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河北省廊坊市固安县2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题
1．（2025七上·固安月考）已知下列方程：①x＝2；②＝3；③＝2x－1；④2x2＝1；⑤x＝2；⑥2x＋y＝1.其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025七上·固安月考）根据等式的性质，下列变形正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2025七上·固安月考）观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（　　）
A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍
4．（2025七上·固安月考）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七上·固安月考）当时，式子的值为3，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
6．（2025七上·固安月考）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2025七上·固安月考）对方程去分母，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七上·固安月考）实验室中有一杯含糖率为的糖水120克，通过蒸馏能将含糖率提高到原来的2倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程：，则未知数表示的意义是（　　）
A．加入的糖重量 B．原有的糖重量
C．原有水的重量 D．蒸发掉的水的重量
9．（2025七上·固安月考）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭，所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七上·固安月考）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，《孙子算经》中有一道“绳索测木”的题，受这类题的启发，嘉嘉找来一根绳子测量书桌的长度，方法及测量数据如下：先直接用绳子去量，则绳子比书桌长50cm；再将绳子对折后去量，则绳子比书桌短．下列说法正确的是（　　）
A．设书桌的长为，可列方程为
B．设绳子的长为，可列方程为
C．绳子的长为
D．书桌的长为
11．（2025七上·固安月考）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面题目中的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
题目：如果，，为实数，且满足．那么．
推理过程如下：
第一步：根据上述题目条件有；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有，，；②
第三步：把②代入①，可得；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；④
第五步：把④两边同时除以，得．⑤
请你判断上述推理过程中，第（　　）步是错误的，它违背了数学的基本法则
A．二 B．三 C．四 D．五
12．（2025七上·固安月考）将正整数1至1050按一定规律排列如图所示，从表中任取一个的方框，方框中九个数的和可能是（　　）．
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
… … … … … … …
A．2025 B．2018 C．2016 D．2007
13．（2025七上·固安月考）已知是关于的方程的解，则的值为　 　．
14．（2025七上·固安月考）若与互为相反数，则的值为　 　．
15．（2025七上·固安月考）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1
小明投中A区次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分14分，则的值为　 　．
16．（2025七上·固安月考）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是　 　．
17．（2025七上·固安月考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（2025七上·固安月考）在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为．
（1）求的值；
（2）写出正确的求解过程．
19．（2025七上·固安月考）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？
20．（2025七上·固安月考）若是关于的一元一次方程．
（1）求的值；
（2）若该方程与关于的方程的解相同，求的值；
（3）若表示不大于的最大整数，求的值．
21．（2025七上·固安月考）小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受．
优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张．
优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折．
小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元．
（1）请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？
（2）小麦如何付款最省钱？
22．（2025七上·固安月考）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
23．（2025七上·固安月考）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．满足，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发， 以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回点A处，机器人M到达点A立即停止，在机器人M返回点A的同时，机器人N以原速返回向点B方向运动．设机器人M运动时间为秒．
（1）点A与点B之间的距离是 ；
（2）求两个机器人M、N相遇的时间及相遇点P所表示的数；
（3）两个机器人在相遇点P返回后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由．
24．（2025七上·固安月考）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了　 　分钟，从B站到C站行驶了　 　分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
① ▲ ；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】①x=2是一元一次方程；②=3是分式方程；
③=2x-1是一元一次方程；
④2x2=1是一元二次方程；
⑤x=2是一元一次方程；
⑥2x+y=1是二元一次方程，
故答案为B．
【分析】本题考查一元一次方程的概念及判定标准，核心是把握“只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程”这三个条件。先逐一分析每个方程：①仅含x一个未知数，次数为1且是整式，符合定义；②分母含未知数x，属于分式方程，不满足整式要求；③只含x，次数为1，整式方程，符合条件；④未知数x的次数是2，属于一元二次方程，不符合；⑤仅含x，次数为1，整式方程，符合；⑥含x和y两个未知数，是二元一次方程，不符合，通过这样的筛选可确定符合条件的方程个数。
2．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、若，则或，故该选项错误，不符合题意；
B、若，当时，则不一定等于，故该选项错误，不符合题意；
C、若，则，故该选项正确，符合题意；
D、若，则，故该选项错误，不符合题意．
故选：C
【分析】根据等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y，
由题意
∴
∴一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍．
故答案为：C
【分析】本题考查等式性质在实际质量问题中的应用，需通过设未知数将天平平衡关系转化为代数方程。设羽毛球质量为x，乒乓球质量为y，根据天平左边“1个羽毛球+9个乒乓球”与右边“3个羽毛球+1个乒乓球”质量相等，列出。利用等式性质，将含x的项移到右边，含y的项移到左边，得到，合并同类项化简为，进一步得出，即羽毛球质量是乒乓球的4倍。
4．【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得，
，
∴，
故选：．
【分析】将x=1代入方程即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵当时，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】本题考查代数式求值与一元一次方程的解法，先将代入代数式，结合值为3的条件建立关于a的方程。代入后得到，先计算乘方，再进行乘法运算、，化简为。合并同类项得，移项后，系数化为1求出。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：B
【分析】本题考查程序框图与一元一次方程的结合，需先解读程序运算逻辑：输入x后，经过“6倍减3”的运算得到输出结果。根据输出为15，建立方程。求解时，先将移到右边变号，得到，再将系数化为1，两边除以6，求出。
7．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：，
两边同乘10得：
化简得：
∴去分母后为．
故答案为D．
【分析】本题考查一元一次方程去分母的核心方法，需利用等式性质2，给方程两边乘所有分母的最小公倍数。方程分母为2和5，最小公倍数是10，因此给两边每一项都乘10。左边，右边，注意右边常数项不能漏乘10，最终得到去分母后的方程。
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】根据方程可知，x表示的意义是蒸发掉的水的重量．
故答案为：D
【分析】本题考查一元一次方程在浓度问题中的应用，核心等量关系是“蒸馏过程中糖的质量不变”。原糖水120克，含糖率5%，糖的质量为；蒸馏后含糖率变为10%，糖水质量因蒸发水分减少，设蒸发的水为x克，剩余糖水质量为，对应糖的质量为。由于糖的质量不变，两者相等列出方程，故x表示蒸发掉的水的重量。
9．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设经过x天能够相遇，根据题意得
.
故答案为：A.
【分析】根据关键已知条件：凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，何日相逢，列方程即可.
10．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设书桌的长为，可列方程为，故选项A错误，不符合题意；
设绳子的长为，可列方程为，故选项B错误，不符合题意；
设书桌的长为，可列方程为，
解得，
，
即书桌的长为，绳子的长为，故选项C正确，符合题意；选项D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查行程问题中的相遇问题，需将南海到北海的全程看作单位“1”，结合速度、时间、路程的关系列方程。野鸭7天走完全程，速度为每天；大雁9天走完全程，速度为每天。相遇时，两者行驶路程之和为全程1，根据“路程=速度×时间”，x天内野鸭路程为，大雁路程为，因此列出方程。
11．【答案】D
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵从条件可得，
∴第四步变形得到的等式成立，但第五步两边同时除以时，由于，违背了除数不能为零的数学基本法则，
∴第五步错误．
故答案为：D
【分析】本题考查等式的核心性质，重点关注“除数不能为零”的要求。由第一步条件，可变形得，因此第四步实际是，等式成立。但第五步中，等式两边同时除以，而，违背了“等式两边同时除以的数不能为零”的数学法则，导致错误结论。
12．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】观察表格中的数据可知，能组成3方框的a值需满足：且，这里k为正整数（即从第六列、第七列开始的方框不存在）．
方框中九个数的和，故九个数之和必须满足是9的倍数，将变形得：，
对于A选项，由于，a属于型，故A错误；
对于B选项，由于不是9的倍数，故B错误；
对于C选项，由于，属于型，故C错误；
对于D选项，由于，不属于型，故D正确．
组成的方框为，九个数之和为2007．
故答案为：D．
【分析】本题考查规律型数字变化与一元一次方程的应用，先分析方框组成条件：每行7个数，因此方框的第一个数a不能在第六、七列（即且，k为正整数）。设方框左上角为a，根据排列规律，九个数可表示为a、a+1、a+2、a+7、a+8、a+9、a+14、a+15、a+16，求和得，说明和必为9的倍数。排除非9的倍数的B选项，再计算其余选项的a值：A选项（型，不符合）；C选项（型，不符合）；D选项（符合条件）。
13．【答案】5
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
∴将代入方程，
得，
移项得．
故答案为：5．
【分析】本题考查一元一次方程解的定义，方程的解能使左右两边相等，将代入方程，得到。通过移项将常数项2移到右边变号，求出。
14．【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴，
去分母，方程两边同乘3，得，
合并同类项，得，
移项，得，
系数化为1，得．
故答案为：．
【分析】本题考查相反数的性质与一元一次方程的解法，互为相反数的两数和为0，因此建立方程。方程两边乘3去分母，得到，合并同类项得，移项后，系数化为1求出。
15．【答案】5
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
故答案为：5．
【分析】本题考查一元一次方程在计分问题中的应用，先明确投镖总次数10次，投中A区k次、B区3次，脱靶次数为次。根据计分规则，A区得分分，B区得分分，脱靶得分分，总得分14分，建立方程。化简得，合并同类项得，移项后，系数化为1求出。
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为，
∴乙想的数为，戊想的数为，
∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6，
∴ ，
解得．
∴甲同学心中所想的数是，
故答案为∶．
【分析】本题考查一元一次方程在猜数游戏中的应用，设甲心中的数为x，根据游戏规则推导其他同学的数：丙与甲相邻，丙说出的和为10，故丙的数为；丁与丙相邻，丁说出的和为12，故丁的数为；乙与丁相邻，乙说出的和为8，故乙的数为；戊与乙相邻，戊说出的和为16，故戊的数为。甲说出乙和戊的和为6，建立方程，化简求解得。
17．【答案】（1）解：移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
（2）去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
（3）去分母，得
去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)本题考察一元一次方程的基本解法，核心是移项与合并同类项。先将含x的项移到左边，常数项移到右边，移项变号得；合并同类项得；系数化为1，两边除以8，求出。
(2) 本题考察含括号的一元一次方程解法，先按去括号法则去掉括号，括号前是负号需变号，得到；再移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，变号得；合并同类项得；系数化为1，两边除以，求出。
(3)本题考察含分母的一元一次方程解法，先找分母2和3的最小公倍数6，两边乘6去分母得；去括号变号得；移项得；合并同类项得；系数化为1，两边除以5，求出。
（1）解：移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
（2）去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
（3）去分母，得
去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
18．【答案】（1）解：∵在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，∴把代入方程得
，
，
，
，
；
（2）解：方程，
，
，
，
．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)本题考察一元一次方程的错误解法与参数求解，小颖漏乘右边的-2，因此错误方程为。由于是该错误方程的解，将其代入得；计算左边得30，右边化简为；建立方程，移项得，系数化为1求出。
(2) 本题考察一元一次方程的正确解法，将代入原方程，得到。两边乘15去分母得；去括号得；移项得；合并同类项得；系数化为1，求出。
（1）解：∵在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，
∴把代入方程得
，
，
，
，
；
（2）解：方程，
，
，
，
．
19．【答案】解：设牧童有人，根据题意，得
，
解得，
所以．
答：有24个牧童，50个杏．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程在分配问题中的应用，核心是“杏的总数不变”。设牧童有x人，根据“3人一组，每组5个多10个”，杏的总数为；根据“4人一组，每组8个多2个”，杏的总数为。令两者相等建立方程，两边乘3去分母得；移项得；系数化为1得，代入求得杏的总数为。
20．【答案】（1）解：由题意得且，
所以．
答：的值为．
（2）解：由（1）可知，，
则方程可化为，
解得，．
将代入方程，
得，
即，
解得，．
答：的值为．
（3）解：，
．
答：的值为．
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；求代数式的值-直接代入求值；一元一次方程-同解问题
【解析】【分析】(1)本题考察一元一次方程的定义，需满足“未知数次数为1”且“一次项系数不为0”。由次数条件，解得，即或；再由系数条件，排除，故。
(2)本题考察一元一次方程解的应用，将代入原方程，得到，求解得。由于两方程解相同，将代入，得到；移项得；系数化为1求出。
(3)本题考察取整函数的应用，将代入表达式，计算得。根据取整定义，不大于的最大整数是，故结果为。
（1）解：由题意得且，
所以．
答：的值为．
（2）解：由（1）可知，，
则方程可化为，
解得，．
将代入方程，
得，
即，
解得，．
答：的值为．
（3）解：，
．
答：的值为．
21．【答案】（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，
由题意得，
解得，
答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折；
（2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）；
若买2张代金券，需要付款（元）；
若买3张代金券，需要付款（元）；
因为，
所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元；
优惠方式B：需付182元，
故小麦应买3张代金券最省钱．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)本题考察一元一次方程在折扣问题中的应用，设其余菜品打x折，总消费中锅底50元不打折，菜品费用为元。根据“锅底费用+打折后菜品费用=付款金额”，建立方程；化简得；移项得；系数化为1得，即打6折。
(2)本题考察优惠方案的比较选择，分别计算优惠方式A不同使用情况的费用：买1张代金券付款元；买2张付款元；买3张付款元（3张抵300元，覆盖270元）。优惠方式B需付182元，对比可知买3张代金券最省钱，付款150元。
（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，
由题意得，
解得，
答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折；
（2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）；
若买2张代金券，需要付款（元）；
若买3张代金券，需要付款（元）；
因为，
所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元；
优惠方式B：需付182元，
故小麦应买3张代金券最省钱．
22．【答案】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，
由，可得：，解得：；
所以这只风筝的骨架的总高．
答：这只风筝的骨架的总高．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，根据建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）13
（2）解：根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，∴，
解得：，
此时点P表示的数为；
综上所述，M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5；
（3）解：根据题意得：M返回A时，，当时，点M表示的数为，点N表示的数为，
∵机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10，
∴，
解得：，
此时点N表示的数为；
当时，，则，
解得：，
此时，N对应的数为18；
综上所述，时，N对应的数为；时，N对应的数为18．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；数轴的线段和差倍分问题；数轴的动点变速问题
【解析】【解答】（1）解：∵，∴，
解得：，
∴点A表示的数为，点B表示的数为8，
∴点A与点B之间的距离是；
故答案为：13
【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，进而求解两点距离；
（2）设点M的运动时间为t秒，其位置可表示为，点N的位置为，通过建立方程求解；
（3）考虑M返回A点的时间为7.5秒，分两种情况讨论：①当时；②当时，分别求解。
（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴点A表示的数为，点B表示的数为8，
∴点A与点B之间的距离是；
故答案为：13
（2）解：根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，
∴，
解得：，
此时点P表示的数为；
综上所述，M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5；
（3）解：根据题意得：M返回A时，，
当时，点M表示的数为，点N表示的数为，
∵机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10，
∴，
解得：，
此时点N表示的数为；
当时，，则，
解得：，
此时，N对应的数为18；
综上所述，时，N对应的数为；时，N对应的数为18．
24．【答案】（1）90；60
（2）解：①；
②（千米/分钟），，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，
，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，
G1002次列车从A站到C站共需分钟，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】（1）用D1001B站的到车时间减去A站的发车时间，即可求出D1001次列车从A站到B站行驶了多少分钟；用D1001C站到站时间减去B站的发车时间，即可求出D1001次列车从B站到C站行驶了多少分钟；
（2）①用D1001到达C站的时间减去A站的发车时间，再减去经过B站中途停留的20分钟，求出D1001次列车从A站到C站需要的时间，用 G1002 到达C站的时间减去A站的发车时间，求出G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；
②根据①求出的比例，将代入中，求出的值， 进而求出A与B站之间的路程，用A和B之间的路程除以，求出t的之间，可知G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，分，，，四种情况进行讨论，最后再根据题意，列出关于t的方程即可求解。
（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，
G1002次列车从A站到C站共需分钟，
∴，
∴，
故答案为：；
②（千米/分钟），，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
1 / 1河北省廊坊市固安县2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题
1．（2025七上·固安月考）已知下列方程：①x＝2；②＝3；③＝2x－1；④2x2＝1；⑤x＝2；⑥2x＋y＝1.其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】①x=2是一元一次方程；②=3是分式方程；
③=2x-1是一元一次方程；
④2x2=1是一元二次方程；
⑤x=2是一元一次方程；
⑥2x+y=1是二元一次方程，
故答案为B．
【分析】本题考查一元一次方程的概念及判定标准，核心是把握“只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程”这三个条件。先逐一分析每个方程：①仅含x一个未知数，次数为1且是整式，符合定义；②分母含未知数x，属于分式方程，不满足整式要求；③只含x，次数为1，整式方程，符合条件；④未知数x的次数是2，属于一元二次方程，不符合；⑤仅含x，次数为1，整式方程，符合；⑥含x和y两个未知数，是二元一次方程，不符合，通过这样的筛选可确定符合条件的方程个数。
2．（2025七上·固安月考）根据等式的性质，下列变形正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、若，则或，故该选项错误，不符合题意；
B、若，当时，则不一定等于，故该选项错误，不符合题意；
C、若，则，故该选项正确，符合题意；
D、若，则，故该选项错误，不符合题意．
故选：C
【分析】根据等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025七上·固安月考）观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（　　）
A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y，
由题意
∴
∴一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍．
故答案为：C
【分析】本题考查等式性质在实际质量问题中的应用，需通过设未知数将天平平衡关系转化为代数方程。设羽毛球质量为x，乒乓球质量为y，根据天平左边“1个羽毛球+9个乒乓球”与右边“3个羽毛球+1个乒乓球”质量相等，列出。利用等式性质，将含x的项移到右边，含y的项移到左边，得到，合并同类项化简为，进一步得出，即羽毛球质量是乒乓球的4倍。
4．（2025七上·固安月考）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得，
，
∴，
故选：．
【分析】将x=1代入方程即可求出答案.
5．（2025七上·固安月考）当时，式子的值为3，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵当时，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】本题考查代数式求值与一元一次方程的解法，先将代入代数式，结合值为3的条件建立关于a的方程。代入后得到，先计算乘方，再进行乘法运算、，化简为。合并同类项得，移项后，系数化为1求出。
6．（2025七上·固安月考）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：B
【分析】本题考查程序框图与一元一次方程的结合，需先解读程序运算逻辑：输入x后，经过“6倍减3”的运算得到输出结果。根据输出为15，建立方程。求解时，先将移到右边变号，得到，再将系数化为1，两边除以6，求出。
7．（2025七上·固安月考）对方程去分母，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：，
两边同乘10得：
化简得：
∴去分母后为．
故答案为D．
【分析】本题考查一元一次方程去分母的核心方法，需利用等式性质2，给方程两边乘所有分母的最小公倍数。方程分母为2和5，最小公倍数是10，因此给两边每一项都乘10。左边，右边，注意右边常数项不能漏乘10，最终得到去分母后的方程。
8．（2025七上·固安月考）实验室中有一杯含糖率为的糖水120克，通过蒸馏能将含糖率提高到原来的2倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程：，则未知数表示的意义是（　　）
A．加入的糖重量 B．原有的糖重量
C．原有水的重量 D．蒸发掉的水的重量
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】根据方程可知，x表示的意义是蒸发掉的水的重量．
故答案为：D
【分析】本题考查一元一次方程在浓度问题中的应用，核心等量关系是“蒸馏过程中糖的质量不变”。原糖水120克，含糖率5%，糖的质量为；蒸馏后含糖率变为10%，糖水质量因蒸发水分减少，设蒸发的水为x克，剩余糖水质量为，对应糖的质量为。由于糖的质量不变，两者相等列出方程，故x表示蒸发掉的水的重量。
9．（2025七上·固安月考）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭，所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设经过x天能够相遇，根据题意得
.
故答案为：A.
【分析】根据关键已知条件：凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，何日相逢，列方程即可.
10．（2025七上·固安月考）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，《孙子算经》中有一道“绳索测木”的题，受这类题的启发，嘉嘉找来一根绳子测量书桌的长度，方法及测量数据如下：先直接用绳子去量，则绳子比书桌长50cm；再将绳子对折后去量，则绳子比书桌短．下列说法正确的是（　　）
A．设书桌的长为，可列方程为
B．设绳子的长为，可列方程为
C．绳子的长为
D．书桌的长为
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设书桌的长为，可列方程为，故选项A错误，不符合题意；
设绳子的长为，可列方程为，故选项B错误，不符合题意；
设书桌的长为，可列方程为，
解得，
，
即书桌的长为，绳子的长为，故选项C正确，符合题意；选项D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查行程问题中的相遇问题，需将南海到北海的全程看作单位“1”，结合速度、时间、路程的关系列方程。野鸭7天走完全程，速度为每天；大雁9天走完全程，速度为每天。相遇时，两者行驶路程之和为全程1，根据“路程=速度×时间”，x天内野鸭路程为，大雁路程为，因此列出方程。
11．（2025七上·固安月考）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面题目中的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
题目：如果，，为实数，且满足．那么．
推理过程如下：
第一步：根据上述题目条件有；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有，，；②
第三步：把②代入①，可得；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；④
第五步：把④两边同时除以，得．⑤
请你判断上述推理过程中，第（　　）步是错误的，它违背了数学的基本法则
A．二 B．三 C．四 D．五
【答案】D
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵从条件可得，
∴第四步变形得到的等式成立，但第五步两边同时除以时，由于，违背了除数不能为零的数学基本法则，
∴第五步错误．
故答案为：D
【分析】本题考查等式的核心性质，重点关注“除数不能为零”的要求。由第一步条件，可变形得，因此第四步实际是，等式成立。但第五步中，等式两边同时除以，而，违背了“等式两边同时除以的数不能为零”的数学法则，导致错误结论。
12．（2025七上·固安月考）将正整数1至1050按一定规律排列如图所示，从表中任取一个的方框，方框中九个数的和可能是（　　）．
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
… … … … … … …
A．2025 B．2018 C．2016 D．2007
【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】观察表格中的数据可知，能组成3方框的a值需满足：且，这里k为正整数（即从第六列、第七列开始的方框不存在）．
方框中九个数的和，故九个数之和必须满足是9的倍数，将变形得：，
对于A选项，由于，a属于型，故A错误；
对于B选项，由于不是9的倍数，故B错误；
对于C选项，由于，属于型，故C错误；
对于D选项，由于，不属于型，故D正确．
组成的方框为，九个数之和为2007．
故答案为：D．
【分析】本题考查规律型数字变化与一元一次方程的应用，先分析方框组成条件：每行7个数，因此方框的第一个数a不能在第六、七列（即且，k为正整数）。设方框左上角为a，根据排列规律，九个数可表示为a、a+1、a+2、a+7、a+8、a+9、a+14、a+15、a+16，求和得，说明和必为9的倍数。排除非9的倍数的B选项，再计算其余选项的a值：A选项（型，不符合）；C选项（型，不符合）；D选项（符合条件）。
13．（2025七上·固安月考）已知是关于的方程的解，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
∴将代入方程，
得，
移项得．
故答案为：5．
【分析】本题考查一元一次方程解的定义，方程的解能使左右两边相等，将代入方程，得到。通过移项将常数项2移到右边变号，求出。
14．（2025七上·固安月考）若与互为相反数，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴，
去分母，方程两边同乘3，得，
合并同类项，得，
移项，得，
系数化为1，得．
故答案为：．
【分析】本题考查相反数的性质与一元一次方程的解法，互为相反数的两数和为0，因此建立方程。方程两边乘3去分母，得到，合并同类项得，移项后，系数化为1求出。
15．（2025七上·固安月考）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1
小明投中A区次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分14分，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
故答案为：5．
【分析】本题考查一元一次方程在计分问题中的应用，先明确投镖总次数10次，投中A区k次、B区3次，脱靶次数为次。根据计分规则，A区得分分，B区得分分，脱靶得分分，总得分14分，建立方程。化简得，合并同类项得，移项后，系数化为1求出。
16．（2025七上·固安月考）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为，
∴乙想的数为，戊想的数为，
∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6，
∴ ，
解得．
∴甲同学心中所想的数是，
故答案为∶．
【分析】本题考查一元一次方程在猜数游戏中的应用，设甲心中的数为x，根据游戏规则推导其他同学的数：丙与甲相邻，丙说出的和为10，故丙的数为；丁与丙相邻，丁说出的和为12，故丁的数为；乙与丁相邻，乙说出的和为8，故乙的数为；戊与乙相邻，戊说出的和为16，故戊的数为。甲说出乙和戊的和为6，建立方程，化简求解得。
17．（2025七上·固安月考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
（2）去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
（3）去分母，得
去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)本题考察一元一次方程的基本解法，核心是移项与合并同类项。先将含x的项移到左边，常数项移到右边，移项变号得；合并同类项得；系数化为1，两边除以8，求出。
(2) 本题考察含括号的一元一次方程解法，先按去括号法则去掉括号，括号前是负号需变号，得到；再移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，变号得；合并同类项得；系数化为1，两边除以，求出。
(3)本题考察含分母的一元一次方程解法，先找分母2和3的最小公倍数6，两边乘6去分母得；去括号变号得；移项得；合并同类项得；系数化为1，两边除以5，求出。
（1）解：移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
（2）去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
（3）去分母，得
去括号，得
移项，得
合并，得
系数化为1，得
．
18．（2025七上·固安月考）在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为．
（1）求的值；
（2）写出正确的求解过程．
【答案】（1）解：∵在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，∴把代入方程得
，
，
，
，
；
（2）解：方程，
，
，
，
．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)本题考察一元一次方程的错误解法与参数求解，小颖漏乘右边的-2，因此错误方程为。由于是该错误方程的解，将其代入得；计算左边得30，右边化简为；建立方程，移项得，系数化为1求出。
(2) 本题考察一元一次方程的正确解法，将代入原方程，得到。两边乘15去分母得；去括号得；移项得；合并同类项得；系数化为1，求出。
（1）解：∵在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，
∴把代入方程得
，
，
，
，
；
（2）解：方程，
，
，
，
．
19．（2025七上·固安月考）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．求有几个牧童？几个杏？
【答案】解：设牧童有人，根据题意，得
，
解得，
所以．
答：有24个牧童，50个杏．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程在分配问题中的应用，核心是“杏的总数不变”。设牧童有x人，根据“3人一组，每组5个多10个”，杏的总数为；根据“4人一组，每组8个多2个”，杏的总数为。令两者相等建立方程，两边乘3去分母得；移项得；系数化为1得，代入求得杏的总数为。
20．（2025七上·固安月考）若是关于的一元一次方程．
（1）求的值；
（2）若该方程与关于的方程的解相同，求的值；
（3）若表示不大于的最大整数，求的值．
【答案】（1）解：由题意得且，
所以．
答：的值为．
（2）解：由（1）可知，，
则方程可化为，
解得，．
将代入方程，
得，
即，
解得，．
答：的值为．
（3）解：，
．
答：的值为．
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；求代数式的值-直接代入求值；一元一次方程-同解问题
【解析】【分析】(1)本题考察一元一次方程的定义，需满足“未知数次数为1”且“一次项系数不为0”。由次数条件，解得，即或；再由系数条件，排除，故。
(2)本题考察一元一次方程解的应用，将代入原方程，得到，求解得。由于两方程解相同，将代入，得到；移项得；系数化为1求出。
(3)本题考察取整函数的应用，将代入表达式，计算得。根据取整定义，不大于的最大整数是，故结果为。
（1）解：由题意得且，
所以．
答：的值为．
（2）解：由（1）可知，，
则方程可化为，
解得，．
将代入方程，
得，
即，
解得，．
答：的值为．
（3）解：，
．
答：的值为．
21．（2025七上·固安月考）小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受．
优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张．
优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折．
小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元．
（1）请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？
（2）小麦如何付款最省钱？
【答案】（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，
由题意得，
解得，
答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折；
（2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）；
若买2张代金券，需要付款（元）；
若买3张代金券，需要付款（元）；
因为，
所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元；
优惠方式B：需付182元，
故小麦应买3张代金券最省钱．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】(1)本题考察一元一次方程在折扣问题中的应用，设其余菜品打x折，总消费中锅底50元不打折，菜品费用为元。根据“锅底费用+打折后菜品费用=付款金额”，建立方程；化简得；移项得；系数化为1得，即打6折。
(2)本题考察优惠方案的比较选择，分别计算优惠方式A不同使用情况的费用：买1张代金券付款元；买2张付款元；买3张付款元（3张抵300元，覆盖270元）。优惠方式B需付182元，对比可知买3张代金券最省钱，付款150元。
（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，
由题意得，
解得，
答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折；
（2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）；
若买2张代金券，需要付款（元）；
若买3张代金券，需要付款（元）；
因为，
所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元；
优惠方式B：需付182元，
故小麦应买3张代金券最省钱．
22．（2025七上·固安月考）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
【答案】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，
由，可得：，解得：；
所以这只风筝的骨架的总高．
答：这只风筝的骨架的总高．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，根据建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025七上·固安月考）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．满足，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发， 以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回点A处，机器人M到达点A立即停止，在机器人M返回点A的同时，机器人N以原速返回向点B方向运动．设机器人M运动时间为秒．
（1）点A与点B之间的距离是 ；
（2）求两个机器人M、N相遇的时间及相遇点P所表示的数；
（3）两个机器人在相遇点P返回后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）13
（2）解：根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，∴，
解得：，
此时点P表示的数为；
综上所述，M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5；
（3）解：根据题意得：M返回A时，，当时，点M表示的数为，点N表示的数为，
∵机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10，
∴，
解得：，
此时点N表示的数为；
当时，，则，
解得：，
此时，N对应的数为18；
综上所述，时，N对应的数为；时，N对应的数为18．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；数轴的线段和差倍分问题；数轴的动点变速问题
【解析】【解答】（1）解：∵，∴，
解得：，
∴点A表示的数为，点B表示的数为8，
∴点A与点B之间的距离是；
故答案为：13
【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，进而求解两点距离；
（2）设点M的运动时间为t秒，其位置可表示为，点N的位置为，通过建立方程求解；
（3）考虑M返回A点的时间为7.5秒，分两种情况讨论：①当时；②当时，分别求解。
（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴点A表示的数为，点B表示的数为8，
∴点A与点B之间的距离是；
故答案为：13
（2）解：根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，
∴，
解得：，
此时点P表示的数为；
综上所述，M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5；
（3）解：根据题意得：M返回A时，，
当时，点M表示的数为，点N表示的数为，
∵机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10，
∴，
解得：，
此时点N表示的数为；
当时，，则，
解得：，
此时，N对应的数为18；
综上所述，时，N对应的数为；时，N对应的数为18．
24．（2025七上·固安月考）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了　 　分钟，从B站到C站行驶了　 　分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
① ▲ ；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
【答案】（1）90；60
（2）解：①；
②（千米/分钟），，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，
，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，
G1002次列车从A站到C站共需分钟，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】（1）用D1001B站的到车时间减去A站的发车时间，即可求出D1001次列车从A站到B站行驶了多少分钟；用D1001C站到站时间减去B站的发车时间，即可求出D1001次列车从B站到C站行驶了多少分钟；
（2）①用D1001到达C站的时间减去A站的发车时间，再减去经过B站中途停留的20分钟，求出D1001次列车从A站到C站需要的时间，用 G1002 到达C站的时间减去A站的发车时间，求出G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；
②根据①求出的比例，将代入中，求出的值， 进而求出A与B站之间的路程，用A和B之间的路程除以，求出t的之间，可知G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，分，，，四种情况进行讨论，最后再根据题意，列出关于t的方程即可求解。
（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，
G1002次列车从A站到C站共需分钟，
∴，
∴，
故答案为：；
②（千米/分钟），，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
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