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湖南省怀化市2024-2025学年上学期九年级数学期末抽测卷
1．（2024九上·怀化期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数表达式为，
∴当时，，当时，，当时，，
∴BCD不符合题意，A符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解.
2．（2024九上·怀化期末）为了调查某市初中学生近视人数，小刚同学对自己所在城区的初中生近视人数做了调查，发现每4000初中生中，大约有800人近视．若该市初中生人数约为20万，据此小明推断出该市初中生的近视人数是（　　）
A．4万 B．0.4万 C．2万 D．0.2万
【答案】A
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：在调查中，每4000初中生中，大约有800人近视，
样本的频率为，
∴总体的频率为，
∴该市初中生人数约为20万中，估计近视人数是（万），
故答案为：A．
【分析】利用样本估计总体，求出样本的频率，即可得到总体的频率，然后用20万乘以频率即可.
3．（2024九上·怀化期末）如图，中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求余弦值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据余弦的定义，得到锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，据此即可求解.
4．（2024九上·怀化期末）将一元二次方程化成形如的形式，则pq的值为（　　）
A．150 B．100 C．50 D．25
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∴，
∵将一元二次方程化成形如的形式，
，
，
故答案为：B．
【分析】利用“配方法”解一元二次方程，把方程化为完全平方的形式，再进一步解答即可．
5．（2024九上·怀化期末）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根，即可求解.
6．（2024九上·怀化期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大，
∴ABD正确，C错误，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与性质逐项进行判断即可.
7．（2024九上·怀化期末）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，若，则（　　）
A．6 B．9 C．18 D．27
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
设，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∵和的面积分别为，，且，
，
，
故答案为：D．
【分析】先设，，，根据平行四边形的性质得，，从而得，然后证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案．
8．（2024九上·怀化期末）如图，在平面直角坐标系中，，，以坐标原点为位似中心，位似比为2，将在第一象限内放大，则点的对应点坐标为（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：以坐标原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍，，
∴点的对应点坐标为，
故答案为：A．
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此即可求解.
9．（2024九上·怀化期末）如图，每个小正方形的边长均为的顶点均在格点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
则，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点作，交的延长线于点，然后根据在直角三角形中，一个角的正切值等于对边比邻边，据此进行计算即可．
10．（2024九上·怀化期末）如图，四边形是矩形，点，反比例函数的图象分别与边交于点E，F，过点的直线与轴相交于点，连接，若，且点的横坐标为2，则的长为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，点的横坐标为
∴，，
∴，，
∴反比例函数表达式是，
∵，
∴，
，
∵四边形是矩形，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴
，
又点在反比例函数的图象上，
设，
∴，
，
，
解得：（舍去），
，
故答案为：C．
【分析】先求出点的坐标，得以及反比例函数的解析式，根据点坐标得到，从而得，然后根据矩形的性质得，利用“一线三等角”相似模型证明，根据相似三角形对应边成比例的性质推出，接下来设，得到，，进而根据点在双曲线上，列出方程进行求解即可．
11．（2024九上·怀化期末）已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：
a=b
=
故答案为：.
【分析】根据可得a=b，代入可得 =。
12．（2024九上·怀化期末）若点在反比例函数的图象上，则　 　n．（填“＞”“<”或“=”）
【答案】>
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故答案为：>.
【分析】将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再进行比较.
13．（2024九上·怀化期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴新的抛物线表达式为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数平移变换的规律：上加下减常数项，左加右减自变量，即可求解.
14．（2024九上·怀化期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
故答案为：．
【分析】将已知的根代入方程中，即可得到答案.
15．（2024九上·怀化期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵轴，的面积为3，
∴，
，
∴，
解得：，
∵反比例函数的图象在第二象限，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据轴，可得，根据反比例函数的几何意义以及函数图象所在象限可求出的值.
16．（2024九上·怀化期末）如图，一楼房后有一假山，其斜面坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从休息亭点测得楼顶点的仰角为，则楼房的高为　 　米．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；矩形底座模型
【解析】【解答】解：∵斜面坡度为，
∴在中，，
，
∵，
，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵在中，，
，
，
故答案为：.
【分析】根据斜面坡度以及特殊角的三角函数值得到，根据含30°角的直角三角形的性质得到的值，然后易证是矩形，根据矩形的性质得到的值，再根据即可求解．
17．（2024九上·怀化期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是　 　．
【答案】63
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，
这个两位数为，
十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数，
，
解得：或（舍去），
∴这个两位数为：，
故答案为： 63．
【分析】先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，然后用含的代数式把这个两位数表示出来，根据题意可列出关于的一元二次方程并解之即可求解.
18．（2024九上·怀化期末）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”意思是：不善行者先走10里路，善行者追他，走到100里路时，超过了不善行者20里路．问善行者走到多少里路时就赶上了不善行者？如图是善行者与不善行者行走路程（单位：里）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是　 　．
【答案】
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，记善行者到达100里路时为点，点是指不善行者先走10里路，点是指善行者走到100里路时，不善行者所走的路程，
则，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，，然后证明，根据相似三角形对应边成比例的性质得到，从而得，进而可求出交点的纵坐标.
19．（2024九上·怀化期末）解方程：．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
或，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用“因式分解法”解一元二次方程，先进行移项，然后利用提公因式法分解因式，然后根据两数乘积为这两个数至少有一个数为，得到两个一元一次方程并解之即可．
20．（2024九上·怀化期末）反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，求的值和反比例函数的表达式．
【答案】解：将代入，得，
，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】先将点坐标代入一次函数解析式得到的值，从而得到，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可.
21．（2024九上·怀化期末）2024年12月14日，某地区第十二届徒步越野赛在某国家地质公园开跑，总参赛人员约2000人，本赛事项目分为和10km徒步组共五项．为了解参赛人员的年龄，从五个项目中各随机抽取10名参赛人员，其年龄（单位：岁）统计如下：
徒步组10名参赛人员的年龄按序排列：21，27，27，30，32，32，32，38，50，51；
徒步组10名参赛人员的年龄按序排列：23，26，27，27，28，28，28，34，35，44；
徒步组10名参赛人员的年龄按序排列：25，26，27，28，28，30，31，31，31，43；
徒步组10名参赛人员的年龄按序排列：28，28，32，36，36，40，45，45，45，55；
整理并统计以上数据，得到如下统计表：
项目 平均数 中位数 众数
徒步组 34 32
徒步组 28 28
徒步组 30 31
徒步组 39 38 45
徒步组越野跑10名参赛人员年龄扇形统计图
将随机抽取的徒步组的10名参赛人员的年龄（用字母表示）分成4组：A组：，B组：，C组：，D组：，将数据统计整理，得到上面扇形统计图：
（1）填空：_______，________，_______；
（2）D组有_______人；扇形统计图中D组对应部分的圆心角为_____；
（3）若有200人参加徒步组越野跑，请估计其中年龄不小于40岁的人数．
【答案】（1）32，30，29
（2）1 ，36
（3）解：根据题意，得（人），
∴估计徒步组越野跑中年龄不小于40岁的人数为80人.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）徒步组10名参赛人员的年龄为32岁出现最多，
，
根据题意，得徒步组10名参赛人员的年龄平均数为：，
，
根据题意，得徒步组10名参赛人员的年龄处在第5，6位的年龄为28，30，
，
故答案为：32，30，29；
（2）根据题意，得组的人数为：（人），
圆心角的度数为：，
故答案为：1，36.
【分析】（1）根据众数，平均数，中位数的定义进行求解即可；
（2）用10乘以D组人数所占百分比即可求D组人数，用360°乘以D组所占百分比即可求出圆心角度数；
（3）利用样本估计总体，用总人数乘以样本徒步组越野跑中年龄不小于40岁的人数所占比求解即可．
（1）解：徒步组10名参赛人员的年龄为32岁出现最多，
，
徒步组10名参赛人员的年龄平均数为：，
，
由题意得：30km徒步组10名参赛人员的年龄处在第5，6位的年龄为28，30，
（2）解：徒步组越野跑的A组人数为（人），
徒步组越野跑的B组人数为（人），
徒步组越野跑的C组人数为（人），
徒步组越野跑的D组人数为（人）
圆心角的度数为：；
（3）解：（人）．
估计徒步组越野跑中年龄不小于40岁的人数为80人．
22．（2024九上·怀化期末）如图，在中，是的角平分线，分别交边于点，交的延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：平分，
，
四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
由（1）知，
，
∴，
，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形以及平行线的性质得到，结合，根据相似三角形的判定即可得证结论；
（2）根据角平分线的定义得，由平行四边形的性质得，，，，从而结合平行线的性质进行等量代换得，根据等腰三角形的判定可得，进而得到，根据平行线的性质得到，于是根据等腰三角形的判定可得，则，然后由（1）中的相似三角形对应边成比例可得的长度，即可求出的长度．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
由知，
，
即，
，
，即，
．
23．（2024九上·怀化期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
【答案】（1）解：在中，，，，
，
，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为。
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。
（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。
（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
24．（2024九上·怀化期末）近年来，某市为应对新能源市场发展，积极推进新能源基础设施建设，2022年初该市有充电桩100个，到2024年初该市的充电桩数量达到361个，该市充电桩的年平均增长率相同．
（1）求该市充电桩的年平均增长率；
（2）该市某企业积极响应政府的号召投身充电桩生产，已知每台充电桩成本为800元，售价为1000元，每月可销售100台．经市场调研发现，若每台售价每涨价50元，月销量就会减少5台．求每台充电桩的售价为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少？
【答案】（1）解：设该市充电桩的年平均增长率，
根据题意，得，
解得：（舍去），
∴该市充电桩的年平均增长率；
（2）解：设每台充电桩的售价为元时，月销售利润为元，
根据题意，得，
∴，
∴，
，
∴当时，有最大值，最大值为36000元，
∴每台充电桩的售价为1400元时，销售利润最大，最大销售利润是36000元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该市充电桩的年平均增长率，根据”2022年初该市有充电桩100个，到2024年初该市的充电桩数量达到361个“可列出关于的一元二次方程并解之即可；
（2）设每台充电桩的售价为元时，月销售利润为元，根据题意列出关于函数关系式并化为顶点式，然后利用二次函数的性质求出最值，即可求解．
（1）解：设该市充电桩的年平均增长率，
则，
解得（舍去）；
答：该市充电桩的年平均增长率．
（2）解：设每台充电桩的售价为元时，月销售利润为元，根据题意得：
，
，
，
，
有最大值，当时，（元）．
答：每台充电桩的售价为1400元时，销售利润最大，最大销售利润是36000元．
25．（2024九上·怀化期末）如图①，在中，，的面积为，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，到点时停止．在运动过程中，将射线绕点逆时针旋转得到射线，点在折线上，连接．设点的运动时间为秒（）．
（1）的长为_____________；
（2）当将的面积分为时，求的取值范围；
（3）如图②，当点在边上时，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
如图，当点在上，点在上，且时， 此时四边形与四边形的面积比为，
∴此时，
如图，当点在上，点与重合时，与四边形的面积比为， 此时，，
∴此时；
∴综上所述，或；
（3）解：如图②，连接，过点作于，则，
由（1）得到，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
由题知，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；求特殊角的三角函数值；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）如图①，过点作于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）过点作于点，根据平行四边形的面积可得，然后根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）分点在上，点在上和点在上，点与重合两种情况，分别画出图形解答即可；
（3）如图②，连接，过点作于，推出为等腰直角三角形，证明，根据相似三角形对应边成比例性质以及特殊角三角形函数值即可求解.
（1）解：如图①，过点作于，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
如图，当点在上，点在上，且时， 此时四边形与四边形的面积比为，
∴此时；
如图，当点在上，点与重合时，与四边形的面积比为， 此时，，
∴此时，
∴综上或；
（3）解：如图②，连接，过点作于，则，
由（）可得，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
由题知，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
26．（2024九上·怀化期末）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于B，C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，若点是抛物线上的两个点，，，若，请比较的大小；
（3）如图3，已知直线与直线交于点，与x，y轴分别相交于点D，E，试问抛物线在第三象限内是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
对称轴为直线，
，
解得：，
抛物线的表达式是；
（2）解：将代入，得，
，
，
，
，
，
解得：，，
，
，
当时，，
当时，；
（3）解：如图，过点作轴于点，
设，
直线与轴分别相交于点，
，
当时，解得或，
∴，，
直线经过，
直线表达式为，
，
，，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
解得：， 经检验符合题意，
，
．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；正切的概念；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点坐标代入抛物线表达式求出的值，由抛物线对称轴得到的值，即可求解；
（2）将点坐标代入抛物线表达式求出的值，结合，用含的代数式表示的值，从而可用含的代数式表示的值，然后结合，解方程得到的值，进而得的值且与0相比较，即可比较大小；
（3）过点作轴于点，设，求出，，，利用待定系数法求出直线表达式，得，结合三角形外角的性质以及对顶角相等证明，可得， 根据正切的定义得到关于的方程，解方程并进行检验即可得解.
（1）解：抛物线经过点，
，即，
对称轴为直线，
，即，
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
，
，
，解得：或，
，
，
当时，，
当时，；
（3）解：如图，过点作轴于点，设，
直线与x，y轴分别相交于点D，E，
，
当时，
∴或，
∴，，
直线经过，
直线表达式为，
，
，
，
即，
，
，
即，解得， 经检验符合题意，
，
点的坐标为．
1 / 1湖南省怀化市2024-2025学年上学期九年级数学期末抽测卷
1．（2024九上·怀化期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·怀化期末）为了调查某市初中学生近视人数，小刚同学对自己所在城区的初中生近视人数做了调查，发现每4000初中生中，大约有800人近视．若该市初中生人数约为20万，据此小明推断出该市初中生的近视人数是（　　）
A．4万 B．0.4万 C．2万 D．0.2万
3．（2024九上·怀化期末）如图，中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·怀化期末）将一元二次方程化成形如的形式，则pq的值为（　　）
A．150 B．100 C．50 D．25
5．（2024九上·怀化期末）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
6．（2024九上·怀化期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
7．（2024九上·怀化期末）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，若，则（　　）
A．6 B．9 C．18 D．27
8．（2024九上·怀化期末）如图，在平面直角坐标系中，，，以坐标原点为位似中心，位似比为2，将在第一象限内放大，则点的对应点坐标为（　　）
A． B．或
C． D．或
9．（2024九上·怀化期末）如图，每个小正方形的边长均为的顶点均在格点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·怀化期末）如图，四边形是矩形，点，反比例函数的图象分别与边交于点E，F，过点的直线与轴相交于点，连接，若，且点的横坐标为2，则的长为（　　）
A． B．2 C．1 D．
11．（2024九上·怀化期末）已知，则的值为　 　．
12．（2024九上·怀化期末）若点在反比例函数的图象上，则　 　n．（填“＞”“<”或“=”）
13．（2024九上·怀化期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式是　 　．
14．（2024九上·怀化期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为　 　．
15．（2024九上·怀化期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则的值为　 　．
16．（2024九上·怀化期末）如图，一楼房后有一假山，其斜面坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从休息亭点测得楼顶点的仰角为，则楼房的高为　 　米．
17．（2024九上·怀化期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是　 　．
18．（2024九上·怀化期末）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”意思是：不善行者先走10里路，善行者追他，走到100里路时，超过了不善行者20里路．问善行者走到多少里路时就赶上了不善行者？如图是善行者与不善行者行走路程（单位：里）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是　 　．
19．（2024九上·怀化期末）解方程：．
20．（2024九上·怀化期末）反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，求的值和反比例函数的表达式．
21．（2024九上·怀化期末）2024年12月14日，某地区第十二届徒步越野赛在某国家地质公园开跑，总参赛人员约2000人，本赛事项目分为和10km徒步组共五项．为了解参赛人员的年龄，从五个项目中各随机抽取10名参赛人员，其年龄（单位：岁）统计如下：
徒步组10名参赛人员的年龄按序排列：21，27，27，30，32，32，32，38，50，51；
徒步组10名参赛人员的年龄按序排列：23，26，27，27，28，28，28，34，35，44；
徒步组10名参赛人员的年龄按序排列：25，26，27，28，28，30，31，31，31，43；
徒步组10名参赛人员的年龄按序排列：28，28，32，36，36，40，45，45，45，55；
整理并统计以上数据，得到如下统计表：
项目 平均数 中位数 众数
徒步组 34 32
徒步组 28 28
徒步组 30 31
徒步组 39 38 45
徒步组越野跑10名参赛人员年龄扇形统计图
将随机抽取的徒步组的10名参赛人员的年龄（用字母表示）分成4组：A组：，B组：，C组：，D组：，将数据统计整理，得到上面扇形统计图：
（1）填空：_______，________，_______；
（2）D组有_______人；扇形统计图中D组对应部分的圆心角为_____；
（3）若有200人参加徒步组越野跑，请估计其中年龄不小于40岁的人数．
22．（2024九上·怀化期末）如图，在中，是的角平分线，分别交边于点，交的延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
23．（2024九上·怀化期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
24．（2024九上·怀化期末）近年来，某市为应对新能源市场发展，积极推进新能源基础设施建设，2022年初该市有充电桩100个，到2024年初该市的充电桩数量达到361个，该市充电桩的年平均增长率相同．
（1）求该市充电桩的年平均增长率；
（2）该市某企业积极响应政府的号召投身充电桩生产，已知每台充电桩成本为800元，售价为1000元，每月可销售100台．经市场调研发现，若每台售价每涨价50元，月销量就会减少5台．求每台充电桩的售价为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少？
25．（2024九上·怀化期末）如图①，在中，，的面积为，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，到点时停止．在运动过程中，将射线绕点逆时针旋转得到射线，点在折线上，连接．设点的运动时间为秒（）．
（1）的长为_____________；
（2）当将的面积分为时，求的取值范围；
（3）如图②，当点在边上时，求的值．
26．（2024九上·怀化期末）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于B，C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，若点是抛物线上的两个点，，，若，请比较的大小；
（3）如图3，已知直线与直线交于点，与x，y轴分别相交于点D，E，试问抛物线在第三象限内是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数表达式为，
∴当时，，当时，，当时，，
∴BCD不符合题意，A符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解.
2．【答案】A
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：在调查中，每4000初中生中，大约有800人近视，
样本的频率为，
∴总体的频率为，
∴该市初中生人数约为20万中，估计近视人数是（万），
故答案为：A．
【分析】利用样本估计总体，求出样本的频率，即可得到总体的频率，然后用20万乘以频率即可.
3．【答案】D
【知识点】求余弦值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据余弦的定义，得到锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，据此即可求解.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∴，
∵将一元二次方程化成形如的形式，
，
，
故答案为：B．
【分析】利用“配方法”解一元二次方程，把方程化为完全平方的形式，再进一步解答即可．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大，
∴ABD正确，C错误，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与性质逐项进行判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
设，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∵和的面积分别为，，且，
，
，
故答案为：D．
【分析】先设，，，根据平行四边形的性质得，，从而得，然后证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案．
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：以坐标原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍，，
∴点的对应点坐标为，
故答案为：A．
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此即可求解.
9．【答案】D
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，
则，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点作，交的延长线于点，然后根据在直角三角形中，一个角的正切值等于对边比邻边，据此进行计算即可．
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，点的横坐标为
∴，，
∴，，
∴反比例函数表达式是，
∵，
∴，
，
∵四边形是矩形，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴
，
又点在反比例函数的图象上，
设，
∴，
，
，
解得：（舍去），
，
故答案为：C．
【分析】先求出点的坐标，得以及反比例函数的解析式，根据点坐标得到，从而得，然后根据矩形的性质得，利用“一线三等角”相似模型证明，根据相似三角形对应边成比例的性质推出，接下来设，得到，，进而根据点在双曲线上，列出方程进行求解即可．
11．【答案】
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：
a=b
=
故答案为：.
【分析】根据可得a=b，代入可得 =。
12．【答案】>
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故答案为：>.
【分析】将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再进行比较.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴新的抛物线表达式为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数平移变换的规律：上加下减常数项，左加右减自变量，即可求解.
14．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
故答案为：．
【分析】将已知的根代入方程中，即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵轴，的面积为3，
∴，
，
∴，
解得：，
∵反比例函数的图象在第二象限，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据轴，可得，根据反比例函数的几何意义以及函数图象所在象限可求出的值.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；矩形底座模型
【解析】【解答】解：∵斜面坡度为，
∴在中，，
，
∵，
，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵在中，，
，
，
故答案为：.
【分析】根据斜面坡度以及特殊角的三角函数值得到，根据含30°角的直角三角形的性质得到的值，然后易证是矩形，根据矩形的性质得到的值，再根据即可求解．
17．【答案】63
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，
这个两位数为，
十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数，
，
解得：或（舍去），
∴这个两位数为：，
故答案为： 63．
【分析】先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，然后用含的代数式把这个两位数表示出来，根据题意可列出关于的一元二次方程并解之即可求解.
18．【答案】
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，记善行者到达100里路时为点，点是指不善行者先走10里路，点是指善行者走到100里路时，不善行者所走的路程，
则，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，，然后证明，根据相似三角形对应边成比例的性质得到，从而得，进而可求出交点的纵坐标.
19．【答案】解：∵，
∴，
∴，
或，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用“因式分解法”解一元二次方程，先进行移项，然后利用提公因式法分解因式，然后根据两数乘积为这两个数至少有一个数为，得到两个一元一次方程并解之即可．
20．【答案】解：将代入，得，
，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】先将点坐标代入一次函数解析式得到的值，从而得到，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可.
21．【答案】（1）32，30，29
（2）1 ，36
（3）解：根据题意，得（人），
∴估计徒步组越野跑中年龄不小于40岁的人数为80人.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）徒步组10名参赛人员的年龄为32岁出现最多，
，
根据题意，得徒步组10名参赛人员的年龄平均数为：，
，
根据题意，得徒步组10名参赛人员的年龄处在第5，6位的年龄为28，30，
，
故答案为：32，30，29；
（2）根据题意，得组的人数为：（人），
圆心角的度数为：，
故答案为：1，36.
【分析】（1）根据众数，平均数，中位数的定义进行求解即可；
（2）用10乘以D组人数所占百分比即可求D组人数，用360°乘以D组所占百分比即可求出圆心角度数；
（3）利用样本估计总体，用总人数乘以样本徒步组越野跑中年龄不小于40岁的人数所占比求解即可．
（1）解：徒步组10名参赛人员的年龄为32岁出现最多，
，
徒步组10名参赛人员的年龄平均数为：，
，
由题意得：30km徒步组10名参赛人员的年龄处在第5，6位的年龄为28，30，
（2）解：徒步组越野跑的A组人数为（人），
徒步组越野跑的B组人数为（人），
徒步组越野跑的C组人数为（人），
徒步组越野跑的D组人数为（人）
圆心角的度数为：；
（3）解：（人）．
估计徒步组越野跑中年龄不小于40岁的人数为80人．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：平分，
，
四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
由（1）知，
，
∴，
，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形以及平行线的性质得到，结合，根据相似三角形的判定即可得证结论；
（2）根据角平分线的定义得，由平行四边形的性质得，，，，从而结合平行线的性质进行等量代换得，根据等腰三角形的判定可得，进而得到，根据平行线的性质得到，于是根据等腰三角形的判定可得，则，然后由（1）中的相似三角形对应边成比例可得的长度，即可求出的长度．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
由知，
，
即，
，
，即，
．
23．【答案】（1）解：在中，，，，
，
，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为。
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。
（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。
（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
24．【答案】（1）解：设该市充电桩的年平均增长率，
根据题意，得，
解得：（舍去），
∴该市充电桩的年平均增长率；
（2）解：设每台充电桩的售价为元时，月销售利润为元，
根据题意，得，
∴，
∴，
，
∴当时，有最大值，最大值为36000元，
∴每台充电桩的售价为1400元时，销售利润最大，最大销售利润是36000元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该市充电桩的年平均增长率，根据”2022年初该市有充电桩100个，到2024年初该市的充电桩数量达到361个“可列出关于的一元二次方程并解之即可；
（2）设每台充电桩的售价为元时，月销售利润为元，根据题意列出关于函数关系式并化为顶点式，然后利用二次函数的性质求出最值，即可求解．
（1）解：设该市充电桩的年平均增长率，
则，
解得（舍去）；
答：该市充电桩的年平均增长率．
（2）解：设每台充电桩的售价为元时，月销售利润为元，根据题意得：
，
，
，
，
有最大值，当时，（元）．
答：每台充电桩的售价为1400元时，销售利润最大，最大销售利润是36000元．
25．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
如图，当点在上，点在上，且时， 此时四边形与四边形的面积比为，
∴此时，
如图，当点在上，点与重合时，与四边形的面积比为， 此时，，
∴此时；
∴综上所述，或；
（3）解：如图②，连接，过点作于，则，
由（1）得到，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
由题知，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；求特殊角的三角函数值；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）如图①，过点作于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）过点作于点，根据平行四边形的面积可得，然后根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）分点在上，点在上和点在上，点与重合两种情况，分别画出图形解答即可；
（3）如图②，连接，过点作于，推出为等腰直角三角形，证明，根据相似三角形对应边成比例性质以及特殊角三角形函数值即可求解.
（1）解：如图①，过点作于，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
如图，当点在上，点在上，且时， 此时四边形与四边形的面积比为，
∴此时；
如图，当点在上，点与重合时，与四边形的面积比为， 此时，，
∴此时，
∴综上或；
（3）解：如图②，连接，过点作于，则，
由（）可得，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
由题知，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
对称轴为直线，
，
解得：，
抛物线的表达式是；
（2）解：将代入，得，
，
，
，
，
，
解得：，，
，
，
当时，，
当时，；
（3）解：如图，过点作轴于点，
设，
直线与轴分别相交于点，
，
当时，解得或，
∴，，
直线经过，
直线表达式为，
，
，，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
解得：， 经检验符合题意，
，
．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；正切的概念；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点坐标代入抛物线表达式求出的值，由抛物线对称轴得到的值，即可求解；
（2）将点坐标代入抛物线表达式求出的值，结合，用含的代数式表示的值，从而可用含的代数式表示的值，然后结合，解方程得到的值，进而得的值且与0相比较，即可比较大小；
（3）过点作轴于点，设，求出，，，利用待定系数法求出直线表达式，得，结合三角形外角的性质以及对顶角相等证明，可得， 根据正切的定义得到关于的方程，解方程并进行检验即可得解.
（1）解：抛物线经过点，
，即，
对称轴为直线，
，即，
抛物线的表达式为；
（2）解：点是抛物线上的两个点，
，
，
，
，
，
，解得：或，
，
，
当时，，
当时，；
（3）解：如图，过点作轴于点，设，
直线与x，y轴分别相交于点D，E，
，
当时，
∴或，
∴，，
直线经过，
直线表达式为，
，
，
，
即，
，
，
即，解得， 经检验符合题意，
，
点的坐标为．
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