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湖南省永州市道县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八上·道县期末）下列实数中是无理数的是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、0是整数，是有理数，故A不符合题意；
B、1是整数，是有理数，故B不符合题意；
C、是整数，是有理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，掌握常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含的某些数；③有规律但是是无限不循环的小数.据此逐项进行判断即可.
2．（2025八上·道县期末）下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式的概念；约分
【解析】【解答】解：A、，不是最简分式，故A不符合题意；
B 、是最简分式，故B符合题意；
C、，不是最简分式，故C不符合题意；
D、，不是最简分式，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简分式的定义，掌握一个分式的分子与分母没有公因式，结合分式的性质，据此逐项进行分析判断即可.
3．（2025八上·道县期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C正确；
D、，故D不正确；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂乘除法，合并同类项，幂的乘方，据此逐项进行计算判断即可.
4．（2025八上·道县期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．有的三角形内角和不是
C．两个锐角之和一定为钝角
D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，则该命题是假命题，故A不符合题意；
B、三角形的内角和等于180°，则该命题是假命题，故B不符合题意；
C、两个锐角之和也可能为锐角或直角，不一定为钝角，则该命题是假命题，故C不符合题意；
D、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形，则该命题是真命题，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据对顶角的性质，三角形的内角和定理，角的分类，等边三角形的判定方法，结合真假命题的定义逐项进行判断即可.
5．（2025八上·道县期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：∵当天最高气温是，最低气温，
∴这天气温的变化范围是，
故答案为：D．
【分析】根据不等式的定义，由题意找出不等关系即可列出不等式，得到答案．
6．（2025八上·道县期末）安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（　　）
A．全等性 B．对称性 C．美观性 D．稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据题意，得这种方法应用的数学知识为三角形的稳定性，
故答案为：D．
【分析】由图可知钉在墙上的方法是构造三角形，根据三角形的稳定性即可求解.
7．（2025八上·道县期末）关于x的分式方程有增根，则m为（　　）
A．0 B． C．7 D．1
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同时乘以，得，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
把代入，解得，
故答案为：C．
【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，然后根据分式方程有增根，可知最简公分母为0，从而求出增根，进而把增根代入整式方程即可求得的值.
8．（2025八上·道县期末）如图，的周长是，，，垂足为点，则的长为（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，
∴，
的周长是，，
∴，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”性质可得，然后根据三角形的周长求出的长.
9．（2025八上·道县期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线尺规作图得到垂直平分，得，从而根据等腰三角形”等边对等角“性质得，进而根据三角形外角性质得，于是得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可求解．
10．（2025八上·道县期末）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；半角模型
【解析】【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，
∴，，，，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的周长为：，故①②③正确；
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：C．
【分析】将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，根据旋转的性质以及正方形的性质得，，，，，，从而得，进而推出三点共线，然后利用”半角模型“证明，得，，的周长为：，可判断①②③正确，接下来证明，，得，，即可推出，得，可判断④错误.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内．）
11．（2025八上·道县期末）比较大小：　 　2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了实数的大小比较，以及算术平方根的应用，先求得，结合，即可得到答案.
12．（2025八上·道县期末）若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是　 　．
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角是，
∴该等腰三角形的底角为，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形”等边对等角“的性质及三角形内角和定理即可求解．
13．（2025八上·道县期末）使 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
14．（2025八上·道县期末）不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项，得x>3+2，
合并同类项，得，
故答案为：．
【分析】根据解不等式的步骤进行求解．
15．（2025八上·道县期末）如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则　 　．
【答案】4
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得出，从而得，进而根据线段和差关系得出的长度.
16．（2025八上·道县期末）如果分式的值为0，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意，且
∴，
故答案为：．
【分析】根据分是的值为0的条件可得出：且，解得。
17．（2025八上·道县期末）年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格　 　元/千克．
【答案】20
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，
根据题意，得，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴类糖果的价格是：（元/千克），
故答案为：20．
【分析】设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，根据”花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同“可列出关于的分式方程，解方程即可求解.
18．（2025八上·道县期末）如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为　 　 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使，连接，
∵点是边上的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，有，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，使，连接，利用“倍长中线”全等模型证明，得，然后在中，根据三角形的三边关系即可求得的取值范围，于是可得出的取值范围.
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程．）
19．（2025八上·道县期末）计算：
【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用算术平方根，零指数幂，有理数乘方进行化简，然后进行加减运算.
20．（2025八上·道县期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号内的分式进行通分，然后进行分式乘法运算，最后代入数值进行计算即可.
21．（2025八上·道县期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是：，
∴把解集在数轴上表示出来如下图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可.
22．（2025八上·道县期末）已知实数a，b，c满足：，求：
（1）a，b，c的值．
（2）的算术平方根．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，，，
∴，，；
（2）解：由（1）可知，，，，
∴，
∴的算术平方根是．
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式化为，然后根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性得到的值；
（2）将（1）中所求值代入，然后根据算术平方根的定义进行求解.
（1）解：，
，
，，，
解得：，，；
（2）解：由（1）得：，，，
，
，
即的算术平方根是．
23．（2025八上·道县期末）如图，在中，、分别是、上一点，其中为的角平分线，．
（1）求证：．
（2）若，求的大小．
【答案】（1）证明：为的角平分线，
，
在和中，
（2）解：由（1）可得，
∵，
，
，
.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，利用全等三角形判定定理““即可得证结论；
（2）根据全等三角形对应角的性质得出，然后利用三角形外角的性质即可求解.
（1）证明：为的角平分线，
在和中，
（2）解：，
，
24．（2025八上·道县期末）某校为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举，积极开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共60个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的2倍，用240元单独购买某一种球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少3个．
（1）求篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若学校购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个，请问有几种购买方案？
【答案】（1）解：设篮球和排球的单价各是元，元，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴篮球和排球的单价各是80元，40元；
（2）解：设购买个篮球，则购买个排球，
根据题意，得，
解得：，
为正整数，
的值为30或31或32，
∴购买方案有如下三种：
方案一：购买篮球30个，购买排球30个；
方案二：购买篮球31个，购买排球29个；
方案三：购买篮球32个，购买排球28个．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球和排球的单价各是元，元，根据“用240元单独购买某一种球，购买篮球的数量比购买排球的数量少3个”列分式方程，解方程即可；
（2）设购买个篮球，则购买个排球，根据“购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个”列出一元一次不等式组，解不等式组，并求不等式组的正整数解即可.
（1）解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元．
由题意得，解得，
检验，当时，，
是原分式方程的解，且符合题意
答：篮球的单价是80元，排球的单价是40元．
（2）解：设购买个篮球，则购买个排球，由题意得：
，
解得：，
为整数，
取30或31或32
则购买方案有如下三种：
方案一：购买篮球30个，购买排球30个；
方案二：购买篮球31个，购买排球29个；
方案三：购买篮球32个，购买排球28个．
25．（2025八上·道县期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，．
（1）计算：，，；
（2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由．
【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题．
（3）①记，，…，，令，求的值．
②若将边长变为，，，…，试求的值．
【答案】解：（1）根据题意，得 ，
，
；
（2）猜想：，理由如下：
；
（3）①
；
②
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式，利用完全平方公式列式进行计算即可；
（2）由（1）所得结果作出猜想，然后根据正方形的面积公式，利用完全平方公式列式进行计算即可；
（3）①根据题意，得到进行化简后的结果，再代入数值进行计算即可；
②根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解．
26．（2025八上·道县期末）“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型．
（1）如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ．
（2）如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点．
（3）如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积．
【答案】（1）10
（2）证明：如图2，过点作交于点，过点作交于点，
，
，，
，
在 和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点是的中点；
（3）解：如图 3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵四边形，是正方形，
∴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可证：，
，
在和中，
，
，
，
∴，
∵，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1），，
，
，，
在和中，
，
，
，
∵，
，
故答案为：10.
【分析】（1）利用“一线三垂直”全等模型证明，得，根据线段和差关系，进行等量代换即可求解；
（2）过点作交于点，过点作交于点，利用“一线三垂直”全等模型证明，，得，然后证明，得，即可得证结论；
（3）过点作于点，过点作，交的延长线于点，结合正方形的性质，利用“一线三垂直”全等模型证明，，得，，然后证明，得，得到，求出结果即可.
（1）解：，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：10；
（2）证明：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N，
，
，
，
在 和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点F是的中点；
（3）解：如图 3，过E作于N，过G作的延长线于点M，
由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
同理可证：，
，
，
，
，
，
．
1 / 1湖南省永州市道县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八上·道县期末）下列实数中是无理数的是（　　）
A．0 B．1 C． D．
2．（2025八上·道县期末）下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·道县期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·道县期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．有的三角形内角和不是
C．两个锐角之和一定为钝角
D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
5．（2025八上·道县期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·道县期末）安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（　　）
A．全等性 B．对称性 C．美观性 D．稳定性
7．（2025八上·道县期末）关于x的分式方程有增根，则m为（　　）
A．0 B． C．7 D．1
8．（2025八上·道县期末）如图，的周长是，，，垂足为点，则的长为（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
9．（2025八上·道县期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则=（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·道县期末）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内．）
11．（2025八上·道县期末）比较大小：　 　2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
12．（2025八上·道县期末）若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是　 　．
13．（2025八上·道县期末）使 有意义的x的取值范围是　 　．
14．（2025八上·道县期末）不等式的解集是　 　．
15．（2025八上·道县期末）如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则　 　．
16．（2025八上·道县期末）如果分式的值为0，那么的值为　 　．
17．（2025八上·道县期末）年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了、两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多元，花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同，则类糖果的价格　 　元/千克．
18．（2025八上·道县期末）如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为　 　 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程．）
19．（2025八上·道县期末）计算：
20．（2025八上·道县期末）先化简，再求值：，其中．
21．（2025八上·道县期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
22．（2025八上·道县期末）已知实数a，b，c满足：，求：
（1）a，b，c的值．
（2）的算术平方根．
23．（2025八上·道县期末）如图，在中，、分别是、上一点，其中为的角平分线，．
（1）求证：．
（2）若，求的大小．
24．（2025八上·道县期末）某校为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举，积极开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共60个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的2倍，用240元单独购买某一种球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少3个．
（1）求篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若学校购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个，请问有几种购买方案？
25．（2025八上·道县期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，．
（1）计算：，，；
（2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由．
【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题．
（3）①记，，…，，令，求的值．
②若将边长变为，，，…，试求的值．
26．（2025八上·道县期末）“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型．
（1）如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ．
（2）如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点．
（3）如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、0是整数，是有理数，故A不符合题意；
B、1是整数，是有理数，故B不符合题意；
C、是整数，是有理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，掌握常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含的某些数；③有规律但是是无限不循环的小数.据此逐项进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】最简分式的概念；约分
【解析】【解答】解：A、，不是最简分式，故A不符合题意；
B 、是最简分式，故B符合题意；
C、，不是最简分式，故C不符合题意；
D、，不是最简分式，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简分式的定义，掌握一个分式的分子与分母没有公因式，结合分式的性质，据此逐项进行分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C正确；
D、，故D不正确；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂乘除法，合并同类项，幂的乘方，据此逐项进行计算判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，则该命题是假命题，故A不符合题意；
B、三角形的内角和等于180°，则该命题是假命题，故B不符合题意；
C、两个锐角之和也可能为锐角或直角，不一定为钝角，则该命题是假命题，故C不符合题意；
D、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形，则该命题是真命题，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据对顶角的性质，三角形的内角和定理，角的分类，等边三角形的判定方法，结合真假命题的定义逐项进行判断即可.
5．【答案】D
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：∵当天最高气温是，最低气温，
∴这天气温的变化范围是，
故答案为：D．
【分析】根据不等式的定义，由题意找出不等关系即可列出不等式，得到答案．
6．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据题意，得这种方法应用的数学知识为三角形的稳定性，
故答案为：D．
【分析】由图可知钉在墙上的方法是构造三角形，根据三角形的稳定性即可求解.
7．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同时乘以，得，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
把代入，解得，
故答案为：C．
【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，然后根据分式方程有增根，可知最简公分母为0，从而求出增根，进而把增根代入整式方程即可求得的值.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，
∴，
的周长是，，
∴，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”性质可得，然后根据三角形的周长求出的长.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线尺规作图得到垂直平分，得，从而根据等腰三角形”等边对等角“性质得，进而根据三角形外角性质得，于是得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可求解．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；半角模型
【解析】【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，
∴，，，，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的周长为：，故①②③正确；
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：C．
【分析】将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，根据旋转的性质以及正方形的性质得，，，，，，从而得，进而推出三点共线，然后利用”半角模型“证明，得，，的周长为：，可判断①②③正确，接下来证明，，得，，即可推出，得，可判断④错误.
11．【答案】＜
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了实数的大小比较，以及算术平方根的应用，先求得，结合，即可得到答案.
12．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角是，
∴该等腰三角形的底角为，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形”等边对等角“的性质及三角形内角和定理即可求解．
13．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项，得x>3+2，
合并同类项，得，
故答案为：．
【分析】根据解不等式的步骤进行求解．
15．【答案】4
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得出，从而得，进而根据线段和差关系得出的长度.
16．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意，且
∴，
故答案为：．
【分析】根据分是的值为0的条件可得出：且，解得。
17．【答案】20
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，
根据题意，得，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴类糖果的价格是：（元/千克），
故答案为：20．
【分析】设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克，根据”花元购买类糖果的数量与花元购买类糖果的数量相同“可列出关于的分式方程，解方程即可求解.
18．【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使，连接，
∵点是边上的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，有，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，使，连接，利用“倍长中线”全等模型证明，得，然后在中，根据三角形的三边关系即可求得的取值范围，于是可得出的取值范围.
19．【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用算术平方根，零指数幂，有理数乘方进行化简，然后进行加减运算.
20．【答案】解：原式，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号内的分式进行通分，然后进行分式乘法运算，最后代入数值进行计算即可.
21．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是：，
∴把解集在数轴上表示出来如下图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，，，
∴，，；
（2）解：由（1）可知，，，，
∴，
∴的算术平方根是．
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式化为，然后根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性得到的值；
（2）将（1）中所求值代入，然后根据算术平方根的定义进行求解.
（1）解：，
，
，，，
解得：，，；
（2）解：由（1）得：，，，
，
，
即的算术平方根是．
23．【答案】（1）证明：为的角平分线，
，
在和中，
（2）解：由（1）可得，
∵，
，
，
.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，利用全等三角形判定定理““即可得证结论；
（2）根据全等三角形对应角的性质得出，然后利用三角形外角的性质即可求解.
（1）证明：为的角平分线，
在和中，
（2）解：，
，
24．【答案】（1）解：设篮球和排球的单价各是元，元，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴篮球和排球的单价各是80元，40元；
（2）解：设购买个篮球，则购买个排球，
根据题意，得，
解得：，
为正整数，
的值为30或31或32，
∴购买方案有如下三种：
方案一：购买篮球30个，购买排球30个；
方案二：购买篮球31个，购买排球29个；
方案三：购买篮球32个，购买排球28个．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球和排球的单价各是元，元，根据“用240元单独购买某一种球，购买篮球的数量比购买排球的数量少3个”列分式方程，解方程即可；
（2）设购买个篮球，则购买个排球，根据“购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个”列出一元一次不等式组，解不等式组，并求不等式组的正整数解即可.
（1）解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元．
由题意得，解得，
检验，当时，，
是原分式方程的解，且符合题意
答：篮球的单价是80元，排球的单价是40元．
（2）解：设购买个篮球，则购买个排球，由题意得：
，
解得：，
为整数，
取30或31或32
则购买方案有如下三种：
方案一：购买篮球30个，购买排球30个；
方案二：购买篮球31个，购买排球29个；
方案三：购买篮球32个，购买排球28个．
25．【答案】解：（1）根据题意，得 ，
，
；
（2）猜想：，理由如下：
；
（3）①
；
②
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式，利用完全平方公式列式进行计算即可；
（2）由（1）所得结果作出猜想，然后根据正方形的面积公式，利用完全平方公式列式进行计算即可；
（3）①根据题意，得到进行化简后的结果，再代入数值进行计算即可；
②根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解．
26．【答案】（1）10
（2）证明：如图2，过点作交于点，过点作交于点，
，
，，
，
在 和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点是的中点；
（3）解：如图 3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵四边形，是正方形，
∴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可证：，
，
在和中，
，
，
，
∴，
∵，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1），，
，
，，
在和中，
，
，
，
∵，
，
故答案为：10.
【分析】（1）利用“一线三垂直”全等模型证明，得，根据线段和差关系，进行等量代换即可求解；
（2）过点作交于点，过点作交于点，利用“一线三垂直”全等模型证明，，得，然后证明，得，即可得证结论；
（3）过点作于点，过点作，交的延长线于点，结合正方形的性质，利用“一线三垂直”全等模型证明，，得，，然后证明，得，得到，求出结果即可.
（1）解：，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：10；
（2）证明：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N，
，
，
，
在 和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点F是的中点；
（3）解：如图 3，过E作于N，过G作的延长线于点M，
由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
同理可证：，
，
，
，
，
，
．
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