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第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 余弦定理
文字表述 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角
的余弦的积的两倍.
（【作用】已知两边及其夹角求出第三边）
公式表述 ,
,（【巧记】_____________________________________）
.
推论 ，, .
知识剖析
对余弦定理的理解
1.余弦定理对任意的三角形都成立.
2.在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程
思想可以求得第四个量.
3.余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边求其内角
的问题.根据角的余弦值符号还可以判断所求角是锐角还是钝角.
4.余弦定理的常见变式：，
（ ）.#1.1.1.4
. .
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P43例5](2025·江苏省镇江第一中学月考)在中，内角，，
的对边分别为，，，若，， ，则 ( )
B
A.3 B. C. D.
【解析】因为，， ，
所以 .
例1-2 (2025·河南省许昌高级中学月考)在中，角，，的对边分别为 ，
，，若，则角 的值为( )
A
A. B. C.或 D.或
【解析】由余弦定理的推论知 ,
又 （【注意】三角形中角的范围）,故 .
. .
知识点2 正弦定理
1 正弦定理的表示
在中，若角，，对应的边分别是，， ，则各边和它所对角的正弦
的比相等，即 （【重点关注】各边与其对角的正弦严格对应，主
要功能是实现三角形中边角关系的互化）.
. .
1 正弦定理的常见变形
在中，由正弦定理得 （【释疑解惑】 的几何意义
是外接圆的直径），则,, ，由此可得正
弦定理的下列变形：
（1）,,,,, ;
（2）
（等比定理）;
（3） .
. .
. .
特别提醒 为外接圆的半径 的两种变形应用：
（1）（边化角）,, ;
（2）（角化边）,, .
发散探讨 我们知道，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系，
你能用正弦定理进行推导吗？
在中，设角，所对的边分别为，，由正弦函数在区间 上的单调
性可知：
（1）当,都为锐角时,若,则,由正弦定理 知
；
（2）当,中一个为锐角，另一个为钝角时,不妨设,由于 ,即
,所以,即,由正弦定理 知
;
（3）当,中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设 ，则由斜边大于直
角边知 .
综上可知，在中，若,则.反之，若,则 也成立.#3.1.4
. .
. .
. .
. .
. .
例2-3 [教材改编P48 T1（2）](2025·陕西省汉中市期末)已知中， ,
,，则 ( )
A
A. B.或 C. D.或
【解析】由正弦定理 ，
可得，解得 .
因为，所以，所以 .
例2-4 [教材改编P47例7]在中， ， ， ，已知
，则 中最小边的边长为( )
B
A.2 B.4 C. D.
【解析】由题知 ，
由三角形的边角关系小角对小边，可知最小的边长为 ，
由正弦定理 ，
得 ，
即，所以 中最小的边长为4．
知识拓展
熟记一些特殊角的正、余弦值，可快速解题： ,
.
（利用诱导公式可以求得 与 的正、余弦值）
例2-5 在中， ,,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】（利用正弦定理的变形（2）） .
. .
例2-6 在中，若，,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】利用正弦定理化简，得 （角化边），
， ．
. .
知识点3 解三角形
1 解三角形的概念
一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,, 叫做三角形的元素.在三角形
中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2 余弦定理在解三角形中的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角;
（2）已知三边，求三角形的三个角.
特别提醒 余弦函数在 上单调递减，此时，由
来确定 是唯一的，因此,用余弦定理求解三角形
的内角时就不必分情况讨论了.
. .
. .
3 正弦定理在解三角形中的应用
由正弦定理知，，， .上述的
每一个等式都刻画了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，都可
“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.
. .
. .
4 解三角形时的隐含条件
（1）在中，，; ,
;; .
（2）在中，, ；
； .
（3）若为锐角三角形，则
（还可以得出 ）,即锐角三角形中任意角的正弦值都大于其余角的余弦
值，于是有 .
. .
例3-7 ［教材改编P43例5］在中，若，， ，则 _ __.
【解析】由余弦定理得 ，
即 ,
又，所以 .
所以 .
例3-8 [教材改编P47例8]在中，，，，则角 等于( )
C
A.或 B. C. D.
【解析】由正弦定理，得 .
因为，所以 ,（利用三角形中“大边对大角”来判断角的范围，从而确定
三角形是有两解还是只有一解）则 ,
故 .
点评 教材例题所求角有两个值，本题所求角只有一个值，注意体会其中不同之处.
. .
例3-9 在中，角，均为锐角，且 ，则( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为，所以，又角， 均为锐角，则
，所以，在中， ，
所以 ,所以 ．
知识点4 测量问题
1 测量距离问题的基本类型和解决方案
当的长度不可直接测量时，求 的距离有以下三种类型：#1
类型 简图 计算方法
, 间不可 达也不可视 测得,, 的大小,则由余弦定理得
.
，与点 可视但不可 达 测得,,的大小,则 ，由正弦
定理得 .
类型 简图 计算方法
， 与点 ， 均可视 不可达 测得及,,, 的度数.在
中，用正弦定理求;在 中,用正弦定理
求;在中,用余弦定理求 .
说明 在测量过程中，把根据测量的需要而确定的线段叫做基线（取定的点叫
做测量基点），为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.
一般来说，基线越长，测量的精确度越高.#1.1.1
续表
2 测量高度问题的基本类型和解决方案
当的高度不可直接测量时，求 的高度有以下三种类型：#1
类型 简图 计算方法
底部可达 测得, 的大小,
.
底部不 可达 点与， 共线 测得及 与
的度数.
先由正弦定理求出
或 ，再解直角三角
形得 的值.
类型 简图 计算方法
底部不 可达 点与， 不共 线（【教材链 接】此处回答了 教材第50页 【？】） 测得及 ,
， 的度数.
在 中由正弦定理
求得 ，再解直角三
角形得 的值.
续表
3 测量角度问题
测量角度问题主要涉及海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位
角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.
解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角
形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.#1.1
知识回顾
涉及的有关术语 #1.2.1
术语名称 术语意义 图形表示
方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水 平角叫做方位角.
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角,通常表达为北偏东（西）、南偏东 （西） 度. 北偏东 或东偏北
.
____________________
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视 线所成的角中,目标视线在水平视线上方 的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的 叫做俯角.
坡角 坡面与水平面的夹角. 设坡角为 ,坡度为 ,则
.
___________________________________
坡度 坡面的垂直高度和水平宽度 的比. 续表
图6.4.3-2
例4-10 如图6.4.3-2，在高速公路建设中需要确定隧道的长
度，工程技术人员已测得隧道两端的两点，到点 的距
离，且 ，则， 两点间的距离
为 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】在中，易得 ，由正弦定理
,得 .
例4-11 [教材改编P49例10](2025·广东省广州市三校期中)如图6.4.3-3所示，为测量一
棵树的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为 和
,且，两点之间的距离为 ，则树的高度为( )
A
图6.4.3-3
A. B. C. D.
【解析】 在中，由正弦定理可得 ,
则 .
设树的高度为，则 .
设树的高度为,则
,
解得 .
例4-12 [教材改编P50例11](2025·黑龙江省牡丹江市第二高级中学月考)甲船在湖中
岛的正南方向的处，，甲船以 的速度大小向正北方向航行，同时
乙船自岛出发，以的速度大小向北偏东 方向驶去，则行驶 时，
两船间的距离是_____ .
【解析】如图6.4.3-4，设行驶时，甲船到达点，乙船到达 点.
图6.4.3-4
由题意知 ,
，
.
在 中，由余弦定理得
. .
. .
，所以
，即两船间的距离为 .
变式： 其他条件不变的情况下，求两船相距最近时它们的航行时间.
提示 设经过两船相距最近，甲、乙分别行至，，①假设此时甲未行驶过 岛，
则， ，由余弦定理得
，可
知当 时，两船相距最近.
②假设此时甲已行驶过岛，则,同理可得 ,舍去.
. .
释疑惑 重难拓展
知识点5 余弦定理与勾股定理的关系
（1）若，根据余弦定理的推论可知，则 为
锐角.
教材深挖
本知识点是教材第43页第二个【思考】的详细解答.
同理可得：若，则 为锐角；
若，则 为锐角．
所以当，且时， 是锐角三角形．#1.1.4
（2）若，根据余弦定理的推论可知 ，则
是钝角三角形且 是钝角．
同理可得：
若，则是钝角三角形且 是钝角；
若，则是钝角三角形且 是钝角．
（3）若，根据余弦定理的推论可知，则 是
直角三角形且 是直角．
同理可得：
若，则是直角三角形且 是直角；
若，则是直角三角形且 是直角．
综上可知，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.#1.4
例5-13 (2025·浙江省义乌中学月考) 在中，若 ，则
的形状是( )
C
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】在中，设角，，的对边分别是,,，由正弦定理得 ，
从而,因为 ,所以 是钝角，
故 是钝角三角形．
例5-14 (2025·四川省眉山市期末)已知锐角三角形的边长分别为2，4，，则实数 的
取值范围是___________.
【解析】由题意可知,三个内角的余弦值都大于0，从而
解得,所以 .
知识点6 对三角形解的个数的探究
【教材深挖】本知识点是对教材第47页【例8】的深挖.
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解,三角形被唯一
确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、
两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.（因为互补的两角正弦值相等，所以需
关注边的大小，进而判断三角形解的个数）
1 从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角
形解的情况，下面以已知,和 ,解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
（1）若 ，则满足条件的三角形个数为0；
（2）若 ，则满足条件的三角形个数为1；
（3）若 ，则满足条件的三角形个数为1或2.
显然由可得有两个值，一个大于 ，一个小于 ，
考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论.
特别提醒 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设 为锐角，若
，则，从而为锐角，有一解.若，则 ，由正弦定理得
:，即，无解； ，即 ,一
解；,即 ，两解.
2 从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角
形解的情况，以已知,和 ,解三角形为例加以说明.
用几何法探究步骤:①先把未知边画为水平的,作出已知角,角的另一条边为 ；
②以边的另一端点为圆心,为半径作圆;③观察圆与边 交点的个数,便可得此三
角形解的个数.解的个数见下表.#1
图形 关系式 解的个数
为锐角 ； 一解
图形 关系式 解的个数
为锐角 两解
无解
续表
图形 关系式 解的个数
为钝角或直角 一解
无解
续表
例6-15 不解三角形，下列说法中正确的是( )
B
A.,, ,有两解 B.,, ,有一解
C.,, ,有两解 D.,, ,无解
【解析】A中 ，有一解；
B中 , ，有一解；
C中 ，无解；
D中 ，有两解.
点评 （1）在中，,故 .
,,.这是已知,, 解三角形时，判断三角形解的
个数（1或2）的前提.
（2）解三角形时，可以先求出 的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角
形解的个数.
例6-16 (2025·陕西省咸阳市期中)在中，,, ,那么此三角
形( )
C
A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定
【解析】 由正弦定理和已知条件，得, .
, 此三角形无解.
, ,
，故此三角形无解.
作 ,,以为圆心， 为半径画圆（图略），
该圆与 无交点，则此三角形无解.
例6-17 (2025·福建省莆田第四中学月考)在中， , ，若满足条件
的三角形有两个，则 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为满足条件的三角形有两个，所以 ,
将 , 代入，
解得 .
知识点7 三角形的面积公式
1 常用的三角形的面积计算公式
（1）,,分别为边,,上的高 .
（2）将,, 代入上式可得
，即三角形的面积等于任意两边与它们夹
角的正弦值乘积的一半.
教材链接
事实上，公式（2）解答了教材第53页【习题6.4】第10题.
. .
2 三角形的其他面积公式
（1），其中,分别为 的内切圆半径及
的周长.
（2）,, .
（【教材链接】此处证明了教材第53页【习题6.4】第18题）
证明 因为，所以 ，同理可证
其他两个等式.
（3）为外接圆的半径 .
证明 将代入 可得
，将,, 代入
,可得 .
（4）海伦公式：,其中 .
（【教材链接】链接教材第54页【习题6.4】第20题和第55页【阅读与思考】）
证明 根据余弦定理的推论得 ,所以
.令 ，整
理得 .
（5） （三角形面积公式的向量形式）,其中
, .
（6） （三角形面积公式的向量坐标形式）,其中
, .
. .
. .
例7-18 (2025·河北省新乐市第一中学月考)已知的内角，， 所对的边分别
为,,，且, ，则 的面积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】将与联立,解得 ,
则 .
例7-19 已知半径为4的圆的内接三角形的面积是，中角，， 所
对的边依次为，，,则 的值为( )
A
A.1 B. C.2 D.4
【解析】 由三角形的面积公式,得 .
由正弦定理可知 ，
， .
易知 ，
则 .
例7-20 已知三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积 为
( )
B
A. B. C. D.10
【解析】 令 ，
则
.
设边，，所对的角分别为,, ，则依据余弦定理的推论可得
，从而 ，所以三角形的面
积 .
知识点8 三角形中的射影定理
在中，角,,的对边分别为,,,则 ,
, .
证明 （用余弦定理证明）
.同理可得 ,
.
（利用三角形内角和定理与正弦定理证明） 在 中，由于
，由正弦定理，
将角化边可得.同理可得, .
图6.4.3-1
（借助图形证明） 如图6.4.3-1，在中，
是边上的高，则, ，从而
.同理可得 ,
.（钝角三角形和直角三角形类似可证）
注意 解答题中直接使用该结论会扣步骤分，但是利用该
结论，可以快速解答选择题和填空题，节省考试时间.
例8-21 (2025·江苏省淮安市期末)
在中，角，，的对边分别为，，，面积为.若 ，且
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 （射影定理法） 由 及射影定理得
.
又 ，
所以，即 .
因为，所以 .
（余弦定理法） ，所以
，解得 .
因为，所以 .
（正弦定理法） 因为， ，所以
，即
，
所以由正弦定理得， ，
又，所以 .
因为，所以 .
解题课丨关键能力构建
题型1 解三角形
1 已知两角和任意一边
例22 ［教材改编P48 T1（1）］在 中，根据下列条件解三角形：
（1）, , ;
【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 .
由正弦定理，有 ,
代入数据得到，需熟记
解得， .
. .
（2） , , .
【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 .
由正弦定理，有,代入数据得 ,解得
, .
名师点评 已知两角和任意一边时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全
等的判定定理 是一致的.
2 已知两边及其夹角
例23 ［教材改编P44 T1］在中，，， ，解这个
三角形.
【解析】由余弦定理得
，（【破题点】巧妙配凑成完全平方式是解题的
关键）即 .
由正弦定理,得，解得, ,
且 ，所以 ， .
（【另解】此处也可以只用求出角，然后再利用三角形内角和定理得到角 ）
名师点评 已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三
角形全等的判定定理 一致.
. .
3 已知两边和其中一边的对角
例24 ［教材改编P48 T2（1）］已知 中的下列条件，解三角形：
（1）,, ;
【解析】由 ,
得 ，
所以 ，即 为直角三角形.
所以 ， .
（2）,, ;
【解析】因为,所以 ,所以三角形无解.
（3）,, .
【解析】 因为 ,
所以 ,所以三角形有两解.
由正弦定理得 ，
所以 或 .（【易错点】此处在求得角的正弦值后容易默认角 是
锐角，从而导致漏解）
当 时， ,此时是直角三角形，且 为斜边，
;
当 时， ,此时 为等腰三角形，由等角对等边可知，
.
故 ， ,或 , , .
. .
由余弦定理，得,解得或 .
当时，因为, ,所以 , ，
当时，因为 ,（【另辟蹊径】此处若不能发现此关系，则既可以利
用正弦定理求解角, ,也可以利用余弦定理求解）
所以 ， .
综上， ， ，或 ， ， .
. .
思路点拨 本题的条件是两边和其中一边的对角，解这类问题时，必须进行三角形
解的个数的判断（无解，一解，两解，具体参考知识点6）.
名师点评 根据第（3）小题的解答可知，图6.4.3-5中的 都满足第（3）小题的
条件.事实上，这与我们初中所学的 不能作为三角形全等的判定定理一致.
图6.4.3-5
4 已知三边
例25 [教材改编P44 T2]在中，，， ，解这个三
角形.
【解析】 由余弦定理的推论，得
,
， .
,且 ，
，
.
同方法1求得 ，
可得 ， .
由正弦定理 ,
得 ，
，且 ，
, .
名师点评 已知三角形的3条边时，该三角形也是唯一确定的，可以求出该三角形的3
个角，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理 一致.
解三角形的基本类型及一般解法#1.1
基本类型 一般解法
已知两角和 任意一边， 如，， . （1）由三角形内角和定理 得第三个角;
（2）由正弦定理 可计算另两边.
基本类型 一般解法
已知两边及 其夹角，如 ，， . （1）根据余弦定理，求出 ；
（2）根据，求出 ；
（3）根据，求出 .
求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样可以使计算简便，应用正
弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间 上是不单
调的），应先求较小边所对的角，它必是锐角.
续表
基本类型 一般解法
已知两边和 其中一边的 对角，如 ，， . （1）根据正弦定理，求 ；
（2）求出后，由 ，求 ；
（3）根据正弦定理，求出 .
注意利用正弦定理求角时，需根据大边对大角进行三角形个数的判断,
也可以根据余弦定理，列出以边 为未知数的一元二次方程
，解方程求边 ，然后应用正弦定理
或余弦定理，求出其他元素.
已知三边. 可以连续用余弦定理求出两角，再由 ，求出第三个角;
由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，这时
可先求较小边所对的角.
续表
【学会了吗丨变式题】
1.在中，，， ，则 ( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】在中，由余弦定理可得 ,而
,, ,整理可得,,解得 .
2.(2025·河北省衡水市武强中学期中)在中，,, ,则
( )
D
A.72 B. C. D.30
【解析】因为,所以 .
同理得 .
由得 .
3.(2025·北京市朝阳区期中)在中，,,,则___, _ ___.
【解析】根据余弦定理得 ,解
得.由,,,得，所以 .
4.在中，为边的中点，，，，则 为( )
B
A. B. C. D.
图D 6.4.3-1
【解析】如图D 6.4.3-1所示，延长至点，使得 ，连
接，，可得四边形为平行四边形，则 ，
（【扫清障碍】构建平行四边形，利用平行四边形的性质：对边
平行且相等，对角线互相平分，得到三角形的三边）
又，，所以在 中，由余弦定理的推论
可得 ,则
,则 .
（【学以致用】已知三角形三边，由余弦定理的推论可得三角形中的角，而所求角
与求得的角为同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，即得所求角）
题型2 余弦定理及其推论在特殊条件中的应用
1 聚焦条件齐次特征背景
例26（1）(2025·天津市静海区第四中学期中)若的内角,,的对边,, 满足
，且 ，则 的值为( )
A
A. B. C.1 D.
【解析】由，得 ，而
，且 ，则 ②，由①②得 .
（2）在中，角，，的对边分别为,, ,若
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意得，，则 ,即
.
根据余弦定理的推论得
,
为的内角， .
（3）(2025·广东省深圳市期中)在中，角，，的对边分别为,, ，若
,则角 的值为( )
A
A.或 B.或 C. D.
【解析】由已知条件得,（【解惑】由正切函数的性质，可得 ）
即 ,
,, .
为的内角，或 .
. .
名师点评 余弦定理及其推论具有二次齐次结构特征，由于很多问题的题干条件往往
都是指向于三边满足的二次齐次恒等式，此时可借助余弦定理快速求角，如第（2）
小题中得到后可得 ，改变 前面的系数（常见的系数
为，，），会得到不同的 的值.
2 比例背景
例27（1）设的内角,,所对的边分别为,,,若,,则
__.
【解析】由,，可得，于是可设 ,则
,，从而 .
（2）(2025·上海市大同中学月考)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的
顶角的余弦值为__.
【解析】设顶角为，底边长为,另两边长分别为,, 周长, ，由
余弦定理的推论得 .
（3）(2025·四川省凉山州期末)已知的内角,,所对的边分别为，， ，且
，则此三角形的最大角与最小角之和为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小. ，
设,, ，
则由余弦定理的推论得，
，
又 ， .
， ，
此三角形的最大角与最小角之和为 .
题型3 利用正、余弦定理实现边角互化
例28 (2025·福建省福州市期中)的内角，，的对边分别为，， ，若
,，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】， 由余弦定理得，，整理得 ，即
.
， 由正弦定理得， ，
．
又 ， ，
又，是等边三角形， ．
例29 (2025·江苏省南京市期末)在中，角，，所对的边分别为,, .若
，，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由并结合正弦定理，可得 ，（通过正弦定理角化
边得到两边关系）
，
又 , .
. .
解题时如何选择正、余弦定理
1.一般地，如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；若遇到
的式子含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则要考
虑两个定理都有可能用到．
2.正、余弦定理的本质是任意三角形的边与角满足的方程,它们能实现两类边角关系
的转化：
（1）角的正弦齐次方程与边的齐次方程可互相转化；
（2）角的余弦可转化为边的二次齐次分式.
【学会了吗丨变式题】
5.在中，角,,的对边分别为,,，已知 ，且
,则 的值为___.
4
【解析】 在中，因为 ，则由正弦定理及余弦
定理的推论有，化简并整理得 .
又，所以，解得或 （舍去）.
由余弦定理得 .
又,，所以 ①.
又，所以 ，从而
，
即 .
由正弦定理得 ②.
由①②解得 .
,
同理,则由正弦定理得,解得 .
6.(2025·湖北省鄂州市第二中学月考)的内角,,的对边分别为,, .已知
,,则 _ ___.
【解析】由正弦定理及 ，得
，因为，所以 .
由余弦定理的推论得，（因为 ,所以
,所以 ）
因为,所以 .
. .
题型4 三角恒等变换背景下的解三角形
母题 致经典·母题探究
命题探源 条件中混有边角关系的问题
在解三角形问题中，有一类问题总是活跃在大家的眼前，使得众多同学“望洋兴叹”，
停滞不前，这就是解三角形与三角恒等变换的综合问题.对于此类问题，大多是边角
互化后基于三角形内角和定理 展开的，一般是通过正、余弦定理边
化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角
和定理替换角，达到减元的目的），
进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解.
例30 已知,,分别为三个内角,,的对边, ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
给什么 得什么 题设给出三角形边角混合的恒等式，并且,, 是齐次的,因此考虑利用正
弦定理将等式中的边转化为角.
求什么 想什么 题目求的是角，观察等式结构，可利用三角形内角和定理将角替换为
和 .
差什么 找什么 此时恒等式仅含有角和角 ，再通过三角恒等变换和三角形中角的范围等
条件消去角，即得只含有角的等式，即求得角 .
【解析】由正弦定理及 ，可得
,因为 ，所以
，
于是 ，
整理可得 .
即 .
因为，所以 ,（【注意】不要随意约掉公因式，避免漏掉一些可能
情况）
所以 ，
即，于是 .
又，所以，即 .
母题探源 本题最早来源于2012年的高考试题，后来作为练习题在教材第54页【习题
6.4】第22题中呈现，考查了三角恒等变换、正弦定理边角互化等知识，下面给出两
道子题，巩固练习三角恒等变换背景下的解三角形问题.
子题
子题1 (2025· 湘豫名校联考)在中，，则
__.
【解析】 （边化角） 因为 ，
所以 ，
即 ，
由正弦定理得，
，
即 .
因为 ，
所以 ，
即 .
因为，所以 ，
因为，所以 ．
（角化边） 由余弦定理的推论可得，
, ，
因为,所以 .
子题2 (2025·山东省济南市期中)在锐角中，角，，的对边分别为，， ，
且，则 __.
【解析】因为 ,所以
,整理得
,
由正弦定理得， ,
故 ,
由为锐角,得 .
题型5 三角形形状的判断
例31 (2025·广东省广州知识城中学月考)在 中，已知
,且，试确定 的形状.
【解析】 （化角为边，利用边的关系来判断） 由正弦定理得 ,由
，得 .
又， ，
即， .
又 ，
,, .
综上，, 为等边三角形.
（化边为角，利用角的关系来判断） 由，
【解惑】
得 ,
.
又与均为的内角， .
由 ,得
, .
根据余弦定理，上式可化为,得, , 为
等边三角形.
. .
判断三角形形状的思路
1.转化为三角形的边来判断：
（1）为直角三角形或或 ;
（2）为锐角三角形且 且 ;
（3）为钝角三角形或或 ；
（4）按等腰或等边三角形的定义判断.
2.转化为角的三角函数（值）来判断：
（1）若，则 , 为直角三角形；
（2）若，则 为钝角三角形；
（3）若且且,则 为锐角三角形；
（4）若，则 , 为直角三角形；
（5）若或，则, 为等腰三角形；
（6）若,则或 , 为等腰三角形或直角三角形.
在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角
化边还是边化角应依具体情况决定.
【学会了吗丨变式题】
7.[多选题]在中，角，，的对边分别为，，，若
为非零实数 ，则下列结论正确的是( )
ABC
A.当时，是直角三角形 B.当时， 是锐角三角形
C.当时，是钝角三角形 D.当时， 是钝角三角形
【解析】对于A，当时，，根据正弦定理不妨设 ，
，，,故 是直角三角形.
对于B，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
显然是等腰三角形,且为最大角，，说明
为锐角，故 是锐角三角形.
对于C，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
可得，说明为钝角，故 是钝角三角形.
对于D，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
此时 ，不能构成三角形，故结论错误．
故选 ．
题型6 正、余弦定理在几何图形中的应用
例32 (2025·湖北省武汉市华中师大一附中期末)已知,,分别为三个内角, ,
的对边， ．
（1）求角 ；
【解析】因为 ，
所以由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
即 .
因为，所以 ，
所以 .
又，所以 .
（2）已知,，延长到点,，求 ．
图6.4.3-6
【解析】如图6.4.3-6，在 中，
,
所以,所以
.
因为 ，所以 .
在 中，由余弦定理得，
，
所以 .
思路点拨 （1）根据正弦定理，结合三角形内角和定理及三角恒等变形求角 ；
（2）在中，利用余弦定理先求，再求，即得 ，再在
中，利用余弦定理求 .
名师点评 题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分析已知和未
知的关系，恰当选择三角形并利用正弦定理或余弦定理求解.
例33 (2025·江西省上饶市金桥学校月考)如图6.4.3-7所示,在平面四边形 中,
,,, ．
图6.4.3-7
（1）若,求 ；
【解析】在中，由正弦定理得,即 ,
解得 ．
（2）若,求 ．
【解析】设,,在中, ,
.
在 中,由余弦定理的推论得
．
又 ,
所以 ,（此类题经常利用公共边创造的互余关系列式，体现了方
程思想的应用）即 ，
整理得,解得或（舍去）,即 ．
. .
正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻
找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用
公共边来进行过渡,即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角
的关系的方程.
【学会了吗丨变式题】
图6.4.3-8
8.(2025·湖南省长沙市周南中学入学考试)如图 ,在平面四
边形中,,, .
（1）求 的值；
【答案】在 中,由余弦定理的推论,得
.
（2）若,,求 的长.
【答案】因为为四边形内角,所以 ,
且,所以 ,
,
所以 ,
在中,由正弦定理得,代入数据解得 .
题型7 正、余弦定理在实际问题中的应用
1 测量距离问题
例34 某基地进行对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距 的军事基
地和处测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且 , ,
, ,如图6.4.3-9所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离.
图6.4.3-9
给什么得 什么 长已知，根据 中的两角一边，由正弦定理及三角形内角和定
理可解三角形.
求什么想 什么 由题干分析可知，所求距离为长，可将其放在（或
中，用余弦定理求解.
差什么找 什么 余弦定理需两条边和一个角，在中，先求和 ，再由余弦定
理求 .
【解析】 .
, , .
在中， ，
由正弦定理 ,
得 .
在 中，由余弦定理得
, .
故蓝方这两支精锐部队间的距离为 .
（【另解】先在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理求得 ）
由题图可知，是等边三角形，且垂直平分，易知 .
由 ，可知 是等腰直角三角形，易得
.
名师点评 根据图形的性质可以简化步骤，因此求解涉及多个三角形的问题时，应尽
量选择已知条件较多的三角形,并恰当地利用图形的性质解题.
2 测量高度问题
图6.4.3-10
例35 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测
仪器的垂直弹射高度，如图6.4.3-10，在 处进行该仪器的垂直弹
射，观测点，两地相距,，在 地听到弹射声
音的时间比地晚.地测得该仪器在处时的俯角为 , 地
测得该仪器在最高点时的仰角为 ，求该仪器的垂直弹射高
度.（声音在空气中的传播速度记为 ）
【解析】由题意，设 ，
则 .
在 中，由余弦定理得
,
即，解得 .
在中，, , .
由正弦定理得 ,
所以 .
故该仪器的垂直弹射高度为 .
名师点评 本题中涉及“俯角”“仰角”这样的术语，注意其反映在图形上的位置.
3 测量角度问题
例36 (2025·江西师大附中期中)一艘游轮航行到处时观察灯塔在的北偏东 的
方向上，距离为海里，灯塔在的北偏西 的方向上，距离为 海里，
该游轮由沿正北方向继续航行到处时再观察灯塔在其南偏东 的方向上，则
此时灯塔 位于游轮的( )
C
A.正西方向 B.南偏西 方向 C.南偏西 方向 D.南偏西 方向
【解析】如图6.4.3-11，在中， ，
图6.4.3-11
由正弦定理得 ，
则 .
在中，因为, ，由余弦定理得
，所以 .
由正弦定理得，解得，
故 或，
因为，故为锐角，所以 ，
此时灯塔位于游轮的南偏西 的方向上．
正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形
（主要是三角形与四边形）问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉
及的术语（如方位角等）构建恰当的三角形模型，在三角形中运用正弦定理或余弦
定理即可.
题型8 三角形的面积问题
1 求面积
例37 在中， ,,,则 的面积等于_____.
【解析】 （先求出已知两边的夹角，再利用三角形的面积公式
求解） 在中，根据正弦定理，得,所以 ，解得
.因为 ,所以 ，所以 ，所以 的面积
.
（先判断三角形的形状，再利用三角形的面积公式 底×高求解） 在
中，根据正弦定理，得 ，
所以，解得 .
因为 ,所以 ，
所以 ，
所以的面积 .
求三角形面积的解题思路
在应用三角形面积公式 求解时，一般是已知哪
个角就使用哪一个公式.
三角形的面积公式众多，在选用三角形面积公式时，应结合题目给出的条件，选择
最便捷的面积公式求解.
【学会了吗丨变式题】
9.如图6.4.3-12，在中，5，，，且 ，求
的面积．
图6.4.3-12
【答案】设，则 ，
在中，由余弦定理的推论可知 ，
解得，则， .
在中，由正弦定理可知 ，
，
．
的面积为 ．
10.(2025·浙江省名校新高考研究联盟二模)在中，设，， 的对边分别为
，，，且， .
（1）求 的值；
【答案】由三角形内角和定理可知，，得 ，
再由 ，利用正弦定理边化角得，
，
因为，所以有，则，即得 .
【另解】由射影定理可得,所以 ,即
,所以
（2）若点在上，且，求 的面积．
图D 6.4.3-2
【答案】如图D 6.4.3-2，由 ，可得
，在中，由正弦定理得 ，
即，得 ，
又 ，
所以 的面积
.
2 已知面积求其他量
例38 在中，内角，,所对的边分别是,,，且, .
（1）若的面积等于，求, ;
【解析】由余弦定理，得 ①，
又的面积等于 ，
所以，所以 ②，
联立①②得方程组解得
（2）若，求 的面积.
【解析】由正弦定理及，得 ③，
联立①③得方程组
解得
所以的面积 ．
思路点拨 在分析题目的时候要注意三角形面积公式与余弦定理的特点，
与都含有 ，这正是解题的突破口.
【学会了吗丨变式题】
11.(2025·广东省深圳市高级中学期末)在中，角，，的对边分别为， ，
，已知的面积为，，，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由的面积为可得 .
由可得 .
因为，所以，，则 .
因为，所以， .
由余弦定理可知，
，即 .
3 面积的最值（取值范围）问题
例39 已知,,为的三边，且,，则 的面积的最大值为
_____．
【解析】的面积 .（利用三角形的面积公式得到面积的
表达式）
由余弦定理的推论得 .
因为，所以 ，
（构建关于 的函数，利用二次函数性质求最值）
当且仅当时，取得最大值，为 ,
故的面积的最大值为 .
. .
. .
例40 (2025·河南省濮阳市第一高级中学期中)如图6.4.3-13，半圆的直径为2， 为直
径延长线上一点，,为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形 .问点
在什么位置时，四边形 的面积最大？
图6.4.3-13
【解析】设 .在中，由余弦定理，（四边形的面积由点 的位
置唯一确定，而点由唯一确定，因此设 是解题的关键）
得 .
四边形 的面积
. （将面积的最大值问题转化为三角函数的最大值问题）
因为 ,所以 ,（确定角的范围是求三角函数最值的前提）
所以当,即时，四边形的面积最大，最大值为 .
. .
. .
. .
对于三角形中的面积最值（取值范围）问题，通常需要借助已知条件进行转化，构
建函数是常用的研究最值的方法，利用二次函数或者三角函数的有关知识进行求解，
但要注意其中变量的取值范围.另外，我们也可以借助基本不等式进行求解.
【学会了吗丨变式题】
12.在中，，，为三边，若，则 面积的最
大值为_ __.
【解析】由三角形面积公式可得的面积 ,
可得 ,
因为,所以 ,
所以 ,
当且仅当 时等号成立，所以当时，取得最大值,为 ,
故面积的最大值为 .
图6.4.3-14
13.(2025·四川省内江市第六中学月考)已知在 中，内角
，，的对边分别为，， ，满足
．
（1）求 ；
【答案】 ，
，即 ，
又， ，
又为内角，故 .
，即 ,
（2）如图6.4.3-14，若，在外取点，且， ,求四边形
面积的最大值．
【答案】由（1）及可知， 为正三角形，
在 中，由余弦定理，有
,
而 ,
,
四边形的面积 ,
又,则 ,
则当,即时，取得最大值,为 .
故四边形面积的最大值为 .
题型9 三角形的周长问题
1 求周长
例41 (2025·河北省唐县第一中学期末)在中， .
（1）求 ;
【解析】因为 ，
所以 ，
因为，所以 ，
所以， .
（2）若,且的面积为，求 的周长.
【解析】因为的面积，所以 .
由余弦定理可得，所以 ，所以
的周长为 .
2 与周长有关的最值（取值范围）问题
例42 (2025·山东省济南市济北中学月考)记的内角，，的对边分别为 ，
，，已知 ．
（1）求角 的大小；
【解析】因为 ,
所以 ,
故 ,
即,故,结合,故 .
（2）若，求 周长的取值范围．
【解析】因为,所以,即 .
由余弦定理得
,
解得,故,当且仅当 时，等号成立.
综上可知，的周长的取值范围是, .
求三角形周长问题的基本思路
求解此类问题，一般需要综合利用正、余弦定理的相关知识求出三边的长或者得到
与三边有关的关系式，解题时注意整体思想的应用.
求最值（或取值范围）时，通常需要构造目标函数，利用基本不等式或函数性质求解.
【学会了吗丨变式题】
14.(2025·广东省揭阳市期末)已知，，分别为三个内角，， 的对边，
且 ．
（1）求 ；
【答案】由正弦定理得 ，
整理得 ，
而 ，
结合两式得 ，
整理得，（若,则 ,则
,得 ,不合题意，故 ）
故，又，故 .
. .
（2）若，边上的高为1，求 的周长．
【答案】由（1）得，故, ，
因为，所以,即，得 ，
根据三角形面积公式得 ，
又边上的高为1，所以,得 ，
由余弦定理得，即 ，
故，所以，所以 的周长为
.
15.(2025·福建省漳平第二中学月考)已知的内角,,所对的边分别是,, ,
.
（1）求角 ；
【答案】因为 ，
故由正弦定理可得 ，
即 ，
由余弦定理的推论得 ，
又，所以 .
（2）若外接圆的直径为，求 周长的取值范围.
【答案】 因为外接圆的直径为 ，
所以由正弦定理得，则 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，（【学以致用】利用基本不等式求解）所以
，即，当且仅当 时，等号成立，
由三角形性质知,所以，所以
（取等号时， 为等边三角形）
故周长的取值范围为 .
. .
因为外接圆的直径为 ，
由正弦定理得，则 ，
，
因为，可得 ，
所以 ，（【学以致用】利用函数的单调性求解）
所以，故周长的取值范围为 .
题型10 正、余弦定理与向量的综合应用
例43 (2025·江苏省无锡市天一中学月考)在中，，，分别为，， 的对
边，为的外心，且有， ，若
，，，则 ( )
A
A.1 B. C.0 D.
【解析】 ,
,
即 ,
,可得,又, ,
,
, , .
图6.4.3-15
如图6.4.3-15,为 的外心,（【知识回顾】垂直平分线的交
点为外心）为 的中垂线，
又为等腰三角形，且 ,
, 均为等边三角形.
. .
若 ,
则 ,
,化为 ①.
,
,化为 ②.
由①②解得, ,
.
在平行四边形中，,又, ,
,（【依据】平面向量基本定理中的唯一性） .
. .
. .
【学会了吗丨变式题】
16.若在中，，其重心满足，则 的取
值范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】如图D 6.4.3-3，设是 的中点，
图D 6.4.3-3
由，得 ,
又,且为重心，故 ,（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）
, .
设中角,,的对边分别为,, .
在 中，由余弦定理得
①,
同理，在中，由余弦定理得 ②,
结合 ,
可知 ,
由,可得, ,
. .
所以 ③，
在中，易知，即 ，
代入③式可得 ．
17.［多选题］(2025·四川省遂宁市期末)在中，角,,的对边分别为,, ，
的面积为，且, ，下列选项正确的是( )
ACD
A.
B.的最大值为
C.若有两解，则的取值范围是
D.若，为的外心，则
【解析】因为，所以，化简得 ，又
，所以 ，A正确；
由及余弦定理得 ，
则，当且仅当 时等号成立，所以
，B错误；
已知,，若有两解，则解得 ，
即的取值范围是 ，C正确；
已知,，，由正弦定理得，因为点为 的
外心，所以在上的投影向量为，在上的投影向量为 ，由数量积
的几何意义可得, ，
所以 ，D正确.
故选 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
正、余弦定理是解决数与形的工具，是高考的“常客”.小题主要考查对这两个定理的
直接应用,涉及一些含有边角混合代数式的变形和三角形的面积计算等问题.解答题往
往考查三角恒等变换和解三角形.如果求边长或角,需要利用方程思想;如果求范围或
最值,需要利用函数思想或基本不等式.试题难度中等.
核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图
形构建等式或不等式），数学建模（借助正、余弦定理解实际问题）.
考向1 正、余弦定理的应用
例44（1）[教材改编P44 T2](2025· 全国二卷)在中,, ,
,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】，因为 ，所以.
（【秒解】根据边的大小关系排除，因为,,所以 为最小角，所以
，排除B,C,D,故选A）
（2）(2023·全国甲卷)在中， ，，， 的角
平分线交于,则 ___.
2
【解析】由余弦定理的推论得,整理得 ,得
.
又 ，所以
,
所以 .
（3）(全国乙卷)记的内角,,的对边分别为,,,面积为， ，
，则 _____.
【解析】由题意得，则 ，所以
，所以 ，
则 .
例45 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， ,
.
（1）求 ;
【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知，
.
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在,
求 边上的高.
条件 ;
条件 ；
条件的面积为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分.
【解析】若选择条件 ，
由（1）知,所以 ，
又，所以为钝角， ，此时 不存在，故不能选择条件①.
若选择条件 ，
则，,此时 存在.
设边上的高为，则，即边上的高为 .
若选择条件的面积为 ，
因为，所以 .由余弦定理可得
，所以 .
设边上的高为 ，
则，得，即边上的高为 .
素养探源 素养 考查途径
直观想象 三角形的边角关系.
数学运算 正、余弦定理及三角形面积公式的应用.
变式探源
1.(2024·新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知
, .
（1）求 ；
【解析】由余弦定理得 ,
又 ， .
, ,
又 , .
（2）若的面积为，求 .
【解析】由（1）得 ，
由正弦定理，得（【扫清障碍】） ，
.
的面积 ,解得 .
. .
图6.4.3-16
2.(2023·全国乙卷)在中，已知 ， ，
.
（1）求 ;
【解析】如图6.4.3-16，由余弦定理得
，得
.
由正弦定理 ，
得 .
（【另解】根据余弦定理求，然后由同角三角函数的基本关系求 ）
（2）若为上一点，且 ，求 的面积.
【解析】 第1步：结合角的正切值，直接求
由，得 ,
又，所以 ，
第2步：求 的面积
故的面积为 .
第1步：求 的面积
的面积为 ，
第2步：求与 的面积的比值
，
第3步：求 的面积
故的面积为 .
考向2 边角互化下的解三角形问题
例46（1）(2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,, ，若
,,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得 ,
因为，所以 .
由余弦定理得，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又，，所以 .
（2）(2023·全国乙卷)在中，内角,,的对边分别是,, ,若
,且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ,所以由正弦定理得
，
则 .
在中，，则, ，
（【另解】根据余弦定理化简得出关于边的关系式，即，得出 为直角）
所以 .
例47 (2022·全国乙卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知
.
（1）证明： ；
【解析】 由 可得,
，
结合正弦定理 ，
可得 ，
即 .
由余弦定理的推论可知, ,
，
代入（*）式整理得 .
因为 ，
所以 ，
同理有 ，
所以 ，
由正弦定理可得 .
（2）若，，求 的周长.
【解析】由（1）及 ,
得,所以 .
因为 ，
所以，得 ,
所以的周长 .
命题 探源 考题将三角恒等变形与解三角形融为一体，当把条件式化为 时，蕴含了三角形中射影定理的应用，即对 其变形可得 , 又，所以,所以 . 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 通过正弦定理及两角和的正弦公式逆向运用考查.
考向3 正、余弦定理与三角恒等变换
例48 ［多选题］(2025· 全国一卷)已知的面积为 ，
， ,则( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】 ，
（发现所给式子中有, ，考虑利用余弦的二倍角公式化简变形）
所以 ，故A正确.
令,,,则为的外接圆半径 ,由
,得 .（该式子包含两种情况，需要分类讨
论）
若,则角为锐角，则,即 ，则
,所以 ,矛盾.
故,即，所以 ,又
,所以 .因为
,所以,所以 ,所以
,所以 ，故B正确.
,
所以 ，故C正确.（一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以
利用选项A及选项B中所得结论可以作出判断）
，故D错误.（由B选项可知， 为直角三角形，利用
勾股定理即可判断）
例49 (2025·天津)在中,角,,的对边分别为,,.已知 ,
, .
（1）求 的值；
【解析】第1步：求 的值
因为,所以由正弦定理可得 ,因为
,所以,所以,所以 .
第2步：确定角 的值
又,所以 .
（2）求 的值;
【解析】第1步：由余弦定理求
因为,, ,
所以由 ,
可得 ,
化简得，又，故 .
第2步：求 的值
由,得 .
（3）求 的值.
【解析】第1步：由正弦定理求
由正弦定理,得 ,
解得 .
第2步：由同角三角函数的基本关系求
因为，所以 为锐角，
.
第3步：由二倍角公式求和
， .
第4步：利用两角和的正弦公式计算
所以
.
例50 (2024· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,, ,已知
.
（1）求 ;
【解析】 （辅助角公式） 由，得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以，故 .
（同角三角函数的基本关系） 由 ，
且，消去 得，
，
解得，又，故 .
（2）若,，求 的周长.
【解析】由和正弦定理得， ，
又,，则，进而，得到 ，于是
，
所以
（【注意】解答题需写出 的计算过程）,
由正弦定理 ，
可得，解得, ，
故的周长为 .
. .
例51 (2023· 新课标Ⅰ卷)已知在中，， .
（1）求 ;
【解析】在中， ,
因为，所以,所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以，易得 ,
所以 ，
又，所以 .
（2）设,求 边上的高.
【解析】由（1）知， ，
所以为锐角，所以 ，
所以 ，
由正弦定理 ，
得 ，
故边上的高为 .
考向4 代数条件下的解三角形问题
例52 (2022·新高考全国Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,，,分别以,,
为边长的三个正三角形的面积依次为,,.已知, .
（1）求 的面积;
【解析】由，得，即 ，
由余弦定理可得，所以.由 ，得
或（舍去），所以，则 的面积
.（整体思想的应用）
（2）若,求 .
【解析】由，及正弦定理知 ，即
，得 .
命题 探源 代数条件下的解三角形问题，往往是提供一个含有边角或者是转化后含有 边角的代数方程，在这个方程的基础上利用正、余弦定理和三角形内角和 定理将其转化为一个新的方程，落脚点往往是方程思想和整体代换思想的 应用. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 正、余弦定理的变形应用以及利用面积公式求解.
变式探源 (全国Ⅱ卷)的内角，，的对边分别为,, ，已知
.
（1）求 ;
【解析】由题设及 ,
得 ,
故 ,
上式两边平方，整理得1,解得 （舍去）或
.
（2）若,的面积为2,求 .
【解析】由得 ，
故 .
又,故 .
由余弦定理及 ,得
,
所以 .
考向5 几何条件下的解三角形问题
例53 (2023· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,,,已知 面积为
,为的中点，且 .
（1）若，求 ;
【解析】第1步：由三角形面积公式求
因为为 的中点，所以
,
（【小技巧】三角形的中线平分三角形的面积）
解得，所以， ．
第2步：由余弦定理求
因为，所以 ．
在中，由余弦定理，得 ,
所以 ．
第3步：求,
在中，由正弦定理，得 ，
所以 ，
所以 .
（【另解】利用三角形面积求,在中，由余弦定理求得，在 中，利用
余弦定理求得,在中，由余弦定理的推论求得 ,由同角三角函数基本关系
求得 ）
第4步：由同角三角函数的基本关系求结果
所以 ．
（2）若，求, .
【解析】第1步：由余弦定理求
因为为的中点，所以 ．
因为 ，
所以 ，
则在与中，由余弦定理的推论，得 ，
得 ，
所以，所以，所以 .
第2步：由余弦定理及三角形面积公式求
在中，由余弦定理的推论，得 ,
所以 ，
解得 .
第3步：结合已知条件建立方程组求结果
则由解得 ．
命题 探源 几何条件下的解三角形问题，往往都是在三角形中利用正、余弦定理分别构 建方程，再通过关联的角（互余或互补）或者公共边来求解. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 正、余弦定理的应用，解关于边或角的代数方程.
直观想象 画出草图，通过图形能够从公共边挖掘两个三角形的内在联系.
变式探源 (新高考全国Ⅰ卷)记的内角,,的对边分别为,,.已知,点
在边上,
（1）证明: ;
【解析】因为 ，
所以由正弦定理得 ，
又，所以 ,
又，所以 .
（2）若,求 .
【解析】因为 ，如图6.4.3-17，
图6.4.3-17
在中， ①,
在中， ②.
由①②得，整理得 ．
又，所以 ，
解得或 .
当, 时，
（舍去）．
当,时， ．
所以 ．
考向6 运动变化下的解三角形问题
例54 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知
.
（1）若,求 ；
【解析】因为 ，
所以，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为，所以 .
（2）求 的最小值.
【解析】由（1）得,则 ,所以
，
所以 ，
且 ,
所以, ，
所以，解得 .
. .
由正弦定理得
，当且仅当 时取等号，
所以的最小值为 .
命题 探源 所谓运动变化，实质是题设提供的解三角形边角条件不足，导致三角形只能 局部可解，进而导致边或者角有范围或最值产生.对于这类问题要善于从函 数的视角来看待或者从不等式工具特征角度来看待.高考重视对局部可解三 角形的研究，重视从运动变化视角来考查. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 利用三角恒等交换求解，利用正弦定理及借助基本不
等式求最值.
变式探源 (2022·全国甲卷)已知中，点在边上, , ,
.当取得最小值时， ________.
图6.4.3-18
【解析】设,则 .根据题意作出大致图形，如图6.4.3-18.
在 中，由余弦定理得
.
在 中，由余弦定理得
,
则 ,
（当且仅当 ，
即时等号成立）,， 当 取得最
小值时， .
考向7 解三角形的实际应用
图6.4.3-19
例55 (全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗
玛峰最新高程为 单位： ,三角高程测量法是珠峰高
程测量方法之一.如图6.4.3-19是三角高程测量法的一个示意图，
现有，，三点，且，,在同一水平面上的投影， ，
满足 , .由点测得 点的仰角为
，与的差为100;由点测得点的仰角为 ，则
，两点到水平面的高度差约为
( )
B
A.346 B.373 C.446 D.473
图6.4.3-20
【解析】如图6.4.3-20所示，根据题意过作，交
于，过作，交于 ，
则, .
在中， ,
则 .
又在点处测得点的仰角为 ，
所以 ,
所以高度差
.
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·湖南省郴州市期末)如图6.4.3-21，在中，，为
边上的中点， ， ，且 ，则( )
BC
图6.4.3-21
A.外接圆的半径为
B.
C. 的最大值为3
D.的最大值为
【解析】对于A，根据正弦定理可得，解得 ，所以
外接圆的半径为 ，A错误.
对于B，在中，，所以.在 中，
，所以 .
因为, ，
所以 ，B正确.
对于C，根据余弦定理得
.
可得 ，
所以，当且仅当时等号成立，此时 的最大值为3,
C正确.
对于D，因为 ，
所以 .
因为，所以 .
所以 ，
因为,所以当时，有最小值，为，所以 的最小值
为，D错误.故选 .
2.［多选题］(2025·广东省湛江市期末)在锐角中，角，， 对应的边分别为
，，，且 .则下列说法正确的是( )
ACD
A.
B.角的范围是
C.若的平分线交于，，，则
D.的取值范围是
【解析】对于A，由正弦定理有 ，
所以，又， ，所以
，即 ，故A正确；
对于B，可得 ，故B错误；
图D 6.4.3-4
对于C，如图D 6.4.3-4所示，由题意得 ，则
， ，
因为，所以,所以
（可过点作 垂线，构造直角三角形），
. .
且,即，则 ，
所以 ，
而，且，则，所以 ，故C正确；
对于D，由，设，则，且 （“飘带”函数）在
上单调递增，则值域为，故D正确.故选 .
. .
3.新考法 结构不良(2025·山东省淄博市期中)在条件 ，
， 中任选一个，补充在下列问题中，
然后解答补充完整的题目．
已知,,分别为锐角的三个内角，，的对边， ，而且________；
（1）求角 的大小；
【答案】选取条件①：，由正弦定理得 ，
为锐角，，，又为锐角，故 .
选取条件②： ，由正弦定理得
，
为锐角，， ，
又为锐角，解得 .
选取条件③：,由正弦定理得 ，即
，
，为锐角，， ，
又为锐角，故 .
（2）求 周长的最大值．
【答案】由（1）得，，由余弦定理的推论得 ，
即 ,
，解得，当且仅当 时等号
成立，此时为等边三角形，符合题意，故周长的最大值为 ．
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
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1.(2025·广东省清远市四校联考)的内角,,的对边分别为,, ，已知
, ,，则 ( )
D
A.1 B. C.3 D.1或3
【解析】由余弦定理，可得 ，整理
可得，解得或 .经检验都符合题意.
2.(2025·河北省衡水市期末)已知的内角,,的对边分别为,,,, ，
若有两解，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图D 6.4.3-1所示，在中，,，则 有两解的充要条
件为，即 .
图D 6.4.3-1
3.(2025·江苏省南京市期中)在中，其内角，，的对边分别为，， ，若
，则 的形状是( )
B
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【解析】因为 ，
所以由余弦定理知，，整理得 ，即
的形状是直角三角形.
4.(2025·辽宁省锦州市期末)在中， ，是边上一点， ，
，，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意，在中，，， ，
由余弦定理得， ，
， .
在 中，由正弦定理得，
.
图6.4.3-1
5.(2025·陕西省韩城市期末)司马迁是我国西汉伟大的史学家、文
学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内.某学习小组开展数学建模
活动，欲测量司马迁雕像的高度.如图6.4.3-1，选取与司马迁雕像
底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在 ，
，处测得雕像顶端的仰角分别为，，， 米，
则司马迁雕像高度（ 长度）为( )
A
A.米 B.米 C.米 D. 米
【解析】设，由题设有,, ，
又， ，
所以，则，解得 .所以雕像高度为
米.
6.[多选题](2025·河南省漯河市期中)在中，角，，的对边分别为，， ，
若 ，则以下结论正确的是( )
AB
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，故A正确.
由余弦定理的推论得 ，由正弦定理得
，所以 ，
即，所以或 .
因为 ，若 ，则，所以，又 ，所
以，此时，，也满足 ，故B正确.
由B选项可知，当，时， ，故C错误.
由B选项可知，故 ，
即，故D错误．故选 ．
7.(2025·四川省广安市入学考试)已知的内角，，的对边分别为，， ，
已知， .
（1）求 ；
【答案】由 ，
得 ，
即，因为，所以 ，
故，又，故 .
（2）若的面积为，求 .
【答案】由， ，
故 ，
解得 .
8.(2025·甘肃省天水市甘谷县第六中学月考)如图6.4.3-2，在平面四边形 中，
，，，，且 ．
图6.4.3-2
（1）求 的长度；
【答案】在中，由余弦定理,可得 ，
即,解得 .
（2）求 的面积．
【答案】因为,所以 .
由正弦定理得 ,
即,解得,所以 .
因为,所以 ,
又,所以 的面积
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
9.(2025·四川省成都市期末)如图6.4.3-3，为了测量两山顶, 间的距离，飞机沿水平
方向在,两点进行测量，,,,在同一个铅垂平面内，在点测得在 的南偏东
的方向上，在的南偏东 的方向上，在点测得在的南偏西 的方向
上，在的南偏东 的方向上，且，则 ( )
C
图6.4.3-3
A. B. C. D.
图D 6.4.3-2
【解析】由题意作出如图D 6.4.3-2所示的示意图，
, , , ,
，
所以 , ，
所以 ，
在中， ，
在中，, ,
在中， ，解
得 .
10.(2025·云南省曲靖市期末)在中，,，则 的最小值
为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意, ，可得,.因为,, 为
三角形内角，所以
解得 ，
由正弦定理得 ，
所以 .
又，且，所以 ，
所以 .
令，则，则，当 时取等号，所
以当时，取得最小值，为 .
11.[多选题](2025·江苏省淮安市期中)在中，内角，，所对的边分别为 ，
，，， ，则( )
BCD
A.为锐角三角形 B.当时，
C.周长的最大值为3 D.面积的最大值为
【解析】由，可得 ，化简
可得 .
因为，所以，可得，， 的大小不确定，可能为直角或钝
角，A错误.
当时，， ，B正确.
由，可得 ，变形可得
，解得，当且仅当 时取等号，所以
的周长 ，C正确.
由，可得，当且仅当 时取等号，所以
的面积，D正确．故选 ．
12.(2025·重庆市第八中学期末)在中，角，，所对的边分别为，， ，
若边上的高为，当取得最大值时， _ ___.
【解析】设边上的高为，则 ，
则三角形的面积，得 .
在中，由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
令，则，则 ，
所以当时，取得最大值，此时 ，所以
.
13.(2025·湖南省衡阳市第一中学期末)在中，角,,所对的边分别为,, ，
且满足 .
（1）求 的值；
【答案】因为 ，
所以由正弦定理得 ，
由，得 ，因为
，所以，所以 .
（2）当与边上的中线长均为2时，求 的周长；
【答案】在中，由余弦定理 ，可得
①，
图D 6.4.3-3
如图D 6.4.3-3，设的中点为，则 ，
则 ，即
②，
得 ，
由得,所以 ，即
，
所以，即的周长为 .
（3）当内切圆半径为1时，求 面积的最小值.
【答案】由（1）得 ，
由内切圆半径为1，得 ，
即，由余弦定理得 ，
所以，化简得 ，
因为，所以 ，
解得或 ，
又的面积大于其内切圆面积，即 ，
得，所以 ，
当且仅当时，的面积取到最小值，最小值为 .
14.新考法结构不良在； ；
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，
并加以解答．
三角形的内角，，的对边分别为，， ，且满足____．
（1）求角 的大小；
【答案】选择条件①,
由及正弦定理，可得 ,因为
，所以 ,
因为 ,所以 .
选择条件②，
由 及正弦定理,
可得 ,
即 ,
即 .
在三角形中， ,
所以,即 ,
因为 ,所以,所以 ,
因为 ,所以 .
选择条件③，
由 及正弦定理,
可得,所以 .
由余弦定理的推论,得 ,
因为 ,所以 .
（2）若三角形为锐角三角形，且，求三角形 周长的取值范围．
【答案】由正弦定理,得 ,
从而 ,
,
所以 ,
由于三角形 为锐角三角形，
所以, ,
又,所以,所以 ,
从而 ,
故三角形周长的取值范围是 .
C 培优练丨能力提升
15.(2025·安徽省宿州市期末)在中，角，，所对的边分别为，， ，已
知，为边上一点，且 ．
（1）求角 的大小；
【答案】由 及正弦定理，
可得 ，
又 ，代入上式，
所以 ，
因为中，，所以 ，
所以 ，
故，因为，所以 ．
（2）若，且，求 的值；
【答案】因为 ，
所以 ，
由（1）知， ，
所以 ，
由已知，所以，即 ，又
，联立两式解得, ，
由余弦定理，可得，即 ．
（3）若为角平分线，求 的最小值．
【答案】若为角平分线，则, .
在中，由正弦定理，得 ，
即 ，
所以， .
所以 ，
即 .
又，所以， ，
从而 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以的最小值为 ．

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