资源简介

广东省清远市2025-2026学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.若点在抛物线：上，点的纵坐标为，则点到抛物线的准线的距离为
A. B. C. D.
3.在轴上的截距为，且与直线：平行的直线的方程为
A. B. C. D.
4.已知数列的通项公式为，则数列为( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列
5.在平行六面体中，与交于点，记，，，则
A. B.
C. D.
6.若，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则
A. B. C. D.
7.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于、两点若四边形的面积为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知四边形的四个顶点是，，，，则( )
A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为
C. 线段的中点坐标为 D. 四边形是平行四边形
10.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为天即每个感染者天内感染人，则下列说法正确的是初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染( )
A. 第轮新增感染人数为
B. 由个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为
C. 感染人数由个初始感染者增加到人大约需要轮传染
D. 感染人数由个初始感染者增加到人大约需要天
11.如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点满足，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则存在点使得，，，四点共面
C. 若，则四面体的体积为定值
D. 若，，则直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过原点且与圆：相切的直线的方程为 ．
13.某地新建一个会议厅，要求容纳个座位，会议厅共有排座位，从第排起后一排都比前一排多个座位，则第排有 个座位．
14.在航天探索的虚拟场景中，探测器在太空中的运行轨迹可看作空间直角坐标系中的曲线，探测器到空间中两个固定的监测点，的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若探测器运行在平面上，则曲线的方程为 ，曲线上任意两点间距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
若圆：与圆有两个交点，求的取值范围．
16.本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，，点是边的中点，连接，，，，．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知是椭圆上的一个动点，点到两焦点的距离之和为，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且的面积为．
求椭圆的标准方程；
过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程；
已知直线与椭圆交于，两点点在第一象限，直线，分别交直线于点，，记，，试判断是否为定值若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由．
19.本小题分
已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”．
若数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
证明：数列是“因分数列”；
已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设，由题意知
解得圆的半径为，
圆的标准方程为．
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
，
圆与圆相交，，
，即的取值范围为．
16.解：由题设，且，则，
又，故是首项、公比均为的等比数列，
所以，则；
由题设，
所以，
所以，
两式作差，得，
所以
，
所以，则．

17.证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，所以平面．
解：因为，，，，，
所以，，
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
由知，平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则即令，得，，所以，
所以，，
所以平面与平面夹角的正弦值为
18.解：由题设，又，故；
由题意，设，联立椭圆得，
所以，若，
所以，可得，
故，，则
，
原点到的距离，
所以，
令，则，所以，
当且仅当，时取等号，此时的面积最大，则；

由，联立，消去得，
所以，点在第一象限，则，
设，则，且，，
联立，则，可得，，
联立，则，可得，，
由，则，可得，
由，则，可得，
由，而，
所以，
所以，则
，
所以为定值．

19.解：当，则且，故，可得，
当，联立
可得，
所以，可得，
所以，
综上，是首项为，公差为的等差数列，则；
对于任意且，取，
所以，且，
所以数列是“因分数列”；
由数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，
等价于对任意且，存在，使得，即，
设的公比为且，，
若，则为常数列，仅当常数为时满足条件，此时，，不在该数列中，不符合；
若，则的通项公式形式必为，此时数列中的数为的幂，
由，，中，仅当是的幂时，可同时出现在数列中，但不可能出现，
设且，则，
由，出现在数列中，存在正整数，使
所以是的公因数，而互质，则，故公比为，
此时，取，则，显然，出现在数列内，满足，
所以的公比．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑