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(共132张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3. 3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐
标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 平面向量加、减运算的坐标表示
1 两个向量和（差）的坐标表示
设，，则， ，所以
，即
.同理可得 .
这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
. .
. .
2 求任一向量的坐标
图6.3.3-1
如图6.3.3-1,已知，，坐标原点为 ，
则， ,所以
.
（向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它
们的具体位置无关）
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐
标.（因此，在求一个向量的坐标时，先求出这个向量的起点坐标和终点坐标）
特别提醒 1.一个向量的坐标是唯一确定的，且向量平移后，其坐标不变.
2.求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
. .
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 设，，则 _________.
【解析】因为， ，
所以 ．
例1-2 [教材改编P36习题6.3T3]已知，，则点 的坐标为______.
【解析】 设,则 ,
解得 ．
设为坐标原点，则,因此 .
知识点2 平面向量数乘运算的坐标表示
1 平面向量数乘运算的坐标表示
设，则，所以 ，即
.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2 平面向量共线的坐标表示
设,，其中.我们知道，， 共线的充要条件是存在
实数 ,使.如果用坐标表示，可写为，即消去 ,
得.这就是说，向量，共线的充要条件是
（还可以写成 ,即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比
例）.
知识剖析 当,时,,此时也成立,即对任意向量, 都
有： .
. .
学思用·典例详解
例2-3 [教材改编P33 T1]已知, ,求:
（1） ;
【解析】 .
（2） .
【解析】, .
例2-4 [教材改编P31例7](2025·河南省长葛市摸底考试)已知平面向量 ,
,且,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由,,且,得,解得 ,所以
,所以 .
知识点3 平面向量数量积的坐标表示
1 平面向量数量积的坐标表示
设 ，，因为， ，所以
.又 ,
,，所以 （依据是, 为单位正交向量,则
， ）.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
知识剖析 若已知两向量的模与夹角，则可直接利用公式, 求解；
若已知两向量的坐标，则可选用公式 求解.
. .
. .
. .
2 平面向量长度（模）的坐标表示
若，则,或 .
其含义是：向量的长度（模）等于向量 的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为， ，那么
， （实质为平面直角坐标系中两
点间的距离的运算）.
知识剖析 向量的模的坐标表示与两点间距离公式的联系
向量的模即向量的长度，其大小等于平面直角坐标系中两点间的距离，如
,则在平面直角坐标系中，一定存在点，使得 ,
,即为点到原点的距离.同样，若, ，
则,,即为， 两点间
的距离.
. .
. .
与非零向量 同向的单位向量的坐标表示
因为与非零向量同向的单位向量,若,则 ,所以
, .
3 平面向量垂直的坐标表示
设,是非零向量，，，则
（可与向量共线的坐标表示对比记忆）.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
. .
4 平面向量夹角的坐标表示
设,都是非零向量，，， 是与 的夹角，根据向量
数量积的定义及坐标表示可得
.（由公式可知， 的符号只由
决定.当时， ,,;当时，
,；当时， , ）
知识延伸 因为与非零向量 同向的单位向量的坐标表示为
,,所以向量在向量 上的投影向量的坐标表示为
, .
. .
学思用·典例详解
例3-5 [教材改编P36练习T2]已知，，则 ( )
B
A. B.0 C.1 D.2
【解析】 ,
.
.
例3-6 已知向量,，则 ( )
B
A.5 B. C.8 D.
【解析】易知，从而 .
例3-7 判断下列各对向量是否垂直:
（1）, ;
【解析】,与 垂直.
（2）, .
【解析】,与 不垂直.
【想一想丨问题质疑】
已知，与 垂直的单位向量的坐标是什么？
提示 设与垂直的单位向量的坐标是，则
解得或
故与垂直的单位向量的坐标是 ，其中正负号表示不同的方向.
例3-8 [教材改编P35例11](2025·山东省烟台市期末)已知向量, ,
则与 夹角的大小为__.
【解析】由题意得, ,
.
设与的夹角为 ，
则 .
, .
例3-9 (2025·四川省南充高级中学月考)向量，，则在 上的投
影向量为( )
D
A. B. C. D.
【解析】在上的投影向量为 .
释疑惑 重难拓展
知识点4 线段的定比分点
1 线段定比分点的定义
图6.3.3-2
如图6.3.3-2，设，是直线上两点，点是上不同于 ，
的任意一点，则存在一个实数 ,使， 叫
做点分线段所成的比，点叫做线段以定比为 的定比
分点.
教材深挖
该知识点是针对教材第32页【例9】的深挖，也是对教材第33页【探究】的回答.
2 定比分点的坐标表示
设为坐标原点，若（,,则 （起点坐标） ）,（,（终点坐标））,
（, （分点坐标））,
,
故点的坐标为 （注意起、终点坐标的位置）
特别提醒 在使用定比分点坐标公式时，应明确,, 的意义，它们分
别为分点、起点、终点的坐标，在具体问题的计算中，往往是自行确定起点、分点、
终点，并且这些点必须与定比分点公式中的起点、分点、终点相对应.
. .
. .
. .
3 点位置与的取值范围之间的对应关系 （为线段 的中点）
外分点 内分点
4 定比分点的两种特殊情况
利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式.
（1）中点坐标公式：设，连线的中点为 ，则
, .
利用中点坐标公式可解决连线的中点坐标问题.
（2）重心坐标公式：在中，,,,则 的重心
的坐标为 .
. .
. .
学思用·典例详解
例4-10 已知,,点在直线上，且，求点 的坐标.
【解析】①当点在线段 上时，
,设点的坐标为, ,
解得
故点的坐标为 .
由定比分点的坐标公式及得，点 的坐标为
,
即， .
②当点在线段的延长线上时， （此情况易忽略.注意题目给出的
是“点在直线上”，而非“点在线段 上”），
. .
快解
同理把 代入定比分点坐标公式即得点P的坐标.
设点的坐标为 , ,
解得
故点的坐标为 .
综上可得,点的坐标为或 .
解题课丨关键能力构建
题型1 平面向量坐标运算
1 向量坐标运算的直接运用
例11 已知向量，，若满足，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】，，且满足 ，
．
2 利用向量坐标运算求点的坐标
例12 [教材改编P36 T6]已知，，，且 ，
，求点， 的坐标．
【解析】 ，， ，
，
．
， ，
， ．
（此处易误把,的坐标当作点, 的坐标，混淆点的坐标与向量的坐标的概念）
. .
设， ，
（设出点的坐标，利用方程思想求解）
，
，
解得
， ．
设为坐标原点，则
,
（向量的起点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标是一致的）
，
， ．
. .
. .
. .
3 利用向量坐标运算表示向量
例13 已知是内一点， ， ，设 ，
，，且，，，试用，表示 ．
图6.3.3-3
【解析】如图6.3.3-3，以为原点，向量所在的直线为 轴建
立平面直角坐标系．， ．
设， ,
,
, .
同理可得 .
设（待定系数法的运用） ,
, ,
解得
.
. .
利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路
1.求向量的坐标，即将所求向量用已知向量线性表示，再把已知向量用坐标表示，
利用向量坐标表示的线性运算即得所求向量的坐标.
2.求点的坐标的两种方法：
（1）待定系数法，设出未知点的坐标，利用向量的坐标表示，构建关于未知点的坐
标的方程组求解.
（2）求出以原点为起点，未知点为终点的向量的坐标，即得该点的坐标.
3.用已知向量表示未知向量，常利用待定系数法，即设出向量坐标的线性表示式，
根据对应坐标相等，构建关于变量的方程组，求出变量的值即得.
4 利用向量的坐标运算求参数
例14 (2025·甘肃省兰州西北中学月考)已知点，， ，且
，试问：
（1）为何值时，点在轴上？点在轴上？点 在第二象限？
【解析】若点在轴上，则，解得 ；
若点在轴上，则，解得 ；
若点在第二象限，则解得 .
（2）四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的 值；若不能，请说明理由.
【解析】不能.理由如下.
由题意知 .
若四边形是平行四边形，则，所以 方程组显然无解，故
四边形 不能为平行四边形.
【解析】由题意知，， ，
，故点的坐标为 .
思路点拨 因为，，为定点，所以与都为已知向量，故必随着 的变
化而变化，因此的变化影响了点的位置，故找到点的坐标与 的关系是求解本题
的关键.
利用向量的坐标运算求参数的思路
将向量等式中的各向量用坐标表示，通过坐标运算，并依据题设条件构建关于参数
的方程组或不等关系，进而可得参数的取值或取值范围.
5 坐标下的数量积运算及直接运用
例15（1）已知向量,,则 _____.
【解析】, ,
,
，
.
（2）已知，均为单位向量，且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】， ，
.
向量, 均为单位向量,
, ,
.
（3）已知三点，，，则 的余弦值为_ ____.
【解析】 ，
，
.
又 ，
，
.
（4）(2025·黑龙江省哈师大附中模拟)若向量，向量，则向量
在向量 上的投影向量为( )
B
A.， B. C.， D.，
【解析】 向量,向量 ,
, ,
向量在向量上的投影向量为 .
例16 已知，，且 ．
（1）用表示数量积 ；
【解析】由，得 （将所给的向量的线
性组合的模平方是常见的解题方法）,
,
.
又, ，
故 ,
,
.
. .
（2）求的最小值，并求出此时与 的夹角．
【解析】由（1）得,当且仅当,即
时等号成立.的最小值为 .
设此时与的夹角为 ,则 .
又, .
思路点拨 本题是平面向量的数量积与三角函数的综合问题，由
，易知 ，根据所给模的等式，两边平
方就可以解决问题．
直接应用数量积的坐标表示解决问题的关键
直接应用平面向量数量积的坐标表示解决问题的关键在于熟练运用相关公式
（平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、平面向量夹角的坐标表示、平
面向量垂直与平行的坐标表示）.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·河北省邢台市翰林高级中学月考)已知向量,,且与 的夹角
,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意，向量,则 ,
则有 ,故
,故选C.
2.(2025·陕西省榆林市第十四中学月考)已知向量，,且与 的
夹角为钝角，则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】与的夹角为钝角， ，
即， .
又当与反向时，夹角为 ，
即（当与的夹角为 时,也满足 ,但不符合题意，应舍
去），则，解得 .
由于与的夹角为钝角，故应排除与反向共线的情况，即排除，则实数
的取值范围为 .
. .
3.已知向量，，若在上的投影向量为，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为,,所以在 上的投影向量为
，
所以 .
因为,所以 .
题型2 向量共线、垂直的坐标表示的应用
1 向量共线（平行）的判断与证明
例17 已知，，三点的坐标分别为，，， ，
，求证： .
【解析】由题意知，， ，
则 .
, .
2 根据向量共线、垂直求参数的值
例18（1）(2025·北京二中期中)已知向量， ，若
与共线，则 ( )
A
A. B.2 C. D.
【解析】 由已知条件可得
，
．
与共线，，即， .
注意到向量，不共线，因此可以将, 视为基底，
于是有（与共线的本质是对应的系数成比例），即 .
. .
（2）[多选题]在中，，，且 的一个内角为直角，
则实数 的值为( )
ACD
A. B. C.2 D.
【解析】当角为直角时，（题中只给出 为直角三角形，并没有指出
哪个角是直角，故本题应分三种情况进行讨论），
，即, .
当角为直角时， ，
.
由，得, .
当角为直角时， ，
， .
由，得 ,
即, .
综上所述，的值为或 或2.
. .
. .
. .
根据向量共线、垂直求参数取值的基本思路
依据两向量平行或垂直的条件求解某参数取值是向量运算的重要应用之一，其方法
是先借助 , 或
其中, ，构建关于参数
的方程（组），通过解方程（组）求参数的取值.
【学会了吗丨变式题】
4.已知平面内的三点，，，若，则 ( )
A
A.6 B. C.3 D.
【解析】由题意得，， ，
，，解得 ．
5.(2025·山东省济南市期中)已知向量,,,若 ,
则 ( )
C
A. B. C. D.2
【解析】， ，
，解得 .
3 利用向量共线求点的坐标
例19 如图6.3.3-4所示，已知中，，，， ，
，与相交于点，求点 的坐标．
图6.3.3-4
【解析】因为点，， ，
所以， .
又，所以点的坐标为 .
又,所以点的坐标为 .
设点的坐标为，则 .
由题意知,,三点共线，所以 ，
又，所以，即 .
由题意知,,三点共线，所以 ，
又， ，
所以，即 .
由解得
所以点的坐标为 .
名师点评 本题还可以通过求的坐标来确定点 的坐标.
题型3 向量坐标运算与三角函数的交汇
例20 (2025·江苏省镇江中学期末)已知向量, ，
,, .
（1）若，求 ；
【解析】由题意， ，
因为 ，
所以 ，
两边平方可得 ，
即（要求 的值，需确定 是第几象限角）.
又,，所以 ，
即 ，所以 ，所以 .
所以 .
. .
（2）若向量与向量共线且，求 的值.
【解析】由题意，向量与向量 共线，
则 , ，
因为，且 ，
所以, ，
则, .
由 ，
可得，又 ，
所以, .
故 .
解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路
运用平面向量的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与
夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等）将问题转化为与三角函数有
关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即可.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·陕西省咸阳市期末)已知平面向量， ，
.
（1）若，求实数 的值；
【答案】，，由 ，得
，解得 .
（2）当时，求 的最大值和最小值.
【答案】， ，
则 ，
因为，所以 ，
故， .
题型4 坐标法在平面向量中的应用
1 建系、求值
图6.3.3-5
例21（1）(2025·广东省梅州市期末)如图6.3.3-5，在 中，
，，是边上靠近点的三等分点，是 的中
点，与交于点， ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意，建立如图6.3.3-7所示的平面直角坐标系，
图6.3.3-7
则,,,, ，
从而, ，
所以, .
图6.3.3-6
（2）(2025·广东省河源市质检)如图6.3.3-6，在梯形
中，，,，, ，
则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系（图略），则 ，
,, ，
,, .
设， ，
，
解得,， ，
, ，
.
【学会了吗丨变式题】
7.(2025·天津市耀华中学月考)已知是边长为1的等边三角形，点， 分别是边
，的中点，连接并延长到点，使得，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
图D 6.3.3-1
【解析】如图D 6.3.3-1，为坐标原点，以所在直线为 轴，
所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
由题意可得，，， ，
则,， .
设，由得， ，
所以 ，
所以，所以 ，
所以 .故选A.
2 求最值
例22 (2025·湖南省长沙市期末)在长方形中，，，点 在边
上运动，点在边上运动，且保持，则 的最大值为( )
C
A. B. C. D.
图6.3.3-8
【解析】如图6.3.3-8，以为原点，所在的直线为轴， 所
在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
, ,
,则,, .
设 ,则,重合时，这里表示为 ，
则 , ,
, ,
, ,
,
. .
,
其中,不妨令 ,
,令 ,则,在 上的图
象先增后减.
当时， ,
当时， ,
当时，取得最大值，最大值为 .
图6.3.3-9
名师点评 本题也可以直接求解.如图6.3.3-9，取的中点 ，在
中，，点的轨迹是以点 为圆心，半径为1
的圆弧， ，
当为的中点时， ，所以
.
例23 新情境 费马点(2025·上海市川沙中学期中)17世纪法国数学家费马曾提出这样
一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证
明：在中，若三个内角均小于 ，当点 满足
时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点
被人们称为费马点．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和 是平面内
两个互相垂直的向量，，，则 的最小值是
( )
B
A. B. C. D.
图6.3.3-10
【解析】设,, ,
即为点到，和点 三个点的距离
之和，则 为等腰三角形，如图 6.3.3-10，
由费马点的性质可得:要保证 ,则 ,
因为,则,所以点的坐标为时，点 到
三个点的距离之和最小，为 .
则 ,
致敬经典
命题探源 奥妙的向量方法
已知向量, .
由 ，即得
.
（【教材深挖】此处也是对教材第37页第16题的深挖）
根据上述结论我们可以借助向量方法解决下面的最值问题：
例24（1）已知实数,满足,求 的最小值.
【解析】令向量, .
,
,
即， ,
故 的最小值是8.
（2）已知实数,满足,求 的最大值.
【解析】令向量,, .
由,得 ,
即，解得 .
故的最大值是 .
名师点评 当然我们也可以利用其他方法来求解，此处之所以利用了向量坐标法求解，
是因为重在向量工具性的体现.
利用坐标法解决平面向量问题的基本思路
（1）通过对已知图形或画出的图形的分析，找到图形中的垂直关系或者转化后找到
隐含的垂直关系，建立平面直角坐标系.
（2）建系时尽可能地选择更多的点在坐标轴上，以减少变量和运算.
（3）表示出点的坐标，利用平面向量的有关知识进行转化，最后利用二次函数或者
三角函数的相关性质进行求解.
【学会了吗丨变式题】
图6.3.3-11
8.(2025·江苏省南京市期中)如图6.3.3-11，在四边形 中，
，，，．若点 为边
上的动点，则 的最小值为( )
B
A. B. C. D.
图D 6.3.3-2
【解析】如图D 6.3.3-2所示,以为原点，以所在的直线为 轴，
以所在的直线为 轴,建立平面直角坐标系．
连接,过点作轴，交轴于点，过点作 轴，
交轴于点 ．
,,，, 平分
，即，,， ,
,
,,, .
设,则, ，
故 .
3 求取值范围
例25 如图6.3.3-12，四边形是边长为1的正方形，延长至 ，使得
．动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 点，
若，则 的取值范围为______.
【解析】建立如图6.3.3-13所示的平面直角坐标系，则， ，
．
当点在上时，则 ;
当点在上时，则 ;
当点在上时，则 ;
当点在上时，则 .
综上可得, 的取值范围为 ．
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节以向量的坐标表示为基础，研究向量的坐标运算，实现了数与形的沟通，为向
量解决几何问题插上了“翅膀”.在高考中，由于基础性考查的需要，向量的坐标运算
往往作为基础题出现，主要考查向量共线、垂直、数量积等，当利用向量解决几何
问题时，则较好地体现了向量的工具作用.高考中常以选择题、填空题的形式出现,试
题难度为低、中档.
核心素养：数学运算（坐标运算、求参数、求模及夹角等），直观想象（画图建系）.
考向1 用坐标运算刻画位置关系（共线、垂直）
例26 (全国乙卷)已知向量,,若,则 _ _.
【解析】因为，所以 ，
解得 .
例27（1）(2024· 新课标Ⅰ卷)已知向量,,若，则
( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】 因为,,所以，又 ，
所以，解得 .
，解
得 .
（2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知向量，.若 ，则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为,，所以 ，
，因为，所以 ，
所以，整理得 .
（3）(2025· 全国二卷)已知平面向量,,若 ，则
____.
【解析】，由 ，得
，所以，所以 .
考向2 坐标下向量的模、夹角
例28 (2022·全国乙卷)已知向量，,则 ( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】由题意知 ，所以
.
例29（1）(2023·全国甲卷)已知向量，，则，
( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意知，，，所以 ，
.
（2）(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量,,,若,, ,
则 ( )
C
A. B. C.5 D.6
【解析】由题意，得 ，
所以 ，
．
因为,, ，
所以,, ，
即，即，解得 ．
考向3 向量坐标运算与三角函数的综合
例30 [多选题](新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，点 ,
,, ,则( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】由题可知，, ，
所以 ，故A正确；
取，则，取 ，
则，则 ，故B错误；
因为, ，所
以 ，故C正确；
因为 ,
，
取，，则， ，所以
，
故D错误.故选 .
考向4 利用向量的坐标表示解决几何问题
例31 (2023·全国乙卷)正方形的边长是2，是的中点，则 ( )
B
A. B.3 C. D.5
【解析】 由题意知， ，
，所以
，由题意知
，所以 .
以点为坐标原点，,的方向分别为, 轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，，，则，， .
素养探源 素养 考查途径
数学运算 向量的数乘运算与数量积运算.
直观想象 根据几何特征构建平面直角坐标系.
变式探源 (北京高考题)已知正方形的边长为2，点满足 ，
则____； ____.
【解析】 如图6.3.3-14，由题意及平面向量的平
行四边形法则可知，点为 的中点，
在三角形中， ,
,
．
以为坐标原点，,所在直线分别为轴, 轴，建立如图6.3.3-15所示的
平面直角坐标系，
则,,, ,
, ，
, ,
， ．
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·重庆市七校联考期末)已知平面向量， ，则下
列说法正确的是( )
ABD
A. B.与方向相反的单位向量是
C.与的夹角的余弦值为 D.在方向上的投影向量为
【解析】对于A，因为，所以 ，
故A正确；
对于B，与方向相反的单位向量为 ，故B正确；
对于C，因为,，所以, ，故C不正确；
对于D，由投影向量的定义知，在方向上的投影向量为 ，
故D正确.故选 .
2.新定义 向量叉积[多选题](2025·河南省濮阳外国语学校期中)
已知向量，的数量积（又称向量的点积或内积）， ，其
中，表示向量，的夹角.定义向量， 的向量积（又称向量的叉积或外
积），，其中，表示向量， 的夹角.则下列说
法正确的是( )
ABC
A.若，为非零向量，且，则
B.若，为非零向量，且，则，
C.若，则的最小值为
D.已知点，，为坐标原点，则
【解析】对于A，因为，为非零向量，且， ，所以
，或 ，所以 ，故A正确；
对于B，若，为非零向量，且，即 ，
，，则，，,则， ，故B正
确；
对于C，由，得，， ，则
，，则，，又， ，所以
，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D，， ,
，故
D错误.
故选 .
3.[多选题](2025·福建省泉州市期末)在边长为4的正方形中， 在正方形（含边）
内，满足 ，则下列结论正确的是( )
AD
A.若点在上时，则
B.的取值范围为
C.若点在上时，则
D.当在线段上时，的最小值为
图D 6.3.3-3
【解析】如图D 6.3.3-3，以为坐标原点，所在直线为 轴，
所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则， ，
， .
设，,， ，
，
对于A，由题意可得线段的方程为，，
点在上， ，
， ，故A正确.
对于B，， ，
,，， ，故B错误.
对于C，，， ，
，
，假设 ，则
，
不成立， 不成立，故C错误.
对于D，，当且仅当 时取等号，
当在线段上时，的最小值为，故D正确．故选 ．
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·八省联考)已知向量,，则 ( )
B
A.2 B.1 C.0 D.
【解析】因为,,则 ,所以
.
2.(2025·江苏省南京市第一中学月考)已知点，，则与向量 同方向的
单位向量为( )
A
A. B. C.， D.，
【解析】，则与其同方向的单位向量 .
3.(2025·吉林省长春外国语学校月考)已知向量,， 为坐标原
点，点满足，则点 坐标为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为向量,，为坐标原点，所以, ，
设，则, ，
因为，所以解得
所以 ，故选A.
4.(2025·湖南省长沙市期中)在平面直角坐标系中，已知，，点 在
第二象限内，，且，若,则 ， 的值分别是
( )
D
A.，1 B.1， C.， D. ，1
【解析】,, .
图6.3.3-1
5.新情境 中国象棋 [多选题](2025·河北省保定市期末)
中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两
千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图
6.3.3-1，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”
“炮”“马”“兵”分别位于，，， 四点，“马”每步只
能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点 ，则
的值可能为( )
ACD
A. B. C. D.
图D 6.3.3-1
【解析】如图D 6.3.3-1，建立以 为坐标原点的平面直角
坐标系，则，，， ，由于“马”
每步只能走“日”字，故“马”走动一步到达点 的位置可能
为，， ，
则,或或 ,
则的值可能为 ,
或 ,
或 ,
即的值可能为，， .
故选 .
6.[多选题](2025·广东省肇庆市碧海湾学校模拟)已知向量， ，则
( )
BD
A. B.向量，的夹角为
C. D.向量是与 共线的向量
【解析】 ，故A错误；
向量，夹角的余弦值，，又， ，
所以， ，故B正确；
又 ，故C错误；
向量，所以向量是与 共线的向量，故D正确．故
选 ．
7.(2025·四川省成都市期末)已知平面向量，向量 ，且
，若向量与平行，则 的值为_ ___.
【解析】由，可得， ，
则由可得，解得 ，
故， ，
，
由向量与平行可得，解得 .
8.(2025·四川省泸州市期中)已知向量， ．
（1）求向量， 的夹角的余弦值.
【答案】因为， ，
所以 ，
， ，
所以， .
（2）求 .
【答案】因为， ，
所以 ，
所以 .
（3）当为何值时，与 平行？平行时它们是同向还是反向？
【答案】依题意知，， ，
由，解得 ，
于是当时，与共线，且，即有 与
方向相反，
所以当时，与 共线，并且它们反向共线．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
9.(2025·河北省邯郸市武安一中期中)已知对任意平面向量，把 绕其起
点沿逆时针方向旋转 角得到向量，即点
绕点沿逆时针方向旋转 角得到点.已知平面内点，点 ，把
点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点 的坐标为( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为，，所以 .
将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转 ，得到
.
记坐标原点为，则 ，
所以点坐标为 .
10.(2025·河北省邯郸市期末)在平面直角坐标系中，原点，已知 ，
，是线段上的动点（含端点），且为的中点，则 的取值范围
是( )
A
A. B. C. D.
图D 6.3.3-2
【解析】如图D 6.3.3-2，设 ，
则 ，
又为的中点，所以 ，
所以 .
所以 ，
所以当时，取得最小值，最小值为；当
时，取得最大值，最大值为 .
所以 .
11.新定义 斜坐标系 (2025·江西省宜春市宜丰中学月考)如图6.3.3-2，设 ，
且，当 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系.在 的斜坐标系中，
任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴， 轴正方向相同的单位向量，
若，则 ，则下列结论中正确的是( )
C
图6.3.3-2
A.设非零向量，,，，若 ，则
B.设非零向量，则
C.设非零向量,,，，若 ，则
D.设，，若与的夹角为，则
【解析】对于A，因为，，所以， ，
又，所以 ，即
，所以，因为，所以 ，故A错误；
对于B，因为，所以 ，所以
，又，且 ，所以
，故B错误；
对于C，因为，，所以，，又 ，
则，即，即
所以 ，故C正确；
对于D，因为，，所以，，又与 的夹
角为，所以 ，解得
，又且,所以 ，故D错误.
12.新考法 新定义题 [多选题](2025·重庆市期末)对于非零向量 ，定义变换
，得到一个新的向量，则关于该变换，下列说法正确的是
( )
ABC
A.若 为任意实数，则
B.若，则
C.若，则
D.存在，使得,，
【解析】对于A，因为，所以 ，
所以 ，故A正确.
，设， .对于B，若
，则，所以 ，
即 ，故B正确.
对于C，若，则 ，
，所以
，故C正确.
对于D，,
，，，所以 ,
，，故D错误.故选 .
13.新情境 折扇问题 [多选题](2025·福建省石狮市永宁中学期初)折扇又名“撒扇”“纸
扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图6.3.3-3
（1）．其平面图如图6.3.3-3（2）的扇形，其中， ，
点在 上．则下列结论正确的是( )
BCD
图6.3.3-3
A.
B.若,则
C.若,则
D.的最小值为
图D 6.3.3-3
【解析】如图D 6.3.3-3，以直线为轴，以过 且垂直
的直线为轴建立平面直角坐标系，则, ,
,根据题意及三角函数的定义可得
,,即 ,
.
设,则 .
对于A,, ,
错误.
对于B, ,
,
, ,
,
又由图可知,, 正确.
对于C,, .
设,则 ,
解得
, 正确.
对于D,
,
又, ,
的最大值为 .
的最小值为, 正确.
14.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足 .
（1）求证：，，三点共线，并求 的值；
【答案】, ,
,又，有公共点 ，
，，三点共线, .
（2）已知,, ，且函数
的最小值为，求实数 的值.
【答案】, ,
,
.
又, ,
, .
设,, ,
.
①当,即时， 无最小值，不合题意；
②当，即时，当时， ,
;
③当，即时，当时， ,
,不合题意.
综上可知， .
C 培优练丨能力提升
15.在平面向量中有如下定理：已知非零向量，，若 ，
则 ．
（1）拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量， ，
若 ，则_______________________．（请在空格处填上你认为正确的结论）
（2）若非零向量 ，
，，且 ，利用（1）的结论求当
为何值时， 分别取到最大值、最小值.
【答案】， ,
①.
， ，
②.
由，得 ,
,
若或 ，此方程无解，
，即且 ，
，
， ，
即 ，
又, ,
解得,当时， 最小，
此时最大， .
任意角的余弦值最小为，当 ，
即时，或 .
综上，当时，有最大值，为 ；
当或时，有最小值，为 ．

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