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(共25张PPT)
2.4.1一元二次方程
的应用
问题1：一元二次方程的解法有哪些？
问题2：列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
①因式分解法
②开平方法
③配方法
④公式法
④解方程
②设未知数
③列方程
①审题
⑤检验
⑥作答
回顾旧知，提出问题
图2
例1 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少
思考：题中的已知量是什么？未知量是什么？
已知量：长方形硬纸片长 40cm,宽25cm.
纸盒的底面积是450cm2.
未知量：纸盒的高.
图1
例题演练，掌握新知
图2
例1 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少
图1
例题演练，掌握新知
思考：
1.若设纸盒的高为x,那么裁去的四个小正方形的边长
为多少？
2.你能用含x的代数式表示无盖纸盒的长、宽、高吗？
3.你能找出题中的主要数量关系吗？
x2
长：40-2x 宽：25-2x 高：x
图2
例1 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少
图1
例题演练，掌握新知
主要数量关系:纸盒的底面积=长×宽
解：设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽
分别为(40-2x)cm, (25-2x)cm.
由题意,得(40-2x)(25-2x)= 450.
化简、整理,得2x2- 65x+ 275=0.
解这个方程,得x1 =5, x2 =27.5(不合题意,舍去).
答:纸盒的高为5cm.
利用一元二次方程解决几何图形问题的方法:
几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程.
归纳方法
例2 一轮船(C)以30km/h的速度由西向东航行,在途中接到台风警报,台风中心(B)正
以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受
台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500 km, BA= 300 km.
例题演练，掌握新知
(1)如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区
你采用什么方法来判断
(2)如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到警报开始,
经多少时间就进入台风影响区
思考：假设经t小时后，轮船和台风中心分别在C1，B1的位置，你能求出AC1，AB1
的距离吗？
解：∵ BC=500 km，BA= 300 km.
∴由勾股定理可得AC=400km.
经过t小时后，
∵CC1=30t km，BB1=20t km.
∴AC1=(400-30t)km，AB1=(300-20t)km.
例题演练，掌握新知
合作交流：1.运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程;
2.完成大题，通过相互交流,检查列方程、计算等过程是否正确;
相等关系： AC12+AB1 2 = B1C12
(400-30t)2+(300-20t)2=2002
例题演练，掌握新知
解：如图,设船接到警报后经t时，船行至C1处,台风中心行至B1处,
则CC1=30t km,BB1=20t km，B1C12=(400-30t)2+(300-20t)2，
令(400-30t)2+(300-20t)2=2002,若这个一元二次方程有实数解,
就表示船会进入台风影响区.
将上述方程化简，得13t2-360t+2100=0,
解得t1=≈8.35, t2 =≈19.34.
答:船从接到警报开始,经8.35 h进入台风影响圈.
例2 一轮船(C)以30km/h的速度由西向东航行,在途中接到台风警报,台风中心(B)正以20km/h的
速度由南向北移动.已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到
台风警报时，测得BC=500 km, BA= 300 km.如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到警报
开始,经多少时间就进入台风影响区
例题演练，掌握新知
思考：如果把航速改为10 km/h,结果将怎样
解：若将船速改为10 km/h,
则令(400-10t)2+(300-20t)2=2002，
化简得t2-40t+420=0.
因为402-4×1×420<0,
所以方程无实数根，所以船不会进入台风影响区.
例题演练，掌握新知
利用一元二次方程解决动点问题：
在解决动点问题时，应先分析点的运动过程、画出代表图形和临界图形， 然后
设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度，再根据题目中的等
量关系列方程求解.
归纳方法
1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．
设游泳池的长为x m，则可列方程为( )
A．x(x－10)＝375
B．x(x＋10)＝375
C．2x(2x－10)＝375
D．2x(2x＋10)＝375
A
课堂练习
课堂练习
2.如图，某中学有一块长30 m、宽20 m的长方形空地，计划在这块空地上划出四
分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽
度为x(m)，则可列方程为( )
A. (30－x)(20－x)＝×20×30
B. (30－2x)(20－x)＝ ×20×30
C. 30x＋2×20x＝ ×20×30
D. (30－2x)(20－x)＝ ×20×30
D
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从
点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为
2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，
则点P运动的时间是( )
A．2s B．3s
C．4s D．5s
B
4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道
路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？
设道路的宽为x米，则可列方程为( )
A．100×80－100x－80x＝7644
B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644
C．(100－x)(80－x)＝7644
D．100x＋80x＝356
C
课堂练习
5.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分
别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s
的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若
一点到达终点，另一点也随之停止运动)( )
A．2s或s
B．1s或s
C．s
D．2s或s
D
课堂练习
6.如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部
分所示)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是( )
A．(40－x)(70－x)＝2450
B．(40－x)(70－x)＝350
C．(40－2x)(70－3x)＝2450
D．(40－2x)(70－3x)＝350
C
课堂练习
7.以正方形木板的边长为长，在正方形木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下
部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是( )
A．8 cm2
B．8 cm2或64 cm2
C．64 cm2
D．36 cm2
C
课堂练习
8.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，
沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，
则经过____s后，P，Q两点之间相距25 cm.
10
课堂练习
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s
的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为
t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝______时，S△DPQ＝28cm2．
2或4
课堂练习
10.如图，有一段15m米长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用
32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.
(1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
(2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由.
解：(1)设CD=x m，则DE=(32-2x)m，依题意得x(32-2x)=126，
整理得x2-16x+63=0，
解得x1=9，x2=7，
当x1=9时，32-2x=14，
当x2=7时，32-2x=18＞15(不合题意，舍去)，
∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地.
课堂练习
解：(2)设CD=y m，则DE=(32-2y)m，
依题意得y(32-2y)=130，
整理得y2-16y+65=0，
=(-16)2-4×1×65=-4＜0，
故方程没有实数根，
∴长方形场地面积不能达到130m2.
10.如图，有一段15m米长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用
32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.
(1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
(2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由.
课堂练习
利用一元二次方
程解决几何图形
问题的方法
几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，
规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不
规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的
面积(或体积)公式列方程
利用一元二次方程解决动点问题
在解决动点问题时，应先分析点的运动过程、画出代表图
形和临界图形， 然后设出未知数,并用含未知数的式子表示
出相关的线段的长度，再根据题目中的等量关系列方程求解
课堂小结

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