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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十三：一元一次不等式组与实际问题的应用训练
1．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台，根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于万元，其中空调、彩电的进价和售价如右表所示：
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
项目 空调 彩电
进价（元/台）
售价（元/台）
(1)试写出与之间的函数关系式；
(2)商场有哪几种进货方案可以选择？
(3)根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？
2．中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同．
(1)求A款电脑每台的进价为多少万元？
(2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？
3．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
4．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？
5．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成．
(1)求这项工程的规定工期是多少天？
(2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数）
6．有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨．
(1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数）
(3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？
7．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元．
(1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？
(2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值．
8．某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表：
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲
电压力锅
(1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？
(2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？
9．某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
类别 甲种客车 乙种客车
载客量（人辆） 45 30
租金（元辆） 1000 800
(1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式．
(2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案．
10．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件．
(1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？
(2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和．
①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示）
②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？
11．一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件．
(1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式；
(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？
12．海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元．
(1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确；
(2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案．
13．遵义某社区玩具店主营种热门益智玩具，受市场调整影响，今年五月份售价比去年同期每个降价元．若卖出相同数量的玩具，去年销售额可达元，今年销售额仅为元．
(1)今年五月份种型号玩具每个售价多少元？
(2)为丰富品类，店铺计划新增经销种遵义文创玩具（印有遵义会议会址、赤水瀑布等本地风景图案）．已知种玩具每个进价元，种玩具每个进价元，店铺预计用不多于元的资金购进这两种型号玩具共个，其中种玩具至少购进个，共有几种进货方案？
(3)若种玩具每个售价元，为推广本地文创玩具，店铺推出促销活动：每售出一个种玩具，返还顾客现金元．要使（2）中每种方案的总利润相同，此时的值应是多少？
14．为推广泸州桂圆，某电商平台与当地合作社合作，计划采购一批桂圆用于线上促销活动．已知合作社提供普通装（推广装）和精品装（礼品装）两种包装，精品装每斤售价比普通装高．电商平台预算1900元，计划用900元购买精品装，其余购买普通装．若购买普通装的数量比精品装多10斤．
(1)分别求出普通装与精品装每斤的售价；
(2)促销期间，普通装按原价八折销售．电商平台最终决定购买普通装与精品装共80斤（用于搭配成80份促销礼包，每份1斤），要求总费用不超过1900元，且用于购买精品装的费用不低于840元．那么该电商平台共有几种购买方案？
15．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？
(2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？
参考答案
1．【解】（1）解：购进空调台，则购进彩电台，
销售空调的利润是元，销售彩电的利润是元，
，
与之间的函数关系式是；
（2）解：由题意得：，
解得：，
为整数，
或或，
有三种购买方案，
方案1：购买空调台，彩电台，
方案2：购买空调台，彩电台，
方案3：购买空调台，彩电台；
（3）解：一次函数，中，
该函数随的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
时，利润最大，最大利润为元．
2．【解】（1）解：设A款电脑每台的进价为万元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意；
∴A款电脑每台的进价为0.45万元；
（2）解：设购进款电脑台，则购进款电脑 ，
由题意可得：，
解得：，
设总利润为万元，
则
，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，最大为（万元），
∵，
∴应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元．
3．【解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的根
答：乙队需要16个月完成；
（2）根据题意得：，
解得
方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元；
方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元；
所以方案一最省钱，费用为126万元．
4．【解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，
由题意得，
解得，
经检验，为原方程的根，
∴甲种光伏板的单价为700元．
（2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，
由题意得，
解得，
∵为正整数，
∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案，
设总费用为元，
则，
∵，∴随的增大而增大．
∴越小，总费用越低，
∴ 当时，总费用越低，
即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低，
最低费用为元．
5．【解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天，
根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定工期是120天；
（2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率，
设缩短后总工期t天，
根据题意得：，
解得：，
∵，均为正整数且由实际可知，
∴，
得
故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；
当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；
当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天．
6．【解】（1）解：已知A地运送到甲中心粮食为x吨，A地可运出粮食80吨，则A地运往乙中心的粮食为吨．
甲地需要粮食90吨，A地运往甲中心x吨，所以B地运往甲中心的粮食为吨．
乙地需要粮食50吨，A地运往乙中心吨， 所以B地运往乙中心的粮食为吨．
根据题意，得：，
根据题意，得：，
解得．
W关于x的函数关系式为；
（2）解：根据题意，得，
解得．
x为整数，
x的值为48，49，50．
符合条件的x值为48，49，50；
（3）解：由（1）可知，
，
W随x的增大而增大．
，
当时，W取得最小值．
此时(元) ，
当时，总运费W最低，最低总运费是50600元．
7．【解】（1）解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验是方程的解，
则
答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元．
（2）解：购买乙商品件，则甲商品件，
根据题意得，
解得，
为正整数，
或或，
则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件，
方案二购买乙商品49件，则甲商品101件，
方案三购买乙商品50件，则甲商品100件．
故商品共有三种购买方案．
（3）解：设商品总获利为元，
所有进货方案获利都相同，
的取值与无关，
则的系数为0，
．
即答案为：．
8．【解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台，
由题意得，，
解得，
∴购买电饭煲台，电压力锅台，
∴厨具店在该买卖中盈利为元；
（2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，
由题意得，，
解得，
∵是整数，
∴或或，
∴有以下三种进货方案：
方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；
方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；
方案三：购买电饭煲台，电压力锅台．
9．【解】（1）解：∵租用甲种客车x辆，
∴租用乙种客车辆，
由题意得，总费用为
(且x为整数)；
（2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，
∴，
解得，
∴不等式组的解集为，
∴x的取值为2或3，
∵中，
∴y随x增大而增大，
∴当时，总费用最低，
∴租甲种客车2辆，乙种客车辆．
10．【解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为7，
∴（件）．
答：A种奖品最多买了35件；
（2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，
∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）．
故答案为：；
②根据题意得：，
解得：，
即，
又∵x，均为正整数，
∴，
∴．
答：全班有36位同学获得了B种奖品．
11．【解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件，
则此车间每天所获利润，
∵，
∴，
所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）．
（2）解：由题意得：，即，
解得，
则，
答：至少应安排15名工人去制造乙种零件．
12．【解】（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，
依题意得，
解得，
∵，，
∴采购经理的估计正确，
答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确．
（2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆，
依题意得，
解得，
∵a为整数，
∴，4，5，6，7，
答：该企业有5种可行的采购方案．
13．【解】（1）解：设今年五月份种型号玩具每个售价元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：今年五月份种型号玩具每个售价元；
（2）解：设种玩具购进个，则种玩具购进个，
根据题意得，
解得，
为整数，
可取、、、、，
答：共有种进货方案；
（3）解：设总利润为，
，
要使（2）中每种方案的总利润相同，
，
解得．
14．【解】（1）解：设普通装每斤售价元，则精品装每斤的售价为，由题意，得：
，
解得；
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴；
答：普通装每斤售价25元，精品装每斤售价30元；
（2）解：设购买精品装斤，则购买普通装斤，
由题意，得：，
解得，
∵为整数，
∴，共有3种方案．
15．【解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人；
（2）设租用辆型车，则租用辆型车，
根据题意得：，
解得：，
又，均为不小于的正整数，
，
种，
一共有种租车方案．
，
即型车每辆租金小于型车每辆租金，
当租用型车越多时，总租金越小，
当时，辆，总租金为元．
答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元．
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