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第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 平面几何中的向量方法
1 向量在平面几何中常见的应用
（1）证明线线平行或点共线问题，常用向量共线定理：
????//?????????=?????????????1????2?????2????1=0(????≠????) ．
（2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）
是否垂直等，常用向量垂直的条件：????⊥??????????????=0?????1????2+????1????2=0 .
（3）求夹角问题，利用夹角公式：
cos?????,?????=?????????|????||????|=????1????2+????1????2????12+????12?????22+????22 .
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|????|=????2=????2+????2
或|????????|=|????????|=(????1?????2)2+(????1?????2)2 .
?
2 向量法解决平面几何问题的“三步曲”
这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，把条件翻译成向量
关系式（用基底或坐标表示各向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量
关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论.
学思用·典例详解
图6.4.1-1
例1-1 如图6.4.1-1，已知????????，????????，????????是△???????????? 的三条高，且交
于点????，????????⊥????????于????，????????⊥????????于????.求证：????????//???????? .
?
点拨? 要证明????????//???????? ，由向量共线定理知，只需证明
????????=????????????(????≠0) .
?
【解析】∵????????⊥????????,????????⊥????????,∴????????//????????，△????????????∽△???????????? ,
设????????=????????????(????≠0),则????????=???????????? .
由????????⊥????????,????????⊥????????,易得△????????????∽△????????????,∴????????=???????????? .
于是????????=?????????????????=????(?????????????????)=???????????? ，
∴????????//????????,即????????//???????? .
?
点评? 在初中学习平面几何时，大家证明此题要用到平行的判定，这里用到向量的
线性运算及向量共线定理.利用向量的运算证明一些几何问题，比利用平面几何的
“从图形的一个性质推出另一性质”简单多了.
?
知识点2 向量在物理中的应用
向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度、加
速度、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题.具体
操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来
解释物理现象.
1 力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的
作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量方法解决
力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
2 速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠
加是向量的线性运算．
3 向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实
质是向量的数量积.
（1）力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即????=|????||????|cos?????，????? .功
是一个实数，它可正，可负，也可为零.
（2）动量涉及物体的质量????，物体运动的速度???? ，因此动量的计算是向量的数
乘运算．
?
学思用·典例详解
例2-2 某物体做斜抛运动，初速度|????0|=10?m/s，与水平方向成60? 角，不计空气
阻力，则该物体在水平方向上的速度是___m/s .
?
5
图6.4.1-2
【解析】如图6.4.1-2所示，该物体在水平方向上的速度为
|????2|=|????0|?cos?60?=10×12=5(m/s) .
?
例2-3 [教材改编P41 T3](2025·重庆市渝北中学校期中)已知两个力????1，????2 的夹角为
90? ，它们的合力大小为10?N，合力与????1的夹角为60? ，那么????2 的大小为( )
?
A
A.53?N B.5?N C.10?N D.52?N
?
【解析】如图6.4.1-3，由于????=60? ，∴????2 的大小为
|????合|?sin?60?=10×32=53(N) ．
?
图6.4.1-3
解题课丨关键能力构建
题型1 用向量方法解决平面几何中的平行问题
例4 已知在直角梯形????????????????中，????????⊥????????，????????=2????????=2????????，过点????作????????⊥???????? 于
????，????为???????? 的中点，用向量的方法证明：
（1）????????//???????? ；
（2）????，????，???? 三点共线．
?
【解析】 由已知得四边形????????????????为正方形，设????????=????,????????=???? .
?
（1）∵????????=?????????????????=?????????,????????=?????????????????=?????????,∴????????=????????,∴????????//???????? ,即
????????//???????? .
（2）连接????????,????????,????????=????????+????????=?????12????,????????=????????+????????=?12????+???? ,
∴????????=???????? ,
又????????与????????有公共点????，∴????,????,???? 三点共线.
?
如图6.4.1-4，以????为原点，????????所在直线为????轴，????????所在直线为???? 轴建立平面
直角坐标系，连接????????,???????? .
?
图6.4.1-4
（在建立平面直角坐标系时，要尽可能使更多的点落在坐标轴上，
使更多的线与????轴、???? 轴平行）
?
令|????????|=1，则|????????|=1，|????????|=2 ．
∵????????⊥????????，且????????=???????? ,
∴ 四边形???????????????? 为正方形，
∴ 可求得各点的坐标分别为????(0,0)，????(1,0)，????(0,1)，????(?1,1) ．
?
（1）∵????????=(?1,1)?(0,0)=(?1,1) ,
????????=(0,1)?(1,0)=(?1,1) ,
∴????????=????????,∴????????//????????,即????????//???????? .
（2）∵????为????????的中点，∴????(0,12) ,
∴????????=(?1,1)?(0,12)=(?1,12) ,
????????=(1,0)?(0,12)=(1,?12) .
∴????????=?????????,∴????????//???????? .
又????????与????????有公共点????，∴????，????，???? 三点共线．
?
题型2 用向量方法解决平面几何中的垂直问题
图6.4.1-5
例5 如图6.4.1-5所示，在正方形????????????????中，????，????分别是????????，????????
的中点，求证：????????⊥???????? .
?
【解析】 （选取基底????????,????????，证明????????⊥???????? ） 设
????????=????, ????????=????，则|????|=|????|,?????????=0 ,
?
又????????=????????+????????=?????+????2,????????=????????+????????=????+????2 ,
所以?????????????????=(????+????2)?(?????+????2)=?12????2?34?????????+????22=?12|????|2+12|????|2=0 .
故????????⊥????????，即????????⊥???????? .
?
图6.4.1-6
（建系，利用坐标法求????????⊥???????? ） 建立如图6.4.1-6所示
的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则????(0,0)，????(0,2) ,
????(1,0),????(2,1) ,
?
则????????=(2,1)，????????=(1,?2) .
因为?????????????????=(2,1)?(1,?2)=2?2=0 ,
所以????????⊥????????，即????????⊥???????? .
?
向量法解决平面几何问题的两种方法
（1）基底法：选取适当的基底（原则：模已知，夹角已知）,将向量用基底表示，
并进行相关运算.
（2）坐标法：建立恰当的平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、
垂直、平行等问题转化为代数运算.
题型3 用向量方法求线段的长度或证明线段相等
例6 如图6.4.1-7所示，四边形????????????????是正方形，????是对角线????????上的一点，????，???? 分别
在边????????，????????上，且四边形????????????????是矩形，试用向量法证明：????????=???????? .
?
【解析】易知点????，????，???? 都不在端点处，建立如图6.4.1-8所示的平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，????????=????(0????(22????,0) ，
∴????????=(?22????,1?22????),????????=(22?????1,?22????) ,
∴|????????|=(?22????)2+(1?22????)2=????2?2????+1 ,
|????????|=(22?????1)2+(?22????)2=????2?2????+1 ,
∴|????????|=|????????|，∴????????=???????? .
?
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·山东省临沂市模拟)在平行四边形????????????????中，????????=3，????????=2 ，
∠????????????=60? ，????为边????????上一点，若????????⊥????????，则线段???????? 的长为( )
?
A
A.212 B.5 C.3 D.23
?
【解析】 （基底法） 如图D 6.4.1-1，因为???? 为
边????????上一点，所以设????????=????????+????????????（过???? 可作
????????//????????,交????????于点???? ,则
????????=????????+????????=????????+???????????? ）.
?
因为????????⊥???????? ，
所以?????????????????=(????????+????????????)?(?????????????????)=????????2?????????????2+(?????1)?????????????????=0 ,
即4?9????+(?????1)×3×2×12=0，解得????=16 ，
所以????????=????????+16???????? .
|????????|=(????????+16????????)2=????????2+136????????2+13?????????????????=4+14+13×3×2×12=212 ,
即线段????????的长为212 .
?
. .
（坐标法） 如图D 6.4.1-2，以点????为坐标原点，直线????????为????轴，过点???? 垂直
于????????的直线为???? 轴，建立平面直角坐标系.
?
因为????????=3，????????=2，∠????????????=60? ，
所以????(0,0),????(3,0),????(1,3) .
因为????为边????????上一点，所以设????(????,3) ,
则????????=(????,3),????????=(?2,3)，又????????⊥????????,所以?????????????????=0,则?2????+3=0 ,解得
????=32，所以????(32,3) ,
则????????=(32,3),|????????|=(32)2+(3)2=212 ，
即线段????????的长为212 .
?
题型4 用向量方法解决物理中的相关问题
例7 (2025· 全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测
出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船
行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、
方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员
在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图6.4.1?9 所示
（线段长度代表速度大小,单位:m/s ）,则该时刻的真风为( )
?
级数
名称
风速大小（单位：m/s ）
2
轻风
1.6?3.3
3
微风
3.4?5.4
4
和风
5.5?7.9
5
劲风
8.0?10.7
级数
名称
2
轻风
3
微风
4
和风
5
劲风
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
【解析】真风风速对应的向量= 视风风速对应的
向量-船行风风速对应的向量= 视风风速对应的
向量+船速对应的向量=????????，如图6.4.1?10 所
示，|????????|=22∈(1.6,3.3) .
?
√
名师点评 本题体现了高考以现实生活为背景命题的特点，本题设置了帆船比赛的情
境，引入了视风风速、真风风速、船行风风速、风力等级等概念，考查向量的相关
知识，考查学生应用数学知识和方法解决问题的能力.
例8 如图6.4.1?11所示，一个物体受到同一平面内三个力????1，????2，????3 的作用，沿北
偏东45? 的方向移动了8?m，其中|????1|=2?N，方向为北偏东30? ；|????2|=4?N ，方向
为北偏东60? ；
|????3|=6?N，方向为北偏西30? ，求合力???? 所做的功．
?
【解析】以????为原点，正东方向为????轴的正方向建立平面直角坐标系，如图6.4.1?12
所示，则????1=(1,3)，????2=(23,2)，????3=(?3,33) ，所以
????=????1+????2+????3=(23?2,2+43) .
又位移????=(42,42) ,
故合力???? 所做的功为
????=?????????=(23?2)×42+(2+43)×42=42×63=246(J) .
即合力????所做的功为246?J .
?
名师点评 平面向量在力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题
意把相关量用有向线段表示，再利用向量方法来计算.本例中建立平面直角坐标系，
把向量作正交分解，这种方法在力学中应用非常广泛.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·四川省仪陇中学校开学考试)在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个
人共提一个行李包.假设行李包所受重力为???? ，作用在行李包上的两个拉力分别为
????1，????2，且|????1|=|????2|，????1与????2的夹角为???? ，则下列结论中正确的是( )
?
C
A.???? 越小越费力，???? 越大越省力 B.???? 的范围为[0，π]
C.当????=2π3时，|????1|=|????| D.当????=π2时，|????1|=|????|
?
【解析】如图D 6.4.1?3 ,根据题意依次分析选项：
对于A,由于????1+????2=????,且|????1|=|????2|，则有|????1|cos ????2=12|????|,即|????1|=|????|2cos????2，又|????|
为定值，故???? 越小越省力，???? 越大越费力，A错误；
（【注意】因为????1=????2,所以????1和????2 一定是关于图中虚线对称的，否则左右受力不
平衡）
?
图D 6.4.1-3
对于B,因为|????1|cos????2=????2,所以cos?????2≠0，即????2≠π2，????≠π ,B错误；
（也可以理解为????1和????2的夹角不能是π ，否则竖直方向没有力和
重力???? 平衡）
对于C,当????=2π3时,有|????1|cos π3=12|????|,则|????1|=|????| ,C正确；
对于D,当????=π2时，有|????1|cosπ4=12|????|,则2|????1|=|????| ,D错误.
?
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·甘肃省白银市期末)已知三个力????1=(3,4)，????2=(2,?5)，????3=(3,1) 同时作
用于某质点上，若对该质点再施加一个力????4 ，该质点恰好达到平衡状态
（合力为零），则????4= ( )
?
C
A.(8,0) B.(8,?8) C.(?8,0) D.(?8,8)
?
【解析】由题意，作用在该质点上的三个力????1=(3,4)，????2=(2,?5)，????3=(3,1) 的
合力为????1+????2+????3=(3+2+3,4?5+1)=(8,0) ．
想要该质点恰好达到平衡状态，只需????4=?(8,0)=(?8,0) .
?
2.(2025·陕西省榆林市期中)一物体在力????的作用下，由点????(1,4)移动到点????(6,2) ，若
????=(?1,3)，则???? 对物体所做的功为( )
?
A
A.?11 B.11 C.?1 D.1
?
【解析】由题意可得????????=(5,?2)，又????=(?1,3)，所以???? 对物体所做的功为
?????????????=?5?6=?11 .
?
3.甲、乙两人提起重量为8?N的物体，两人用力方向的夹角为???? ，用力大小分别为
6?N，7?N，则cos????? 的值为( )
?
A
A.?14 B.14 C.12 D.?12
?
图D 6.4.1-1
【解析】如图D 6.4.1-1，依题意设甲的拉力为????,乙的拉力为???? ,物
体的重力为????,则|????|=6,|????|=7,|????|=8 ,
∵????+????+????=????,∴?????=????+???? ,
即????2=????2+????2+2????????? ,
即64=36+49+2×6×7×cos????? ,
?
解得cos?????=?14 .
?
图6.4.1-1
4.新情境 体育锻炼 (2025·江苏省南通市如东县第一高级中学检
测)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做
引体向上运动，处于如图6.4.1-1所示的平衡状态，若两只胳膊的
夹角为60? ，每只胳膊的拉力大小均为370?N ，则该学生的体重
????（单位：kg）约为（参考数据：重力加速度大小????≈10?m/s2 ，
3≈1.732 ）( )
?
A
A.64 B.70 C.76 D.60
【解析】设两只胳膊的拉力分别为????1,????2，则|????1|=|????2|=370?N,?????1,????2?=60? ,
?
∴|????1+????2|=(????1+????2)2=????12+????22+2????1?????2=3702+3702+2×370×370×cos?60?=3703(N) ,
?
∴????????=3703,∴????≈64 .
?
图6.4.1-2
5.[多选题](2025·广东省广州市期中)如图6.4.1-2所示，小船被
绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么
小船匀速靠岸过程中( )
AC
A.船受到的拉力不断增大 B.船受到的拉力不断减小
C.船受到的浮力不断减小 D.船受到的浮力保持不变
【解析】设水的阻力为????，船受到的拉力为????，????与水平方向的夹角为????(0则|????cos?????|=|????|，故|????|=|????|cos?????，因为???? 不断增大，所以cos????? 不断减小，故|????| 不断
增大．因为|????|sin????? 不断增大，且|????|sin????? 加上浮力等于船的重力，所以船受到的
浮力不断减小．故选AC .
?
6.(2025·四川省成都市树德中学模拟)如图6.4.1-3，无弹性细绳????????，???????? 一端分别固定
在????，????处，在同样的细绳???????? 的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求
最高的是____.（三条绳本身质量忽略不计，横线上填????????或????????或???????? ）
?
????????
?
图6.4.1-3
【解析】设????????,????????,????????三条绳受的力分别为????,????,????，则????+????+????=????，????,???? 合力为
????′=????+????，|????|=|????′| ，
?
图D 6.4.1-2
如图D 6.4.1-2，在平行四边形????????????????′中，∵????????⊥????????′ ,
∴|????????|>|????????|,|????????|>|????????′|，即|????|>|????|,|????|>|????|，故细绳???????? 受
力最大，即对???????? 绳的耐力性要求最高．
?
7.（1）在梯形????????????????中,????????//????????,????,????分别是????????,????????的中点, 证明:????????//???????? .
?
【答案】如图D 6.4.1-3所示,设????????=????????????(????>????且????≠????) ，则
?
图D 6.4.1-3
????????=????????+????????+????????=????????????????+????????+????????????????=????????(?????????????????)+????????+????????(?????????????????)=??????????????????????????????????+????????+?????????????????????????????????=(?????????????????)???????? ,
?
所以????????与????????共线，又????????与????????无公共点，所以????????//???????? .
?
图6.4.1-4
（2）如图6.4.1-4所示，若????是△???????????? 内的一点，且
????????2?????????2=????????2?????????2,求证：????????⊥???????? .
?
【答案】设????????=????,????????=????,????????=????,????????=????,????????=???? ,
则????=????+????,????=????+???? ，
即?????????????????=(????+????)?????(????+????)????=????????+???????????????????????????????????? .
由已知可得?????????????????=????????????????? ,
所以????????+????????????????????????????????????=?????????????????，即?????(?????????)=???? .
因为????????=????????+????????=?????????,所以?????????????????=?????(?????????)=???? ，
所以????????⊥????????,即????????⊥???????? .
?
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
8.(2025·山西省大同市阳高县第四中学校月考)在河水的流速大小为2?m/s 的情况下，
当航程最短时，一艘小船以10?m/s 的实际航速大小驶向对岸，则小船在静水中的速
度大小为( )
?
B
A.10?m/s B.226?m/s C.46?m/s D.12?m/s
?
【解析】以????1表示水流速度，????2表示船在静水中的速度，???? 表示船行速度，由题意
知|????1|=2,|????|=10,????⊥????1 ,
∵????=????1+????2,∴????2=?????????1 ,
∴|????2|=????2?2?????????1+????12=4+100=226 .
故小船在静水中的速度大小为226?m/s .
?
9.(2025·四川省眉山市期中)在△????????????内，使????????2+????????2+????????2的值最小的点???? 是
△???????????? 的( )
?
D
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
【解析】 设????????=????,????????=????,????????=???? ,
?
则????????=?????????????????=?????????,????????=?????????????????=????????? ,
?
∴????????2+????????2+????????2=????2+(?????????)2+(?????????)2=3????2?2(????+????)?????+????2+????2=3(?????????+????3)2+23(????2+????2)?23????????? .
?
∵23(????2+????2)?23????????? 为常数，
∴ 当????=????+????3，即????????=????+????3，即点????为△????????????的重心时，????????2+????????2+????????2 最小.
?
设????为平面内任意一点，连接????????,????????,????????,???????? ,
?
令????????=????,????????=????,????????=????,????????=????,则????????=?????????????????=????????? .
同理可得????????=?????????,????????=????????? .
∴????????2+????????2+????????2
=????????2+????????2+????????2
=(?????????)2+(?????????)2+(?????????)2
=3(?????????+????+????3)2+????2+????2+????2?(????+????+????)23 .
∵????2+????2+????2?(????+????+????)23 是常数，
∴ 当????=????+????+????3时，????????2+????????2+????????2最小，此时点????为△???????????? 的重心.
?
10.[多选题]一物体受到3个力的作用，其中重力????的大小为4?N，水平拉力????1 的大小为
3?N，另一力????2 未知，则( )
?
ACD
A.当该物体处于平衡状态时，|????2|=5?N
B.当????2与????1方向相反，且|????2|=5?N 时，物体所受合力大小为0
C.当物体所受合力为????1时，|????2|=4?N
D.当|????2|=2?N时，3?N≤|????1+????2+????|≤7?N
?
【解析】对于A，当该物体处于平衡状态时，|????2|=|????1+????|=32+42=5(N) ，选
项A正确；
对于B，当????2与????1方向相反，且|????2|=5?N 时，物体所受合力大小为
(5?3)2+42=25(N) ，选项B错误；
对于C，当物体所受合力为????1时，说明????与????2的合力为????，所以|????2|=4?N ,选项C正确；
对于D，当|????2|=2?N时，因为????1与????的合力大小为|????1+????|=5?N ，所以
3?N≤|????1+????2+????|≤7?N（当????2与????1,????合力方向相同时，|????1+????2+????|=7?N,当????2 与
????1,????合力方向相反时，|????1+????2+????|=3?N ），选项D正确．
?
. .
11.[多选题](2025·安徽省黄山市模拟)如图6.4.1-5，一条河两岸平行，河的宽度
????=500?m，一艘船从河岸边的????地出发，向河对岸航行.已知船的速度????1 的大小为
|????1|=10?km/h，水流速度????2的大小为|????2|=2?km/h，设????1和????2 的夹角为
????(0?
AC
图6.4.1-5
A.当船的航行时间最短时，????=π2
B.当船的航行距离最短时，cos?????=15
C.当????=π6 时，船的航行时间为6分钟
D.当????=2π3时，船的航行距离为315?km
?
【解析】对于A，当船的航行时间最短时，船头方向始终垂直于河岸，此时????=π2 ，
故A正确.
?
图D 6.4.1-4
对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图D
6.4.1-4，则cos(π?????)=|????2||????1|=15，所以cos?????=?15 ，故B错误.
对于C，当????=π6 时，船垂直河岸方向的分速度
????=|????1|sin?????=10×12=5?km/h ，
?
船的航行时间????=????????=0.55=110?h ，即6分钟，故C正确.
?
对于D，将船的速度????1和水流速度????2合成????0，则????0=????1+????2 .
当????=2π3时，????1?????2=|????1||????2|cos 2π3=10×2×(?12)=?10 ，
所以|????0|=(????1+????2)2=????12+????22+2????1?????2=100+4?20=221 .
又船垂直河岸方向的分速度????=|????1|sin?????=10×32=53 km/h ，所以船的航行时
间????=????????=0.553=330?h ，
所以船的航行距离为|????0|?????=221×330=75 km ，故D错误.
故选AC .
?
12.如图6.4.1-6，在矩形????????????????中，????????=3,????????=3,????????⊥????????,垂足为????,则????????= _ ___.
?
图6.4.1-6
????????????
?
图D 6.4.1-5
【解析】以????为坐标原点，????????，????????所在直线分别为????轴、???? 轴建
立平面直角坐标系（如图 D?6.4.1?5所示），则????(0,0) ，
????(0,3)，????(3,3)，????(3,0)，????????=(3,3),设????????=????????????(????≠0) ，
则点????的坐标为(3????,3????) ,
?
故????????=(3????,3?????3) .
因为????????⊥????????，所以?????????????????=0，即9????+3?????3=0,解得????=14 ，
所以????(34，34) .
故????????=(94,?34)，则|????????|=(94)2+(?34)2=212 ，
即????????=212 .
?
图6.4.1-7
13.如图6.4.1-7，已知某河流河水自西向东流速大小为
|????0|=1?m/s，设某人在静水中游泳的速度为????1 ，在流水
中实际速度为????2 ．
?
图D 6.4.1-6
【答案】如图D 6.4.1-6，设????????=????????,????????=????????,????????=???????? ,
则由题意知????????=????????+????????,|????????|=???? ,
根据向量加法的平行四边形法则得四边形???????????????? 为平行四边形.
?
（1）若此人朝正南方向游去，且|????1|=3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹
角???? 和????2 的大小；
?
图D 6.4.1-7
【答案】由此人朝正南方向游去得四边形???????????????? 为矩形，且
????????=|????????|=???? ，如图D 6.4.1-7所示，
则在直角三角形????????????中，|????????|=????????=????????????+????????????=???? .
因为????????????∠????????????=????????=????,且????=∠????????????∈(????,????????),所以????=???????? .
?
故他实际前进方向与水流方向的夹角???? 为????????,????????的大小为?????????/???? .
?
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且|????2|=3 m/s ，求他游泳的方向与水流
方向的夹角???? 和????1 的大小．
?
图D 6.4.1-8
【答案】由题意知????=∠????????????=????????,且????????=|????????|=????,????????=???? ,如
图D 6.4.1-8所示，
则在直角三角形????????????中，|????????|=????????=????????????+????????????=???? .
因为????????????∠????????????=????????=????????,∠????????????∈(????,????????),所以∠????????????=???????? ,则
?
????=∠????????????=????????+????????=???????????? .
故他游泳的方向与水流方向的夹角???? 为????????????，????????的大小为?????????/???? .
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14.(2025·湖北省武汉市华师一附中期中)如图6.4.1-8，在梯形????????????????中，????????//???????? ，
????????⊥????????,????????=2????????=4，????，????分别为????????，????????的中点，且?????????????????=2，????是线段????????
上的一个动点．
?
图6.4.1-8
（1）求???????? ；
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图D 6.4.1-9
【答案】如图D 6.4.1-9，建立以????为原点，????????为???? 轴正半
轴，????????为????轴正半轴的平面直角坐标系，则????(????,????) ，
????(????,????) .
设????(????,????????)(????????>????)，则????(????,????????)，????(????,????????)，????(????,????????????) ，
∴????????=(????,????????)，????????=(????,?????????????) ，
?
由?????????????????=???? ，
得?????????????????????=????，即????????????=???? ，
又????????>????，∴????????=????，∴????????=???? .
?
（2）求∠???????????? ；
?
【答案】由（1）知????(????,????)，????(????,????)，∴????????=(????,????)，????????=(????,????) ，
∴????????????∠????????????=?????????????????|????????||????????|=?????????????????=????????=???????? ，
又∠????????????为锐角，∴∠????????????=???????? .
?
（3）求(????????+????????)????????? 的取值范围．
?
【答案】设????(????????,????)(????≤????????≤????) ，
∴????????=(?????????????,????)，????????=(?????????????,????) ，
∴????????+????????=(?????????????????,????)，????????=(?????????,????) ，
∴(????????+????????)?????????=(?????????????????,????)?(?????????,????)=?????????????????????????????=????(?????????????)????????? ，
又????≤????????≤????，∴(????????+????????)?????????∈[?????,????????] .

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