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第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 向量的数量积
1 向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移 ，那么
力所做的功 ，其中 是与 的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量（数量）．这说明两个矢量也可
以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一
个向量，而这个运算的结果是数量．
2 向量的夹角
图6.2.4-1
已知两个非零向量（向量的夹角是对于非零向量而言的） ,
，如图6.2.4-1所示，是平面上的任意一点，作, ,
则 叫做向量与的夹角,也常用, （向量夹角的取
值范围为 ）表示.
. .
. .
. .
向量夹角的特殊情形,如图6.2.4-2（1）（2）（3）所示，
图6.2.4-2
当时，向量, 共线且同向；
当时，向量,相互垂直，记作 ；
当 时，向量, 共线且反向.
3 两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量
与的数量积（或内积），记作 （【易错点】不能表示为或 ），即
（【抓重点】两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，其
符号由夹角的余弦值决定）．
由数量积的定义可知， .该式常称为向量的夹角公式，用于求两向量
的夹角.
规定:零向量与任一向量的数量积为0，即 ．
. .
. .
. .
4 投影与投影向量
图6.2.4-3
如图6.2.4-3（1），设， 是两个非零向量，
,，我们考虑如下的变换:过 的起
点和终点，分别作 所在直线的垂线，垂足分
别为,，得到,我们称上述变换为向量 向
向量投影,叫做向量在向量 上的投影向量.
如图6.2.4-3（2），我们可以在平面内任取一点，作,.过点 作
直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量 上的投影向量.
5 投影向量表达式的探究
如图6.2.4-4（1），设与方向相同的单位向量为，与的夹角为 ，显然
与共线，于是 .
下面来探究与，， 之间的关系.分 为锐角、直角、钝角以及 ，
五种情况进行讨论.（【释疑惑】分类的依据为向量夹角的取值范围）
当 为锐角（图6.2.4-4（1））时，与方向相同， ,
所以 ;#1.1.1
当 为直角（图6.2.4-4（2））时，，所以 ;
当 为钝角（图6.2.4-4（3））时，与 方向相反，所以
,即 .#1.1.3
图6.2.4-4
当时，,所以 ;
当 时，,所以 .
从上面的讨论可知，对于任意的，都有 .#1.2
. .
知识剖析 （1）公式：在上的投影向量为 （是与 同向的单位向
量），在上的投影向量为
（是与同向的单位向量） ，它们都是向量.
（2）区别：在上的投影向量（与向量共线）与在 上的投影向量
（与向量 共线）一般是不同的．
（3）在上的投影向量的长度为 ，是非负实数．
（4）数量积的等价理解：与的数量积等于在上的投影向量与 的数量
积.#1.3.3
. .
. .
学思用·典例详解
图6.2.4-5
例1-1 如图6.2.4-5,等边三角形中，点,,分别是边, ,
的中点，指出如下各组向量的夹角.
（1）与 ;
【解析】与的夹角是 .
（2）与 ;
【解析】因为,所以与的夹角等于与 的夹角（向量起点不一样，
转化求解），即 .
. .
（3）与 .
【解析】如图6.2.4-6，延长至，使,则,则与 的夹角等
于与的夹角（所求夹角不是 ,而应是其补角）,
图6.2.4-6
即 .
. .
. .
例1-2 [教材改编P17例9]已知，，根据以下条件，分别求 .
（1） ；
【解析】当 时，分两种情况讨论：
（【易错点】这里易误认为两个向量平行就是同向的，从而忽略另一种情形）
若与同向，则, ， ；
若与反向，则, ， .
（2） ；
【解析】当时，, ， .
（3）, ；
【解析】 .
（4）, .
【解析】 .
【想一想丨归纳总结】
向量夹角与数量积的符号间的关系
两个非零向量与的夹角为锐角是的充分不必要条件，因为当与 同向时，
夹角为0，仍有 ；
两个非零向量与的夹角为钝角是的充分不必要条件，因为当与 反向时，
夹角为 ，仍有 .
例1-3 [教材改编P18例10]已知向量，满足,，,则向量 ,
的夹角为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设向量，的夹角为 ，则 ，
因为,, ，
所以 ,
所以向量，的夹角 .
例1-4 [教材改编P20 T3]在等腰中，， ，为 的中点.
（1）求在 上的投影向量及其长度；
【解析】 （定义法）在上的投影向量为，其长度为 .
（公式法）在 上的投影向量为
，
其长度为 .
（2）求在 上的投影向量及其长度.
【解析】 （定义法） 如图6.2.4-8，过点作，交于点 .
图6.2.4-8
易知，在上的投影向量即在 上的投影向量.
又，，，所以在 上的投影向量
为，即在上的投影向量为，其长度为 .
（公式法）在 上的投影向量为
，其长度为 .
【解析】如图6.2.4-7，连接，因为为的中点，所以 .
图6.2.4-7
又， ，所以 .
由图可知，与的夹角为的补角，所以与的夹角为 .
【想一想丨归纳总结】
求投影向量的方法
（1）定义法：根据投影向量的定义,作出垂线，确定向量的投影向量；
（2）公式法：根据题意确定模与夹角或模与数量积,代入公式即得.
知识点2 向量数量积的性质、运算律和常用结论
1 向量数量积的性质
设,是非零向量，它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量，则
（1） .（【解释说明】单位向量的模为1，省略不写）
（2） （【应用】可用于解决与两个非零向量垂直有关的问
题）.
（3）当与同向时,；当与反向时, .
特别地，或 （【解释说明】相等向量的数量积等于
向量的模的平方，因此可用于求向量的模）.
（4）（依据是 ,可以用来解决有关不等式的问题），
当且仅当向量，共线,即 时，等号成立.
. .
. .
. .
. .
2 向量数量积的运算律
对于向量,,和实数 ,有
（1）交换律： ；
（2）数乘结合律： ；
（3）分配律： .
. .
. .
. .
辨析比较
向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别
向量的数量积 向量的数乘 实数的乘法
3 向量数量积的常用结论
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） .
例2-5 ［多选题］下列命题正确的是( )
AD
A.
B.若，则对任一非零向量都有
C.若，则与中至少有一个为
D.若与是两个单位向量，则
【解析】A正确，因为的长度为0，结合数量积的公式可知 .
B，C错误，当非零向量时，有 .
D正确，因为,所以,,故 ．
例2-6 下列说法正确的是( )
A
A.若，则 B.
C.若，且，则 D.
【解析】对于A，若，则 ，所
以 ，故A正确；（也可利用向量加减法的几何意义，菱形的对角线
相互垂直）
对于B，,，,，可知 ，
故B错误；
对于C，，因为，所以或 ，说
明向量数量积不满足消去律，故C错误；（【另解】举反例：当，反向且都与 垂
直时满足题设，但 ）
对于D,是与共线的向量，是与 共线的向量,所以
不一定成立，说明向量数量积不满足结合律，故D错误.
例2-7 [教材改编P23 T11（2）](2025·广东省广州市执信中学测试) 设向量, 满足
,,,则 ( )
D
A.1 B.2 C. D.
【解析】 , ,
.
, ,解得
.
解题课丨关键能力构建
题型1 向量数量积的运算
1 向量数量积的简单计算
例8 [教材改编P23 T11（1）]已知,,与的夹角为 ,求:
（1） ;
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） ;
【解析】 .
（4） .
【解析】 .
求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或
两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及相关公式进行化简.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·广东省汕头市期末)已知，，与的夹角为 ，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】由 .
故选C.
2 平面几何图形中的向量数量积的计算
例9 (2025·江西省南昌市质检)在边长为1的正三角形中，设, ,
则 ( )
A
A. B. C. D.
图6.2.4-9
【解析】第一步：将,用, 表示出来
如图6.2.4-9,, ,
.
第二步：将转化为， 间的运算
.
解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路
解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，
这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量
数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
【学会了吗丨变式题】
图6.2.4-10
2.(2025·山西大学附属中学开学考试)如图6.2.4-10所示，在平行四
边形中，已知，，， ，
则 ( )
B
A.12 B.22 C.24 D.72
【解析】由，得， ，
.
因为 ，
所以 ，
即 .
又，，所以 .
3 利用投影向量求向量数量积
例10 (2025·河南省焦作市联考)已知非零向量在向量上的投影向量为， ，
则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】非零向量在向量上的投影向量为，又，解得 ，
故 ．
例11 (2025·北京四中模拟)已知正方形的边长为1，是 边上的动点，则
的值为___， 的最大值为___.
1
1
图6.2.4-11
【解析】如图6.2.4-11所示，由图可知，在 上的投影向量
为,故 .
由图可知，在上的投影向量与同向，设为 ,且
,故 .
故的最大值为1，此时点与点 重合．
【学会了吗丨变式题】
图6.2.4-12
3.(2025·河北省邢台市期末)如图6.2.4-12,已知圆为 的外接
圆，，， ，则
______.
【解析】过点作的垂线，垂足为,可知为的中点，则
在上的投影向量为,所以 ，
同理，， ,
所以 .
4 利用向量数量积求参数
例12 (2025·天津市河北区期中)已知，是夹角为 的两个单位向量，若向量
在上的投影向量为，则实数 __．
【解析】向量在上的投影向量为 （推导过程见P26知识剖析，
选择、填空题可直接用，解答题需写出推导过程），
则，于是 ，
所以，所以（【提示】 ,
），解得 .
. .
. .
例13 (2025·江苏省宿迁市期中)已知单位向量与的夹角为，若与 垂直，
则实数 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意得 ,
若与垂直,则，解得 .
利用向量数量积求参数的基本方法
由题设条件，结合向量数量积的计算，构建关于参数的方程（组），通过解方程
（组）求参数.
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·重庆市期末)已知向量，满足，，,， ，
则实数 ( )
A
A. B.1 C. D.
【解析】因为，，,，所以 .
因为，所以，所以 .故选A.
5 利用向量数量积判断平面图形形状
例14 已知为平面内的定点，，， 是平面内不共线的三点，若
，则 是( )
B
A.以为底边的等腰三角形 B.以 为底边的等腰三角形
C.以为斜边的直角三角形 D.以 为斜边的直角三角形
【解析】 （通解） 设的中点为，连接 ,由
，得
，即，，
是的边上的中线，也是高，故是以 为底边的等腰三角形.
（利用三角形的性质）
（优解） 取特殊位置，不妨设点与点 重合，则有
，化简得，即，故是以
为底边的等腰三角形.（取特殊值是选填题常用技巧）
利用向量数量积判断平面几何图形形状的方法
由向量的数量积，利用移项、平方等手段，可以得出向量的模与夹角等信息，从而
对几何图形的形状作出判断.
【学会了吗丨变式题】
5.(2025·河南省许昌市期中)若为 所在平面内一点，且满足
，且，则 为( )
A
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 ,
，可得 ,
由此可得中， 是等腰三角形.
， ，
结合，得， .
图D 6.2.4-1
如图D 6.2.4-1,取的中点为，连接，则 ，
与等腰的底边中线 在一条直线上，
是的垂直平分线，则， 是等腰三角形.
6 向量数量积中的最值（取值范围）问题
例15 (2025·江苏省扬州市第一中学月考)在中， ，
，，，，则 的最大值为( )
C
A. B. C.1 D.2
【解析】由题可知,, .
则
（之所以选择用，表示和 ,是因为
可以利用已知条件 ，即 ）
（转化为熟悉的函数知
识求解，当时，式子取得最大值） .
则 的最大值为1.
. .
. .
. .
例16 (2025· 湖南省张家界市民族中学月考)半径为4的圆上有三点,, ，满足
，点是圆内一点，则 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
图6.2.4-13
【解析】如图6.2.4-13，设与交于点 ，由
，得,所以四边形 是平行四边形，
又,所以四边形是菱形，且 ，则
, ,
由图可知, ,
而 ,
所以 （事实上，根据后面要讲到的极化恒等式，
我们可快速得到此步） ,
同理， ,
而 ,
所以 ,
所以 ,
因为点是圆内一点,则 ,
所以 .
即的取值范围是 .
. .
解决向量数量积的最值（取值范围）问题的基本思路
1.将数量积化归为线段的长度，利用图形的几何性质，确定线段长度的取值范围
（或最值），即得数量积的取值范围（或最值）.
2.引入变量（利用向量共线定理或题干中已有变量），构建数量积的目标函数，通
过求函数的值域或最值求解，解题中务必要注意变量的范围.
【学会了吗丨变式题】
图6.2.4-14
6.(2025·上海市浦东新区期末)在中， , ,
,在线段上（包括端点），则 的取值范围是
_______．
【解析】设，其中 ，
因为 ,, ，
所以， ，
则 .
7.(2025·江苏省南京市金陵中学月考)如图6.2.4-14所示，边长为2的正，以
的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点 在圆弧上运动，则
的取值范围为( )
C
A.， B. C. D.，
【解析】设在上的投影向量为 ，
则 .
图D 6.2.4-2
如图D 6.2.4-2,过点作,交于点 ,
当点在点处时， 最小，
即的最小值为 .
过圆心作交圆弧于点，连接，过点作 垂直于
于点，过点作垂直于的延长线于点 ，
此时， 最大，
即的最大值为 .
故的取值范围为 .
题型2 向量中的夹角问题
1 求两向量的夹角
例17 (2025·北京市朝阳区期末)若两个非零向量,满足 ，则
向量与 的夹角是___.
【解析】由可得 ，（该结论十分常用，可两边平方后化简，
也可以结合向量加减法的几何意义：菱形的对角线相互垂直）
由，两边平方可得 ，
则 ，
因此, ，
由于,，故, .
. .
【学会了吗丨变式题】
8.(2025·湖北省荆州市期末)已知非零向量，满足，且 ，
则与 的夹角大小为( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ①，
因为，所以 ②，
联立①②可得，又向量， 为非零向量，
所以，设向量，的夹角为 ， ，
则，所以 .故选B.
2 求两个非零向量夹角的余弦值
例18 (2025·山西省汾阳市期中)已知，，且 ，则
向量与 的夹角的余弦值是( )
B
A. B. C. D.
【解析】,,且 ,
,
,， .
求两向量夹角的注意点
求两向量的夹角 一般利用夹角公式求解.确定 时要注意 ，
当时，；当时，,；当时， .
【学会了吗丨变式题】
9.(2025·江苏省苏州市期末)已知向量，满足，，且 ，
则与 的夹角的余弦值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】，， ，
①， ②，
得，， ，
，
， ．
3 已知两向量夹角求相关参数的值
例19 ［多选题］(2025·陕西省咸阳市高新一中质检)已知两个向量， 满足
,,与的夹角为，若向量与 的夹角为钝角，则
实数 可能的取值为( )
AD
A. B. C. D.
【解析】设向量与的夹角为 ，
则 ,
即,化简得，解得 .
当与的夹角为 时，也有 （易忽略向量共线这种特殊情
形），但此时夹角不是钝角.
设, ,
因为， 不共线，
所以解得
故实数的取值范围是 .
故实数可能的取值为， .
. .
4 求向量夹角的最值
例20 非零向量，满足，,则与 的夹角的最小值是_ _.
【解析】设与的夹角为 ,由知, .由基本不等式
知， （利用基本不等式将夹角的最值问题转化为模的范
围问题）,即 ,
又,,故, .
故与的夹角的最小值是 .
名师点评 实际上，由,可得,因此 的取值范围为 .
. .
【学会了吗丨变式题】
10.(2025·福建省厦门市期末)已知向量，满足，则, 的最
大值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为 ，两边平方得
，整理得 ，
, ，
当且仅当 时等号成立，
所以, .
故,的最大值为 .故选D.
题型3 向量中模的有关问题
1 模的计算
例21 (2025·四川省成都市期末)若平面向量,满足, ,且
，则 等于( )
B
A. B. C.2 D.8
【解析】,,且 ,
,故 .
求向量的模的基本思路
由于 ，因此求向量的模即求向量模的平方，从而转化为向量数量积
的运算.通过求向量的模可以解决线段长度的计算问题.
【学会了吗丨变式题】
11.(2025·河南省平顶山市期末)已知向量和满足，，向量 在向
量上的投影向量为，则 ( )
B
A.3 B. C.4 D.12
【解析】因为向量在向量上的投影向量为，所以 ，所以
，所以，所以 ，得
，
所以 .
2 与模有关的最值问题
例22 (2025·浙江省杭州市期末)已知向量，的夹角为，且 ，则
的最小值是( )
C
A. B.3 C. D.
【解析】 （目标函数法） 因为向量，的夹角为，且 ，则
，
可得
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值是 .
图6.2.4-15
（数形结合法） 如图6.2.4-15，
， ，
表示 的终
点与的终点连线的长度（起点均为 ），
因为，所以的终点在线段 所在直线
则，所以 .
上，就是点到直线的距离，作于点，在 中，
， ，
【学会了吗丨变式题】
12.(2025·广东省深圳大学附属中学段考)已知为坐标原点，向量,,
（点,,不重合）满足， ，若
平面内一点满足，则 的取值范围是______．
【解析】因为，所以,,三点在以 为圆心，1为半径的圆上，
又，即，所以， 为圆的直径，所
以 .
因为，设 ,
, ，所以
.
因为，所以 ，
所以 .
题型4 向量极化恒等式的应用
母题 致经典·母题探究
命题探源 极化恒等式
①，
②，
这两个式子具有非常重要的价值，其几何意义如下.
对于①：以, 对应的线段为邻边的平行四边形中，两条对角线的平方和等于两邻边
平方和的两倍；
对于②：向量, 的数量积等于以这组向量对应的线段为邻边的平行四边形的“和对
角线”与“差对角线”的平方差的 .
注：②式被称为“极化恒等式”.
用图形直观来说，如图6.2.4-16，对应的则有
图6.2.4-16
注意
此处是对教材第22页【练习】第3题的深挖.
③,
（平行四边形中常用等式）④,
注意到平行四边形的对称性，平分线段， ,则有
⑤，
⑥，（三角形中常用等式）
这样我们便建立了平行四边形的对角线长度与相应邻边，三角形中的边、中线与相
应边的数量积之间的联系.特别地，⑤⑥两式由于涉及中点这一平面几何中较重要的
点，常常成为高考命题的聚焦点.
. .
. .
. .
例23 (全国Ⅱ卷)已知是边长为2的等边三角形,为平面 内一点,则
的最小值是( )
B
A. B. C. D.
图6.2.4-17
【解析】 如图6.2.4-17,取的中点，则 ,
则 ,
要使最小,则, 的方向相反,
即点在线段 上,
则 ,
即求 的最大值,
又 ,
所以,当且仅当,即是 的中点时，
取等号.
故 .
图6.2.4-18
（利用极化恒等式求解） 如图6.2.4-18,取的中点 ，
则,则 ,
在中，由⑥式，取的中点 ，则
由于点在平面内是任意的，因此当且仅当点，重合时，
取得最小值，即取得最小值 .
.
子题
子题1 (2025·河南省安阳市调研)已知是等边三角形 所在平面内一点，且
，，则 的最小值是( )
A
A.1 B. C. D.2
图6.2.4-19
【解析】如图6.2.4-19，设中点为，连接 ,则
，,
（由极化恒等式得） .
由图可知，点的轨迹是以点 为圆心，半径为1的圆,当点
在线段上时，取最小值，所以 的最小值为2，
所以 ．
. .
子题2 (2025·天津市南开大学附属中学开学考试)在边长为1的等边三角形中, 为
线段上的动点,且交于点,且交于点,则 的值为
___; 的最小值为_ __.
1
图6.2.4-20
【解析】如图6.2.4-20,过作,交于点 ,易证得
,四边形是矩形,所以, ,
则 ,
所以 .
连接,由题意知,,则 .设
,则，,,取 的中点
（将, 化归入三角形，为极化恒等式的应用作准备）
，连接 ，则
,所以当 时，
取得最小值,为 ，
即的最小值为 .
. .
. .
. .
新考法 数学文化
图6.2.4-21
例24 (2025·广东省深圳市期中)“雪花曲线”又
称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研
究的一种分形曲线．如图6.2.4-21是“雪花曲线”
的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每
条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底
A
A.24 B.6 C. D.
边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图6.2.4-21（1）中
正三角形的边长为6，则图6.2.4-21（3）中 的值为( )
【解析】如图6.2.4-22，设,,则, ，
图 6.2.4-22
]=
.
例25 新情境 欧拉线(2025·河南省郑州市金水区月考)瑞士数学家欧拉被誉为“数学之
王”，欧拉在1765年发表了令人惊叹的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，
这条直线被称为欧拉线．已知，，，为 所在平面上的点，满足
，， ，
,,分别为的内角，，的对边 ，则欧拉线一定过
( )
B
A.，， B.，， C.，， D.，，
【解析】因为，，，为 所在平面上的点，
则由，可知点为 的外心.
设边的中点为，则 ，
又， ，
所以，即，，三点共线且点为靠近点 的三等分点，
故点为 的重心.
由 可知，
当时，点是 的重心，反之则不是，
由可得，即 ，
同理可得， ，
故点为 的垂心.
由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过，， 三点．
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节是高考考查的重点和热点，高考主要考查向量的数量积的计算、求模、求夹角
和垂直关系的判断等,多以选择题或填空题出现,试题难度中等或较低.
核心素养：直观想象（借助图形，数形结合解题）、数学运算（数量积、向量的模、
向量夹角的求解）.
考向1 数量积的简单计算
例26 (2025·天津)中，为中点，,,,则 ______
___（用,表示）;若，,则 _____.
【解析】 .
,，即 ①，
又, ,
，即，得 ②，
由①②得, ,
.（由②可得）
,从而
,则
,故 .（【关键】因为
，所以将和 作为基向量）
. .
. .
命题 探源 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 模、数量积的运算.
直观想象
失分 探源 不能使用整体思想求数量积，导致错误. 变式探源 (新高考全国Ⅰ卷)已知是边长为2 的正六边形 内的一点，则
的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】设在上的投影向量为 ,
图6.2.4-23
则 .
由图6.2.4-23可知，
当点与点重合时,,当点与点重合时,,又点 在正六边形内部，所以
,所以 .
故当点在正六边形内部运动时， .
例27（1）(2022·全国乙卷)已知向量，满足,， ,则
( )
C
A. B. C.1 D.2
【解析】由，可得，又 ,
，所以 .
（2）(2022·全国甲卷)设向量,的夹角的余弦值为，且, ,则
____.
11
【解析】 ,
.
命题 探源 本题组考查的知识点虽然简单，但却是高考中平面向量基础性要求的重点 考向，同样也可视为取材于教材第21页【例12】，都是基于向量数量积的 计算展开的. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 向量数量积的运算、性质的应用.
变式探源 (全国Ⅱ卷)已知单位向量,的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的
是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 （通解） 由题意，得 .
对于A， ，故A不符合题意；
对于B， ，故B不符合题意；
对于C， ，故C不符合题意；
对于D，，所以 ，故D符合题意.
（优解） 根据条件,分别作出向量 与A，B，C，D四个选项对应的向量，如
图6.2.4-24所示：
图6.2.4-24
由图易知，只有选项D满足题意.
考向2 夹角的计算
例28（1）(2023·全国甲卷)已知向量,,满足,,且 ，
则, ( )
D
A. B. C. D.
【解析】, ，
等式两边同时平方得， .
又, ,
，且
,
，
, .
（2）(全国Ⅰ卷)已知非零向量,满足，且，则与 的夹角为
( )
B
A. B. C. D.
图 6.2.4-25
【解析】 （直接进行向量的代数运算）
由，得 ,
,， ,
,，即, ,
又,,, .
（数形结合，聚焦图形特征）
如图6.2.4-25，设, ,
则 ,
, ，
又, ，
即, .
考向3 模的计算
例29（1）(2024· 新课标Ⅱ卷)已知向量，满足， ，且
，则 ( )
B
A. B. C. D.1
【解析】由，得，所以 .
将的两边同时平方，得 ，即
，解得，所以 .（【方法技巧】已知向
量的和（差）的模，往往两边同时平方，由此将向量的模的问题转化为向量的数量
积问题，从而与条件中的已知向量建立联系）
（2）(2023· 新课标Ⅱ卷)已知向量，满足,,则
____.
【解析】由，得，即 ①.由
，得 ，整理得，
，结合①，得，整理得， ，所以
.
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·四川省绵阳中学测试)若向量，满足 ，
，则( )
BC
A. B.与的夹角为
C. D.在上的投影向量为
【解析】， ，
，所以 ，A错误；
设，的夹角为 ，则，由于，与的夹角为 ，
故B正确；
，
故C正确；
在上的投影向量为 ，故D错误．故选
．
图6.2.4-26
2.新情境 折纸风车［多选题］(2025·山西省实验中
学开学考试)我国传统的一种手工折纸风车
（如图6.2.4-26（1））是从正方形纸片的一个直角
顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一
个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其
余三个直角制作而成的，其平面图如图6.2.4-26
（2），则下列说法正确的是( )
BCD
A. B.
C. D.
【解析】选项A，由对称性知，，而与 不重合，即A错误；
选项B，设风车的中心为 ，
，即B正确；
选项C， ，即C正确；
选项D， ，
，即D正确．
故选 ．
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·天津市五区县重点校期末)已知是等边三角形，边长为4，则
( )
A
A. B.8 C. D.
【解析】因为 是等边三角形，边长为4，
所以 .
2.已知，，且，则 ( )
C
A.1 B. C. D.5
【解析】因为 ，
所以 ．
3.(2025·辽宁省辽阳市期末)已知两个单位向量,满足，则, 夹角的余
弦值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为,均为单位向量，所以 .
由 ，
即 ，
所以, .故选A.
4.(2025·广东省汕头市期末)在中，已知，， ，
，分别是，边上的中线，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】依题意 .
因为,分别是,边上的中线，则 ,
,
则 .
图6.2.4-1
5.[教材改编P24 T24][多选题]如图6.2.4-1，点，在 上，则
下列所给条件可以求出数量积 的是( )
ABD
A.，，
B.，
C.
D.
【解析】对于A，由向量数量积的定义式，得 ，
，故A正确；
图D 6.2.4-1
对于B，如图D 6.2.4-1，过点作于点 ，因为
， ，则
，由A项分析易得
，故B正确；
对于C，因为， ，所以仅知道
不能求出 ，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，且 ，故
，即D正确.故选 .
6.[多选题](2025·湖北省武汉市期末)如图6.2.4-2，在中，， ，
，，．设在上的投影向量为 ，则下列命
题正确的是( )
BD
图6.2.4-2
A. 的值为 B. 的值为 C. D.
【解析】在上的投影向量为,则 .
,
所以 ,则
.故选 .
7.(2025·陕西省西安市西光中学月考)已知与为互相垂直的单位向量， ，
，且与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_ ________________．
【解析】与为互相垂直的单位向量，，，与 的夹角为
锐角， .（注意排除夹角为 的情况）
， ，
， .
当,同向共线时，设,即 ,
整理得 ,
所以解得
故与的夹角为锐角时， 的取值范围是 .
. .
8.(2025·北京市海淀区期末)已知向量,，，，, .
（1）求 ；
【答案】因为，，, ，
所以 .
（2）若与垂直，求实数 的值；
【答案】因为与垂直，所以，所以 ，所以
.
（3）若，求的最小值及相应的 值.
【答案】,所以当时，有最小值 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.(2025·江苏省徐州市期末)在梯形中，，， ，
，若在上的投影向量为，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】依题意，设，则 ，
因为在上的投影向量为，所以，又 ，所以
，
所以，即 ，
因为，， ，所以，解得 ，
所以 .故选C.
图6.2.4-3
10.(2025·天津市静海区第一中学月考)如图6.2.4-3，在平面
四边形中，，， ，
，，，若点为边 上的动点，
则 的最小值为( )
B
A.1 B. C. D.2
【解析】连接,因为,,, ,
则 ,
则可得,过作交于点 ，
所以四边形为矩形，, ,
易知，则, ,
设, ,
则
.
故当时，取得最小值,为 .
11.[多选题](2025·江苏省南京市田家炳高级中学测试)正六角星是我们生活中比较常
见的图形，很多吊饰品中都出现了正六角星图案.正六角星可由两个正三角形一上一
下连锁组成（如图6.2.4-4（1））．如图6.2.4-4（2）所示的正六角星的中心为 ，
，， 是该正六角星的顶点，则( )
AC
图6.2.4-4
A.向量，夹角的余弦值是
B.若，则
C.若，则
D.若非零向量，则 取最小
值时，
【解析】由题意可知 ，则 ,故A正确；
图D 6.2.4-2
如图D 6.2.4-2，由题意可知，
则 ，故B错误; 因为，所以 ，
因为 ，所以
则 ，故C正确;
，当时， 取得
最小值，此时，故D错误．故选 ．
12.(2025·山东省济宁市期中)如图 6.2.4-5放置的边长为1的正方形中，, 分别
在轴、轴的非负半轴上滑动，则 的最大值是___.
2
图6.2.4-5
【解析】如图D 6.2.4-3所示，取的中点，的中点 ，则
.
图D 6.2.4-3
连接,，,则有,当，, 三点共线时等号
成立，因此的最大值为，故的最大值为 .
13.(2025·江苏省四市十一校联考)在四边形中，，，是 上的
点，且，是的中点，是与的交点，设， .
（1）若四边形为矩形，用向量，表示，，，并求出 ，
， ；
【答案】 ，
.
图D 6.2.4-4
如图D 6.2.4-4，延长与相交于点，则 ，
所以，则 ，
①，
又由得 ，即
②，
由①②可得，则 ，
故 ，
综上， .
，
，
.
（2）若四边形为平行四边形，且 ，求 的余弦值；
【答案】由（1）得， ，
所以 ，
，
，
所以 .
（3）在（1）的条件下，求在 上的投影向量.
【答案】由（1）得 ，
故在上的投影向量为 .
C 培优练丨能力提升
14.(2025·天津市第二南开学校月考)如图6.2.4-6，在中，点，在边 上，
且，点,分别在线段,上，且,，直线
交于点，且，则__．若直线交于点且 是边长为2的
等边三角形，则 __．
图6.2.4-6
【解析】由，可得为 的中点，
则 ，
因为,，且 ，
可得，即 ，
又,,三点共线，可得，解得，即 .
设，因为点为的中点，可得 ，所以
，即 .
又,,三点共线，可得，解得，即，所以点为 的中
点，,即,所以 .
设 ，
由 ，
可得，即 ，
又,,三点共线，可得，解得 ，
即，所以 ，
又由 ，且
是边长为2的等边三角形，
可得 .

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