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广东省东莞市2025-2026学年高二上学期期末教学质量自查数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在正项等比数列中，，，则公比为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则的取值为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线上一点与焦点间的距离是，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
5.记为等差数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为( )
A. B. C. D.
7.数列是严格递增的整数数列，且，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
10.已知等差数列的前项和为，且，，，则( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为
11.现有一款制作芝士蛋糕的模具，其“模具口”呈椭圆形，并嵌于正方形网格中如图以正方形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系如图，得到“模具口”椭圆图形的方程，其两焦点分别为，，设为上一动点，则( )
A. 的长轴长为 B. 的离心率为
C. 不可能大于 D. 正方形网格中单个正方形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 ．
13.如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值 ．
14.现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，得到一个新的数列再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列重复以上操作现将数列，按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为，，第二次得到的新数列为，，，，第三次得到的新数列为，，，，，，，，，记第次得到的新数列为，，，，，，，且当时， ， 用数值作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过点和，且圆心在直线上
求圆的标准方程；
若过点的直线被圆所截得弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
已知等差数列前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，记数列的前项和，求使的最小的正整数的值．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，，，点在线段上，且，将三角形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角的大小为．
证明：
动点在线段上运动，当到平面的距离为时，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为．
求椭圆的标准方程；
过右焦点的直线与椭圆交于，两点，
若，求直线的方程；
点为椭圆的中心，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，且，求证：为定值．
19.本小题分
如图，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点分别作直线与，其中与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．
若，求的最小值；
证明：直线与的交点在准线上；
以为折痕将平面图形翻折为二面角大小为的空间图形图，其中点翻折至点，点翻折至点证明：．
参考答案
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10.
11.
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13.
14.
15.解：法一：
因为，且的中点为，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得
故圆心的坐标为，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为．
法二：
设圆的方程为．
由已知得，解得
所以圆的标准方程为．
法三：
设圆的一般方程为，
由已知得，解得
所以圆的一般方程为，
化为标准方程，即．
设圆心到所求直线的距离为，
由弦长公式得，故，
当直线的斜率不存在时，
则，此时圆心到直线的距离为，符合题意．
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
则，整理得，解得，
此时直线的方程为．
综上所述，所求直线的方程为或．

16.解：设等差数列的公差为，
由题意知，，
即，整理得
所以，，
可得．
由得，
则，
所以，
两式相减得，
整理得，
所以，
因为在上恒成立，所以单调递增，
当时，，
当时，，
所以使的最小的正整数的值为．

17.证明：因为，所以，，
则平面与平面所成的二面角即为，可得，
因为，平面，平面，
所以平面，
由，，，可得，
以为坐标原点，、所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
则，
故BC．
解：设，，
，，，
设平面的法向量为，
则
取，则，
点到平面的距离，解得，
，，
设平面的法向量为，
则
取，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：由题意得
解得，故，
所以椭圆的标准方程为．
由得，
法一：当直线的斜率为时，或，不合题意；
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，
联立，消去得，
所以恒成立，由韦达定理得，，
由，得，
由得，，代入得，
所以直线的方程为或
法二：当直线的斜率不存在时，，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，消去得，
所以恒成立，
由韦达定理得，，
由，得，整理得，
由得，，代入得，
所以直线的方程为或
当直线的斜率不存在时，为椭圆的短半轴，此时，
为椭圆的通径，所以，
可得；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，如下图：
故直线的方程为，代入椭圆的方程得，解得，
所以，
由得，，
所以
，
所以
综上所述，为定值．

19.解：由题意得焦点为，
因为，易知，与坐标轴不平行，
设，，，，
联立，消去得，
所以恒成立，
由韦达定理得，，
因为弦是焦点弦，且，所以，
由得的斜率为，所以，
所以，当且仅当时，取得最小值．
由知，，则，
因为，异号，所以，
设，，则，，，
因为
由点斜式得，即，
同理，
代入，得，
联立，两式相减得，解得，
所以直线与的交点在准线上
由于直线与的任意性，要证明，即证明为定值．
如图建立空间直角坐标系，设直线的倾斜角为，
由题意得
，
当时，此时，，
当时，在平面直角坐标系中，
由得，因为，所以，
所以
，
综上所述，三棱锥的体积为定值，所以

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