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2026学年九年级中考数学一轮专题复习五十九：有关隐圆综合问题训练
一、选择题
1．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2
C． D．
2．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2 B．π
C．2π D．π
4．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
π B．π
C．π D．2π
5．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2 B．+1
C．2﹣2 D．3
6．如图，在等腰Rt ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
B．
C． D．
二、填空题
7．已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是 ．
8．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为 ．
9．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ．
10．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ．
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为．
(1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________；
(2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标；
(3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）．
12．在中，，点D为平面内一点．
(1)如图1，若点D在线段上，且，求的值；
(2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段的数量关系，并证明；
(3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值．
13．如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆．
(1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，求的长；
(3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______．
14．如图，圆O为的外接圆， ，，点D是圆O上的动点，且点C、D分别位于的两侧．
(1)求圆O的半径；
(2)当时，求的度数；
(3)设的中点为M，在点D的运动过程中，线段的最大值为 ．
15．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
参考答案
一、选择题
1．D
【解】，
，
，
，
，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，
点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，
，，，
，
最小值为
故选：D．
2．A
【解】如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
3．D
【解】解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．
故选：D．
4．A
【解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
5．C
【解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，
∴MD=2，∠HMD=30°，
∴HD=MD=1，
∴HM==，CH=CD+DH=5，
∴，
∴A′C=MC-MA′=2-2；
故选：C．
6．B
二、填空题
7．
【解】解：正方形边长为2，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点M在以为直径的圆弧上运动，
如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，，
，
点O在圆N上，
，，
，，
当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处，
在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，
线段FM扫过的面积是，
故答案为：．
8．3
【解】解：如图，在上方，以为边，构造．
∴，，．
∴，．
∴点在以为直径的上运动，点为中点．
∴．
连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置．
∴．
∴此时，即的最小值为3．
故答案为： 3．
9．
【解】解：由题意得：，
∴，
∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示：
故：当D、、E共线时，的值最小，
∵，
∴，
故答案为：．
10．
【解】解：延长至T，使得，连接，
∵的中点为E，
∴是的中位线，
∴，即只需求的最大值和最小值；
∵始终保证，
∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，
∵，，
∴，
∴，，
∴的最小值为，的最大值为，
∴的最小值为，的最大值为，
故答案为：，．
三、解答题
11．【解】（1）解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点，
点，点，四边形是矩形，
，，，
，
由旋转可得，，，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）由旋转可得，，，，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，
，，
，
，，
．
12．【解】（1）解：如图，过点D作于点K，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴点D在圆O上，
∴当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴的最小值为．
13．【解】（1）证明：由旋转可得，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：分两种情况讨论：
①如图，若点P在的上方，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴点A，D，P在同一直线上，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，；
②如图，若点P在的下方，连接
由①得，，
∵，
∴，
∴点B，P，D在同一直线上，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，．
综上所述，的长为2或．
（3）解：连接，
∵，
∴，
∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上．
如图，当点D在的延长线上时，有最大值，
最大值为，
此时，
∵，
∴．
如图，当点D在线段上时，有最小值，
最小值为，
此时．
故答案为：135；；45；
14．【解】（1）解：∵，，
∴，
∴⊙O的半径为4
（2）解：如图1中，连接．
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（3）解：如图2中，连接,
∵，，
∴，
∴点的运动轨迹以为直径的圆，设圆心为J，
连接
则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，当C、J、M共线时取等号，
∴的最大值为，
故答案为：．
15．【解】（1）解：如图，设 结合题意可得：，
为等边三角形，
而三点共线，
解得：
运动的总长度为：
（2）解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，
为PB的中点，
∴M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，
∴当C，N，M三点共线时，CM最大，
同理可得： 则
∴的最大值为：
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