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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十八：圆的内心与外心综合问题训练
一、填空题
1．如图，是的直径，、是（异于、）上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是 ．
2．如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为 ．
3．若三角形的三边长分别是 6、8、10，则这个三角形的内心与外心之间的距离为 ．
4．如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是 ．
5．如图，是的内心，的延长线与的外接圆相交于点，与交于点，连接、、、．下列说法：①，②，③；④点是的外心；正确的有 ．（填写正确说法的序号）
二、解答题
6．如图，在中，，，是的外接圆，连接并延长交于点，连接，点是的内心．
（1）请用直尺和圆规作出点，证明；
（2）求线段长．
7．如图，半径为4的中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．
（1）求的度数；
（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心G所经过的路径的长度；
（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．
8．如图，在五边形中，，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）如果的外心与的内心重合，请直接写出的度数．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C为下方的一动点，连结OC，过点O作OD⊥OC交BC于点D，过点C作AB的垂线，垂足为F，交DO的延长线于点E．
（1）求证：EC＝ED．
（2）当OE＝OD，AB＝4时，求OE的长．
（3）设＝x，tanB＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②若△COD的面积是△BOD的面积的3倍，求y的值．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．
（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；
（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长
11．如图，已知点在的直径延长线上，点为上，过作，与的延长线相交于，为的切线，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）若的平分线与交于点，为的内心，求的长．
12．如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)请判断、、三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由．
13．在△ABC中，∠A=120°，BC=6，，若△ABC的内切圆的半径为R，求R的最大值.
14．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．
(1)求的长；
(2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长．
15．如图，在等边中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，，BE与AF交于点P，连接
（1）设，直接写出等边外接圆的半径长为______，内切圆的半径长为______．
（2）求的度数．
（3）若，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．
2．
3．
4．
5．①③④
6．【解】（1）如图，点即为所求．
∵，，
∴．
连接BE，
∵点是的内心，
∴．
∵是的外接圆，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴为的直径，
∴
∵是的外接圆
∴垂直平分
∴平分
∵是内心
∴平分
∴点在线段上，即
∵
∴，
∴
∵
∴．
7．【解】解：（1）如图，过O作OH⊥AB于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，
∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，
∴，
∴O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，
∴G在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴运动路径长为；
（3）当点C靠近A点时，如图，作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，
∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，
∴，
∵，，
∴OH=2，
设，，由题可知，，
∴，，
∴
∵，
∴，即，
解得，
∴，即，
由于，∴，
又∵，
∴，
同理当点C靠近B点时，可知，
综上所述，或．
8．【解】证明：（1）∵，
∴，
又∵，∴，
在和中，
，
∴
解：（2）当时，，
又∵，
∴五边形中，．
（3）如图示，圆是的外心，圆是的内心，并且与重合，
∵，
∴是等边三角形，
∴圆是的外心，
则圆是四边形的外接圆，
∵是等边三角形，
∴
9．【解】（1）证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∵EC⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠B+∠ECB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCD，
∴∠ODC＝∠ECB，
∴EC＝EB．
（2）解：∵OE＝OD，OC⊥ED，
∴CE＝CE，
∵EC＝ED，
∴EC＝ED＝CD，
∴△ECD是等边三角形，
∵∠E＝60°，
在Rt△EOC中，
∵∠EOC＝90°，OC＝AB＝2，
∴OE＝＝．
（3）解：①连接AC．
∵EC＝ED，∠EOC＝90°
∴＝＝sin∠ECO，
∵∠OFC＝90°，
∴sin∠ECO＝，
∴x＝＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴tan∠B＝tan∠ACF＝＝y，
令OC＝k，则OF＝kx，CF＝＝＝k ，
∴AF＝OA﹣OF＝k﹣kx＝k（1﹣x），
∴y＝＝＝（0＜x＜1）．
②作OH⊥BC于H．设BD＝m，
∵△COD的面积是△BOD的面积的3倍，
∴CD＝3BD＝3m，CB＝4m，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝2m，
∴HD＝m，
∵∠OCH+∠COH＝90°，∠COH+∠DOH＝90°，
∴∠OCH＝∠DOH，
∵∠OHC＝∠OHD＝90°，
∴△OHC∽△DHO，
∴＝，
∴OH2＝2m2，
∴OH＝m，
∴y＝tanB＝＝＝．
10．【解】（1）如图，过点E作EF的垂线交CF于点I，
∵CF⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵EF平分∠AFG，
∴∠EFI＝45°，
∵EF⊥EI，
∴∠EIF＝45°，
∴EF＝EI
又∵∠EGF＋∠FAE＝180°，∠EGF＋∠EGI＝180°，
∴∠EGI＝∠FAE，
∵∠AEB＝∠FEI＝90°，
∴∠AEF＝∠GEI，
∴△AEF≌△GEI(AAS)，
∴AE＝GE
（2）如图②，连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，
则∠ABD＝∠P，
∵DP为⊙O的直径，
∴∠PAD＝90°，
∵tan∠FBG＝，
∴tanP＝＝，
又∵AD＝3，
∴AP＝4，PD＝5，
∴OD＝
∴OC=OD＝
如图③，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，
∵HJ⊥AC，BD⊥AC，
∴HJ∥BD，
∴∠ABD＝∠AHJ，则tan∠AHJ＝，
设AJ＝3t，则HJ＝4t，由勾股定理可知AH＝5t，
∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，
∴HF＝HJ＝4t，
∴AF＝AH＋HF＝9t，
设CF＝x，则CJ＝x，
∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，
∴∠FBG＝∠ECG，
∴tan∠FCJ＝＝＝，
解得x＝12t，
∴CF＝CJ＝12t，
∴AC＝15t，
∴CK＝t
又∵OK∥HJ，
∴＝，
∴OK＝＝t，
∴在Rt△OCK中，OK2＋KC2＝OC2，即(t)2＋(t)2＝()2，
解得t＝ (负值舍去)，
∴AH＝5t＝
11．【解】解：（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴或（舍去）．
（3）连接，，，
∵平分，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵为的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．【解】（1）证明：∵为直径，，
∴，
∴；
（2）解：、、三点在以为圆心，以为半径的圆上，理由如下：
由（1）知：，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上．
13．【解】作外接圆，设的内切圆的圆心为，连接 并延长交于，连接BE、BD、CD，过作，垂足为，作直径，连接CG，
∵，
∴，
∵在中，
∴∠DBC=∠DCB=∠DAB=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴
在中，，，
∴EF=AE，
∴AE=R，
∵BG是直径，
∴∠BCG=90°，
在中，，
∴BC=BG，
∴BG=，
∵E为△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠DBE=∠BDC+∠CBE，∠DEB=∠ABE+∠BAD，∠DBC=∠BAD=60°，
∴∠DBE =∠DEB，
∴ED=BD=6，
∴AD=AE+ED=R+6，
要使最大，即弦最大
∵在圆中直径是最长的弦，最大等于.
∴R+6=，
∴，即的最大值为
14．【解】（1）∵是的直径，
∴，
∵的平分线交于，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2），
证明如下：延长到，使，连接，
∵，，
∴，
在△ADF和△BDC中，
，
∴，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴；
（3）连接，，
∵，
∴，
∵点为的内心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：
设弧所在圆的圆心为，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
∴点的路径长为．
15．【解】解：（1）如图，点O为等边△ABC外接圆的圆心，也是内切圆的圆心，作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵等边三角形的边长AB为a，
∴AD=，
又∵∠DAO=∠BAC=60°×=30°，
∴．
∵DO为内切圆半径，
∴．
故答案为：a，a．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS）；
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°-∠APE=120°．
（3）CP存在最小值．
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，则点P在上运动，
∵AO=OP=OB，
∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°，
∴∠OAB=30°，
∴∠CAO=90°，
∵AC=BC，OA=OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO=30°，
∴cos∠ACO=，CO=2AO，
∴CO=4，
∴AO=2，
在△CPO中，CP≥CO-OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值=4-2=2，
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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