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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十四：分式方程与实际问题的应用训练
1．电动汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较燃油汽车具有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现：电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．
(1)若电动汽车平均每公里的充电费为元，当充电费和加油费均为100元时，电动汽车比燃油车多行驶多少公里？
(2)若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
2．新春将至，某转运中心的物流量急剧增加，为应对日均超5000万单的即时零售分流压力，紧急引入驱动的自动分拣流水线（搭载物流大模型，支持动态路由与错分预警）．该流水线的分拣效率是一名熟练工人工作效率的5倍，分拣4500件国补商品包裹时，这条流水线比一名工人分拣这些包裹要少用4小时；转运中心预计新年高峰每小时需分拣27000件国补包裹，需快速规划设备采购量．
(1)这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
(2)为满足新年高峰每小时27000件的分拣需求，至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线？
3．呼和浩特车站是内蒙古地区重要的现代化综合交通枢纽，集高铁、普速铁路与城市轨道交通于一体．站内高峰时段客流量显著，为提升旅客通行效率，站厅配备了多组智能通道闸机，采用对称式扇形双翼设计，通过人脸识别或票卡感应实现快速验票通行，极大缩短了乘客进站等待时间．如图1是车站的一组智能通道闸机，实际运行中，闸机双翼成轴对称，旅客通过身份验证后，双翼自动收回到两侧闸机箱内，形成无障碍通道．图2是双翼展开时的截面结构，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧壁的夹角．
(1)求当双翼完全收起时，可以通过闸机的最大宽度；
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
4．刘大伯开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵5元，用375元在市场上购买的A种菜苗捆数和用300元在菜苗基地购买的捆数一样多．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，菜苗基地为支持刘大伯，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．刘大伯本次购买最少花费多少元？
5．2026年粤超联赛风靡广东地区，赛事带动关联消费突破300亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的时尚短袖恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用8000元购进一批该款恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用20000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价比第一批贵20元．
(1)该店铺购进第一批恤的进价是多少元？
(2)如果两批恤按相同标价销售，最后60件断码款按五折优惠清仓，要使两批恤全部售完后（扣除640元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件恤的标价至少是多少元？（利润率利润进货成本）
6．A、B两种机器都被用来搬运化工原料，A型机器比B型机器每小时多搬运，A型机器搬运所用时间与B型机器搬运所用时间相等．
(1)两种机器每小时分别搬运多少化工原料？
(2)现有A、B两种机器共12台同时搬运化工原料，为确保每小时完成不少于的搬运任务，至少要安排多少台A型机器？
7．随着健康科技消费升温，智能穿戴设备成为市场新热点．某数码商贸公司紧抓机遇，为旗下门店打造智能健康体验专区，选购甲、乙两种智能手环，甲型号主打全维度健康监测（适配中老年群体），乙型号聚焦轻运动智能交互（适配年轻群体）．已知甲型号进价比乙型号每套多60元，用4000元购进甲型号的数量与用2500元购进乙型号的数量相等．
(1)求甲、乙两种型号智能手环每套进价分别为多少元？
(2)该公司分两批次购进两种型号智能手环．其中第一批次购进甲20个、乙15个，定价为甲200元/个、乙150元/个．按此定价销售一段时间后，乙型号全部售罄，甲型号仍有部分库存未售出．为满足后续销售需求，公司启动第二批次补货，甲乙补货数量与第一批次刚好相反，按原定价销售一段时间后，甲型号售出了补货后库存的，乙型号再次全部售罄；剩余未售出的甲型号智能手环，公司统一按原售价的九折降价处理完毕．若最终两批次所有智能手环销售完毕后的总利润不低于3060元，第一次销售后甲型号最多剩余多少个？
8．“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案．
9．西西文创店购进艺术贴纸和文创胶带两种产品．已知艺术贴纸的单张进价比文创胶带的单卷进价高元，该店用元购进的艺术贴纸与用元购进的文创胶带数量相同．
(1)求艺术贴纸和文创胶带的进价；
(2)西西文创店根据进价制定了销售策略：艺术贴纸按高于进价的定价；文创胶带的定价是进价的倍，但若一次性购买文创胶带超过卷，则超过部分每卷降价元．星金学习小组计划向该店购买艺术贴纸和文创胶带共件用于小组成员福利，要求艺术贴纸的数量不少于文创胶带数量的倍，且不超过文创胶带数量的倍，同时两种文创产品均需要购买．假设该店同意按上述策略销售给星金学习小组，请问星金学习小组应如何购买，才能使总花费最低？最低总花费是多少？
10．习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务．
(1)求原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
11．某健身中心为提供健身器械，决定购买甲、乙两种款式的动感单车．购买时发现，甲款动感单车的单价比乙款动感单车的单价多200元，且用9000元购买甲款动感单车的辆数与用7200元购买乙款动感单车的辆数相同．
(1)求甲、乙两款动感单车的单价；
(2)该健身中心准备购买甲、乙两款动感单车共16辆，且购买的总费用不超过15000元，求最多可以购买多少辆甲款动感单车．
12．某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的倍，用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本．求：
(1)乙种图书每本价格为多少元？
(2)如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？
13．第十五届粤港澳全运会的两款吉祥物深受全国人民喜爱．某商店分别用600元购进A款吉祥物，用720元购进B款吉祥物，且两款吉祥物购进的数量相同．B款吉祥物购进单价比A款吉祥物购进单价高6元．
(1)求该商店A款吉祥物的购进单价；
(2)A款吉祥物销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款吉祥物（购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，当A款吉祥物售价为40元时，平均每天销售量为20件，经市场调查发现，销售价每降低1元，平均每天就能多售出2件，商店要使A款吉祥物的销售利润平均每天达192元，每件A款吉祥物应降价多少元？
14．湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，已知“超超”的购进单价是“湘湘”购进单价的倍，且用元购进吉祥物“超超”的数量比用元购进吉祥物“湘湘”的数量少个．
(1)该商店“湘湘”和“超超”的购进单价各为多少元？
(2)现该商店准备再购进“湘湘”和“超超”共件，如果要使得总费用不高于元，那么“湘湘”至少要购买多少件？
15．某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场经济影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1200元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为96000元，今年销售额只有72000元．
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于49000元且不少于48000元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
(3)如果乙种电脑每台售价为3800元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？
参考答案
1．【解】（1）解：燃油车平均每公里的加油费为元．
当充电费和加油费均为100元时，
电动汽车行驶里程：公里，燃油汽车行驶里程：公里．
电动汽车比燃油车多行驶公里．
（2）解：设电动汽车平均每公里的充电费为元．
根据题意，得：
方程两边乘，得：
解得：，
检验：当时，
所以，原分式方程的解为．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费元．
2．【解】（1）解：设一名熟练工人每小时能分拣件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹.
（2）解：设至少应购买条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务，
由题意得，，
解得，
答：至少应购买6条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．
3．【解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于，如图所示：
由点在同一条水平线上，均垂直于地面，可知，
的长度就是与之间的距离，
在中，，则，
在中，，，
，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度；
（2）解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，
则，
，
则，
解得，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人．
4．【解】（1）解：设菜苗基地每捆种菜苗元．
由题意，得，解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为元．
（2）解：设在菜苗基地购买捆种菜苗，购买菜苗的花费为元，
则，所以．
∵，
∴．
∵，随的增大而减小．
当时，最小，
∴．
答：本次购买菜苗最少花费元．
5．【解】（1）解：设购进第一批恤衫每件的进价是元，则第二批恤衫每件的进价是元，
根据题意列分式方程得，，
解得，
经检验为分式方程的解且符合题意，
答：购进第一批恤衫每件的进价是80元；
（2）解：设每件恤衫的标价是元，
第一次购进（件），第二次购进（件），
利润为：，
利润率不低于，
则，
解得，
答：每件恤衫的标价至少是元．
6．【解】（1）解：设型机器人每小时搬运，则种机器每小时搬运化工原料，由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
答：A型机器每小时搬运，B型机器每小时搬运．
（2）解：设安排y台A型机器，则安排台B型机器，根据题意得：
，
解得：，
∵y取整数，
∴至少要安排3台A型机器．
7．【解】（1）解：设乙进价为元，则甲进价为元．
由题意知：，
解得：，
检验：当时，，
为原分式方程的解且符合实际意义．
（元），
答：甲乙两种型号的智能手环进价分别为160，100元．
（2）解：设第一次销售后甲型号智能手环剩余个．
，
化简可得：，
解得，
为整数，且为整数，
最大值为5，
答：第一次销售后甲型号智能手环最多剩余5个．
8．【解】（1）解：设B型设备的单价为a元，则A型设备的单价为元，
根据题意得：
解得．
经检验∶ 是原方程的解且符合题意．
此时
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元．
（2）解：根据题意得，
解得，
由题意得：
∵，
∴w随x的增大而增大
∴当时，w取得最小值，最小值为12800，
答：当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元．
9．【解】（1）解：设文创胶带的进价为元，则艺术贴纸的进价为元，
得出方程，
解得，则，
故艺术贴纸的进价为元，文创胶带的进价为元．
（2）解：设文创胶带的件数为件，则艺术贴纸的件数为件，
∵艺术贴纸的数量不少于文创胶带数量的倍，且不超过文创胶带数量的倍，
∴，
由为整数，
解得，
当时，总花费为，
当最小，即时，花费最少为元；
当时，总花费为，
当最大，即时，花费最少为元；
∵，
故当时，，
购买艺术贴纸张和文创胶带卷时，总花费最低，最低总花费为元．
10．【解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，
由题意可得，，
解得：，
经检验：是方程的解，
答：原计划每天铺设路面80米；
（2）由（1）得，
（天），（天），
∴总费用为：，
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．
11．【解】（1）解：设乙款动感单车的单价为元/辆，则甲款动感单车的单价为元/辆，
根据题意可列分式方程为，
解得，经检验，是原分式方程的解，
．
答：甲款动感单车的单价为1000元/辆，乙款动感单车的单价为800元/辆；
（2）解：设购买甲款动感单车辆，购买乙款动感单车辆，
根据题意可得，，解得．
又，
，即，
又为整数，
的最大值为11．
最多可以购买11辆甲款动感单车．
12．【解】（1）解：设乙种图书每本元，则甲种图书每本元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
答：乙种图书每本价格为元；
（2）解：设图书馆购买本甲种图书，则购买乙种图书本，
乙种图书每本价格为元，
甲种图书每本价格为元，
根据题意可得：，
解得：，
答：该图书馆最多可以购买本甲种图书．
13．【解】（1）解：设A款吉祥物的购进单价为元，则B款吉祥物的购进单价为元，根据题意得：
解方程，得：．
经检验，是原分式方程的解．
答：A款吉祥物的购进单价为30元．
（2）解：设A款吉祥物降价元时．
根据题意得：
解这个方程，得：（不合题意，舍去）．
答：每件A款吉祥物降价2元时，每天可获利192元．
14．【解】（1）解：设该商店“湘湘”的购进单价为元，则“超超”购进单价为元，
据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：“湘湘”的购进单价为元，“超超”的购进单价为元；
（2）设“湘湘”购买件，则“超超”购买件，
据题意得：，
解得：，
答：“湘湘”至少要购买件．
15．【解】（1）解：设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，
依题意，得：，
解得：．
经检验，是方程的解，且符合题意．
答：今年三月份甲种电脑每台售价3600元；
（2）解：设购甲种电脑台，则乙种电脑台，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
，，，
共有3种进货方案．
答：共有3种进货方案；
（3）解：设甲种电脑台，总获利为元．
则
，
要使（2）中所有方案获利相同，
的结果与无关，
，
．
答：的值为700．
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