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第六章 平面向量及其应用
章末总结
巧梳理 知识框图
提能力 专题归纳
专题1 向量共线与三角形“四心”
（【教材深挖】本专题可视作对教材第63页【数学探究】的深挖，用向量法研究三
角形的重心、垂心、内心、外心等性质）
1 向量共线背景下的面积探讨
例1 设是内任意一点，表示的面积，， ，
，定义.若是的重心， ，则
( )
A
A.点在内 B.点在内 C.点在内 D.点与点 重合
本题的难点在于其创新的设问方式，因此读懂题意是关键，相当多的考
生是因为读不懂题意而随意选了一个.如果只是一味地将目光锁定在
上，将会难以前进,甚至误入歧途.但若能注意到其几何背景，则不
难解决.
【解析】由于是的重心，从而 ，因此
，不妨设 ，则
,故排除D选项;
若点在内，则，与 不符，故排除C选项；
若点在内，则，与 不符，故排除B选项;
从而点在 内，如图6-1所示，故A选项正确.
图6-1
当然我们也可以找到其确切的位置，这是后话，暂且放下.接前面的话题，这个题是
如何命制出来的呢？先看下面的定理.
引理：在内任取一点，用,,分别表示，， 的面积，
则 .
定理：设是内一点，，， ，则
,其中 .
进一步地，若设,, ，则得到下题：
例2 (2025·山东省济南市期中)设点在内部，且有 ，则
的面积与 的面积的比为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由上述引理我们不难得到 .
学会思考 若将两边同乘以，则得 .不难
发现这里的,,正是例1中的 .
图6-2
（常规方法）
如图6-2，延长至，使,延长至 ，使
，连接，，，,则 ,
.
由条件得，， 点是 的重心，
从而,其中表示 的面积,
则,, ，于是
.
故的面积与的面积的比为 .
从而我们看到例2的命题背景为上述引理，例1反其道而行之，在已知面积比的基础
上，探求点的位置.但是由于寻找点 的准确位置有一定难度，因此提供一个点：重
心.即将点与点 进行比照，这样只要学生能读懂题意，并能数形结合，就不难得
出答案了.
图6-3
下面再回过头去接着前面的话题，即点 的具体位置在哪？如图6-
3所示,过重心作交于点，交于点， 为中位
线，则与的交点便是点.事实上，由于 为中位线，所以
,而 ，则
.
运用上述引理，我们可以快速解决如下试题.
例3 所在的平面内有一点,满足 ,那么三个三角形面积之
比 为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由上述引理我们不难得到， ，所以
，所以 .
最后值得一提的是，由引理我们还可以得到有关 的如下结论：
（1）重心满足 ;
（2）外心满足 ;
（3）内心满足 ,
则 ;
（4）垂心满足 .
其中，,,是的三个内角,, 所对边的长.
三角形的四心的向量表达式是用向量法解平面几何问题的重要理论基础.
2 有关 的其他重要结论
（1）重心
（其中为平面内任意一点, 为重心）.
（2）垂心
向量所在的直线过的垂心（在边上的高 所
在的直线上）.
设是所在平面内的一点，则为 垂心的条件是
.
（3）内心
向量所在直线过的内心（在 的平分线所在的直线
上）.
设是所在平面内的一点,则为 内心的条件是
,,是的三个内角,,所对边的边长，为平面内任意一点 .
（4）外心
设是所在平面内的一点，则为外心的条件是
（点 到三个顶点的距离相等），或
.#4.1
例4 设是平面内的一定点，是平面 内的一动点，若
,则为 的( )
B
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
【解析】由,知（其中为 的中点），所
以,所以在的垂直平分线上.同理，在的垂直平分线上，故 为
的外心.
例5 (2025·河北省沧州市五校月考)三个不共线的向量,, ，满足
，则点为 的
( )
A
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
【解析】由题意可知，与在的外角平分线上 垂直，所以
点在的平分线上.同理，点在的平分线上，点在 的平分线上，
故点为 的内心.
例6 点是所在平面内的一点，满足，则点 是
的( )
D
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
【解析】由，可得 ，即
，即,所以 .
同理可得, ,
所以点是三条高的交点，故点为 的垂心.
专题2 等和线及其应用
等和线：如图6-4，,不共线，则直线及与平行的直线 均为等和线.
图6-4
“等和”的含义： 在直线上任意位置，连接,则,基向量 ,
的系数和恒为1.
Q在直线上任意位置，连接,则,基向量, 的系数和恒
为 .
结论 （1）当等和线恰为直线时， ；
（2）当等和线在点和直线之间时， ；
（3）当直线在点和等和线之间时， ；
（4）当等和线过点时， ；
（5）若直线与等和线关于点对称，则 .
（6）定值与点到等和线的距离有关， .
例7 (2025· 广东省深圳市期中)在扇形中，为弧 上的一个动点，
.若，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
图6-5
【解析】 如图6-5，在上取一点，使 ，
连接，与交于点，过作，交于点 ，则
，（转化基向量的目的是
凑系数，构造等和线）
. .
所以（直线和 为等和线，应用等和线的结论）.
当,重合时，最小，为1;当,重合时， 最大，为4（利用极限思想求最值）.
所以的取值范围是 .
图6-6
（建系法） 设扇形的半径为1，以 为原点，
建立如图6-6所示的平面直角坐标系，则， ，
设 ,，则 ，
，
即解得
. .
. .
. .
（构造函数法） 设扇形的半径为 ，
因为 ，
所以 .
令 （构造三角函数，
利用三角函数的单调性求最值），
易知在 上单调递减，
所以 ，
所以的取值范围是 .
. .
所以 ，即
，
整理得关于的方程 .
易知,，，所以
（切记要舍去负根），
所以 .
令 ，（构造函数，利用函数的单调性求最值）
易知在上单调递减，所以 ，
所以的取值范围是 .
. .
. .
例8 已知圆的半径为2，,是圆上两点，且 ，是圆 的一条直径，
若动点满足，且，则 的最小值为____.
【解析】 延长，交圆于点 ，则
，
又，所以,, 三点共线.
因为是圆 的一条直径，
所以 . （三角形中极化恒等式
的应用）
要求的最小值，只需求 的最小值.
连接，易知当时， 最小，
又在中， ，故 ，
所以的最小值为 .
. .
. .
.
因为是圆的一条直径，所以， ，
所以
，
所以当时，取得最小值（利用二次函数求最值），为 .
. .
专题3 用余弦定理解圆内接四边形问题
例9 如图6-7，,,,为平面四边形 的四个内角.
图6-7
（1）证明： ;
【解析】 .
（2）若 ，,,， ,求
的值.
【解析】由 ，得， .
由（1），有
.
连接.在中，有 ,
在中，有 ，
所以 .
则 .
于是 .
连接,同理可得 ，
于是 .
所 以
.
名师点评 易知本题中的四边形 是圆内接四边形，在求解过程中不难发现，设
圆内接四边形的边长,,, ，则该四边形的两条对角线长分
别为和 .
例10 四边形的内角与互补,,, .
（1）求和 ；
【解析】由题设及余弦定理得 ①，
②.
联立,解得
（2）求四边形 的面积.
【解析】四边形 的面积
.
思路点拨 （1）根据内角,互补，利用余弦定理列出关于角和 的方程组，即
可求出角和 ；（2）利用三角形面积公式可得
，即可求得四边形
的面积.
竞赛中对圆内接四边形的考查较为丰富，因此有必要对此进行一番研究.
定理1 设圆内接四边形的边长分别为,,, ,则
, ,
, ,
且四边形 的面积
，
其中 .
图6-8
证明 如图6-8，连接，在和 中，
,
.
又 ,则
，
由此得 ①，
同理， ，
, .
又 ,
所以 ②.
由①得, ③,
得,
,
,
即，其中 .
在上述探索过程中，我们得到了相应的四边形的海伦公式.
定理2 设四边形的边长分别为,,,,且
（或）,则四边形 的面积
,
其中 .
图6-9
证明 如图6-9，连接 .
,即
①.
,
②.
得， ，
,
故,其中 .
特别地，当 时，即四边形为圆内接四边形 时，
.
定理3（托勒密定理）圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边乘积之和.
即在圆内接四边形中， .（证明略）
例11 (北京大学自主招生)在圆周上逆时针摆放了4个点，，，,已知 ,
,, ,则该圆的直径为( )
D
A. B.
C. D.前三个答案都不对
图6-10
【解析】如图6-10所示，由可得 .根据托勒
密定理，有，可得 ，故
为正三角形，于是 .在 中,根据
余弦定理，有 ,可得
.所以圆的直径 .
例12 设，，，， 为圆周上依次排列的五个点，已知
，,,,求 的长.
【解析】 因为 ,
所以 .
设,, ,由余弦定理，可得
①,
②,
③.
，可得 ④.
，可得 ⑤.
情形1 若,易知此时为该圆的直径，则 ⑥,
所以 （将⑥代入①可得）⑦, .
将⑥⑦两式代入③式，
可得或 ,
经检验，此时 .
情形2 若,仿照情形1，可得且 .
情形3 若且 ,
由④式可得 ,
. .
由⑤式可得 ,
所以,解得 .
经检验，当或时， 也成立.
综上所述，的长为 .
图6-11
（利用托勒密定理求解） 如图 6-11所示，连接， .
由题意易知，， .
设，， .
则在四边形中， ，即
,即 ①.
在四边形中， ，即
,即 .
可得，,所以 ，
即的长为 .
一题一课·学一题会一类
一题看尽解三角形最值或范围问题
例13 在中，,,分别为三个内角,, 的对边，且满足
.
（1）若，，求 的面积.
【解析】由,,得, .
由正弦定理得,解得 ,
.
（2）若，求 的面积的最大值.
【解析】由余弦定理得 ,
,当且仅当时取等号， ,
故面积的最大值为 .
（3）若，求 的周长的最大值.
【解析】由余弦定理得, ,即
,即,当且仅当 时等号成立，则
的周长为 ,
故 周长的最大值为6.
（4）若,求 的最大值.
【解析】 ,
, ,
,即, ,
故的最大值为 .
（5）若为锐角三角形，求 的范围.
【解析】 ,
为锐角三角形， ,
又 ,
, ,
,即, .
（6）若，求 的最大值.
【解析】由正弦定理得， ,
, .
（由（5）可知， ，
代入即可）,其中 .
故的最大值为 .
. .
说明 题干中的已知条件本身就是非常经典的试题的背景，在第6.4.3节题型4中的
例30我们已经详细讲解过（得出 ），由题干及第（1）问我们可以发现在解三
角形的过程中，往往需要已知三个条件才能得出一个定值（如面积能直接求解出
来），若是只给出了两个已知条件，则会产生最值或取值范围问题，我们不妨研究
一下，借此体会数学问题中一题多变的奥秘.
一章一练·学思维知创新
例14 平面上有一组互不相等的单位向量，， ，，若存在单位向量
满足，则称是向量组，， ，
的平衡向量．已知,，向量是向量组，， 的平衡向
量，当取得最大值时， 的值为_ _____．
图6-12
【解析】当与的夹角为0时， 取得最大值，此
时 .
又, ，如图6-12所示，
设，, ，
则 ，
所以，即，解得 ，
则 ,
故，,或 .
当, 时，
,
当, 时，
.
例15 新定义 施以视角运算(2025·江苏省盐城中学期中)已知是直线 外一点，点
，在直线上（点，与点，任一点均不重合）．我们称如下操作为“由
点对施以视角运算”：若点在线段上，记,;；若点 在线
段外，记,;，并且记,;,．记 的内角
，，的对边分别为，，．已知， ，是射线上一点，现由
点对施以视角运算，得到,; ．
（1）若，求 的值.
【解析】因为,;，所以点 在线段
BC上，又，所以由,;，得 .
又 ，所以 .
在中， ，由余弦定理得
，
故 .
因为 ，
所以 ，
即，故 .
（2）射线上的点满足,;, ．
①求 ；
【解析】因为,;,，且,;,所以,;,所以点
在线段 外，
即,; .
因为,;, ,
所以 ，
化简得 ，即 ，可得
，即 ，
因为 ，所以 .
②求 的最小值．
【解析】因为，且由（1）得， ，所
以 ,
所以 ，
即 ，所以
，
当且仅当即当时等号成立，故 的最小值为 ．
【解析】记 ，
尖子生 强基自招
命题点1 向量运算
例16 (2025·全国高中数学联赛广西赛区预赛)已知的外心为 ,且
,则 _ ___.
【解析】不妨设 的外接圆半径为1.
由得 ，
,
故 .
同理可得， .
,
又
,
,
, ,
.
例17 (2023·北京大学优秀中学生寒假学堂测试)若是三角形 的外心，且
, ，则实数 的值为( )
A
A. B.
C. D.其他三个选项均不对
【解析】如图6-13，设的中点为,则 .
图6-13
由,得 ,
所以向量,共线，又是的外心，所以，所以 ,从而
.因为 ，所以 ，即四边形 是菱形，于是
,
所以 ,
所以 .
例18 (2023· 全国高中数学联赛一试B卷)平面上五点,,,,满足 ,
，,，则 的值为___.
3
【解析】记,.由条件知,，于是 .
命题点2 向量的最值问题
例19 (2025·北京大学强基计划)已知，求 的最大值.
【解析】由 ,
当且仅当,同向时取等号，故的最大值为 .
例20 (2022 ·上海交通大学强基计划), ,则
的最小值为( )
B
A. B. C. D.
图6-14
【解析】如图6-14，设圆的半径为， ，
为以为起点且圆周上的点为终点的向量，则 是以圆
周上一点为起点，点为终点的向量，当为向量
时,在 上的投影向量的模最小，故
取最小值，此时原式
.
命题点3 解三角形问题
例21 (2025·北京大学强基计划)在中，在上，平分 ，
,,求 .
【解析】由角平分线的性质知，可得 ，
令，则 .
图6-15
设是的中点，如图6-15所示，因为 ，
,所以， ,
故 ,
由,得 ，即
，
所以 （负值已舍） .
例22 (2025·全国高中数学联赛江苏赛区预赛)已知的面积为2，，则
的范围为_ __________.
,
【解析】不妨在平面直角坐标系中设,，由面积为2知 边上的
高为2,不妨设 ,
则 .
当时,上式 ,
当时， ,
易知 ,
此时, .
综上，,开方得 .
例23 (2025·东南大学强基计划)若，则判断 的形状.
【解析】由正弦定理得 ,
因为,, 为三角形内角，
所以
则, 均为锐角.
②式平方得,即 ,将①式代入得，
,
则，解得 ,
,
则, ,
则 ,
则 为钝角三角形.
例24 (2025·全国高中数学联赛新疆赛区预赛)设的三个内角,, 所对应的边
分别为,, .
（1）若且 ，求角 ;
【解析】 ,
,
.
当,即 时， ， .
当，即 时， , ，矛盾，舍去.
综上所述， .
（2）若不是直角三角形，,为中点，且 ，求
面积的最大值.
【解析】， 由正弦定理得 ,即
，即或（舍）， .
在 中，由向量极化恒等式的变形得，
,即, ,
，
，
当且仅当，即时， 面积的最大值为6.
. .
例25 (2024·厦门大学强基计划)单位圆内接，取，， 作边长构
成 ，则( )
C
A.能构成，且
B.能构成，且
C.能构成，且
D.不能构成
【解析】在中，设角,,对应的边为,, .
由正弦定理，得 ,
, ，
即 ，
故取,,作边长能构成，且 ，
所以 .
例26 （2024· 清华大学强基计划）在中， ，， 在
内部，延长交于，且，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】如图6-16所示，
图6-16
由为的平分线，并结合正弦定理得， .
由，可得 ，
则 ,
即 ，
化简可得，于是 或
（舍），
故 .

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