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第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 二面角
1 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面（平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分
通常称为半平面）所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面
叫做二面角的面.
. .
2 二面角的表示
（1）棱为，面分别为 ， 的二面角记作二面角 ,如果棱记作 ，
那么这个二面角记作二面角 ,如图8.6.3-1.
图8.6.3-1
（2）若在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点, ,这个二面角可记作二
面角,如果棱记作,那么这个二面角记作二面角 ,如图8.6.3-1.
3 二面角的平面角
如图8.6.3-2，在二面角 的棱上任取一点,以点为垂足，在半平面
和 内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的 叫做二面角的
平面角.
图8.6.3-2
4 二面角大小的度量
（1）二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这
个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 ；当二面角的两
个半平面展开成一个平面时，规定二面角的大小是 .所以二面角的平面角 的
取值范围是 ． #2
. .
. .
知识剖析 二面角的平面角的内蕴
（1）二面角的大小是用平面角来衡量的，即用两条特殊的射线所成角来度量，
这是一种转化的思想方法.
（2）二面角的平面角的大小由二面角的两个半平面的位置唯一确定，与棱上点
的位置无关.（链接教材156页“？”）
（3）平面角的两边分别在二面角的两个半平面内，且两边都与二面角的棱垂直，
由这个角所确定的平面和二面角的棱垂直.#3.3
学思用·典例详解
【想一想丨问题质疑】
你能想明白为什么通过定义二面角的平面角来度量二面角吗？
提示 度量一个量时，必须考虑“存在性”与“唯一性”的问题，如果在二面角的棱上
任取一点，从这点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，虽然它们可以构成一
个平面角，但是这样的角的大小会由于所作的射线的位置不同而改变，因此不具有
“唯一性”.但如果所作射线与二面角的棱垂直，因为在一个平面内经过棱上一点只能
引棱的一条垂线，所以过棱上一点所作的角是唯一确定的.另外，由等角定理，可以
保证在棱上取不同点时所作角的大小相等.因此，这样的角不仅是存在的，而且是唯
一的，所以可以刻画二面角的大小.
图8.6.3-10
例1-1 如图8.6.3-10，在正方体中，, 交于
点，给出三个角,, ,其中能作为二面角
的平面角的是_________.
【解析】连接，由正方体的性质知, ,
,, 平面 ,
平面 .
, 平面 ,
, ,
是二面角 的平面角.
例1-2 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面
角．其中可能为钝角的有( )
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】异面直线所成的角 的范围为 ，直线和平面所成的角 的范
围为 ，二面角的平面角 的范围为 ，只有二面角的平
面角可能为钝角．
知识点2 面面垂直的定义及判定定理
1 平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互
相垂直（两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况）．平面 与 垂直，记作
.
. .
. .
2 两个平面互相垂直的画法
如图8.6.3-3，画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一
组边画成垂直.
图8.6.3-3
3 平面与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个 平面垂直.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 知识剖析（1）由该定理可知要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证
明线面垂直.
（2）两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找
出一个平面的垂面的依据.例如，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查
所砌的墙面是否和水平面垂直，依据的就是这个原理.（链接教材157页“观察”）
学思用·典例详解
图8.6.3-11
例2-3 ［教材改编P158例7］如图8.6.3-11（1）所示，
已知中，是斜边上的高.以 为折痕
将折起，使 为直角，如图8.6.3-11（2）
所示.求证：平面 平面,平面 平面
.
【解析】易知, ,
又 平面, 平面,且,所以 平面 .（证明面面
垂直，一般要先证线面垂直）
又 平面, 平面 ,
所以平面 平面,平面 平面 .
【想一想丨问题质疑】
过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面吗
提示 由例 可知不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条
垂线，过该垂线可以作出无数个平面,由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都
与已知平面垂直.所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.
知识点3 平面与平面垂直的性质定理
1 平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直 于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个 平面垂直.
该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”. 知识剖析 如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交
（含垂直）或异面.
2 性质定理的作用
（1）证明线面垂直、线线垂直；
（2）构造面的垂线.
学思用·典例详解
例3-4 ［教材改编P159 T2］已知平面 , 和直线, ，则下列说法中正确的是
( )
D
A.若 ,,,则
B.若, ,,则
C.若 , ,则
D.若 ,, ，,则
【解析】A项中缺少了条件 ，故A错误.
B项中缺少了条件 ，故B错误.
C项中缺少了条件， ，故C错误.
D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确.
释疑惑 重难拓展
知识点4 二面角的平面角的作法及一个求二面角的特殊方法
1 作二面角的平面角的三种常用方法
定义法
垂面法
续表
垂线法
续表
2 求二面角大小的步骤
（1）作出（找出）二面角的平面角；
（2）证明它是二面角的平面角；
（3）求出这个角的大小；
（4）说明二面角的大小．
这个过程可以简记为：作（找）、证、求、答．
. .
3 射影面积法求二面角
设二面角 的大小为，是 内任一平面图形的面积，
该图形在平面 内的射影的面积为,则 .
我们从简单图形进行探究：
已知：二面角 的大小为,在平面 内有 ，面积
为,它在 内的射影为,面积为 .
求证： .
图8.6.3-7
证明：不妨假定的边在上（则与重合，
与重合），如图8.6.3-7，在中,作边上的高 ,连接
，则在 上的射影为 .
根据射影的性质，知 ，
则 ,即
.
把换为 内的多边形或其他任意图形，所证公式
仍然成立.
因此，我们得到求二面角的另外一种方法——射影面积法（解答题使用此公式
时需先证明公式）.
如果能够找到一个半平面内的图形在另一个半平面内的射影图形，那么射影图形的
面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值.
. .
4 三正弦定理（最大角定理）
图8.6.3-8
如图8.6.3-8，设二面角为 ，在平面
上有一条射线，它和棱所成的角为
（我们称为线棱角），和平面所成的角为 ，则
.在锐二面角中，由 知，
，则 ，所以半平面 内的任意
一条直线与另一个半平面 所成的线面角不大于二
面角，即二面角是线面角中最大的角,三正弦定理又称最大角定理.（该定理作为知识
拓展，仅要求了解运用，证明过程不要求掌握）
5 三射线定理
图8.6.3-9
如图8.6.3-9，已知三面角中，与 所成角是
,与所成角是 ,与所成角是 ，以,, 为
棱的二面角分别记作,,（如以 为棱的二面角就是平面
与平面 所成的二面角），
定理 .
定理 .
（三正弦定理和三射线定理都是本节知识的拓展，在选
填中使用可以提高效率，但是在大题中不能直接使用）
. .
. .
. .
. .
. .
. .
学思用·典例详解
例4-5 在直三棱柱中，,若为 的中点，试找出二面角
的平面角.
【解析】如图8.6.3-12，设为的中点，连接 ，
图8.6.3-12
则 ,
故 平面 .
由，为的中点，得 .
又，且,, 平面 ,
故 平面 ，
故， ，
所以为二面角 的平面角．
例4-6 [教材改编P164习题8.6 T18]已知正三棱锥 的棱长都为2，则侧面和底
面所成二面角的余弦值为( )
C
A. B. C. D.
图8.6.3-13
【解析】 如图8.6.3-13所示，过点作底面 ,点
为垂足，连接,,,则 ,
,
点为等边三角形 的中心.
延长交于点，连接 ,
则, ,
为侧面与底面 所成的二面角的平面角.
，
在中， .
三个侧面在底面上的射影完全相同,且射影面积都是底面正三角形面积的 ,
且正三棱锥 的四个面面积相同,
由（ 为侧面与底面所成二面角的大小）知，
侧面和底面所成二面角（显然为锐角）的余弦值为 .
由方法1知， 底面，设二面角的平面角为 ，则斜线
与底面所成的角为，设为， 与所成的线棱角为 ，
.在
中，, ，由三正弦定理得
，即 , ，
， 侧面与底面所成的二面角的余弦值为 .
知识点5 直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
1 判定直线与直线垂直的方法
（1）定义法:两条直线所成的角为 ，则这两条直线互相垂直.
（2）利用直线与平面垂直的性质： , .
（3）若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
2 判定直线与平面垂直的方法
（1）定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条（等价于“全部的”“所有的”）
直线，则该直线与这个平面垂直.
（2）利用直线与平面垂直的判定定理：,, , ,
.
（3）利用平面与平面垂直的性质定理： ,, ,
.
（4）如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，
即, .
（5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另
一个平面，即 , .
. .
6 平面与平面垂直的其他性质与结论
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面
的直线在第一个平面内，即 , ,, .
（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平
面,即 , .
（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在
另一个平面内,即 ， 或 .
（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平
面,即, , .
（5）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即 ，, ,
, ,,, .
4 线、面垂直位置关系的相互转化
5 平行关系与垂直关系的相互转化
学思用·典例详解
例5-7 (2025·北京市十一学校段考)已知,是平面 外的两条不同直线.给出下列三个
论断:
； ； .
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题：__________
_______________________.（用序号表示）
若,
则①（或若①③，则）
【解析】以题干中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题.
命题若, ,则 .此命题为假.可以举一个反例，例如在正方体
中，设平面为平面 ，和分别为和 ，满足条件，
但结论不成立.
命题若, ,则 .此命题为真.证明：作直线，且与 相交，
故与确定一个平面 ，且，因为 ，所以平面 与平面 相交，设
，则，又, ，所以，又，所以，又 在平
面 外， ，故 .
命题若 , ,则 .此命题为真.
证明：过直线作一平面，且与平面 相交，交线为，因为 ，所以 ,因
为 ， ，所以，又，所以 .
例5-8 [多选题]已知，是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列四
个命题中的真命题是( )
AD
A.若 ， ，，则
B.若 ， ，，则
C.若 ， ，，则
D.若 ， ， ，则
【解析】对于A，可以得到平面 ， 互相垂直，其中一种示意图如图
所示，故A为真命题；对于B，平面 ， 可能垂直，如图8.6.3-14（2）
所示，故B为假命题；对于C，平面 ， 可能垂直，如图8.6.3-14（3）所示，故C
为假命题；对于D，由 ， 可得 ，因为 ，所以过作平面 ，
且，如图8.6.3-14（4）所示，所以与交线平行，因为 ，所以
，故D为真命题.
图8.6.3-14
解题课丨关键能力构建
题型1 求二面角
例9 正方体中，二面角 的平面角的余弦值为( )
D
A. B. C. D.
图8.6.3-15
【解析】如图8.6.3-15，连接，交于点，则 ,连接
，因为,为的中点，所以 ，
（定义法找二面角的平面角）
则是二面角 的平面角，
不妨设正方体的棱长为1，则，在 中，
，
所以 .
. .
. .
例10 如图8.6.3-16所示，,为二面角内部一点. , ,垂足分
别为, .
图8.6.3-16
（1）证明： ；
【解析】
平面, 平面 ,
.
（2）若为等边三角形，求二面角 的大小.
图8.6.3-17
【解析】设平面与棱交于点,连接, ,则易得
, （定义法找二面角的平面角），如图
8.6.3-17，
则 即所求二面角的平面角.
为等边三角形， ，
， .
故二面角 的大小为 .
. .
思路点拨 （1）由, , 推出 平面 ，从而得出
;（2）可转化为求 ，再求出二面角的平面角的大小，即得二面角
的大小.
图8.6.3-18
例11 如图8.6.3-18所示，在正方体
中，是棱上的点且，是棱 上的
点，记与所成的角为 ，与底面 所成的
角为 ,二面角的平面角为 ，则( )
B
A. B. C. D.
图8.6.3-19
【解析】如图8.6.3-19，作于点 ，则
，， ，
而 平面，因此有 平面 ，
过作交于点，过作于点 ，则
, .
连接,由正方体性质易知为二面角
的平面角，即， .
连接, 平面，则 ，
又,，， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面，所以 ，
（【小技巧】可利用三垂线定理的逆定理，因为,是在平面 上
的射影，所以 ）
所以四边形是矩形， .
连接,由 平面知，，由 ,
,得 ,
即 ,
, , 均为锐角,所以 ,当与 重合时，等号成立.
. .
名师点评 由最大角定理可得 ,由最小角定理可得 ，现比较 与 的大
小：，,又，，则 ，即 .
综上可得 .
求二面角的关键是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采
取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面
的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
【学会了吗丨变式题】
图8.6.3-20
1.(2025·浙江省绍兴市期中)如图8.6.3-20，已知 ,斜边
平面 ,点 , ,为垂足， ,
,求二面角 的大小.
图D 8.6.3-1
【答案】如图D 8.6.3-1，在平面 内，过点作 ,垂足
为点,连接,设 .
, , .
又,, 平面， 平面 ,而
平面,, 是二面角 的平面角.
. .
. .
（【三垂线定理】为在平面 上的射影，, 则 ,即得所
求二面角的平面角）
由 , , ,知, .
, ， ,
,, .
. .
在中， , ,
.
在中， .
,即二面角的大小是 .
图8.6.3-21
2.如图8.6.3-21，已知，分别是正三棱柱 的侧棱
和上的点，且.设平面 与平面
相交于直线,则二面角 的大小为( )
B
A. B. C. D.
图D 8.6.3-2
【解析】 如图D 8.6.所示，延长交 的延长线
于点，连接,则为这两个平面的交线 ,因此，所求二面角
即为二面角 .
，且 ，
，分别为， 的中点．
， .
平面， 平面， .
又，为平面 内的两条相交直线，
平面 .
平面， .
是二面角的平面角为在平面 上的射影，且
，则,即得所求二面角的平面角 ．
由知，则 .
故所求二面角的大小为 .
三棱柱为正三棱柱，
在平面的射影为 .
设,则,, ,
等腰的面积为 ，
正的面积为 ，
设二面角的大小为 ，
则, .
. .
. .
题型2 面面垂直判定定理的应用
图8.6.3-22
例12 ［教材改编P161例10］如图8.6.3-22,在四棱锥 中，
底面是边长为的正方形，侧棱， .
求证：
（1） 平面 ；
【解析】，， ,
，则 .
,, ,
,则 .
又，且 平面， 平面 ，
平面 .
（2）平面 平面 .
【解析】 由（1）知 平面，又 平面， .
四边形是正方形， .
又，且 平面， 平面 ，
平面 .
又 平面， 平面 平面 .
设与交于点,连接 ，
由,可知 .
四边形是正方形， .
又, 平面, 平面, 平面.又 平面
,
平面 平面 .
利用判定定理证明面面垂直的一般方法
先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明
面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
【学会了吗丨变式题】
3.[多选题]在四棱锥中，侧棱 底面，底面为菱形，过点
分别作，的垂线，垂足分别是，，底面对角线的交点为，过点 作
的垂线，垂足为 ，则( )
ABD
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面 平面 D.，，， 四点不可能共面
图D 8.6.3-3
【解析】如图D 8.6.， 底面， 平面
，
，
由菱形知，且， 平面, 平
面, 平面，又 平面, ，
，， 平面, 平面 ,
平面 ，
又 平面， 平面 ，
平面 平面，平面 平面 ，故A，B正确.
过作,交于 ，
假设平面 平面，为两平面交线， 平面， 平面
， ，
又， 平面 ，
同理得 平面，，这与， 相交矛盾，
平面 平面 不成立，故C错误.
若，，，四点共面，则 平面，则平面 平面 ，由C知不正
确,故，，，四点不可能共面，故D正确．故选 ．
题型3 面面垂直性质定理的应用
例13 如图8.6.3-23，正方形和四边形所在的平面互相垂直， ，
,，求证： 平面 .
图8.6.3-23
【解析】如图8.6.3-24，设，连接, .
图8.6.3-24
由易知，则 .
又,所以四边形 为菱形，
所以 .
因为四边形为正方形，所以 .
又平面 平面,且平面 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面,所以 .
又, 平面, 平面 ,
所以 平面 .
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基
本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，
进而转化为线线垂直．
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·江苏省泰州市月考)在三棱锥中， 平面，平面 平面
.求证： .
【答案】如图D 8.6.3-4所示，在平面内作于点 .
图D 8.6.3-4
平面 平面，且平面 平面,
平面 .又 平面， .
平面， 平面， .
, 平面, 平面, 平面 .
又 平面， .
题型4 平行关系与垂直关系的相互转化
例14 (2025·四川省成都市期中)如图8.6.3-25，平面 平面,平面 平
面, 平面,点 为垂足.
图8.6.3-25
（1）求证： 平面 ;
【解析】 如图8.6.3-26（1），在平面内取一点,作于点 .
平面 平面,且交线为 ,
图8.6.3-26
平面 .（由面面垂直得线面垂直）
平面， .
作于点, 平面 平面 ，且交线为
, 平面 ,
平面, .
,都在平面内，且 ，
平面 .
. .
如图8.6.3-26（2），在平面内作直线，在平面 内作直线
，由平面 平面，平面 平面，得 平面 ，
同理可证 平面， .
又 平面， 平面，平面 .
又 平面，平面 平面， ，
平面 .
（2）当点为的垂心时，求证： 是直角三角形.
【解析】如图8.6.3-26（1），连接并延长交于点 .
点是的垂心， .
又 平面, 平面, .
,, 平面， 平面 .
又 平面, .
由（1）知 平面,又 平面 ,
.
, 平面, 平面, 平面 .
又 平面, ,
即 是直角三角形.
例15 如图8.6.3-27，在四棱锥中，底面是边长为 的菱形，
,侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面 ．
图8.6.3-27
（1）求证： ；
图8.6.3-28
【解析】如图8.6.3-28，取中点，连接， ，因为
侧面为正三角形，为 中点，
所以 .
又底面是边长为的菱形， ,为 中点，
所以 .
， 平面， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面，所以 .
（2）若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面 平面 ？
证明你的结论．
图8.6.3-29
【解析】存在棱上的中点，使平面 平面 ，
证明如下.
如图8.6.3-28， 因为， ，所以
，
又，分别为，的中点，则，所以 .
又底面是边长为的菱形， ,为中点，所以 .
，且 平面， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面，所以平面 平面 ．
如图8.6.3-29，连接，交于点，连接,,易得四边形 是平行
四边形，所以为中点，在中，为中点，所以 .
又平面 平面， 平面,，平面 平面 ，
所以 平面，所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
思路点拨 （1）要证线线垂直，只需证线面垂直，取的中点 ,由线面垂直的判
定定理易证 平面（2）考虑所找的点满足平面平面 或平面
，从而得出结论.
探索性问题的一般解题方法
先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推
理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则
说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．对于此类问题，一般采
用先猜再证的方法，通常猜测特殊点的位置为中点或三等分点.
【学会了吗丨变式题】
图8.6.3-30
5.(2025·广西南宁市月考)如图8.6.3-30所示，在四棱锥
中，底面是边长为的正方形，,分别为, 的中点，
侧面 底面，且 .
（1）求证：平面 ；
【答案】连接，则是的中点，又为的中点，故在中, ，又
平面，平面（不要忽略此条件），平面 .
. .
. .
（2）求证：平面 平面 .
【答案】 平面 平面，平面 平面, ，
平面, 平面, .
又, ,即 .
又,, 平面, 平面 .
又 平面， 平面 平面 .
6.如图8.6.3-31,为正三角形， 平面，//，且 ，
是 的中点．
图8.6.3-31
求证：
（1） ；
图D 8.6.3-5
【答案】设，则.如图D 8.6.3-5，过 作
交于点，则 .
因为 平面， 平面 ,
所以， .
因为, ,
所以 .
又,所以 平面，又 平面 ,所以
,
所以,所以 .
（2）平面 平面 ；
【答案】取的中点，连接，，则，且 ,
所以四边形为平行四边形，所以 .
因为 平面， 平面,所以， .
由（1）知，又为的中点，所以 .
因为, 平面, 平面 ,
所以 平面，又 平面 ,
所以平面 平面 .
（3）平面 平面 .
【答案】由（2）知 平面，而 平面 ，
所以平面 平面 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对本节的考查一是面面垂直的判定定理和性质定理,可能会结合线线、线面、面
面的平行或垂直关系进行综合考查,根据题意作出辅助线是解题的关键；二是二面角
的计算，是高考的热点，主要是先找出或作出二面角的平面角，再求解二面角的大
小；高考中多以选择题、解答题中的一问的形式出现,难度中等.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的垂直关系或找到要求的
二面角的平面角），逻辑推理（判定定理、性质定理的应用），数学运算
（二面角的求解）.
考向1 二面角的大小
例16 (2023·全国乙卷)已知为等腰直角三角形,为斜边, 为等边三角形,
若二面角为 ，则直线与平面 所成角的正切值为( )
C
A. B. C. D.
图8.6.3-32
【解析】如图8.6.3-32所示，取的中点为，连接， ，
则， .
又 平面, 平面,所以 即为二面角
的平面角，于是 .设 ，则
， ，
在 中，由余弦定理可得
.
由正弦定理得 ，
即,显然 是锐角，
所以 ，
所以 ,故选C.
例17 [多选题](2023· 新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为，底面圆心为， 为底面直
径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则
( )
AC
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
图8.6.3-33
【解析】在 中,由余弦定理得
（,
,所以
）
，如图，连接,易知圆锥的高 ，底
面圆的半径 .
对于A，该圆锥的体积 ，故A选项正确；
对于B，该圆锥的侧面积 ，故B选项错误；
对于C，取的中点，连接, ,
. .
因为，所以，同理可得 ，
则二面角的平面角为 ，（利用定义法找二面角的平面角）
所以, ,
所以 ，故C选项正确;
对于D，，,故D选项错误.综上，选 .
. .
. .
. .
图8.6.3-34
例18 (2023·北京)坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴
含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，
展现造型之美．如图8.6.3-34，某坡屋顶可视为一个五
面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等
的等腰三角形．若, ,且等腰
C
A. B. C. D.
梯形所在的面、等腰三角形所在的面与平面 所成
二面角的正切值均为 ．为这个模型的轮廓安装灯带
（不计损耗），则所需灯带的长度为( )
图8.6.3-35
【解析】如图8.6.3-35,过作 平面,垂足为 ,
过分别作,,垂足分别为,,连接 ,
.（作出辅助线，找到题目中所提的两个二面角的平
面角）
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与平
面所成二面角的平面角分别为和 ，
,
平面, 平面 ,
,
,, 平面, ,
平面, 平面, ,
同理, .
又,故四边形 是矩形.
由得,, .
在直角三角形中, .
在直角三角形中,, .
,
棱长之和为 .
故所需灯带的长度为 .
图8.6.3-36
例19 (2024· 新课标Ⅰ卷节选)如图8.6.3-36，四棱锥 中，
底面，,,.若 ,且
二面角的正弦值为,求 .
思路点拨 几何法求二面角的平面角的关键是找半平面的垂线，
利用线面垂直关系或三垂线法找出平面角.本题一种解法是过点
找平面的垂线，另一种解法是过点找平面 的垂线，还
可以利用射影面积法求解.
【解析】（考虑到平面 平面，故过点作交线的垂线 ，利用面面垂
直的性质定理可知即为平面 的垂线）
图8.6.3-37
如图8.6.3-37，过作于点,过作于点 ，
连接 ,
底面, 平面 ，
平面 底面 .
平面 底面,, 底面 ,
平面 .
平面, .
,,, 平面, 平
面 ,
平面 .
平面, .
,, 平面, 平面 ,
为二面角的平面角.（【小技巧】利用三垂线定理，为 在平
面上的射影，且,则,故为二面角 的平面角）
由,可知 ,
设,,易知 ,
,则 ，
平面, 平面 ,
. .
. .
.
,
解得 ,
在直角三角形中， ,
,解得, ,
,
.
名师点评 本题还可以用以下方法验证所得结果：
（三正弦定理） 设二面角的平面角为 ，设 ，则
,,,,由 ,可得
，解得，即 ．
（三射线定理1） 设二面角的平面角为，则 ，
， ，设，由题意可知 ，
， ，
由 ，
可得 ，
解得，即 ．
（三射线定理2） 设二面角的平面角为，二面角 的
平面角为，，则,,由可得 ，
解得，即 ．
考向2 面面垂直的判定定理与性质定理的应用
1 判定定理的简单应用
例20 (2025·天津)已知，为两条直线， ， 为两个平面，则下列结论中正确的
是( )
C
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
【解析】对于A，若 ， ，则或, 异面,故A错误；
对于B，若 ， ，则 ，故B错误；
对于C，若 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 ， ，则 或与 相交或 ,故D错误.
图8.6.3-38
例21 (2023·全国甲卷)如图8.6.3-38，在三棱柱
中， 平面， ．
（1）证明：平面 平面 ；
【解析】因为 平面, 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ,
又,, 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面 .
（2）设，，求四棱锥 的高．
图8.6.3-39
【解析】如图8.6.3-39，过点作,交于点 ，由
（1）知平面 平面 ，
又平面 平面, 平面 ，所以
平面 ，
即四棱锥的高为 .
由题意知，, ,
则,故 .
又, ,
所以 .
由 ，
得 ，
故四棱锥 的高为1.
在等腰直角三角形中，为斜边中线，所以 ,
故四棱锥 的高为1.
例22 (2023·全国乙卷节选)如图8.6.3-40，三棱锥中，， ,
，,,,的中点分别为,,,,点在 上，
.
图8.6.3-40
（1）证明：平面 ；
图8.6.3-41
【解析】如图8.6.3-41,因为，,，是
的中点，所以，所以 .
记与的交点为,,则 ，又
， ,所以 ，所以
,所以,所以 .又
， ，所以 ,
所以,所以是 的中点.
因为,分别是,的中点，所以 ,（中位线定理）同理
可得，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .（线面平行的判定定理）
. .
（2）证明：平面 平面 .
【解析】, ,
又 ，
所以,所以 .
因为，所以 ，
又,， 平面, 平面,所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
2 面面垂直背景下的求体积问题
图8.6.3-42
例23 (2022·全国乙卷)如图8.6.3-42，四面体 中，
，，，为 的中点.
（1）证明:平面 平面 ;
【解析】因为，， ，所以
，所以 ，
又为的中点，所以， ，
因为，且, 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面，所以平面 平面 .
（2）设, ,点在上，当 的面积最小时，求三棱锥
的体积.
【解析】由（1）可知，因为 ，，所以 ,则
， ，
又,所以，所以 .
连接，易知当的面积最小时，取最小值，（由（1）知 ，
所以,是等腰三角形，以为底边，就是 的高）
在中，的最小值为到的距离，故当 的面积最小时，
，
此时,则 ,
则，又,易知,所以, .
. .
因为，，,所以 平面 ，
则到平面的距离 .
故 .
由（1）知 ,
又,，所以 平面 ，
所以即到平面 的距离，
由（1）得 平面 ,
又 平面,则 ,
故 .
例24 (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装
盒如图8.6.3-43所示.底面是边长为8（单位：）的正方形，, ,
,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直.
图8.6.3-43
（1）证明:平面 ;
【解析】如图8.6.3-44，分别取,的中点,，连接,, ，
图8.6.3-44
因为与 均为正三角形，且边长均为8，
所以,，且 ．
又平面与平面均垂直于平面 ，
平面 平面,平面 平面, 平面,
平面 ,
所以 平面， 平面 ，
（面面垂直性质定理的应用）
所以，所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
又 平面， 平面 ,
所以平面 ．
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.
【解析】分别取,的中点,，连接,,,,，, ．
由（1）知 平面， 平面 ，
同理可证得， 平面， 平面 ，
易得， .
易得，, ，
所以 ，
又 ，
所以四边形 是正方形，
所以四棱柱 为正四棱柱，
所以 ．
因为,，所以 ．
因为 平面， 平面 ，
所以 ．
又, 平面，且 ，
所以 平面 ，
则点到平面的距离 ，
所以 ，
所以该包装盒的容积
．
变式探源 (全国Ⅰ卷)如图8.6.3-45，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心， 是
底面的内接正三角形，为上一点， .
图8.6.3-45
（1）证明：平面 平面 ；
【解析】由题设可知， ,
由于 是正三角形，
故, .
又 ，故 , ，
从而, .
因为, 平面, 平面,故 平面,又 平面
,
所以平面 平面 .
（2）设，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥 的体积.
【解析】设圆锥的底面半径为,母线长为 .
由题设可得,,解得,，从而可得 .
由（1）知,则 ,
故 .
由（1）知 平面 ,
所以三棱锥的体积为 .
思路点拨 （1）由题意先确定三棱锥是正三棱锥，再结合 ，
可得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，从而得 平面，最后得平面 平
面；（2）由的长和圆锥的侧面积可得圆锥的底面半径，从而可得 ，
进而求得三条侧棱的长度，最后利用体积公式求解即可.
3 性质定理的应用
例25 [多选题](新高考全国Ⅱ卷)下列各正方体中，为下底面的中心，， 为顶
点，为所在棱的中点，则满足 的是( )
BC
A. B. C. D.
图8.6.3-46
【解析】对于A，如图8.6.3-46（1），连接 ,由
，可知,,,四点共面，所以直线 在平
面内，所以直线与 相交,但不垂直.故A错
误.
对于B，如图8.6.3-46（2），取的中点，连接 ,
,,,则,因为平面 平面 ，
平面,所以 平面，所以 ,
又,,所以,又 ，
所以 平面,所以 .故B正确.
对于C，如图8.6.3-46（3），作于，连接, ,,,因为平面
平面,且平面 平面, 平面且,所以 平面
.（面面垂直性质定理的应用）因为 平面,所以,又 ,
， 平面, 平面,所以 平面,又 ，
所以 平面.因为 平面，所以 .故C正确.
（【另解】易知,因此只需证明 即可，由面面垂直的性质可知
,又，，所以 平面,所以 .因为
，所以 ）
对于D,如图8.6.3-46（4），取棱的中点，连接，则，连接 ，不妨
设正方体的棱长为2，则,,,则 ,所以
，所以不垂直于，即不垂直于 .故D错误.
. .
. .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·山东省平邑第一中学月考)在棱长为2的正方体 中，
已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点
是该正方体表面及其内部的一动点，且平面 ，则下列选项正确的是
( )
ABD
A.平面
B.平面 平面
C.过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D.动点的轨迹所形成区域的面积是
【解析】对于A，如图D 8.6.3-6, ，
，，，
平面平面 .
平面，平面 ，故A正
确.
对于B，如图D 8.6.3-7,连接,，， ，
平面, 平面, 平面 .
平面， ，
同理，，， 平面, 平面 ,
平面 ，
又 平面， 平面 平面 ，故B正确.
对于C，如图D 8.6.3-8，作出过，， 三点的
平面截正方体 所得的截面图形，
由图可知截面为正六边形，边长为 ，
截面面积为 ，故C错
误.
对于D，如图D 8.6.3-9，平面 ，
由面面平行的性质得始终在平面 内，
动点的轨迹所形成区域的面积是 ，故D正确．
故选 ．
2.新考法 结构不良 如图8.6.3-47，在三棱柱中， ，
，平面
平面 ．
图8.6.3-47
（1）求证： .
【答案】因为 ，所以 .
因为平面 平面，平面 平面， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面，所以 .
由三棱柱的结构特征可知四边形 是平行四边形，
又，所以四边形是菱形，所以 .
因为，， 平面，所以 平面 .
因为 平面，所以 .
（2）从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线与平面 所成
角为 时，
（ⅰ）求证：平面 平面 ；
（ⅱ）求二面角 的正弦值．
条件 ；
条件 .
图D 8.6.3-10
【答案】选条件①.
（ⅰ）因为，所以平行四边形 为矩形，
所以 .
由（1）知， 平面，又 平面 ,
所以 .
因为，， 平面，所以 平
所以平面 平面 .
（ⅱ）因为 平面， 平面 ，
面 .
因为 平面 ，
所以直线与平面所成的角为，所以 .
因为 ，
所以,,, .
如图D 8.6.3-10,作于点 .
因为平面 平面 ，
平面 平面， 平面 ，
所以 平面，又 平面，所以 .
作于点，连接 .
因为，， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面，所以,（由知，为中点，即 与
的交点）
所以是二面角的平面角.（【三垂线定理】是 在平面
上的射影，因为,所以 ,即得二面角的平面角）
因为，所以 .
因为 平面, 平面,所以 ,
又，所以 ，
因为 平面, 平面,所以,所以 ，
. .
. .
所以二面角的正弦值为 .
选条件②.
（ⅰ）因为, ,
所以,所以 ,
由（1）知 平面，又 平面,所以 .
因为,, 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
（ⅱ）同条件①．
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：40分钟
图8.6.3-1
1.如图8.6.3-1,在三棱锥中, 平面, ,
则二面角 的大小为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 平面, 平面， 平面 ，
所以,,因此，为二面角 的平面角，
又 ，所以二面角的大小为 ，故选A.
图8.6.3-2
2.［教材改编P159例3］如图8.6.3-2,若垂直于矩形 所在的
平面，则该几何体的表面中相互垂直的面有( )
D
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【解析】由 平面，知平面 平面 ，平面
平面；因为,, ,所以
平面,则平面 平面;因为,, ,所以
平面,则平面 平面;因为,, ,所以
平面,则平面 平面 .所以题图中相互垂直的面共有5对，选D.
3.(2024·山东省菏泽市期中)在正方体中，截面与底面
所成的二面角 的正切值等于( )
C
A. B. C. D.
图D 8.6.3-1
【解析】如图D 8.6.3-1，连接，交于点，则 ,连
接,则,所以为二面角 的平面角.
设,则,所以 .
4.(2024·上海)已知空间中有两个不重合的平面 ， 和两条不重合的直线, ，则
下列说法中正确的是( )
A
A.若 ， , ，则
B.若 ， ,，则
C.若 ， , ，则
D.若 ， ,，则
【解析】若 , ，则 或 ，又 ，所以 ，故A正确；
若 , ，则 或 ，又，则 或与 相交但不垂直
或 或 ，故B错误；
若 ， ，则 或 ，又 ，因此和 的位置关系可能为平
行、相交或异面，故C错误；
若 ， ,，则 或 ，故D错误.
5.(2024·河北省石家庄市月考)如图8.6.3-3所示，在四棱锥中，底面 是
菱形，侧面是等边三角形，且平面 平面，为棱 上一点，若平
面 平面，则 __ .
图8.6.3-3
图 D 8.6.3-2
【解析】如图D 8.6.3-2，取的中点，连接交于点 ，
连接， ,
，,， ．
平面 平面，平面 平面 ,
，
平面 .
又平面 平面,平面，又平面 平面
,
， .
6.(2025·上海市金山中学月考)一个“皇冠”状的空间图形（如图8.6.3-4（1））由一个
正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为
.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，如图8.6.3-4（2），
则 的值为_ _____.
图8.6.3-4
图D 8.6.3-3
【解析】因为一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正
三角形组成，
并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为 ，
（解题关键点）
如图D 8.6.3-3,过点作底面的垂线，垂足为，, 分别为上、
下底面正方形的中心，
连接，,交于，连接 ，
则，又由题意可得, ，
. .
所以 即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角.
所以 ，则 ，
由三角形都为正三角形得, ，
设正方形边长为，则,，所以, ，
所以 .
图8.6.3-5
7.(2025·北京市第五中学期中)如图8.6.3-5，在直三棱柱
中，，，，点 是线
段 的中点．
（1）求证： ；
【答案】在直三棱柱中， 底面 ，
底面，则 ，
又，，，则 ，所以
，
又，, 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面，所以 ．
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】如图D 8.6.3-4，取的中点,连接,又点是线段 的中点，则
，且 ，
由（1）可知 平面，则 平面，则 ,
过点作，垂足为，连接 ，
又,则 平面,则 ,
图D 8.6.3-4
所以为二面角 的平面角，（【三垂线定
理】是在平面上的射影， ,则
,所以 即为所求二面角的平面角）
由，得 ，则 为等腰直
角三角形，且，所以，在直角三角形
中， ，
．
. .
图8.6.3-6
8.(2025·北京市第一五九中学期中)如图8.6.3-6，在四棱锥
中，，，，平面 平
面，，点，分别是， 的中点．
求证：
（1） 平面 ；
【答案】因为平面 平面，且 垂直于这两个平面
的交线，所以 平面 .
（2）平面 ；
【答案】因为，，为 的中点，
所以，且,所以四边形 为平行四边形,
所以 .
又 平面， 平面，所以平面 .
（3）平面 平面 .
【答案】由（2）知四边形为平行四边形,因为 ,
所以四边形为矩形，所以, .
由（1）知 平面,所以 .
因为,, 平面,所以 平面,所以 .
因为点，分别是，的中点，所以 ,
所以，又,, 平面,所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
9.(2025·广东省广州市番禺区期末)将边长为4的正方形沿对角线 进行翻折，
使得二面角的大小为 ，连接 ，得到三棱锥，则此三棱锥的体积
与它的外接球体积的比值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】设正方形的对角线交点为 ，
则，, ，
图D 8.6.3-5
翻折后所得图形如图D 8.6.3-5所示，
则的中点为外接球球心，外接球半径为 .
故该四面体的外接球体积 .
由于二面角的大小为 ，, ，则
， 平面 ，
所以四面体 的体积
，
故此三棱锥的体积与它的外接球体积的比值为 ．
10.新情境 卫星模型［多选题］(2025·四川省成都市成华区期末)某球状卫星模型的
外壳表面积为 平方米，采用特殊合金材料打造，并有12根高强度钛合金杆组成
正方体支撑框架，如图8.6.3-7所示，作出支架的直观图正方体 ，
设 为外壳上的一个动点，则下列说法正确的是( )
AB
图8.6.3-7
A.存在无数个点，使得平面
B.当平面 平面时，点的轨迹长度为
C.当平面时，点的轨迹长度为
D.不存在点，使得平面 平面
【解析】设该球的半径为，则其表面积 ，所以 ，设正方体
的棱长为，则， .
由题意可知，平面平面，且平面，故 平面
，则点的轨迹为正方形的外接圆（不与点重合），故有无数个点 满
足题意，故A正确；
连接,,,易知 平面，又平面 平面， 平面
，则点的轨迹为矩形的外接圆（不与点, 重合），其周长为
，故B正确；
因为平面，设过且与平面平行的平面为 ，则的轨迹为
与球面的交线（去掉点），其半径为，周长为 ，故C错误；
若平面 平面，则点在以 为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球
面交线为曲线，故有无数个点满足题意，故D错误.故选 .
11.(2024·陕西省西安市部分学校入学考试)三棱锥中，是边长为 的
等边三角形，,且二面角的大小为 ，则三棱锥
的外接球的表面积为_____.
【解析】如图D 8.6.3-6，取的中点，连接, .
图D 8.6.3-6
是边长为的等边三角形， ，
,, ，
又二面角的大小为 ，
.
,, 平面, 平面 ,
又 平面, 平面 平面 .
作于, 平面 平面, 平面, 平面 ,
.
,,为的外心，故三棱锥 为正
三棱锥.
设三棱锥的外接球的球心为，半径为 ，
则在直线上，且在三棱锥的外部,连接, ,
,
,解得 ,
故三棱锥的外接球的表面积为 .
图8.6.3-8
12.(2025·陕西省汉中市汉台中学月考)如图 8.6.3-8所示，边长
为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，
是上异于, 的点.
（1）证明：平面 平面 ;
【答案】由题设知，平面 平面,且两平面的交线为 .
因为, 平面 ,
所以 平面,故 .
因为为上异于,的点，且 为直径，
所以 .
又,, 平面,所以 平面 .
而 平面,故平面 平面 .
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面 所成二面角的正弦值.
图D 8.6.3-7
【答案】如图D 8.6.3-7，将几何体补成长方体
,当三棱锥体积最大时， 为
的中点，即为 的中点.
取的中点，的中点，连接,, ，易知
为平面和平面的交线， ，
，所以为平面与平面 所成二
面角的平面角（或其补角）.
易知,, ,
则 .
所以面与面所成二面角的正弦值是 .
13.(2025·江苏省镇江市期末)如图8.6.3-9，在四棱锥中，四边形 是菱
形，， ，平面 平面,为中点， 为线段
上一点，满足平面 .
图8.6.3-9
（1）求 的值；
【答案】如图D 8.6.3-8，取中点，连接,，则 ，
图D 8.6.3-8
又 平面， 平面，所以平面 ，
又平面，，, 平面 ，
所以平面平面 ，
又平面 平面，平面 平面 ，
所以 ，
又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则 .
（2）若 ，求点到平面 的距离；
图D 8.6.3-9
【答案】如图D 8.6.3-9，连接,, ，因为
，，四边形 是菱形，所以
为等边三角形，
由（1）知是的中点，所以 ，
又平面 平面，平面 平面 ，
平面，所以 平面，且 ，
又 ，所以是等边三角形，则 ，
所以 ，
在中，，，则 ，
所以 ，则
，
连接,,则，设点到平面的距离为 ，
由，得，解得 .
（3）记二面角为 ，直线与平面所成角为 ，求证： 为定值.
【答案】如图D 8.6.3-9，过作于，连接,, ，
因为是的中点，所以 ，
因为平面 平面，平面 平面 ，
又 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以 ，
又，,, 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以，则是二面角 的平面角，
则 .
又，且，所以四边形是平行四边形，所以 ，且
，
又 平面，所以 平面，则是直线与平面 所成的角，
则，所以 ，
又，是的中点，所以，又，所以 ，
又是的中点，则 ，为定值.
14.(2025·四川省凉山州期末)如图8.6.3-10，在正方体中，为
的中点．
图8.6.3-10
（1）如图8.6.3-10（1），求证：平面 ；
【答案】如图D 8.6.3-10所示，连接，交于，连接 ，
图D 8.6.3-10
四边形是正方形，为 的中点，
又为的中点，， 平面， 平面 ，
平面 .
（2）如图8.6.3-10（1），求二面角 的正切值；
图D 8.6.3-11
【答案】如图D 8.6.3-11所示，延长交的延长线于点,过
作于，连接 ．
平面， 平面， ，
，
, 平面， 平面， 平面
，
，
为二面角 的平面角．
设正方体的棱长为1．
是的中点，且 ，
则在中，，， ，
， ，
二面角的正切值为 ．
（3）如图8.6.3-10（2），已知，为的中点，点是线段 上的动点，
过且与垂直的截面 与交于点，求三棱锥 的体积的最小值．
【答案】如图D 8.6.3-12所示，设为的中点，连接交于，连接, .
图D 8.6.3-12
设， .
，， ，
， ，
，即， ，
又 平面， 平面， ，
又，, 平面, 平面 ，
平面， ，
又 平面，就是三棱锥 的高.
，
，且， ，
即， ，
，
当且仅当即 时取等号，
此时，解得，即 ，满足条件.
所以三棱锥的体积的最小值为 .

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