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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十五：一元二次方程根的判别式综合训练
1．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
2．已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
(1)若方程的一个根为，求的值；
(2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
3．已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）．
(1)解这个关于的一元二次方程；
(2)如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值；
(3)在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积．
4．已知关于x的二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值；
(2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值．
5．已知平行四边形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形？
(2)若，求的值．
6．已知二次函数的图象与直线只有一个交点．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
7．已知关于的一元二次方程．
(1)若该方程有一个根为，求的值；
(2)求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
8．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根；
(2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长．
9．已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根；
(2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
10．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个实数根为2，求的值．
11．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值．
12．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根为，求另一个根及的值．
13．已知关于的一元二次方程．
(1)若此方程的根为与，当时，求的值；
(2)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
14．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为，求的值．
15．已知关于的一元二次方程．
(1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值．
参考答案
1．【解】（1）证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得，，，
∵方程的两个实数根的差为2，
∴，即，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴．
2．【解】（1）解：把代入方程，得
，
解得；
（2）证明：∵中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
3．【解】（1）解：∵
∴
∴
∵是不等于1的整数，
∴，
∴，，
（2）解：由（1）知方程的解为2和，
∵这个方程有两个不相等的正整数根，
∴的值为不是2的正整数，
∵是不等于1的整数，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
整理得，
同理且，
∴和是方程的两个根，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
∴．
4．【解】（1）解：关于x的二次方程有两个实数根，
，且．
解得：，
的最小整数值是1；
（2）解：将原方程变形为．
则，，
由于a是正整数，
，即，．
，．
．
当，，，0，1，2时，得a的值为1，6，，3，，1．
，3，6，．
依题意得，当时，有两个整数根，2；
当，6，时，方程只有一个整数根，
综上所述，当，3，6，时，关于x的一元二次方程至少有一个整数根．
5．【解】（1）解：四边形为平行四边形，
当时，平行四边形为菱形，
的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，
整理得：，
解得：，
当时，四边形为菱形；
（2）解：的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，
，即
整理得：，
解得：或，
边长为正数，
它们的和，
当时，不符合题意，应舍去，
．
6．【解】（1）证明：联立和，得，
整理为，
∵二次函数的图象与直线只有一个交点，
∴判别式，
即，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：设，
令，
∵，
则，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
，
，
当时，，
∴的最大值为．
7．【解】（1）解：把代入方程，得：，
解得；
（2）解：由关于的一元二次方程可知：
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
8．【解】（1）证明：∵
∴
∴无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为5时，5为方程的解，
把代入，得，
得，
∴
或
解得，
∴方程的另外一个解为，
∴此时三角形三边长为3，5，5
∵，符合题意，
此时三角形的周长；
当底为5时，
∵另两边恰好是这个方程的两根，
∴，
解得，
∴
∴
∴
此时方程的解为，
∴此时三角形三边长为3，3，5
∵，符合题意，
∴三角形的周长．
综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11．
9．【解】（1）解：关于x的一元二次方程，
这里，，，
，
无论k取何值，这个方程总有实数根．
（2）解：当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8，
将代入方程，得，
解得，
将代入方程，得，
解得，，
所以这个等腰三角形的周长为：，
当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根，
所以，即，
所以方程为，解得，
所以这个等腰三角形的周长为：，
综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18．
10．【解】（1）证明：由可知：
，
∴一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵的一个实数根为2，
∴，
解得，；
∴m的值为或．
11．【解】（1）证明：
．
∵，
∴．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得，．
∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数，
∴或3．
12．【解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴
，
∵，
∴，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：将代入
得，
解得，
方程化为，
解得：
∴另一根为2．
13．【解】（1）解：当时，原方程为，
∵此方程的根为与，
∴，，
∴．
（2）证明：方程 的判别式 ，
变形得：，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根．
14．【解】（1）证明：∵
，
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根为，
∴，
∴，
∴．
15．【解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
∴，
解得，
故m的取值范围．
（2）解：设是方程的两个实数根，
则，，且，
解得；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴舍去，
故．
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