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2026学年九年级中考数学一轮专题复习四十九：一次函数性质中的最值问题综合训练
1．一次函数（为常数，且）．
(1)若点在一次函数的图象上，求的值；
(2)当时，函数有最大值6，求出此时一次函数的表达式；
(3)对于一次函数，若存在常数对任意实数都成立，求的取值范围．
2．如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B．
(1)___________；不等式的解集为___________．
(2)y轴上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标．
(3)若点在线段上，点在直线上，求的最小值．
3．已知一次函数，其中．
(1)若点在的图象上，求的值；
(2)当时，若函数有最大值5，求的函数表达式；
(3)对于一次函数，当时，都成立，求的取值范围．
4．已知一次函数和．
(1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上；
(2)若，当时，函数有最大值7，求的值；
(3)当时，对于的每一个值，都成立，直接写出的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A、，直线经过点，其中，（m，t为常数）．
(1)求点A、点的坐标；
(2)若直线、、轴围成的三角形面积为，求的值．
(3)对于点，若，对于满足条件的的值，的值均大于，求的取值范围．
6．已知与成正比例，且当时，．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围；
(3)当时， y的最小值为5， 求m的值．
7．已知关于的一次函数的图象为直线．
(1)若函数图象过坐标原点，求的值．
(2)证明：无论为何值，直线总经过点．
(3)当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式．
8．已知一次函数，其中．
(1)若点在的图象上，求的值；
(2)若一次函数图象不经过第一象限，求的取值范围；
(3)当时，若函数有最大值，求的函数表达式．
9．已知：在平面直角坐标系中点，若满足，其中k为常数，且，则称点P与点Q互为“k阶点”．
(1)填空：下列互为“阶点”的是_________
①点与点 ②与点 ③与点
(2)若直线与x轴的交点与点互为“4阶点”，求c的值．
(3)对于动点，直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，求t的值．
(4)已知：，点P为函数图像上一点，横坐标为m，且与N互为“k阶点”；点Q为函数图像上一点，横坐标为n，且与N互为“阶点”，当且时，求n的最大值．
10．已知与成正比例，且当时，．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)判断点是否在函数的图象上，并说明理由；
(3)当时，y的最小值为4，求m的值．
11．已知函数（m为常数）．
(1)求证：不论m取何值时，该函数图像与x轴总有公共点．
(2)当时，y有最大值为2，求m的值．
12．已知一次函数（k为常数，且）
(1)若点在一次函数的图象上．
①求k的值．
②设，则当时，求P的最大值．
(2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．
13．一次函数（k为常数，且）．
(1)若点在一次函数的图象上，
①求k的值；
②设，则当时，求P的最大值．
(2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式．
14．一次函数的图象恒过定点．
(1)①若图象还经过，求该一次函数的表达式．
②若当时，一次函数的最大值和最小值的差是6．求的值．
(2)对于一次函数当时，恒成立，求的取值范围．
15．已知一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点．
(1)若，求一次函数的表达式．
(2)当时，该一次函数的最大值为8，求k的值．
(3)若该一次函数的图像经过第一象限，且，求S的取值范围．
参考答案
1．【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得；
（2）解：当时，
∵y随x的增大而增大，且，
∴当时，函数有最大值6，
把代入解析式，得，
解得，
∴
∴一次函数的表达式为；
当时，
∵y随x的增大而减小，且，
∴当时，函数有最大值6，
把代入解析式，得，
解得，
∴，
∴一次函数的表达式为；
综上所述，一次函数的解析式为或；
（3）解：由 对任意实数 恒成立，即 恒成立，
可得 恒成立，
因此必有 ，
把代入第二式子，得，
∴；
∵
∴k的取值范围为或．
2．【详解】（1）解：∵直线过点，
解得，
∴直线的解析式为，
令得，解得，
∴直线与x轴交点为，
不等式的解集为，
故答案为：1，；
（2）解：存在，理由如下：
对于直线，令得，
∴．
设点P的坐标为，则，
∵，
∴当的面积为6时，，
解得或，
∴P坐标为或．
（3）解：∵点在线段上，点在直线上，
，
，
，
∴当时，取得最小值，为．
3．【详解】（1）解：把代入得，
．
（2）解：当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最大值5 ，即时，，
把代入得，
解得：，
此时一次函数解析式为；
当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值5，即时，，
把代入得，
解得：，
此时一次函数解析式为，
综上，一次函数解析式为或；
（3）解：如图：
分为两种情况：①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，
即当一次函数与一次函数的图象平行时，
满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方，
此时，
即；
②当一次函数与一次函数的图象有交点时，
若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴，
此时时，成立，
即；
综上，a的取值范围为：且．
4．【详解】（1）证明：时，和，
，
点一定不在直线上；
（2）解：（），
① 若，即，
∵ 随增大而增大，且，
∴ 当时，取最大值，
∴，
解得；
② 若，即，
∵ 随增大而减小，且，
∴ 当时，取最大值，
∴，
解得，
综上，的值为或．
（3）解：∵当时，恒成立，即，
∴，
当时，恒成立，故满足题意．
当时，随的增大而减小，需满足时值大于，即，解得，
当时，解得，这与当时，恒成立矛盾，应舍去，
∴．
5．【详解】（1）解：在直线中，
令，则，
解得，
所以点A的坐标为．
令，则，
所以点的坐标为．
（2）解：已知，，由可得
，
将其代入中，
得到，
即直线的表达式为．
联立直线：与直线：，得：
，
当时，，
将代入得
，
所以两直线交点坐标为．
直线与轴交点，直线与轴交点为．
由直线、、轴围成的三角形面积为，
根据三角形面积公式底高，
底为，高为交点的横坐标的绝对值，
则，即．
当时，．
当时，．
（3）解：由，当时，的值均大于．
当时，随的增大而增大，
所以当时，，
因为，所以，
解得，
当时，，不满足．
当时，随的增大而减小，
所以当时，，
因为，所以，
解得，这与矛盾，舍去．
故．
6．【详解】（1）解：设，
将，代入解析式，得：
，
解得，，
∴，即；
（2）解：将，代入解析式，得：
，
∵，
∴，
解得，；
（3）解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y取最小值5，
∴，解得，．
7．【详解】（1）解：∵函数图象过坐标原点，
∴，
解得；
（2）证明：∵，
∴当时，，
∴无论为何值，直线总经过点；
（3）解：，
当时，随增大而增大，
则当时，，为最小值，
，为最大值，
∵函数最大值与最小值的差为6，
∴，
解得：，
此时，的解析式为；
当时，随增大而减小，
则当时，，为最大值，
，为最小值，
∵函数最大值与最小值的差为6，
∴，
解得：，
此时，的解析式为；
综上，的解析式为或．
8．【详解】（1）解：把点代入，得，
解得；
（2）∵一次函数图象不经过第一象限，
∴，解得；
（3）当时，，则随着的增大而增大，
∵当时，函数有最大值，
∴，解得；
∴；
当时，，则随着的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，
∴，解得；
∴；
综上：或．
9．【详解】（1）解：①∵点与点，
∴，，
又，
∴，
∴点与点不是互为“阶点”；
∵与点，
∴，，
∴，
∴与点互为“阶点”；
∵与点，
∴，，
∴，
∴与点互为“阶点”；
（2）解：令，解得，
∴交点坐标为，
根据题意，得，
解得；
（3）解：设直线上与点A互为“t阶点”的点为，
则，
整理得，
∵直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，
∴，且成立，
∴；
（4）解：根据题意，得，，
∵P与N互为“k阶点”；Q与N互为“阶点”，
∴，，
整理得，，
两式相乘，得，
化简得，
∵，
∴n随m的增大而增大，
∵且，
∴当时，n有最大值为．
10．【详解】（1）解：由题意可设：，
∵当时，，
∴，解得：，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴点不在函数的图象上；
（3）解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵当时，y的最小值为4，
∴当时，，
∴，解得：，
∴m的值为．
11．【详解】（1）证明：若，则，此时直线与x轴一定有公共点；
若，当时，则，
则，
∴此时抛物线与x轴总有公共点，
综上：不论m取何值时，该函数图像与x轴总有公共点
（2）解：①当时，则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，有最大值为，
故符合题意；
②当时，抛物线对称轴为直线，
∴对称轴在直线的左侧，
∴最大值为当或时取得，
当时，取得最大值2，则，
解得，
∴函数解析式为：，此时当时，，故不符合题意；
当时，取得最大值2，则，
解得，与矛盾，故不符合题意；
③当时，抛物线对称轴为直线，
那么若，即，如图：
此时，当时，函数取得最大值2，
∴
整理得，，
解得或（舍）
那么若，即，如图
此时，在时，取得最大值，即，
解得，不符合题意，
综上：或
12．【详解】（1）解：①把代入得：，
解得；
②当时，，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为6；
（2）解：当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
综上所述，一次函数解析式为或．
13．【详解】（1）解：①∵点在一次函数的图象上
∴，
解得；
②当时，该一次函数为，
∴，
∴P随x的增大而减小，
∵
∴当时，P的值最大，为．
（2）解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大，
∵
∴当时，y取得最小值，为
当时，y取得最大值，为，
∵函数最大值与最小值的差为4，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，一次函数中，y随x的增大而减小，
∵
∴当时，y取得最大值，为
当时，y取得最小值，为，
∵函数最大值与最小值的差为4，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
综上所述，一次函数解析式为或．
14．【详解】（1）①解：∵该一次函数的表达式为，图象恒过定点，还经过，
∴，
解得，
∴该一次函数的表达式为；
②解：∵图象恒过定点，
∴，即，
∴，
当时，分两种情况讨论：
当时，随x的增大而增大，
当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
由题意得，
解得，此时；
当时，随x的增大而减小，
当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
由题意得，
解得，此时；
故的值为或；
（2）解：∵图象恒过定点，
∴，即，
∴，
当时，恒成立，
即，整理得，
设，需对恒成立，
分情况讨论：
当，即时，
，满足条件；
当时：
若，即，则随x的增大而增大，不满足条件；
若，即，则随x的增大而减小，
此时，
要使恒成立，
∴，解得，
∴，
综上，的取值范围为．
15．【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴一次函数的表达式为：．
（2）解：∵，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵当时，该一次函数的最大值为8，
∴当时，，
∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点，
∴，
∴，解得：．
（3）解：根据题意：，即，
∴，
∵一次函数的图像经过第一象限，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
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