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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十七：换元法的应用综合训练
一、选择题
1．关于的方程组的解为且，则为（ ）
A．1 B． C．0 D．2024
2．若关于m的方程的解为，则关于x的方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
3．若关于的方程的解是，则关于的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．用换元法解方程＝2时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+3y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0
二、填空题
5．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是 ．
7．如果，且，则的值为 ．
8．若n满足关系式，则代数式
的值是 ．
9．已知，则 ．
10．若，则 ；若，则 ．
三、解答题
11．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程” ．
(2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、 ．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为 ；并证明你的猜想．
(3)已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．
12．如图1所示是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2请你写出，，之间的等量关系是_______________________；
(2)根据（1）中的结论，若，，则_________________；
(3)拓展应用：若，求的值．
13．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是______．
(2)已知，求的值．
(3)拓展探索：已知，，，求的值．
14．阅读下面解方程的过程：
解方程．
设，则原方程可化为①，解得，．
当时，，解得；当时，，解得．
故原方程的解为，，，．
由方程得到①的过程，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
解答下列问题：
（1）利用换元法解方程：；
（2）三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积．
15．阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为：_____，_____；
(2)知识迁移：①若关于的方程的解为，求的值；
②解分式方程：
(3)拓展提升：若关于的方程的解为，求的值．
91．如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．
参考答案
一、选择题
1．A
【解】解：∵方程组的解是，
∴的解为，
将两式相加，得，
即，
所以
故选：A．
2．C
【解】解：将方程看着关于的一元一次方程，
而关于m的方程的解为，
∵，
∴，
解得：，，
故选C．
3．B
【解】设，则关于y的方程可化为
方程的解是，
，
检验：当时，
是原方程的根，
，
故选：B．
4．A
【解】解：＝2，
设，
则原方程可化为，
则，
故选：A．
二、填空题
5．
【解】解：
两边同时乘以，可化为：，
∵关于x的一元一次方程的解为，
∴，
∴．
故答案为：．
6．或
【解】解：由图可知：当或时，，
∴不等式成立时，或，
实际上就是一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围，
不等式的解集是或
故答案为：或．
7．
【解】解：设，
则，，，
，
，
，
，，，
；
故答案为．
8．
【解】设，，
则，
．
，
，
，
．
故答案为：
9．或
【解】设，则
∵，
∴，
，
∴，
整理得，
解得
当，即时，去分母整理得到，，此方程有解；
当，即时，去分母整理得到，，此方程有解；
综上所述，或
故答案为：或
10． 或
【解】解：若，
令，
则原式整理为：，
∴，
∴，
∴或；
若，
令，则由非负性知，，
则原式整理为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：或；．
三、解答题
11．【解】（1）解：一元二次方程中，
，
则“友好方程”为．
故答案为．
（2）①的“友好方程”是，
，
十字相乘法得，
解得：或，
故答案为．
②猜测：，，
原方程，
， ，
“友好方程”，
，；
，，
，是的两根，
即，．
故答案为，．
（3）关于x的方程的两根，
“友好方程”的两根，
令，则方程变形为，
，
或
解得：，．
12．【解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
故答案为：；
（2）解:∵，，
由（1）中结论可得，
∴．
故答案为：29；
（3）解：设，，
则，．
．
13．【解】（1）解：（1）
．
故答案为：.
（2）解：，
，
原式．
（3）解：
，
，，，
原式．
14．【解】解：（1）设，则方程可化为：，
解之得：，；
①当时，，即，
解得，，；
②当时，，即，
△，
该方程无解；
综上所述，原方程的根是：，；
（2）设，则方程可化为：，
即：，
解得，，；
∵，，是的三边，且斜边
∴，
∴
由勾股定理可得：
∴
∴，
∴的面积．
15．【解】（1）解：∵的解为
∴的解为，；
（2）①解：∵方程的解为，
∴，，
∴；
②解：
方程两边同时乘以 2，得，
令 ，则方程变为：，
该方程的解为 或 （） ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴方程的解为，（）；
（3）解：∵，
∴，
∴，
设，方程变形为，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵
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