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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十一：一元一次方程与实际问题的应用综合训练
1．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？
(2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？
2．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．
(1)现有12立方米木材，要用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套？
(2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工桌子的数量．
3．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要天，乙工程队单独完成需要天．
(1)甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？
(2)若两队合作天完成此项工程，在甲工程队将效率提高的情况下，那么乙工程队的效率应提高多少？
4．“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天．
(1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？
(2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？
5．一家商场因换季将某种服装共50件打折销售，该服装的进价为每件200元，标价为每件360元．
(1)每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润率是__________；
(2)每件服装按标价的七折出售时，每件服装的利润是__________元；
(3)商场打折销售时先将每件服装按标价的八折出售，售出部分后为尽快回笼资金，将剩余部分的服装每件按标价的五折出售，售完后共获利2240元，求按标价五折出售的服装的数量．
6．庆阳市某特产商场经销苹果和黄花菜两种特产，苹果每箱进价为元，售价为元；黄花菜每袋售价为元，利润率为．
(1)每箱苹果的利润率为______，黄花菜每袋进价为______元．
(2)若该商场同时购进苹果和黄花菜共件，恰好总进价为元，则该商场购进苹果多少箱？
7．社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投．
(1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分；
(2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数．
8．某学校计划给本校初中篮球队的队员们采购篮球服15套，篮球袜双，现有甲、乙两家商店以同样的价格出售同一品牌的篮球服和篮球袜，篮球服的单价为80元/套，篮球袜的单价为10元/双，经洽谈，甲商店优惠方案是：每购买一套篮球服，送一双篮球袜；乙商店优惠方案是：篮球服和篮球袜统一打九折．
(1)当时，去哪家商店购买更划算？
(2)当购买多少双篮球袜时，两家商店的费用相同．
9．给定一个三位正整数的后两位数字相同且各位数字均不为，则称这个数为“喜洋洋数”；若把这个数的百位数字放到后两位数字组成的数的后面组成一个新的三位数，则称这个新的三位数为“步步高数”；记一个“喜洋洋数”与它的“步步高数”的差为，例如，为“喜洋洋数”，则就为它的“步步高数”，．
(1)______，______；
(2)已知一个“喜洋洋数”与它的“步步高数”的差，求喜洋洋数”的值；
(3)已知一个“喜洋洋数”的百位数字是，且关于的方程有整数解，求所有满足条件的的值．
10．如图，点、、、在数轴上，点表示的数是，点表示的数是9，，．
(1)线段的长度为______．
(2)若点以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动秒后，，求的值．
11．数轴上两点A，B对应的数分别是a，b，已知a，b满足．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1) ， ，并在数轴上标出A，B两点；
(2)【解决问题】问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
12．某校组织七年级学生到红旗渠研学旅行，原计划租用客车若干辆．若租用载客量60人的客车，有15人没有座位；若租用载客量75人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满。
(1)求原计划租用多少辆60座客车？
(2)载客量60人的客车租金为每辆1300元，载客量75人的客车租金为每辆1600元．若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？
13．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如表：
用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分
收费标准(元/度)
(1)若小明家月用电量为度，则他们家月的电费是___________元．
(2)若小明家月缴的电费元，则该月小明家用电量是多少？
14．列方程解决问题：
小维和小浩分别从甲、乙两地同时出发，小维骑自行车，小浩步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发0.5小时后两人相遇．已知小维骑自行车比小浩步行每小时多行进10千米，甲、乙两地相距7.5千米．
(1)两人每小时分别行进多少千米？
(2)相遇后，两人保持原速度原方向继续前进，小维到达乙地后休息0.4小时，再沿原路以15千米/小时的速度返回甲地，求小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离．
15．课本再现，如图，是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题：
(1)图1中，用一个的正方形框围住相邻三列三行中的9个数字，设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是___________，它右下角表示的数是___________．（都用含的式子表示）
(2)图1中，用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的___________倍．
(3)在图2中，若“+”字框围住5个数字的和是65，那么最中心的数字是多少？
(4)在图2中，“+”字框围住5个数字的和能否为120，如果能，请求出这5个数，若不能，请说明理由．
参考答案
1．【解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，
由题意得：，
解得，
（套）
所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．
（2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，
由题意得，
解得，
所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．
2．【解】（1）解：设要用立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套，
根据题意，得，
解得，，
．
答：要用10立方米的木料制作桌面，2立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套．
（2）解：由（1）可知，桌子数量为（套）．
设乙工厂每天加工桌子的数量是张，则甲工厂每天加工桌子的数量是张，
根据题意，得，
解得，．
．
答：甲工厂每天加工桌子的数量是张．
3．【解】（1）解：设工程总量为，则甲的工作效率：，乙的工作效率：，
合作效率：，
∴合作时间：（天），
答：甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要天；
（2）解：设乙工程队的效率应提高，则
，
解得，
答：乙工程队的效率应提高．
4．【解】（1）解：设还需要天完成，则
，
，
，
，
答：还需要9天才能完成．
（2）解：设乙工作总天数为天，则甲工作天数为天．
，
，
，
，
，
甲工作天数：（天）
设甲每天施工费为万元，则乙每天施工费为万元．
，
，
，
，
乙每天施工费：
答：甲工程队每天施工费0.4万元，乙工程队每天施工费0.2万元．
5．【解】（1）解：由题意得，七折售价：元，
单件利润：元，
∴利润率：，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，单件利润为52元，
故答案为：52；
（3）解：设按五折出售的服装为件，则按八折出售的为件．
由题意得，八折售价：元，则单件利润：元；
五折售价：元，则单件利润：元，
根据总利润列方程：
解得，
答：按五折出售的服装数量为20件．
6．【解】（1）解：每箱苹果的利润率为；
设每袋黄花菜的进价为元，
根据题意可得：，
解得：，
即每袋黄花菜的进价是元；
故答案为：，；
（2）解：设商场购进了箱苹果，则购进黄花菜的数量为袋，
根据题意可得：，
解方程得：，
答：商场购进苹果箱．
7．【解】（1）解：分，
答：小星第一局的得分为6分；
（2）解：设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意得：
，
解得：，
答：第二局投中A区3次．
8．【解】（1）解：甲商店费用（元），
乙商店费用（元），
，
当时，去甲家商店购买更划算；
（2）解：根据题意，列方程得：
，
解得：，
答：当购买30双篮球袜时，两家商店的费用相同．
9．【解】（1）解：“喜洋洋数”的“步步高数”是，
；
“喜洋洋数”的“步步高数”是，
；
故答案为：；；
（2）解：设“喜洋洋数”为且，，
，
对应的“步步高数”是，
，
，
，即，
由题意可得：，，
；
（3）解：设“喜洋洋数”为，为不为的整数，，
则对应的“步步高数”是，
，
关于的方程可以变为：，
整理得：，由于方程有整数解，所以，
解得：，
关于的方程有整数解，
，，，，
当时，；
当时；
当时，；
当时，；
综上分析可知，，，，．
10．【解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是9，线段．
∴点所对应的数为，点所对应的数为，
，
故答案为：9；
（2）解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，
根据题意得：，
解得：或．
答：的值为2或4．
11．【解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：，8；
在数轴上标出A、B两点，如图所示：
（2）解：设运动时间为t秒，根据P，Q的运动，
则，，，
分两种情况：
当点P在点Q的左侧时，
解得，
当点P在点Q的右侧时，
解得，
∴点P运动秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
12．【解】（1）解：设原计划租用x辆60座客车，
根据题意列方程得：，
解得：，
答：原计划租用6辆60座客车；
（2）解：总人数为：（人），
租60座客车：，所以需租7辆，
租金为（元），
租75座客车：，所以需租5辆，
租金为（元）．
．
答：租用5辆75座客车更合算．
13．【解】（1）解：依题意，(元)
∴10月的电费是120元；
故答案为：120．
（2）解：设月用电量为度
当时，电费为(元)
用电量超过度
依题意得
答：月用电量为度．
14．【解】（1）解：设小维每小时行进千米，则小浩每小时行进千米，
由题意得：，
解得：，
小浩每小时行进千米，
答：小维每小时行进12.5千米，小浩每小时行进2.5千米；
（2）解：设小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为千米，
由题意得：，
解得：，
答：小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为3.75千米．
15．【解】（1）解：由题意可得：设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是，它右下角表示的数是；
（2）解：设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，右边的数是，它上面表示的数是，左上角表示的数是，右上角表示的数为，下面表示的数为，左下角表示的数为，它右下角表示的数是，
故用正方形框围住的9个数字的和为，
故用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的倍；
（3）解：设“+”框内最中心的数字为y，
根据题意，列方程得：，
解得，
答：“+”字框最中心的数字为13；
（4）解：不能，理由如下：
设“+”框内最中心的数字为，
根据题意，列方程得：
解得
由框可知，24的右边没有数字，
所以“+”字框围住5个数字的和不能为120．
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