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(共84张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 平面向量基本定理
1 平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，
有且只有一对实数,，使 .
若,不共线，我们把{, }（零向量不能构成基底,因为零向量与任一向量平
行.）叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（基底不唯一,构成基底的向量叫做
基向量）.
. .
. .
. .
. .
2 定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底｛， 的条件下进行分
解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是
平面向量基本定理的实质．
3 定理的功能
由平面向量基本定理可知，若,不共线，则由， 的所有线性组合构成的
集合，}就是平面内的全体向量，其中{, 叫做表示这一平
面内所有向量的一个基底.这个定理体现了转化与化归的数学思想方法，在用向量解
决几何问题时，我们可以适当地选择基底，将问题涉及的向量用基底线性表示，这
是解决向量问题的基本途径.#1
知识剖析
对平面向量基本定理的理解
（1）平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即存在实数, ,
使.二是唯一性，即对任一向量，存在唯一一对实数， ，使
.
（2）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量,都可以构成基向量.同
一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
（3）任一向量都可以由同一个基底唯一表示，即基底给定时，分解形式唯一.
,是被,, 唯一确定的数值.
（4）若｛,是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当与 共线时，
;当与共线时，;当时， .#1.1.1.4
. .
. .
. .
4 平面向量基本定理的拓展
由平面向量基本定理，我们得到：个不共线的向量，， ，与 个实数
，， ，所组成的向量 叫做向量的线性组合，当向
量是向量，， ，的线性组合，即 时，我们称
向量可以分解成向量，， ，的线性组合，其中{，， ， 是关于
向量 的一个基底.
学思用·典例详解
例1-1 ［多选题］下列说法中正确的是( )
BCD
A.一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B.一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底
C.零向量不可作为基底中的向量
D.对于平面内的任一向量和一组基底，，使成立的实数对
一定是唯一的
【解析】一个平面内任何一对（无数多对）不共线的向量都可作为表示该平面所有
向量的基底，故A错误，B正确；
因为零向量与任何向量都是共线向量，所以零向量不可作为基底中的向量，故C正确；
由平面向量基本定理中的唯一性可知D正确．
例1-2 (2025·广东省广雅中学月考)若， 是平面内的一组基底，则下列四组向量
能作为平面向量的基底的是( )
C
A.， B.，
C.， D.，
点拨 一组向量能否构成平面内的一个基底，关键是看这组向量是否共线.
【解析】对于选项A，，故与 共线，所以不能作
为基底；
对于选项B，，故与 共线，所以不能作为基
底；
对于选项C，若与共线，则 ，即
，可得故不存在 使，故
与 不共线，所以能作为基底；
对于选项D，，故与 共线，所以不能
作为基底.
知识点2 平面向量的正交分解及坐标表示
1 正交分解
图6.3.1-1
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向
量作正交分解.（正交分解中的两个基向量互相垂直，构
成正交基底）
给定平面内两个不共线的向量, ,由平面向量基本
定理可知，平面上的任意向量 ，均可分解为两个向量
和，使.当与垂直时， 就分解成为两个互相垂直的向
量，叫做把正交分解.如图6.3.1-1，重力 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.
. .
. .
2 向量的坐标表示
图6.3.1-2
如图6.3.1-2,在平面直角坐标系中，设与轴、 轴方向相同的
两个单位向量分别为，，取, 作为基底.对于平面内的任意一
个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数， ，
使得 .这样，平面内的任一向量都可由, 唯一确定，
我们把有序数对叫做向量的坐标,记作 ①.其中
显然，，, .
叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标,①叫做向量 的坐标表示.
. .
. .
3 点的坐标与向量的坐标的联系
如图6.3.1-3,在平面直角坐标系中，以原点为起点作,则点 的位置由向
量 唯一确定.
图6.3.1-3
设，则向量的坐标就是终点的坐标;反过来，终点 的坐
标也就是向量的坐标.因为，所以终点的坐标就是向量 的坐
标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.即在平面直角坐标系中，每一个
平面向量都可以用一个有序数对唯一表示（向量与有序数对一一对应）.
. .
. .
辨析比较
点的坐标与向量的坐标的区别与联系
区别 表示形式 不同
意义不同
联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原
点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
例2-3 [教材改编P29例3]如图6.3.1-6所示，若,分别是与轴， 轴方向相同的单
位向量，请写出向量, 的坐标（每个小方格的边长为1）.
图6.3.1-6
【解析】因为的始点在原点，所以由的终点坐标可知 .又
，所以 .
总结 求平面上向量的坐标的方法
若两个单位向量, 构成正交基底，为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两
种方法中的任何一种:
（1）将向量用单位向量， 表示出来;
（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.
例2-4 在平面内,以点的正东方向为轴的正方向，正北方向为 轴的正方向建立平
面直角坐标系.质点在平面内做直线运动,先画出下列位移向量在基底{,, }是分别
与轴，轴方向相同的两个单位向量 下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标:
（1）向量 表示沿东北方向移动了2个单位长度;
【解析】 ,
.
因此, .
（2）向量表示沿北偏西 方向移动了3个单位长度;
【解析】 ,
.
因此, .
（3）向量表示沿南偏东 方向移动了4个单位长度.
【解析】 ,
.
因此 .
【解析】设,,,则向量,,在基底{, }下的正交分
解，如图6.3.1-7.
图6.3.1-7
释疑惑 重难拓展
知识点3 平面向量基本定理中实数的取值及范围
图6.3.1-4
如图6.3.1-4，平面内的一组基底为 ，
},直线,和 将平面分成7部分，对于平
面上任一向量,存在唯一有序实数对 ，
使得 .
对于点的位置与, 的取值有以下结论.
教材深挖
此处是对教材第26页【例1】及【？】内容的一个深挖，然后利用三点共线推导出
“爪”字型图的结论.
1.点在①区域内（【说明】若点 在区域内，除非特殊说明，否则默认不包含
边界），则,, .
2.点在②区域内，则,, .
3.点在③区域内，则,, .
4.点在④区域内，则,, .
5.点在⑤区域内，则, .
6.点在⑥区域内，则,, .
7.点在⑦区域内，则,, .
. .
8.点在直线上，则, .
9.点在直线上，则, .
10.点在直线上，则 .
图6.3.1-5
11.点在线段上，且 （如图6.3.1-5）.
则 .
（【证明】根据和 ,得
,, ）
例3-5 (2025·河北省石家庄市第二十四中学月考)设为 所在平面内一点，若
，则( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 .
图6.3.1-8
如图6.3.1-8，由得 ，故
.
如图6.3.1-8，根据点的位置，可观察出基向量 的系
数为负数，基向量 的系数为正数，故选A.
解题课丨关键能力构建
题型1用基底表示向量
例6 已知，是同一平面内的两个不共线向量，， ，
，试用向量和表示 ．
【解析】由题意，可知， 不共线，
可设 ，则
．
，不共线， ,
解得
故 ．
例7 如图6.3.1-9所示，在中,是的中点，且,与相交于点 ，
设，，试用基底｛,｝表示向量 .
图6.3.1-9
【解析】 由题知,由,,三点共线，可设，则 .
由是中点，得.由,,三点共线，可设 ，则
.
由平面向量基本定理中的唯一性得
解得所以 .
易得， ，
由，，三点共线可知，存在实数使得 （三点共线的
性质定理） .
由，，三点共线可知，存在实数使得
.
所以 ，
由于{, }为基底，
. .
. .
所以（任一向量用同一基底表示的唯一性）解得
所以 .
. .
用基底表示向量的两种基本方法
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算将待求向量不断地
转化,直到用基底表示为止；另一种是通过不同的路径表示同一向量，再由基底表示
向量的唯一性求解,即若,且,不共线 ，则构建
方程（组） 使得问题获解.
【学会了吗丨变式题】
1.如图6.3.1-10，在梯形中，,,分别是，的中点，且 ,设
,,以,为基底表示向量，， .
图6.3.1-10
【答案】 ,, .
，
.
又，且, ,
.
过点作，交于点，交于点 （图略）.
同方法1得 .
则 ,
.
同方法1得,.连接， （图略），
由得 .
题型2 利用平面向量基本定理求参数
1 求参数的值
例8 (2025·河南省信阳市息县模拟)如图6.3.1-11，在中，是的中点， 是
的中点，若，其中,，则 的值为__.
图6.3.1-11
【解析】 因为 ①,
②,
所以由得 ，
由得 .
又，所以 ，故
.
设，，则 ，
，
所以 .
由平行四边形法则知 ，根据平面向量基本定理中的唯一性，
得
两式相加得，解得 .
例9 (2025·福建省南安第一中学测试)如图6.3.1-12，是的重心，是边 上
一点，且，，则 ( )
A
图6.3.1-12
A. B. C. D.
【解析】 延长,与交于点 ，如图6.3.1-13所示.
图6.3.1-13
又是的重心,则为 的中点，
则 ,
又是上一点，且，则是的中点，
则有 ,
则 ,
又，则, ,
故 .
延长,与交于点，连接（图略） ，由“爪”字型图结论
得， .
又是的重心，则是 的中点，
则， ，
，
，
又，则， ，
故 .
【学会了吗丨变式题】
图6.3.1-14
2.(2025·山东省菏泽市期末)如图6.3.1-14，已知四边形 是
平行四边形，，若与交于点 ，且
，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由四边形是平行四边形，且 ，
可知，且 ，
所以，则 ．
3.(2025·四川省成都市统考)如图6.3.1-15，经过的重心的直线与， 分别
交于点，，设，，，，则 的值为___．
3
图6.3.1-15
【解析】 设， ，
由题意知 ，
， ，
由，，三点共线得，存在实数 ，使得 ，
即 ，
从而消去 ,得 .
由题意知 ,
因为，，三点共线，所以,即 .
2 求参数的最值或取值范围
图6.3.1-16
例10 (2025·江苏省扬州中学月考)如图6.3.1-16，在 中，
点在线段上，且，点是线段的中点．过点
的直线与边,分别交于点,，设 ,
，则 的最小值为( )
D
A. B. C. D.
利用平面向量的线性运算可先得出，根据 ,
，是的中点，可得出，， 之间的关系，利用三点共线定理，
得出 , 之间的等式，再利用基本不等式求得 的最小值.
【解析】因为，所以 ，
所以 （由“爪”字型图结论可直接得），
又，则 .
因为, ，
所以,，所以 ，
. .
又,,三点共线，所以 （由三点共线定理可直接得出和为1，当不使用
三点共线定理时，可先设，则 ，所以
，因为，不共线，根据平面向量基本定理得 ,
，所以 ），
所以 ，当且仅当
，即 时， 取到最小值 .
. .
例11 在中，点满足，当点在线段 （不包含端点）上移动
时，，则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
图6.3.1-17
【解析】如图6.3.1-17， ，
（【学以致用】选择、填空题中，由“爪”字型图结
论可直接得到 ），
又点在线段 （不含端点）上移动，
设，， ，
又，
. .
．
在 上单调递减，
的取值范围为 .
用平面向量基本定理求参数值（或范围）的一般步骤
1.用基底表示目标向量.
2.将所得关系式与条件中给出的关系式比较，根据同一向量用同一基底表示的唯一
性列方程（组）.
3.解方程（组）求得参数（或其代数式）的值或构建目标函数求最值（或取值范围）.
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·河南省开封市期末)已知在中， ,,, 为线段
上的点，且，则 的最大值为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】为线段上的点， 存在实数 使得 ,
,
又,
（配方法求最值），当且仅当 时，等
号成立，故 的最大值是3.
. .
题型3 平面向量基本定理在平面几何中的应用
1 证明问题
例12 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
图6.3.1-18
【解析】如图6.3.1-18，设，，,, 分别为三
角形三边的中点，则， ，
.设与相交于点，且 ，
，
则， .
因为 ，
所以 解得
即 .
再设与相交于点 ，
同理可得 ，
故点,重合，即,, 相交于同一点,
故三角形的三条中线交于一点.
2 确定点的位置
例13 如图6.3.1-19所示，中，，，交于 点，则
___．
图6.3.1-19
【解析】设，，则 ，
.
因为,,三点共线，所以可设，即 ，所以
.
因为,,三点共线，所以可设，即 ，
由平面向量基本定理中的唯一性，得
解得
所以，，所以 .
确定点在线段上的位置，可设若点在直线 上，则
，并选择恰当的基底，利用向量的线性运算表示同一向量或一对共线的向量，
由平面向量基本定理中的唯一性即可构建关于 的方程（组），求出 的值即得点
的位置.
【学会了吗丨变式题】
5.(2025·河南省郑州市模拟)如图6.3.1-20，在中，是边的中点，且点 满
足，延长交于点，则 __.
图6.3.1-20
【解析】因为 ①，
②，
由，得，所以 （或者直接由“爪”字
型图结论得 ），
设 ,
因为,,三点共线，所以 （三点共线定理），
解得，所以（可以据此由“爪”字型图直接得到 ），
所以,所以 .
. .
. .
. .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·广东省广州市天河外国语学校月考)若, 是平面内的一个基底，则下列
四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
D
A., B.{,
C., D.{,
【解析】对于A,因为 ，向量共线，所以不能作为基底；
对于B,因为 ，向量共线，所以不能作为基底；
对于C,因为 ，向量共线，所以不能作为基底；
对于D,因为与 不共线（可使用反证法证明），所以能作为基底．
. .
图6.3.1-1
2.(2025·湖南省岳阳县第一中学期末)如图6.3.1-1，在
中，为边上的中线，为 的中点，若
，则实数对 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为在中，为边上的中线，为 的
中点，所以
,
又,故, .
图6.3.1-2
3.(2025·安徽省芜湖市期末)如图6.3.1-2，在 中，
,为线段上一点，且 ，
则实数 的值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，
所以 ，
因为,,三点共线，可设，则 ，
又，则解得 ．故选D．
图6.3.1-3
4.(2025·山西省运城市月考)如图6.3.1-3，在平行四边形 中，
对角线与相交于点,为 的重心，若
，则 ( )
A
A. B. C. D.
图D 6.
【解析】如图D 6.3.1-1，延长与相交于点，可得 为
的中点，则，即 ，即
，
因为为 的重心，所以
，又
,
所以,，可得 .故选A.
5.[多选题](2025·湖北省孝感高级中学期末)在平行四边形中， ，
，与交于点，设， ，则( )
AC
A. B.
C. D.
图D 6.
【解析】如图D 6.3.1-2所示，连接,交于点 .在平行
四边形中，，所以 ，
则 ，A正确，B错误；
由题可知，在平行四边形中，与相似，所以 ，
则，即， ，
因为，，三点共线，，， 三点共线，
设 ，
则，解得 ，
所以，C正确，D错误．故选 ．
6.如图6.3.1-4,向量,, 的坐标分别是________，______，_________.
图6.3.1-4
【解析】将向量,,分别向正交基底,所在的直线分解，则 ,
,
,所以,, .
图6.3.1-5
7.如图6.3.1-5，在中，, .
（1）,求 的值；
【答案】 ,又
,
所以,,故 .
（2）若,,试用,表示 .
【答案】因为, ,
所以 ,
故 .
图6.3.1-6
8.(2025·安徽省合肥市第九中学质检)如图 6.3.1-6所示，在
中，,,与相交于点 .设
， .
（1）试用向量,表示 ；
【答案】,,三点共线， 存在实数 使得
,
,,三点共线， 存在实数使得 ,
.
又与不共线，解得
.
（2）在线段上取点，在线段上取点，使过点，设 ,
,求证 .
【答案】,,三点共线， 存在实数 使得
.
又由（1）知 ,
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
图6.3.1-7
9.(2025·四川省西充中学月考)如图6.3.1-7，在 中，
，是上一点，若 ，则实数
的值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】,, .
设 ,
则可得 ,
则 ,
解得
由题意知，，，三点共线，由三点共线的性质定理可知 ,
.
图6.3.1-8
10.传统文化八卦(2025·辽宁省沈阳市期中)古代典籍
《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影
响．图6.3.1-8（1）是受“八卦”启示设计的正八边形的
八角窗．在图6.3.1-8（2）所示的正八边形
中，若 ，则
( )
C
A. B. C. D.3
图D 6.3.1-3
【解析】正八边形的每一个内角为
（【知识回顾】正 边形内角和为
）
，如图D 6.3.1-3，
作，，则， 为等腰直角三角形，
， .
，
，
，，则 ．
. .
. .
11.在中，是边的中点，是边上一点且满足，与 交于
，若，，则 的值是( )
C
A.1 B. C. D.
【解析】由题意得， ，
，，三点共线， 存在实数使得 ，
，
故解得
故 ，
，
，
即，故，故 ．
图6.3.1-9
12.(2025·山东省日照市期末)如图6.3.1-9, 已知点在由射线 ，
线段及射线所围成的平面区域内（包括边界）,且与
平行，若,当时, 的取值范围是( )
D
A. B.[-, C.[-, D.,
图D 6.3.1-4
【解析】如图D 6.3.1-4,由向量加法的平行四边形法则可知，
为平行四边形 的对角线，且该平行四边形是以线段
的延长线上的线段和上的线段为两邻边的,为
与的交点，为的延长线与射线 的交点.
当时，要使点落在指定区域内，则点应落在线段
上，其中,,所以的取值范围是, .
图6.3.1-10
13.[多选题](2025·四川省绵阳中学月考)如图6.3.1-10，在
中，是靠近的三等分点，是的中点， 与
交于点，且有， ,，过 作
直线分别交线段,于点,，设 ，
，则( )
ACD
A. B.
C. D. 的最小值为2
【解析】对于A，B，因为 ，
依题意将，代入，得
因为,,三点共线，且,, 三点共线，
所以得 故A正确，B错误；
由可得 ，
故 ，故C正确；
对于D，，， ，
则，因为，， 三点共线，
所以，即 ，
由 ，
当且仅当即 时取得等号,故D正确．
故选 ．
14.(2025·四川省成都市期中)如图 6.3.1-11,在中,是的中点,在边 上,
,与交于点.若,则 的值是____.
图6.3.1-11
【解析】 （利用基底求解） 过点作,交于点 （图略）,由
,为中点,知,则 ,
（利用平面向量基本定理求解） 由,,三点共线，可设 ,则
,由，，三点共线可设，则 ，
,
,即,故 .
则 ，
由平面向量基本定理可得解得
则， ，
则 ，
化简得，则 .
图6.3.1-12
15.如图6.3.1-12，已知点是的重心，点是 内
一点（不包括边界），设, .
（1）试用,表示 ;
图D 6.3.1-5
【答案】如图D 6.3.1-5，延长，交于点，则为 的
中点， .（【另解】
）
（2）若,求 的取值范围.
【答案】， ,如图D 6.3.1-5，连接
并延长，交于点 .
令, ,则
.
因为,所以, ,
故,因为,所以 .
故 的取值范围为 .

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