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广东省清远市2025-2026学年高一上学期期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.终边落在直线上，且在第三象限的角的集合为( )
A. B.
C. D.
3.设，则下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
5.对于实数，“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知是第四象限的角，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
8.已知函数，，的零点分别是，，，则实数，，的大小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式中成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，满足是奇函数，下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递增
C. 在上的值域为
D. 当时，曲线与的交点个数为
11.设函数，则( )
A. 若在上单调递减，则的取值范围是
B. 若，则
C. 点是曲线的对称中心
D. 对任意，，不等式恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 结果用弧度表示
13.已知，则 ．
14.已知函数的定义域为，对于，，有，则在上的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列各式的值：
16.本小题分
函数．
求的最小正周期；
求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知函数在上是奇函数，当时．
求的解析式；
求不等式的解集．
18.本小题分
据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内天，第天每件挂饰的销售价格为单位：元，满足为常数，且日销售量单位：件与第天的关系部分数据如下表所示：
已知第天的销售价为元件．
求的值，并根据表格数据画出的散点图；散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表
给出以下四种函数模型：；；；请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量件与第天的变化关系，并求出该函数的解析式；
利用中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入元在过去一个月内的最小值．
19.本小题分
设．
证明：；
令．
判断的单调性，并用单调性的定义证明；
若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：．
．

16.解：，
的最小正周期；
，
，则，，
故函数在区间上的最大值为，此时，
函数在区间上的最小值为，此时．

17.解：函数在上是奇函数，则，，
当时，，则，
所以；
当时，，符合题意；
当时，，，
即，，
则，解得或；
综上，不等式的解集为．

18.解：已知第天的销售价为元件，
，解得，
散点图如下：
由散点图可知，整体先增后减，故选，
，解得
则；
，，
当时，
则
，
当且仅当，即，时等号成立；
当时，，
则
，
因为在上单调递减，在上也单调递减，所以在上单调递减。
所以当时，取得最小值，；
，
日销售收入在过去一个月内的最小值为元．

19.解：由题意可知；
，
故，即；
由题意得，
其定义域为，
在和上单调递减，
证明：，为奇函数，
任取，不妨设，
，
因为，故，
又，故，即得，
故在上单调递减，又为奇函数，
所以在和上单调递减；
当单调递减，则
，即
设，则在上恒成立，
当，即时，，解得，
；
当，即时，，解得，
；
综上，实数的取值范围为．

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