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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十六：一元二次方程根与系数的关系综合训练
一、单选题
1．已知是方程的两个实数根．若，求（ ）
A．3 B． C．4 D．0
2．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，（）分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，则b，c的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．二次函数的图象上有两点和，则的值等于（　　）．
A． B． C． D．
4．下列说法：
①方程的两根之和为，两根之积为；
②方程的两实数根之和为，两根之积为；
③已知一元二次方程，若，则；
④若一元二次方程，方程两根为和，则．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题
6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ．
7．若、是方程的两个实数根，则的值为 ．
8．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ．
9．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ．
三、解答题
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，是否存在使得的实数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
12．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知1是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根；
(3)若方程的两个实数根是，且，求k的值．
13．请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程，的两根，有如下的关系：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m、n且，满足、，求的值．
(2)已知实数p、q满足、，且，求的值．
(3)已知实数a、b、c满足、，求c的最大值．
14．阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
若实数a，b满足，求的值；
(2)间接应用：
已知实数m，n满足：，，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，，求的值．
15．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则
材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根．
(1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ．
(2)应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为？
(3)思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．A
4．B
5．B
二、填空题
6．
7．2023
8．6
9．
三、解答题
10．【解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
且
解得，
的取值范围为且；
（2）由根与系数的关系得，，，
，即，
解得或，
经检验，，都是原分式方程的解，
由（1）可得，且
．
11．【解】（1）解：原方程有两个不相等的实数根，
，
0，
解得．
故实数的取值范围为．
（2）解：存在．
，
当时，，
，
解得．
的值为4．
12．【解】（1）证明：∵
∴，
∴，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程可得，解得，
当时，代入方程可得，
∴，即，即方程的另一个根为3．
（3）解：∵关于的一元二次方程，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
∵，
∴方程无实数解，即不存在满足条件的值．
13．【解】（1）解：，且，
∴是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（2）解：，
∴是方程的根，
，且，
，
∴是方程的根，
又 ∵，即，
∴和是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（3）解：，
，
，
又，
，
∴是方程的实数根，
即方程有实数根，
∴判别式，
，
即，
，
，
，
，
，
又，
∴的最大值为2．
14．【解】（1）解：由题知，令，
则原方程可化为，
解得，
∵，
∴，
即；
（2）解：由题知，
当时，
；
当时，
m和n可看作方程的两个根，
则，，
∴，
综上所述，的值为2或；
（3）解：由题知，
令，
则，
解得（舍负），
∴；
令，
则，
解得（舍负），
∴，
∴
15．【解】（1）解： 一元二次方程 两个根为，，
，
故答案为：2，；
（2）解：由题意、是方程的两个根，
该方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根，即，
则，，
；
（3）解：把，两边同时除以得：
，
实数和可看作方程的根，
，，
．
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