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河南省濮阳市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且斜率为的直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象在点和处的切线互相垂直，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，，则( )
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
6.如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则( )
A. B. C. D.
7.若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为，则称椭圆为该双曲线的伴生椭圆．已知双曲线的左焦点为的伴生椭圆与在第一象限的交点为，则( )
A. B. C. D.
8.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交于，两点点在第一象限，且，则( )
A. 的方程为 B. 直线的方程为
C. D. 的面积为
11.在正项数列中，，且对任意，，，数列的前项和为，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，且是递增数列，则的取值范围为
D. 若，，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数及其导函数满足，则 ．
13.已知数列满足，则 ．
14.已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且为坐标原点，则该椭圆离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记是等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式
求使成立的的最小值．
16.本小题分
已知圆过原点，且与直线相切．
求圆的方程
判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长．
17.本小题分
记是数列的前项和，已知，．
求；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，分别为的中点，点在棱上，且．
求证：平面．
球的球心在棱上，点都在球的球面上．
求球的表面积；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为．
求的方程．
过直线上一点作直线，与交于，两点．
证明：当时，必与原点重合；
求的最小值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，
由题可得，解得
所以；
由可知，
由，得，
整理得，解得或，
所以的最小值为．
16.解：圆过原点，
，
圆与直线相切，
，
联立，解得，，
圆的方程为；
圆，圆心，半径，
，
圆与圆相交，
圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为，
圆的圆心到公共弦所在直线的距离，
公共弦的长为．
17.解：当时，．
当时，，所以．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以
由知，，
所以，
所以，
得，
故．

18.解：如图，连接，设与交于点，与交于点，连接．
分别是的中点，
，
．
又由题意知，所以在中，有．
平面平面，
平面．
以为坐标原点，以的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．
由已知可得，
则，设．
．
都在球的球面上，观察图可知关于平面对称，点关于平面对称，
只需，即，
解得
设球的半径为，则，
故球的表面积为．
由可得
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
故二面角的正弦值为．
19.解：设的半焦距为由题知，，
，，
，，
的方程为．
方法一：设，易知直线的斜率一定存在，设．

由，得，
设，，则．
，，整理得，
，，，即点与原点重合．
方法二：设，，．
由，，作差可得．
，，，，
又，．
由题意知，直线的斜率一定存在，且斜率不能等于，即，
，，即点与原点重合．
设．
当与轴垂直时，，设点，则，
，
又点在上，，即，．
当的斜率存在时，由得，
设，，则
，当时，等号成立．
综上，的最小值为．

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