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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十：一次函数中几何问题综合训练
1．如图，直线：与轴相交于点，直线：经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的函数表达式：
(2)设点的坐标为，是否存在的值，使得的值最小？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由
2．如图，直线分别与x轴、y轴交于两点，点D为x轴上点A左边一动点．以点D为直角顶点、的长为一腰在第三象限内作等腰直角三角形．
(1)求k，b的值；
(2)当点D的坐标发生变化时，点 C的坐标也随之变化，那么在点D运动过程中，点C是否始终在某一条直线上？如果在，请求出该直线的函数表达式；如果不在，请说明理由；
(3)在直线 上有一点，点R在x轴上，若是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 R的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a、b满足，为线段上一点．
(1)填空：___________，___________，如图1，若，则点的坐标为___________；
(2)如图2，若为的中点，点分别是，上的动点，点从点，点从点同时出发，且它们的速度相同，在运动的过程中，的值是否发生变化？若发生变化，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值；
(3)如图3，若点为线段上异于的任意一点，过点作，交，分别于F，D两点，为上一点，且，求的值．
4．在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，且．

(1)求直线的函数解析式；
(2)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在正方形的边上有一点，若，请直接写出点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点．
(1)求出直线的函数解析式；
(2)若点是直线上一点，且，求点的坐标；
(3)点为轴上一点，当时，请求出满足条件的点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C．
(1) ___________， ___________；
(2)若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标．
7．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积．
8．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、．
(1)求一次函数的表达式
(2)求四边形的面积；
(3)在x轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴交于A点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两条直线相交于点，直线过点且平行于轴，点是直线上的一个动点．
(1)求点的坐标；
(2)若，求点的坐标；
(3)连接，当时，求点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴正半轴交于点，若．
(1)求直线的解析式；
(2)若，点为直线上一动点，连接．
①是否存在，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
②将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，求的最小值．
11．已知关于的一次函数，解决下列问题：
(1)如果这个函数的图象经过，求的值．
(2)不论取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标．
(3)在平面直角坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与的边有两个交点（过三角形顶点也是交点），求的取值范围．
12．平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且满足；
(1)矩形的顶点B的坐标是（ ， ）
(2)若是中点，沿折叠矩形使点落在处，折痕为，连接并延长交于，求直线的解析式．
(3)将（2）中直线向左平移一个单位交轴于，为第二象限内的一个动点，且，求的最大值．
13．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3．
(1)点E的坐标为________，________；
(2)在y轴上有一点，过点P作y轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值．
14．在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴和y轴交于A、B两点．直线与x轴和y轴分别交于C，D两点，与交于点G，其中且．

(1)求直线的解析式；
(2)点P为直线上一个动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)已知点K为直线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程．
15．如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标．
参考答案
1．【详解】（1）解：点，点在直线：上，
，
解得，
直线的函数关系式为；
（2）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，
连接交直线于点，连接，
直线垂直平分，
，
，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
直线：与轴相交于点，
当时，，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
，
解得，
直线的函数解析式为，
在直线上，
，
解得，
当的值为时，的值最小．
2．【详解】（1）解：将代入得：
，
解得：；
（2）解：不同的点的坐标在同一直线上；
过点作轴于点，如图所示：
设，则，
为等腰直角三角形，且以点为直角顶点，的长为一腰，
，
，
轴于点，
，
，
又，
，
，
，
，
设则，
，不同的点都在直线上；
（3）解：连接，如图所示：
设直线的解析式为，
将代入得：
，
，
，
直线的解析式为，
在直线上，
，
设点R的坐标为，
则，
，
，
当时，，
即，
解得：，
此时；
当时，，
即，
∴，
解得：或（舍去），
此时；
当时，，
即，
解得：，
此时；
综上分析可知：．
3．【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
解得，
∴，
设直线的表达式为
则
解得
∴直线的表达式为
设
∵
∴
解得
∴
∴
故答案为：6，6，
（2）解：，理由：
如图，连接，
点的运动速度相同，
，
，
，
，
，点是的中点，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
∴在运动的过程中，的值不改变，为9
（3）如图3中，作轴交的延长线于，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
4．【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵点在轴正半轴上，且，
即
∴，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：设，如图，
当时，此时，过点作于点，过点作于点，
则，，，，，
∴，
∴，
又∵，
即
∴，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴；
（3）解：当点在上时，如图，
设，则，，
∵，，
若，
则有，解得，
即；
当点在上时，如图，
设，则，，
∴，，
若，
则有，解得，不合题意，舍去；
当点在上时，如下图，
设，则，，
∴，，
若，则有，解得，
即；
当点在上时，如下图，
此时，而，故不符合题意，舍去．
综上所述，点坐标为或．
5．【详解】（1）解：，
当时，，当时，，
，，
点M为线段的中点，
，
设直线的函数解析式为，
将代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴
∵点是直线上一点，
设
∴
解得
∴或；
（3）解：分两种情况：
当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图：
此时，
，
当时，，
；
当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：，
，
设，
则，
，
解得，
，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
，
当时，，
，
综上，或．
6．【详解】（1）解：一次函数与一次函数相交于点
点既在上也在上，
由可得：，
；
点的坐标为，
把点B代入可得，即；
故答案为：；；
（2）解：，
设点的坐标为，
当点在点B下方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
当点在点B上方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为，
综上分析可知：点的坐标为或．
7．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
即；
∵点在的图象上，
∴，
∴．
把A，B两点的坐标分别代入中，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，，
即．
∵点D与点C关于x轴对称，
∴．
又∵，
∴轴，，
∴点A到的距离为，
∴．
8．【详解】（1）解：∵在直线上，
∴，即，
将，代入一次函数中，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：如图，过点D作轴于点E，
∵与y轴交于点A，
∴，即，
∵与x轴交于点C，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，，，
①：当时，，
∴，解得：，
∴；
②：当时，，
∴，解得：，
∴；
∴点P的坐标为或．
9．【详解】（1）解：∵直线过点，
∴，解得，
∴直线，
联立得，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：令，则，
∴点，
设点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或；
（3）解：作的平分线交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设交直线于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
在直线中，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∴，
设，又，
∴，
整理得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为；
由对称性知点也符合题意，
综上，点的坐标为或．
10．【详解】（1）解：∵点，，即，
∴，
∴，即点，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①连接，
∵点，点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于点，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
②作轴，轴，垂足分别为，，
由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点为直线上一动点，
∴设点的坐标为，
∴，，
∴点的坐标为，即，，
由，得，
∴，
∴点在直线上运动，
设直线交轴于点，交轴于点，
∴当时，有最小值，
令，∴，
令，则，解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，即的最小值为．
11．【详解】（1）解：∵一次函数经过，
∴，
解得，
答：m的值为；
（2）解：函数变形为，
当，即时，与x无关，
所以一次函数的图象一定经过定点；
（3）解：如图，令点为，
将代入，得
，
解得，
将代入，得
，
解得，
∴由图可得，当时，函数的图象与的边有两个交点（过三角形顶点也是交点）．
12．【详解】（1）解：将整理得：
，
∴，，
解得：，，
∴B点坐标为：；
（2）解：连接，如图所示，
∵D是中点，
∴，
∵沿折叠矩形使O点落在E处，折痕为，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：．
（3）解：直线向左平移一个单位后的表达式为：，
把代入得：，
∴点M的坐标为，
∴，
根据解析（2）可知：点F的坐标为，
如图，以为直角边构造等腰，，，过点M作交的延长线于点J，连接，，取的中点R，连接，．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点J的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为．
13．【详解】（1）解：∵点E的横坐标为3，
∴，
∴
把代入直线得：，
∴，
故答案为，4；
（2）解：由（1）可知：直线，
∴令时，则有，
∴，即，
∵过点P作y轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，且，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
14．【详解】（1）解：直线与y轴交于点，
令，得，
，，
，
，，
直线过、两点，
，解得，
直线的解析式为：；
（2）解：直线与直线交于点，
，解得，
，
直线与轴交于点，
令，得，解得，
，
过作轴垂线交于点，交轴于点，
设，则，，
情况1，如下图，当点在点和点之间，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，
；
情况2，如下图，当点在点右侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
情况3，如下图，当点在点和点之间，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
情况4，如下图，当点点左侧点右侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，
；
情况5，如下图，当点点左侧，即时，
，
即，
，
化简得，，
解得，，不符合题意，舍去；
综上所述，点坐标为：或；
（3）解：由（2）得，，则，
由（1）得，
，
点为直线上的一个动点，
设，
，，
，
记直线与直线交于点，
过点作轴于点，交直线于点，
则，，
，，，，
是等腰直角三角形，，，，
，
，
当在轴右侧即时，如下图，
，
，
，
，
，解得，符合，
，
当在轴左侧即时，如下图，
，
，
，
，
，解得，符合，
，
综上所述，的坐标为和．
15．【详解】（1）解：∵，即，，
∴，，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：由题意，联立，解得，
∴点C的坐标为，
∴；
（3）解：∵，解得，
设点P的坐标为，
∵点，即，
∴，，
解得，，
∴或．
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试卷第1页，共3页
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