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第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直 8.6.2 直线与平面垂直
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 异面直线所成的角
1 两条异面直线所成的角的定义
图8.6.1-1
平面内两条直线相交所成4个角，其中不大于
的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
如图8.6.1-1,已知两条异面直线, ,经过空间任一
点分别作直线,,我们把直线， 所成的
角叫做异面直线与 所成的角（或夹角）.
教材思考 教材第147页【 】:直线,所成角的大小与点 的位置有关吗？
在定义中,空间一点是任取的,根据空间等角定理,可以判定异面直线, 所成的
角与直线,所成的锐角（或直角）相等,角的大小与点 的位置无关.为了简便，点
常取在两条异面直线中的一条上.
2 两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直
线与直线垂直，记作 .（【注意】两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括
异面垂直）
3 两条直线所成的角的范围
异空间两条直线所成角 的取值范围是 .（【易错点】注意区分异
面直线所成角与空间两条直线所成角的范围）
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P147 例1]已知正方体 ，则：
（1）直线与 所成的角的大小为_____；
【解析】如图8.6.1-5，因为 ，
图8.6.1-5
所以就是异面直线与 所成的角（或其补角）.
因为 ,所以直线与所成的角为 .
（2）直线与 所成的角的大小为_____；
【解析】连接,因为,所以就是异面直线与 所成的角，因为
,所以直线与所成的角为 .
（3）直线与 所成的角的大小为_____.
【解析】连接.因为 ，
所以直线与所成的角即 .
又，所以 为正三角形，
所以直线与所成的角为 .
知识点2 直线与平面垂直
1 定义
如果直线与平面 内的任意一条直线（“ 任意一条直线”与 “所有直线” 是同
义词，但与 “无数条直线”不等价）都垂直,我们就说直线与平面 互相垂直,记作
.直线叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯
一的公共点 叫做垂足.
. .
2 重要结论
判定 线线 垂直 若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判
断直线与直线垂直，即“若 , ,则 ”，简述为“若线面垂直，
则线线垂直”.
重要 结论 ①过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条；
②过一点垂直于已知直线的平面有且只有一个.
3 直线与平面垂直的画法
画直线与平面垂直，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.如图
8.6.1-2（1）（2）所示.
图8.6.1-2
4 点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平
面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.（【助理解】在棱锥的体积
公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离）
知识延伸 线面距、面面距的定义
1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做
这条直线到这个平面的距离.
2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都
相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.（【助理解】在台体、柱体的体积公
式中，高就是上底面与下底面的距离）
说明：线面距与面面距最终都会转化为点到平面的距离，而点到平面的距离其
实就是点与平面内任意一点间的距离的最小值.
学思用·典例详解
【想一想丨问题质疑】
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直？
图8.6.1-6
提示 不一定.
如图8.6.1-6,长方体中,在棱上任取一点 ,过
点作交于点 ,则这样的直线能作出无数条,
显然垂直于平面内的无数条直线，但 平面 ，
故直线与平面 不垂直.
不仅如此,因为,所以直线也垂直于平面 内的
无数条直线,但是直线平面 .
例2-2 [多选题](2025·吉林省通化市检测)已知直线,和平面 ，且 ， ，
则与 的关系可以为( )
BCD
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
【解析】过作平面 与平面 相交，设,因为 ,所以由线面平行的性
质定理可得 .
又 ，则垂直于平面 内的所有直线，所以,所以 .
而与 的关系可以为相交垂直或异面垂直，
结合选项可知，与 的关系可以为相交、异面、垂直．
知识点3 直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线 垂直,那么该直线与此平面垂直. , ,
, ,
.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 知识剖析 1.线面垂直的判定定理把线面垂直的定义中要求的无限条直线（任意一条
直线）转化为有限条直线（两条相交直线），同时，给出了证明线面垂直的方法，
即只需要在平面内找两条相交直线与已知直线垂直即可.
2.“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略.例如：若一条直线与
一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直.
. .
学思用·典例详解
例3-3 若一条直线垂直于一个平面内的____（填下列序号），则能保证该直线与该
平面垂直.
①三角形的两边；②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两边.
①
【解析】①③中给定条件所对应的两条直线一定相交，能保证所给直线与平面垂直.
而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中正六边形的两边可能是
互相平行的两边，不满足定理条件（两条相交直线）.
例3-4 若三条直线，，两两垂直，则直线 垂直于( )
C
A.平面 B.平面 C.平面 D.平面
【解析】,,, 平面, 平面 ,
平面 .
知识点4 直线与平面所成的角
1 定义
图8.6.1-3
（1）斜线和斜足：如图8.6.1-3，一条直线与一个平面 相
交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线
和平面的交点 叫做斜足.
（2）斜线在平面上的射影：如图8.6.1-3，过斜线上斜足以外
的一点向平面 引垂线,过垂足和斜足的直线 叫做斜线
在这个平面上的射影.（斜线的射影是一条直线,而非线段）
（3）斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫
做这条直线和这个平面所成的角.
. .
知识剖析 求一条直线与平面所成的角，可先过直线上一点作平面的垂线，得到直线
在平面上的射影，从而得到直线与它在平面上的射影所成的角，即可求解.
2 直线与平面所成的角的范围
（1）一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 .
（2）一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 .
（3）与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角 的取值范围是
.
（4）直线与平面所成的角 的取值范围是 .
学思用·典例详解
例4-5 [教材改编P152例4]在正方体 中，
（1）直线与平面 所成的角的大小为_____；
【解析】由线面角的定义知，为与平面 所成的角，易得
.
（2）直线与平面 所成的角的大小为_____；
图8.6.1-7
【解析】如图8.6.1-7，连接，设，连接 ,则
易证平面 ，
在平面上的射影为 ，
与平面所成的角为 .
， ，
.
（3）直线与平面 所成的角的大小为_____．
【解析】在正方体中，易证得， ，又
, 平面， 平面 ,
平面，即与平面所成的角的大小为 .
知识点5 直线与平面垂直的性质定理
1 直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行. ， .
该定理可简记为“若线面垂直，则线线平行”. 2 性质定理的作用
（1）由线面垂直证明线线平行.
（2）构造平行线.
（3）由线面垂直的性质定理得到的推论：
①如果平面外的一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么这条直线平行于这个
平面；
②如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和平行于这个平面的直线垂直.
学思用·典例详解
例5-6 如图8.6.1-8，在正方体中，是上一点，是 上一
点， 平面 .
图8.6.1-8
求证： .
【解析】因为,，,且 平面, 平面
,所以 平面.又 平面，所以 .
释疑惑 重难拓展
知识点6 点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点
在平面上的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，
可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借
助以下一些常见结论进行确定.
1.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射
影在这个角的平分线上.
2.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹
角相等，那么该斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.
3.对于三棱锥 ，有下列结论：
（1）若,则点在平面上的射影为 的外心.
（2）若点到，，边的距离相等，且点的射影在 的内部，则
点在平面上的射影为 的内心.
（3）若,,则点在平面上的射影为 的垂心.
这些结论为确定点、斜线在平面上射影的位置提供了重要的方法和依据，为分
析问题时的广泛联想提供了有力的支持.
学思用·典例详解
例6-7 [教材改编P152 T4](2025·江西省乐平市第三中学月考)已知是 所在平
面外一点，，，两两垂直，且在所在平面上的射影在 内，
则一定是 的( )
C
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
图8.6.1-9
【解析】如图8.6.1-9，连接,则 平面，连接 并延
长，交于点，连接并延长，交于点 .
因为，， ,
且 平面, 平面,故 平面 ，故
.因为 平面， 平面,故 ，
又,且 平面, 平面,故 平面
，又 平面，所以，即 .
同理.故是 的垂心．
说明
这是垂心的另一种体现形式，可与左栏结论(3)相互印证.
知识点7 三垂线定理及其逆定理
1 三垂线定理
图8.6.1-4
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面上的
射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
如图8.6.1-4，设为平面 的一条斜线， ，
为在平面 上的射影， ，上述定理即若 ,
则 .
证明： , ,.又,,且 平面 ,
平面, 平面.又 平面, .
2 三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平
面上的射影垂直.如图8.6.1-4，上述定理即若，则 .
证明： , ,.又,,且 平面 ,
平面, 平面.又 平面, .
知识剖析 1.三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据,三垂线定理跨越了
线面垂直,直接由线线垂直到线线垂直,为证明线线垂直提供了一条捷径，解选择、填
空题时可直接使用.
2.用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图
形,创设应用定理的环境.证明过程分以下三步：（1）确定射影面；（2）找出射影；
（3）找垂直关系.（一定要找射影面内的一条直线与射影或者与斜线的垂直关系）
学思用·典例详解
例7-8 如图8.6.1-10，在正方体中，为底面的中心， 为
的中点，求证： 平面 .
图8.6.1-10
【解析】 如图8.6.1-11，取,分别为和的中点，连接,,, .
由正方体的性质知为在平面上的射影，为在平面 上的射影.
（【依据】 平面, 平面 ）
, .（三垂线定理的应用）
, .
又, 平面, 平面 ,
平面 .
图8.6.1-11
如图8.6.1-12，连接,,, .设正方体的棱长为2，则
，
,
,
， .
又，，， 平面, 平面 ,
平面 .
又 平面， .
又， 平面， 平面， 平面 .
图8.6.1-12
解题课丨关键能力构建
题型1 异面直线所成的角
例9 (2025·山东省泰安第一中学期中)在正方体中，， 分别是
，的中点，则异面直线与 所成的角的大小为_____．
图8.6.1-13
【解析】 如图8.6.1-13所示，连接， ，并设它们
相交于点，取的中点，连接，， ，则
， （利用中位线作平行线，将两条异面直线
平移到一个三角形中，找异面直线所成的角），
为异面直线与 所成的角（或其补角）．
（异面直线所成角 的范围是 ）
，为的中点， .
故异面直线与所成的角为 .
. .
. .
图8.6.1-14
如图8.6.1-14所示，连接，取的中点，连接 ，
则, ,
为异面直线与 所成的角（或其补角）．
连接，设 ，
则, ,
取的中点，连接，，则 ，
，
， .
故异面直线与所成的角为 .
如图8.6.1-15，连接，分别取 ,
的中点，，连接 .
,分别是, 的中点，
,又, .
连接,,,,则 , ,
四边形 为平行四边形，
与必相交，设交点为 ,
则为异面直线与 所成的角（或其补角）.
设,则, ,
,
, .
故异面直线与所成的角为 .
如图8.6.1-16，在正方体 的右侧补上一个与其大小相等的
正方体，连接，,易得 ，
就是异面直线与 所成的角（或其补角）.
设,则,,, ，
.
故异面直线与所成的角为 .
连接,则在平面上的射影为， 平面 ，
利用正方形的性质得，由三垂线定理得， 异面直线与
所成的角为 .（在解答题中使用三垂线定理需写出证明过程）
教材深挖 三余弦定理（最小角定理）
（深挖教材第151页第2个【？】）
如图8.6.1-17，设点为平面 外的一点，过点 的
斜线在平面 上的射影为，为平面 上的任
意直线，那么图中所示的 , , 三角的余弦值关
系为： .其中， 为斜线角，
为射影角， 为线面角.由 知，
，即 ，斜线与平面所成的角是斜线与平面内所有直线所成角中
最小的，故三余弦定理又称最小角定理.
上述例题也可以用三余弦定理解决.
如图8.6.1-18，连接,,设它们相交于点，和相交于点, 在平面
上的射影为， 平面, 线面角 为 ，由正方体
的性质易知.， 射影角 为，且 ,
.
与所成的角就是斜线角 （用三余弦定理不需要在图中找到角 ，直接计算
即可得 的余弦值），根据三余弦定
理得 ，即,又 ， ，
异面直线与所成的角为 .
. .
求两条异面直线所成的角的一般步骤
第一步：构造 根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四
边形的性质）作出异面直线所成的角.
第二步：计算 在构造的三角形中利用解三角形的有关知识（如勾股定理、余弦
定理等）求角度或其余弦值.
第三步：得结 论 若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若
求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·天津市建华中学质检)已知直三棱柱中， ，
,，则异面直线与 所成角的余弦值为( )
C
A. B. C. D.
图D 8.6.1-1
【解析】如图D 8.6.1-1所示，将直三棱柱 补成直
四棱柱 ，其中四棱柱的底面为平行四边形,连
接，，则，所以 （或其补角）为异面
直线与 所成的角.（当所求异面直线的夹角无法通过直观
观察直接判断时，可通过计算对结果进行取舍）
因为 ，，，所以 ,
.
在中， ，，，由余弦定理得, ,
则，所以 ,
所以 .
. .
. .
. .
2.(全国Ⅱ卷)在长方体中,,,则异面直线 与
所成角的余弦值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 如图D 8.6.，连接，交于点，取的中点 ，连接
，，易知为的中点，所以，则 （或其补角）为异面直
线与 所成的角.
图D 8.6.1-2
因为在长方体中，， ，
，
，
，
所以， .
在中， ，
即异面直线与所成角的余弦值为 .
如图D 8.6.,补上一个相同的长方体，连接, ，
则易知，则（或其补角）为异面直线与 所成的角.
因为在长方体中，， ，
所以， ，
.
在中，
，
即异面直线与所成角的余弦值为 .
图D 8.6.1-3
题型2 线面垂直判定定理的应用
1 平面图形垂直关系的空间转化
要抓住基本的平面图形的几何性质来实现垂直的探索，第一类是图形本身具备的垂
直性质，如矩形、正方形、直角三角形、直角梯形等，第二类是由图形的伴随性质
提供的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线等.
例10 (2025·江苏省南京市六校联合体调研)如图8.6.1-19，在直三棱柱
中，已知，.设的中点为， .
图8.6.1-19
求证：
（1）平面 ;
【解析】在直三棱柱中，可知四边形为矩形，因为，所以 为
的中点，
又为的中点,所以 .
因为 平面, 平面 ,
所以平面 .
（2） .
【解析】因为棱柱 是直三棱柱，
所以 平面，所以 .
又,,且 平面, 平面 ,
所以 平面,所以 .
因为,所以矩形是正方形，因此 .
因为,且 平面, 平面 ,
所以 平面 .
又 平面,所以 .
例11 如图8.6.1-20，三棱柱 中，
侧面为菱形，的中点为 ，且
平面.证明： .
【解析】如图8.6.1-21，连接,则为
与的交点.因为侧面为菱形，所以 .
因为 平面， 平面 ,
所以 .
又， 平面, 平面,所以 平面 .
又 平面，所以 .
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·安徽省安庆市重点中学联考)如图8.6.1-22,三棱柱中, ,
, .证明: .
图8.6.1-22
【答案】取的中点,连接,, ,如图D 8.6.1-4所示.
图D 8.6.1-4
因为, ,
所以是正三角形,所以 .
因为,所以 ,
又, 平面, 平面,所以 平面 ,
（线面垂直的判定定理）
又 平面,所以 .（线面垂直的性质）
图8.6.1-23
4.(新高考全国Ⅰ卷节选)如图，四棱锥 的底面
为正方形， 底面.设平面与平面的交线为 .证
明： 平面 .
【答案】因为 底面，所以 .
又底面为正方形，所以.因为 ,且
平面, 平面,所以 平面 .
因为， 平面, 平面，所以 平面
,又平面 平面,所以 .
因此 平面 .
2 基于平面图形本身的垂直关系
已知条件中有一个线面垂直，这个条件往往可以从空间角度来提供一个线线垂直，
而考题中往往还会提供一个本身具备直角的平面图形（如直角三角形、矩形、直角
梯形等）.
图8.6.1-24
例12 [教材改编P159 T3]如图8.6.1-24，已知 底面 ，其
中 .求证： 平面 .
说明
四个面都为直角三角形的三棱锥又被称为鳖臑，它是高考中的热
点模型，本章章末将会以专题的形式进行详细讲解.
【解析】 底面， 平面 ，
.
， .
又，且 平面， 平面， 平面 .
3 与平面图形数量关系相关的垂直关系
已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从
这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．
图8.6.1-25
例13 如图8.6.1-25，在四面体中，已知， ，
是线段上一点，，点在线段 上，且
．求证： 平面 ．
【解析】在中，,, ，
,
为直角三角形,且 ，
又, （三角形的面积相等）,
.
又,， 平面, 平面, 平面 ．
. .
题型3 直线与平面所成的角
例14 (2025·广东省中山市质检)如图8.6.1-26，已知在平面 内,是平面 的
斜线,且 ,,.则与平面 所成的角
的大小为_____.
图8.6.1-26
【解析】 如图8.6.1-27，连接, .
图8.6.1-27
, ,
,为正三角形， ，
又， 为等腰直角三角形.
, ,
为等腰直角三角形.
取的中点，连接,，则, ,
,, ,
又, 平面 , 平面 ，
平面 ,
为与平面 所成的角.
在中， ,
, ,（【注意】线面角 的范围是 ）
即与平面 所成的角为 .
（三余弦定理） 取的中点，连接, .
由方法1可知 平面 .
. .
,, ,
为等腰直角三角形.
， .
，
.
设所求线面角为 ，根据三余弦定理得， ，即
，,又 ， .
求直线与平面所成的角的一般步骤
第一 步：作 在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.
第二 步：证 证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平
面所成的角的定义.
第三 步：求 一般借助三角形的相关知识求角.
【学会了吗丨变式题】
5.如图8.6.1-28，在直三棱柱中,,,, ,
是线段的中点，是侧棱上的一点，若,则与底面 所成的角
的正切值为__.
图8.6.1-28
图D 8.6.1-5
【解析】如图D 8.6.1-5,取的中点,连接,,则易证
平面, .
又，, 平面, 平面 ,
平面, .
在矩形中，易得 ,
, .
平面,是与底面 所成的角，
在中， .
故与底面所成的角的正切值为 .
6.(新高考全国Ⅰ卷)日晷（如图8.6.1-29所示）是中国古代用来测定时间的仪器，利用
与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为 ）,
地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点
且与垂直的平面.在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 处的
纬度为北纬 ，则晷针与点 处的水平面所成角为( )
B
图8.6.1-29
A. B. C. D.
【解析】过球心、点以及晷针的轴截面如图D 8.6.1-6所示，其中 为晷面与轴
截面的交线，为晷针所在直线，为点 处的水平面与轴截面的交线，则
,， ， ,所以
.故选B.
题型4 直线与平面垂直的性质定理的应用
例15 在正方体中，点，分别在,上，, ,
求证： ．
【解析】如图8.6.1-30所示,连接，,, .
图8.6.1-30
，， ．
又，, 平面, 平面 ,
平面 ①．
平面， 平面 ，
．
四边形为正方形， ，
又， 平面, 平面, 平面
，
又 平面， ．
同理 .
又， 平面, 平面, 平面 ②．
由①②可知 ．
直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的又一种方法，从而我们可以
利用中位线定理、平行四边形的性质、基本事实4、线面平行的性质定理及线面垂直
的性质定理证明线线平行.但无论怎样，基本思路还是通过以平面或直线为桥梁，在
“平行”与“垂直”之间进行相互转化.
题型5 求点到平面的距离
例16 已知在中，,.是 所在平面外一点，
,,点是的中点，则点到平面 的距离为_ __.
图8.6.1-31
【解析】 （直接法） 如图8.6.1-31，连接, ，
,,, .分别
取,的中点,,连接,，,则, .
, .
, 平面, 平面 ,
平面 ,
平面, .
易证, .
又是的中点， .
, 平面 ,
平面, 平面 .
从而的长就是点到平面 的距离.
是 的中点，
在中， ,（直角三角形斜边对应的中线长度是斜边长度的一
半）
,
，
即点到平面的距离为 .
. .
图8.6.1-32
（转化法） 如图8.6.1-32，过点作 的平行线，过点
作的平行线，两直线交于点 .
,, 四边形 为正方形.
连接.易知,又,, 平面 ,
平面 ,
平面， .
易知，又,, 平面,
平面, 平面 .
平面, .
, 平面, 平面 ,
平面 .
的长即点到平面 的距离.
在中，易得 .
点为 的中点,
点到平面的距离为 .
图8.6.1-33
（等体积法） 如图8.6.1-33，取的中点 ，连接
， .
在中，, ,
,
故 为等腰直角三角形，
,，在中，, ,
，又, 平面, 平面, 平面 .
在中，，，， 由余弦定理
的推论得 ,
,
,
.
设点到平面的距离为，则 ，
.
点为 的中点，
点到平面的距离为 .
求点到平面的距离的方法
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的
距离.求点到平面的距离一般采用以下几种方法.
一是直接作出点到平面的垂线，然后计算.
二是当所求的点面距不好直接作出来时,可以转化为易于求解的点面距，常用方法有:
①平行转化法:可以通过线面平行或面面平行把所求的点面距转化为其他的点到这个
面的距离；
②等分点转化法:可以通过比例关系把所求的点面距转化为其他点到这个面的距离.
三是采用等体积法.
【学会了吗丨变式题】
7.(全国Ⅰ卷)如图8.6.1-34，直四棱柱的底面是菱形， ，
， ，，，分别是,， 的中点.
图8.6.1-34
（1）证明：平面 ；
图D 8.6.1-7
【答案】如图D 8.6.1-7，连接,.因为,分别为, 的
中点,所以，且 .
又为的中点，所以 .
由题设知,,所以四边形 是平行四边形，
所以,,
故，，因此四边形 为平行四边形，
所以 .
又 平面， 平面，所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
【答案】 如图D 8.6.1-7，过作于 .
由已知可得，，, 平面, 平面
,所以 平面 ，
又 平面,所以 .
又, 平面, 平面,从而 平面 ，
故的长即到平面 的距离.
由已知可得,,所以 ，
故 .（等面积法求距离）
从而点到平面的距离为 .
由，,可得,由,,可得 ,
由已知易得,又由，，可得，则 ,
所以 .
, .
设点到平面的距离为,则由可得， ,
解得 ,
即点到平面的距离为 .
. .
8.(2025·广东省广州市第五中学段考)已知为矩形所在平面外一点， 平
面,为的中点，,4，，则点到平面 的距离为___.
【解析】如图D 8.6.1-8，在平面内作,垂足为，连接 .
图D 8.6.1-8
平面, 平面 ,
,又, 平面, 平面 ,
平面 .
连接，则 .
在中， .
在中， .
为的中点, 点与点到平面 的距离相等.
设点到平面的距离为 .
,
, ,
由,得， .
故点到平面的距离为 .
新考法 数学文化
图8.6.1-35
例17 九章算术 堑堵&阳马&鳖臑[多选题](2025·上海市同济大
学第二附属中学期中)《九章算术》中，将底面为直角三角形
且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条
侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，将四个面均为直角三角
形的四面体称为“鳖臑”．如图8.6.1-35，在堑堵
中，，且 ．下列说法正确的是
( )
ABD
A.四棱锥 为“阳马”
B.四面体 为“鳖臑”
C.四棱锥体积的最大值为
D.过点分别作于点，于点，则
【解析】A选项，在堑堵中，，侧棱 平面 ，又
平面,，又， 平面, 平面
, 平面 ，
四棱锥 为“阳马”，故A正确.
B选项，由 平面,且 平面,可得 ，又
，且， 平面, 平面 ，
平面，，则 为直角三角形，
又由 平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得 为
直角三角形， 为直角三角形，
四面体 为“鳖臑”，故B正确.
C选项，在中，，即 ，当且仅当
时取等号，
,
四棱锥体积的最大值为 ,故C错误.
D选项， 平面， 平面 ，
，又，且， 平面, 平面 ,
平面 ，
，又，且， 平面, 平面 ,
平面，则 ，故D正确.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
直线与平面垂直的判定与性质、异面直线所成的角、直线与平面所成的角、点到平
面的距离均是高考常考的内容,多以常见的几何体为载体,将推理、论证与计算综合在
一起考查，题型多样,考法灵活,可能出现在选择题、填空题中,也可能是解答题中的
分支问题,难度中等.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出线面的垂直关系），逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用），数学运算（线线角、线面角、点到平面的距离的
求解）.
考向1 异面直线所成的角
例18 (2025·上海春季)已知是一个圆锥的顶点，母线 ，该圆锥的底面半径是
1，，均在圆锥的底面上，则异面直线与 所成角的最小值为__.
图8.6.1-36
【解析】 如图8.6-1-36，设点在底面的射影为，则 为底面圆的圆心，连
接,，则.因为点, 为圆锥底面上两点，所以由最小角定理可知，当直
线与直线在底面上的射影平行时，异面直线与所成的角 最小，
，在中，，所以，即异面直线
与所成角的最小值为 .
由题意易知，圆锥的轴截面是正三角形，所以母线 与圆锥的底面所成角
的大小为，又， 均在圆锥的底面上，所以由线面角的定义及最小角定理可知，
异面直线与所成角的最小值为 .
名师提醒 （1）最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，是
这条斜线和平面上任意直线所成的角中最小的角.
（2）圆锥相关结论：若圆锥的轴截面是正三角形，则它的母线与底面所成角的大小
是 .
例19 (2021·全国乙卷)在正方体中，为的中点，则直线 与
所成的角为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 如图8.6.1-37所示，连接,，易知 ，
图8.6.1-37
所以异面直线与所成的角为 .
（借助“平移”，可将异面直线所成角等价转化为相交直线的夹角）
设正方体的棱长为1，
则易知,, .
所以，所以，即 .
所以，所以 .
（【另解】已知三边长，也可用余弦定理的推论求角）
如图8.6.1-38所示，连接,,,，易知 ，
所以异面直线与所成的角为 .
根据为正方形的对角线的中点，易知,, 三点共线.
由正方体易知 ，
所以为等边三角形，所以 .
又为 的中点，
所以 .（结合图形，将所求角转化
为等边三角形的某个内角的一半）
图8.6.1-38
命题 探源 本题的出题意图是让同学们运用立体几何知识，求解异面直线所成的角，考 查了同学们的空间想象能力、运算求解能力.一般地，求解异面直线所成角的 关键在于充分运用数形结合思想，借助直线与直线平行，将求异面直线所成 的角转化为求解三角形的某个内角的大小，再灵活运用解三角形的知识进行 计算.本题可以视作教材第147页【例1】的拓展. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 通过解三角形实现对数学运算素养的考查.
直观想象 通过作辅助线、平移，实现对直观想象素养的考查.
考向2 直线与平面所成的角
例20 (2025·北京)如图8.6.1-39，在四棱锥中，与 均为等腰直
角三角形， ， ，为 的中点．
图8.6.1-39
（1）若，分别为，的中点，求证：平面 ；
【解析】取的中点，的中点，连接，，,则, ,
, ,
与为等腰直角三角形, ， ,不妨设
，则 .
,，为 中点，
， ，
, ,，， ,
四边形为平行四边形， ，
平面， 平面，平面 .
（2）若 平面，，求直线与平面 所成角的正弦值．
【解析】延长，，相交于点，则与平面所成的角就是与平面
所成的角.
平面， 平面，，又， ，
平面，又 平面，，即 是直角三角形.
不妨设，则，，.设点到平面
的距离为，则， ，
，得，设直线与平面 所成的角
为 ，则 .
综上所述，直线与平面所成角的正弦值为 .
命题 探源 本题可视为取材于教材第152页【例4】，准确掌握直线与平面所成角的定义
是求解的关键，即直线与平面所成的角就是直线与直线在平面上的射影所成
的角，而找直线与直线在平面上的射影所成角的关键又在于找到平面的垂线.
变式探源 (2024·新课标全国Ⅱ卷)已知正三棱台的体积为， ，
2，则与平面 所成角的正切值为( )
B
A. B.1 C.2 D.3
图8.6.1-40
【解析】 如图8.6.1-40,分别取,的中点, ，
连接,,,则, ，
可知 ,
，
设正三棱台的高为 ，
则 ，
解得 .
过,分别作底面的垂线，垂足分别为,，则，在上.设 ，
则 ，
，
可得 ，
结合四边形为等腰梯形,可得 ,
即，解得 ，
所以与平面所成角的正切值为 .
图8.6.1-41
将正三棱台补成正三棱锥 ，
如图8.6.1-41,
则与平面所成的角即为与平面 所成的角.
因为，则 ，
可知，则 ，
设正三棱锥的高为 ，则
，解得 .
取底面的中心为，连接,,则 底面，且，
的长是对应中线长的
所以与平面所成角的正切值为 .
. .
考向3 线线垂直与线面垂直的相关问题
1 以垂直为背景的判断与证明问题
例21 ［多选题］(2025· 全国一卷)在正三棱柱中，为 的中点，则
( )
BD
A. B. 平面
C. D.平面
图8.6.1-42
【解析】如图8.6.1-42，由三棱柱的性质可知， 平面 ，
则,假设,因为,, 平
面,所以 平面,所以,与 为正三
角形矛盾，所以与 不垂直.故A错误.
因为三棱柱是正三棱柱，所以 平面 ，则
，因为为的中点，,所以 ，又
，, 平面，所以 平面 ，
又，所以 平面 故B正确.
，与相交，所以与 异面.故C错误.
， 平面， 平面，所以平面 故D正确.
故选 .
例22 (2023·全国甲卷节选) 如图8.6.1-43，在三棱柱中， 平面
， ，，到平面的距离为1.证明： .
图8.6.1-43
图8.6.1-44
【解析】第一步：作辅助线.
如图8.6.1-44，过作，垂足为 ，
第二步：根据已知条件由直线与平面垂直的性质得到直线与
直线垂直.
平面， 平面 ，
，
第三步：根据直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，进而得到直线与直
线垂直.
又 ， ，
平面, 平面, ,
平面 ，
平面, ，
第四步：根据直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.
又 平面, 平面，且 ，
平面 ，
到平面的距离为1， .
第五步：根据垂直关系以及三棱柱的性质得结论.
平面, 平面,,即 是直角三角形，
又,， ,
为的中点， ，
又在三棱柱中， ，
.
素养探源 素养 考查途径
直观想象 通过题图中的线面位置关系以及由图想图来进行考查.
逻辑推理 通过线面垂直的判定定理以及线面平行的判定定理来进行
考查.
变式探源
1.(2023· 新课标Ⅱ卷节选)如图8.6.1-45，三棱锥中， ,
，为的中点.证明： .
图8.6.1-45
图8.6.1-46
【解析】如图8.6.1-46，连接,,因为,且为 的
中点,所以 .
因为 ,， ,
所以 ，
可得,故 .
因为, 平面, 平面 ,
所以 平面 .
又 平面,所以 .
2.(2022·全国甲卷节选)如图8.6.1-47,在四棱锥中， 底面 ,
，，，.证明: .
图8.6.1-47
【解析】如图8.6.1-48所示，取中点为，连接,,则 .
图8.6.1-48
又 ,
所以四边形 为平行四边形.
（【知识回顾】四边形的一组对边平行且相等，则该四边形为平行四边形）
又 ，
所以四边形为菱形,所以 .
同理可得，四边形为菱形,所以，所以 .
因为 底面， 底面,所以 ，
又, 平面, 平面,所以 平面 .
因为 平面,所以 .
2 与垂直有关的求体积、面积问题
图8.6.1-49
例23 (2024·北京改编)如图8.6.1-49，在四棱锥
中，底面是边长为4的正方形， ,
,则该棱锥的体积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意知 为正三角形，因为
，所以 .（题眼）
. .
. .
图8.6.1-50
如图8.6.1-50，分别取,的中点,，连接,, ，
则,,，于是 ，
所以 .
（【归纳】利用勾股定理的逆定理证明线线垂直是常用的方法）
过点作，垂足为易知,， 平面, 平面
，且，所以 平面．又 平面 ，所以
．又， 平面, 平面， ，所以
平面，所以为四棱锥 的高.（【关键】通过线面垂直确定四
棱锥的高）
由 ，得
．所以该四棱锥的体积为
.
例24 (2023·全国甲卷)已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
， ，则 面积为( )
C
A. B. C. D.
图8.6.1-51
【解析】如图8.6.1-51，过点作 平面 ，垂足
为，取的中点,的中点,连接，， ,
, .
由，得,又, ,
平面, 平面,所以 平面 ,
又 平面,所以 .
在正方形中,,所以,,三点共线，所以 ,所以
,所以 .（题眼）
在 中，由余弦定理，
得 ，
所以 .
在中，由余弦定理的推论，得 ,所以
,
所以 .
. .
例25 (2023·全国甲卷)在三棱锥中， 是边长为2的等边三角形，
， ，则该棱锥的体积为( )
A
A.1 B. C.2 D.3
图8.6.1-52
【解析】如图8.6.1-52，取的中点，连接，.因为
是边长为2的等边三角形，，所以 ，
，所以.又 ，所以
，所以 ，
又， 平面, 平面，所以 平
面 ，所以
.
图8.6.1-53
例26 [多选题](2022·新高考全国Ⅱ卷)如图8.6.1-53，四边形
为正方形， 平面,, .记
三棱锥,,的体积分别为,, ，则
( )
CD
A. B.
C. D.
图8.6.1-54
【解析】如图8.6.1-54，连接交于点，连接, ．设
，则， ．因为
平面，，所以 平面 ，
所以 ，
．
因为 平面， 平面，所以，又 ，且
， 平面, 平面，所以 平面 ．因为
, 平面，所以,．易知 ，
，， ，
，
所以，所以，又， 平面, 平
面，所以 平面 ，
所以 ，
所以，，， ，所以选项A，B不正确，选项C，
D正确，故选 ．
素养探源 素养 考查途径
逻辑推理 利用垂直关系找出三棱锥的高.
数学运算 三棱锥体积的求解，以及等式的判断.
变式探源 (2021·全国甲卷)如图8.6.1-55，已知直三棱柱 中,侧面
为正方形，,,分别为和的中点， .
图8.6.1-55
（1）求三棱锥 的体积；
【解析】如图8.6.1-56，取的中点，连接 ，
图8.6.1-56
由已知可得，，，
， ，由得 ，
又， ,
平面, 平面,所以 平面 ，
故
（计算三棱锥的体积要注意善用等体积法）.
. .
（2）已知为棱上的点，证明: .
【解析】连接,,由（1）知，所以 平面 .
在正方形中，因为，分别是， 的中点，所以由平面几何知识可得
，
又，, 平面, 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面,所以 .
考向4 求点到平面的距离
例27 (2024·全国甲卷)如图8.6.1-57，已知， ，
，，，，为 的中点.
图8.6.1-57
（1）证明:平面 ;
【解析】由题意得，，且,所以四边形 是平行四边形，所以
.
又 平面, 平面,所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
图8.6.1-58
【解析】如图8.6.1-58，取的中点,连接, ，因为
，且，所以四边形 是平行四边形，所
以，又 ，
故是等腰三角形，同理 是等腰三角形，
可得,, ,
,
又，所以，故 .
又，, 平面, 平面 ，
所以 平面 .
易知 .
在中， ，
所以， .
设点到平面的距离为,由 ,（等体积法求距离）
得，得 ,
故点到平面的距离为 .
. .
高考新题型专练
1.[多选题](2022·新高考全国Ⅰ卷)已知正方体 ,则( )
ABD
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为
D.直线与平面所成的角为
图D 8.6.1-9
【解析】如图D 8.6.1-9，连接，则 ，在正方形
中，，所以，所以直线 与
所成的角为 ．故A正确.
在正方体中， 平面，又
平面，所以，连接,则 ，因为
， 平面， 平面 ，
所以 平面，又 平面 ，所以
，所以直线与所成的角为 ．故B正确.
连接，交于点，则易得 平面，连接,因为 平面
，所以，为直线与平面 所成的角（准确作出线
面角是求解线面角大小的前提）．设正方体的棱长为，则易得 ,
，所以在中，,所以 ．故C错误.
因为 平面，所以为直线与平面 所成的角，易得
.故D正确．
. .
图8.6.1-59
2.新考法 结构不良如图8.6. ，平面四边形
中， ， ，
，将沿边折起如图8.6. ，
使________，点，分别为， 中点．在题目
横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.
;为四面体 外接球的直径;
平面 ．
（1）证明：直线平面 .
【答案】，分别为，中点， ，
又 平面, 平面, 直线平面 .
（2）判断直线与平面 的位置关系，并说明理由．
【答案】直线 平面 ,理由如下.
选，在中，，，则 ，
又，，则 ，
又，， 平面, 平面, 平面 ，
，又，, 平面, 平面,
平面 .
又， 平面 .
选为四面体 外接球的直径，
则 ， .
又，， 平面, 平面 ,
平面 .
， 平面 .
选 平面， 平面, ，
又，， 平面, 平面, 平面 ，
， 平面 .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·湖北省武汉市第四十九中学月考)如图8.6.1-1,如果 垂直于
菱形所在平面,那么与 的位置关系是( )
C
A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
【解析】连接,因为是菱形,所以 .
又 平面,所以 .
因为, 平面, 平面,所以 平面 ,
又 平面,所以 .
显然直线与直线不共面,因此直线与 的位置关系是垂直但不相交.
图8.6.1-2
2.［教材改编P164 T19］如图8.6.1-2，在三棱柱
中，,.若， ，则
异面直线与 所成的角为( )
C
A. B. C. D.
【解析】依题意，得,故异面直线与 所成的角即
与所成的角.连接,在 中，
,故 ,即异面直线与
所成的角为 .
图8.6.1-3
3.如图8.6.1-3，在正方体中，直线 与平
面 所成角的余弦值是( )
D
A. B. C. D.
【解析】连接,易知 平面，所以直线 与平
面所成的角为,令,则 ，所以
，所以 .
图8.6.1-4
4.(2025· 北师大附中三模)某建筑物的部分建筑结构可以抽象为
三棱锥，如图8.6.1-4， ，底面
是等腰直角三角形，且，顶点到底面 的
距离为6，则点到平面 的距离为( )
C
A. B. C. D.
图D 8.6.1-1
【解析】如图D 8.6.1-1所示，取中点为，连接, ，
因为，所以 ，
又因为是等腰直角三角形，且，所以 ,
，
因为，， 是公共边，所以
，
所以 ,
所以,，又， 平面 ，
平面，所以 平面 .
所以为点到底面的距离，即 .
在中，根据勾股定理得， .
因为，，， 平面， 平面 ，所以
平面 ，
所以为点到平面 的距离，
在等腰直角三角形中， .
（在得出 平面及后，可利用等体积法求点到平面 的距离
,则,所以 .由
得，,解得 ）
5.[多选题](2024·安徽省皖南名校期中)在以下四个正方体中，直线与平面 垂
直的是( )
BD
A. B. C. D.
【解析】对于A，，，与不垂直， 平面，
直线与平面 不垂直，故A错误；
对于B，易知，，， 平面, 平面 ,
直线 平面 ，故B正确；
对于C，易知与所成角为， 直线与平面 不垂直，故C错误；
图D 8.6.1-2
对于D，如图D ，连接,， ，
， 平面, 平面, 平面
， 平面，，同理得 ，
， 平面, 平面, 平面
，故D正确．故选 ．
6.［多选题］(2025·江苏省启东中学月考)在正四棱锥中，侧棱 与底面
边长相等，,分别是和 的中点，则( )
BC
A. B.平面
C. D. 平面
【解析】如图D 8.6.1-3，取中点，连接, ，
图D 8.6.1-3
因为,分别是和的中点，四棱锥 是正四棱锥，
所以且，即四边形 是平行四边形.
对于A，因为,，所以与 不平行，故A错误；
对于B，因为, 平面, 平面，所以平面 ，故B
正确；
对于C，因为，是中点，所以，又因为 ，所以
，故C正确；
对于D，连接与交于点，连接 ，
因为四棱锥是正四棱锥，所以 平面， ，
因为 平面，所以 ，
则由，， 平面, 平面, ，可得
平面 ，
又因为,，所以与 为异面直线，
如果 平面，则 ，与题意矛盾，故D错误.
故选 .
7.新考法 开放创新 [教材改编P164 T19]如图8.6.1-5，在三棱柱 中，
已知 平面，，当底面 满足条件______________________
_______________时，有 （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必
考虑所有可能的情况）
（答案不唯一）
图8.6.1-5
【解析】当底面满足条件时，有 ．理由如下.
连接. 平面， ，
四边形是正方形， .
， ，
又，， 平面， 平面 ，
平面 .
， 平面 ，
平面， ，
平面， 平面，， 平面 ，故
.
当底面满足条件时，有 ．
图8.6.1-6
8.如图8.6.1-6所示，在三棱锥中， 平面
，，为的中点，垂直平分，且
分别交，于点, .
（1）证明：平面 ；
【答案】垂直平分， 点为 的中点.
又点为的中点，为的中位线， .
平面, 平面，平面 .
（2）证明： .
【答案】如图D 8.6.1-4，连接 .
图D 8.6.1-4
，点为的中点， .
垂直平分， ，
又， 平面, 平面 ，
平面 .
平面 ，
.
平面, 平面， .
又， 平面, 平面， 平面 .
平面， .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：35分钟
9.(2024·全国甲卷)设 , 为两个平面,,为两条直线,且 ,下述四个命题:
①若,则 或 ； ②若,则 或 ；
③若 且 ,则； ④若与 , 所成的角相等,则 .
其中所有真命题的编号是( )
A
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
【解析】，则 ， ，对于①，若,则 或 或
且 ，都能满足 或 ,①正确；
对于②，若，则可能 或与 相交，②错误；
对于③，若 且 ，则 ，③正确；
对于④，与所成角可以为, 内的任意角，④错误.故选A.
10.在四棱锥中， 底面，底面为正方形，且 ，
过点作的垂面分别交，，于点，，，则四边形 的面积为
( )
B
A. B. C. D.
图D 8.6.1-5
【解析】根据题目中的条件可将四棱锥 补成正方体
（将四棱锥 补全成正方体，可以更直观
地发现各棱长的等量关系与位置关系），如图D 8.6.1-5所示，
因为 平面， 平面,所以 ，
又，， 平面, 平面 ,所
以 平面 ，
又 平面,所以，同理 ，
因为， 平面, 平面,所以
平面 ，
所以为的中点，为的中点， .
. .
. .
连接,易知， ，
又为的中点，易知,且 ,
所以为正三角形 的中心.
图D 8.6.1-6
单独来看，连接,则 ,如图D 8.6.1-6，
,
,
所以 ，
.
所以 .故选B.
11.[多选题]在正三棱柱中，,点满足 ，
其中, ,则( )
BD
A.当时， 的周长为定值
B.当时，三棱锥 的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点，使得
D.当时，有且仅有一个点，使得 平面
图D 8.6.1-7
【解析】 .
对于选项A，当时，点在棱 上运动，如图D 8.6.1-7所
示，此时 的周长为
，不是定值，故A错误.
图D 8.6.1-8
对于选项B，当时，点在棱 上运动，如图D 8.6.1-8所
对于选项C，取的中点，的中点，连接 ，则当
时，点在线段上运动，假设 ,则
,即 ，解得
或，所以点与点或重合时， ，故C错误.
由多选题特征，排除A,C，故选 .
对于选项D,易知四边形为正方形，所以，设与 交
于点，连接，要使 平面，需，所以点只能是棱 的中
点，故选项D正确.综上，选 .
示，则 ，为定值，故B正确.
图8.6.1-7
12.[教材改编P164 T15][多选题](2025·山东省枣庄市质检)如图
8.6.1-7，正方形的边长为1，，分别是， 的
中点，交于，现沿，及 把这个正方形折成一个四
面体，使，，三点重合，重合后的点记为 ，则在四面体
中必有( )
ABD
A. 平面
B.设线段的中点为，则平面
C.四面体的体积为
D.四面体的外接球的表面积为
【解析】 在正方形中，, ,
折成四面体后，，，， 平面,
平面 ,
平面 ，故A正确；
由题意可知是的中点，是线段的中点， ，
又 平面， 平面，平面 ，故B正确；
，， ,
又 平面，， ,故C错误；
，，两两垂直，且， ，
三棱锥的外接球可看作共顶点的一组棱长分别为， ，1的长方体的外接
球，故外接球的直径, ,
外接球的表面积为，故D正确．故选 ．
13.(2025·黑龙江省哈尔滨市第六中学模拟)已知四棱柱 中，底面
是边长为2的菱形且， 底面，，点 是四棱柱
表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点 的轨迹
长度为_ _____.
【解析】，直线与所成的角为 ，
直线与所成的角为 ，
点的轨迹是以为轴（其中为顶点），母线与轴所成角为 的圆锥的侧面与四
棱柱 的表面的交线．
图D 8.6.1-9
如图D 8.6.1-9，在线段和上分别取点, ，使得
，连接, ，
在四棱柱 中，
底面 ，
平面 ，
, 平面 ，
, ，
，故
，
点在侧面与侧面上的运动轨迹为线段和 ，且
.
当在上底面上运动时，其轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为 的圆弧，
故点在上底面上运动的轨迹长度为 ，
综上得，点的轨迹长度为 ．
图8.6.1-8
14.(2025·江苏省苏州市新草桥中学月考)如图8.6.1-8,在三棱
锥中,,, 为
的中点.
（1）证明: 平面 ；
【答案】因为,为的中点，所以 ,
且 .
图D 8.6.1-10
如图D 8.6.1-10所示，连接 .
因为,所以 为等腰直角三角形，且
, .
由知， .
由,,, 平面,
平面知, 平面 .
（2）若点在棱上,且,求点到平面 的距离.
【答案】作,垂足为 .
由（1）可得,又, 平面, 平面 ,所以
平面 .
故的长即为点到平面 的距离.
由题意可知,, .
过作于点 ，
则,,所以 ,
所以 .
所以点到平面的距离为 .
图8.6.1-9
15.如图8.6.1-9，菱形的对角线与交于点，点 ，
分别在，上,，交于点.将沿
折到 的位置.
（1）证明： ;
【答案】因为四边形为菱形，所以, .
又由得,故 .
由此得,，所以 .
（2）若，，，,求五棱锥 的体积.
【答案】由得 .
由，得 .
所以， .
于是，故 .
由（1）知，,又,， 平面, 平面
,所以 平面,因为 平面,所以 .
又,， 平面, 平面,所以 平面 .
又由 得 ,
所以五边形的面积 .
所以五棱锥的体积 .
16.新考法 结构不良 (2025·北京市延庆区期末)从，平面 这
两个条件中选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
如图8.6.1-10，在四棱锥中， 平面， ，
， ，____．
图8.6.1-10
（1）求证：四边形 是直角梯形；
图D 8.6.1-11
【答案】选择①.
如图D 8.6.1-11,连接 .
因为 平面， 平面，所以 ．
因为， ，
所以 ，
因为， ，
所以，所以 ．
因为，所以 ，
又，所以四边形 是直角梯形．
选择②．
如图D 8.6.1-11，连接 .
因为 平面， 平面，所以 ．
因为，，所以 ，
因为，，所以，所以．
因为平面， 平面，平面 平面 ，
所以，又，所以四边形 是直角梯形．
（2）求直线与平面 所成角的正弦值．
图D 8.6.1-12
【答案】选择①②相同.
如图D 8.6.1-12，延长到使，连接 ,则四边形
为矩形，将四棱锥 补成一个长方体
，
连接，，则与平面所成的角即与平面 所
成的角．
过作于，连接，由长方体的性质知， 平
面 ，
因为 平面，所以，又， 平面，
平面 ，
所以 平面，则即为直线与平面 所成的角．
在中， ，
可求得 ，
在中，可求得 ，
所以 .
故直线与平面所成角的正弦值为 .

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