定理可知， .
【想一想丨知识延伸】
图6.2.3-4
一个重要结论——中点向量公式
如图6.2.3-4所示，为线段 中点的充要条件是
.
提示 充分性：由,可知 .
因此 ,
从而有,即为线段 的中点.
必要性：由为线段的中点,可知，因此 ,
从而有,即.（事实上，由 ，不
难发现，则,, 三点共线）
. .
解题课丨关键能力构建
题型1 向量的线性运算
1 化简
例6 [教材改编P23 T8]化简下列各式：
（1） ；
【解析】原式 .
（2） .
【解析】原式 .
利用向量的线性运算化简的思路
向量的线性运算类似于多项式的加减法运算，即去括号，“合并同类项”（共线的向
量即为“同类项”）.向量线性运算的结果仍为向量.
. .
【学会了吗丨变式题】
1.设向量,,求 .
【答案】原式 .
3 用已知向量表示相关向量
图6.2.3-5
例8 [教材改编P23 T14](2025·广东省华师附中南海实验高级
中学期中)如图6.2.3-5，在中，,,是
的中点，是的中点，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 （利用中点向量公式）,,是的中点， 是
的中点, .
（利用向量的加减法法则） .
用已知向量表示相关向量的基本思路
用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数
乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似
三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
【学会了吗丨变式题】
图6.2.3-6
2.[教材改编P14 例6]如图6.2.3-6，四边形 是以向量
, 对应的线段为邻边的平行四边形，对角线交
于点，且，，试用向量,表示 ，
， .
【答案】 ,
,
.
,
.
.
2 解方程（组）
例7 若,,其中,是已知向量，求, .
【解析】把已知中的两个等式看成关于向量, 的方程，联立得方程组
（解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法
相同.把所求向量当作未知量，利用解代数方程（组）的方法求解）
解得
. .
题型2 向量共线定理的应用
1 向量共线的判定
例9 已知，为两个不共线的向量，且四边形满足 ,
, .
（1）将用， 表示;
【解析】 .
（2）证明:四边形 为梯形.
【解析】因为（写成 的形式是关键）,
所以与同向，且的模为的模的2倍,所以在四边形中, ,且
,所以四边形 是梯形.
. .
. .
解决向量共线的判定问题的基本方法
向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在实数 ，使得
,则向量与非零向量 共线.解题过程中，通常需要用已知向量表示待判定共
线的向量，并构建两向量的关系，即可由向量共线的判定定理作出判断.
2 证明三点共线问题
例10 [教材改编P15 例7]已知，是两个不共线的向量，若 ，
，，求证：，， 三点共线.
【解析】， ，
.
又 ，
， .
与有公共点 （此步不能少），
，， 三点共线.
. .
三点共线问题的求解思路
设,, 为平面上的三点.
1.以其中一点为起点，其余各点为终点构建向量，利用向量共线定理证明向量共线，
即得三点共线.
2.在平面上任取一点（异于,,三点），构建向量,,,若存在实数 ，
使得，且，则点,, 共线.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·安徽省宿州市第二中学月考)已知向量与向量不共线， ,
, ，则一定共线的三点是( )
A
A.，， B.，， C.，， D.，，
【解析】对于A,, ,
, 点,, 三点共线，故A正确.
对于B，设存在实数 ，使得，即 ,即
,可知不存在 使得等式成立,与不共线，即, ,
三点不共线，故B错误.
对于C， 不存在实数 ，使得（同选项B的计算方法）,与 不共
线，即,, 三点不共线，故C错误.
对于D，, 不存在实数 ，使得，即 ,
, 三点不共线，故D错误.
. .
. .
. .
. .
3 求参数的值
例11 [教材改编P16 例8] (2025·河北省邢台市期中)设与 是不共线的向量，若
与共线且方向相反，则 的值是____.
【解析】若与 共线，
则存在实数,使得 ,
与 是不共线的向量，
，
又与方向相反， .
一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量（如,）表示向量, ,
设,化成关于,的方程,由于, 不共线，则
解方程组即可.
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·湖北省襄阳市期中)已知,是不共线的向量， ,
，若，，三点共线，则实数 的值为_______.
或2
【解析】,是不共线的向量，,,又,, 三点共
线，则设, ,
，
,解得 或2.
4 平面几何中的有关证明问题
例12 如图6.，在平行四边形中，，，为中点， 为
上靠近点的三等分点，求证：，， 三点共线.
图6.2.3-7
【解析】，， .
为上靠近点 的三等分点，
.
在平行四边形中， ，
. ①
为 中点，
. ②
由①②可得 .
由向量共线定理知， .
又与有公共点，，， 三点共线.
题型3 向量线性运算在三角形中的运用
1 判断三角形的形状
例13 (2025·山西省运城市期末)若是 所在平面内的一点，且满足
，则 的形状为( )
D
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
【解析】 ，
,
， 以， 为邻边所作的平行四边形为矩形.
．
为直角三角形（【失分点】因为不一定等于,所以 不一定为等
腰直角三角形）．
. .
. .
2 解决三角形的“四心”问题
温故知新 三角形的“四心”
（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三
角形三边的距离相等．
（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到
三角形三个顶点的距离相等．若是内一点，满足 ，则
点为 的外心．
（3）三角形的垂心：三角形三条高线的交点．
（4）三角形的重心：三角形三条中线的交点．重心将中线长度分成2∶1.若是
内一点，且满足，则是 的重心．反之亦成立.
例14 如图6.2.，已知点是所在平面内一点，点为边 的中点，且
.求证:是 的重心.
图6.2.3-8
图6.2.3-9
【解析】 因为点为边 的中点，
所以 .
又,所以 ,
即, ，
所以 .
所以向量与共线，且方向相同，长度是向量长度的 倍，
所以是 的重心.
如图6.2.,作，,连接,则与相交于 ，且
.
由,可得,所以 ,
又与有公共点 ,
所以,,在同一条直线上，是边上的中线，同理,的延长线也为
的中线，所以为 的重心.
例15 (2025·上海市华东师范大学第二附属中学调研)是平面上一定点，，， 是
平面上不共线的三个点，动点满足，，则点
的轨迹一定通过 的（符合一定条件的点的全体组成的集合）( )
B
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
. .
【解析】，（（表示与非零向量 同向的单位向
量））.
令,则,即 .
又是以为起点，向量与 对应线段为邻边的菱形的对角线对应的向量，即
在 的平分线上．
故点的轨迹一定通过 的内心．
名师点评 解题时一定要灵活运用平面几何中图形的几何性质，如菱形的对角线平分
其内角．
. .
. .
【学会了吗丨变式题】
5.若将例15题设中的条件“, ”改为“
,”，则点的轨迹一定通过 的( )
B
A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心
【解析】由,，得，则 与
的边 上的中线对应向量共线，
又由，知点的轨迹通过 的重心.
3 求三角形的面积之比
例16 已知在所在的平面内有一点，满足，则 与
的面积之比是( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ，所以
，所以点在边上，且是靠近点 一
侧的三等分点，所以和 的面积之比为2:3.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·福建省三明市期中)点在内部，满足 ,则
_____.
图D 6.2.3-1
【解析】根据题意，分别延长至，至，至 ，
使，，，如图D 6. 所示.
由,得 ,
所以点是 的重心，又重心和三角形3个顶点组成的3个三
角形面积相等,所以 .
设,则, ,
所以 .
新考法 数学文化
图6.2.3-10
例17 新情境 赵爽弦图(2025·陕西省西安市铁一中学模拟)我
国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，
勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作
注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结
合思想的体现，还被用作第24届国际数学家大会的会标．如
图6.2.3-10，大正方形 是由4个全等的直角三角形和中间
的小正方形组成的，若，，为 的中点，则
( )
A
A. B. C. D.
图6.2.3-11
【解析】如图6.2.3-11，过点作, ,垂足分别
为, .
由题意得，, ，
四边形为矩形， ,
记，即 .
设,则,则 ,
解得 ，所以 ，由,得 ，
所以 ，所以 ,
所以 .
考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考以向量的数乘为载体，从代数和几何两个方面考查向量的线性运算，既有单独
命题，又作为一种运算工具融入整个向量的运算体系中，和其他知识点综合在一起
命题，以选择题和填空题为主，难度较小.
核心素养：数学运算（向量的线性运算等），直观想象（画出草图，以形助数等）.
考向1 向量的线性运算
例18 (2022·新高考全国Ⅰ卷)在中，点在边上，.记 ,
,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图6.2.3-12,因为，所以 ,所以
．
图6.2.3-12
考向2 向量共线定理的应用
例19 （新课标全国卷Ⅱ）设向量，不平行，向量与 平行，则实数
__.
【解析】因为与平行，且 ,
所以存在，使得，即 ，
因为向量，不平行，所以， ，
解得 .
教材链接
本题取材于教材第16页[练习]第3题.
考向3 中点向量公式的应用
例20 (2025·北京)已知平面直角坐标系中，, ，设
，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
给什么 得什么 ,，且,是动点，注意到点
是一个定点.
求什么 想什么 ，其中为 的中点
.
差什么 找什么 【确定点的轨迹】是以 为斜边的直角三角形，且
点的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆.
【数形结合思想】 的取值范围.
【解析】因为,,所以,所以 ,
图6.2.3-13
如图6.2.3-13，设为线段的中点，连接 ，则
,所以点的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆.
连接， ,则
.
因为点,，所以,又 ,
所以,所以 ，故选D.
提分探源 上述解法将转化为，若没有联想到点 的轨迹
是个圆，则依旧不知所措，能否另辟蹊径呢？我们知道
，那么是否能将 转化为模已知的向量之和
（差）呢？由此，我们即可得到以下解法.
【解析】因为,,所以 ，则
，
设为线段的中点，连接，则, ,由
可知， ,
则 ，
即，所以 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·广东省广州二中期中)如图6.2.3-14，在中，点是 上的
一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点, ，且
, ，则下列结论正确的是( )
BCD
图6.2.3-14
A.
B.若是的中点，则
C.若是的中点，则
D.若,，则
【解析】 ，A错误；
若是的中点，则 ，
,, 三点共线，
，得 ，B，C正确；
当,时，设且 ，则
，
,,三点共线，，解得 ，D正确.
故选 .
2.[多选题](2025·福建省安溪俊民中学质检)设点是 所在平面内一点，则下列
说法中正确的是( )
ACD
A.若，则点是边 的中点
B.若，则点在线段 的延长线上
C.若，则点是 的重心
D.若，且，则的面积是面积的
【解析】若，则点是边 的中点，故A正确；
若，则有，即，则点在线段 的延
长线上，故B错误；
若，即，则点是 的重心，故C正确；
若，且，则可得，设 ，
易得为的中点且,,三点共线，则的面积是面积的 ，故D正
确．故选 ．
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·山西省名校联考期末)已知点为所在平面内一点，且 ，则
( )
B
A. B.
C. D.
【解析】因为，所以，即 ，所以
.故选B.
2.(2025·广东省茂名市期中)设向量，不共线，向量与 共线，则实数
( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为与共线，且 ，
所以存在，使得 ，
即 ，
因为向量，不共线，所以， ，
解得， .
3.在中，为的中点，为线段上一点，若，则实数
的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图D 6.2.3-1，为 的中点，
,且为线段上一点，,解得 .
图D 6.2.3-1
4.(2025·四川省成都市鸿鹄高级中学期末)已知向量，， ，
， ，则一定共线的三点是( )
A
A.,, B.,, C.,, D.,,
【解析】因为，所以，， 三点共线，A正确；
因为，，所以， 不一定共线，B错误；
因为，，所以， 不一定共线，C错误；
因为，，所以， 不一定共线，D错误.
5.[多选题]已知实数,和向量， ，则下列说法中正确的是( )
AB
A. B.
C.若，则 D.若，则
【解析】根据向量数乘运算的运算律可知A，B正确；
对于C，当时，，但向量， 不一定相等，故C错误；
对于D，因为，所以，当, 时也成立，故D错
误．故选 ．
图6.2.3-1
6.［多选题］(2025·广东省揭阳市期末)如图6.2.3-1，在平行四
边形中，，分别是 边上的两个三等分点，则下列
选项正确的有( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】对于A，由题意知，，分别是边上的两个三等分点，且与 方向
相同，则 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，,，所以 ，故D正确．故选
．
7.(2025·江苏省镇江市期末)已知向量,不共线， ，
，，若，，三点共线，则实数 的值为___．
3
【解析】由已知得， ，
若，，三点共线，则可设，即 ，所以
解得
图6.2.3-2
8.(2025·江西省上饶市弋阳县第一中学月考)如图6.2.3-2，
在中，，．设 ，
．
（1）用，表示， ；
【答案】 ，
．
（2）若为内部一点，且．求证：，， 三点共线．
【答案】 ，
所以与共线且有公共点 ，
所以，， 三点共线．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.已知的面积为3，点是内一点且，则 的面积
为( )
C
A. B. C. D.
【解析】取的中点，连接,可得 ,
, ,
,即 ,
, .
10.(2025·江西省上饶市期末)已知平面上不共线的四点,,, ,满足
，则 等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】由，得，即 ，所以
，所以 ，
因为，所以 ，
所以 .故选A.
11.新情境 欧拉线定理 [多选题](2025·山东省潍坊第一中学开学考试)数学家欧拉在
1765年提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心
到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被
称为欧拉线定理．设点，，分别是的外心、重心、垂心，且为 的中
点，则( )
ABD
A. B.
C. D.
图D 6.2.3-2
【解析】 如图D 6.2.3-2所示，点，，分别是
的外心、重心、垂心，且为 的中点，由欧拉线定理得
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， .
对于A，是的重心，是 的中点，
，， ，
，故A正确；
对于B，设是的外心，则点到三个顶点的距离相等， ，
故B正确;
对于C， ，故C错误；
对于D，，， ，
，故D正确.故选 ．
12.在中，，，，为 的内心，且
，则 __.
图D 6.2.3-3
【解析】由题意知，为直角三角形，设 的内切
圆半径为.如图D 6.2.3-3，过点作于点 ，
于点,可得四边形 为正方形.
, ，（等面积法）
.
，
，， .
. .
C 培优练丨能力提升
13.(2025·陕西省榆林市期中)设为的重心，为的重心，过作直线
分别交线段
AB，（不与端点重合）于，．若， ．
（1）求证： 为定值；
图D 6.2.3-4
【答案】如图D 6.2.3-4，连接并延长交于点，则点
是 的中点.
设，，则 ，
，
，所以
.
又， ，
且，，三点共线，故存在实数 ，使
，
所以(【详解】,,) ，即为
定值.
. .
（2）求 的取值范围．
【答案】因为，，且由（1）得 ，
令,即,所以,所以,即,又,所以 .
，
所以当，即时，取得最大值，此时取得最小值 ；
当或时，即或时，取得最小值5，此时取得最大值 .
故的取值范围为 .

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