福建省2025中考数学 第三章 函数 教材知识点梳理课件(8份打包)

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福建省2025中考数学 第三章 函数 教材知识点梳理课件(8份打包)

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(共22张PPT)
第三章 函 数
第9课时 平面直角坐标系
教材梳理篇
清基础
1.[2024三明校模4分]在平面直角坐标系中,点(1,-2)在
(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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D
2.[2024福州校模4分]点M在第二象限,它到x轴的距离是5,到y轴的距离是3,则点M的坐标为(  )
A.(5,-3) B.(-5,3)
C.(3,-5) D.(-3,5)
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D
3.在平面直角坐标系中,点(-1,-2)关于x轴对称的点的坐标是(  )
A.(1,2) B.(-1,2)
C.(-1,-2) D.(2,-1)
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B
4.[2023厦门校模4分]在平面直角坐标系中,点P(-2,-3)关于原点对称的点的坐标为(  )
A. (-2,3) B. (2,3)
C. (-3,-2) D. (2,-3)
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B
5. 小红将“科”“技”“创”“新”四个字写在如图所示的方格纸中,若 “创”“新”的坐标分别为(-2,1),(0,1),则 “技”的坐标为(  )
A.(4,2) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,1)
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C
6.在平面直角坐标系中,将M(6,2)向左平移4个单位,再向下平移2个单位,移动后点的坐标是(  )
A.(2,0) B.(10,4)
C.(10,0) D.(2,4)
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A
7.已知AB∥y轴,点A的坐标为(3,2),且AB=4,则点B的坐标为(  )
A.(3,6)或(7,2) B.(3,-2)或(-1,2)
C.(3,6)或(3,-2) D.(7,2)或(-1,2)
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C
8.[2024厦门校模4分]在平面直角坐标系中,点(2,-x2-1)一定在第______象限.
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9.[2024福州校模4分]在平面直角坐标系中,点K(a+1,a+3)在y轴上,则a=________.
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-1
10.线段MN在平面直角坐标系中,点M(-2,3),点N(8,3),则线段MN中点的坐标为______________.
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(3,3)
11. 数经历了从自然数到有理数,到实数,再到复数的发展过程,数学中把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,用z=a+bi表示任何一个复数,z=a+bi在平面直角坐标系中可以用有序数对z(a,b)来表示,如:z=1+2i表示为z(1,2),则z=-2i可表示为__________________.
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z(0,-2)
12.如图,在平面直角坐标系中,根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点P(m-1,3n),则m与n的数量关系是_________.
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m+3n=1
13.如图,菱形AOBC的顶点A在x轴的负半轴上,顶点B的坐标为(8,6),则顶点C的坐标为________________.
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(-2,6)
14.在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格的边长都为1).
(1)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的△A1B1C,并写出点A1的坐标;
解:(1)如图,△A1B1C即为所求,点A1的坐标为(-2,-5).
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(2)平移△ABC,使点A的对应点A2的坐标为(3,5),请画出平移后对应的△A2B2C2;
解:(2)如图,△A2B2C2即为所求.
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(3)连接点A和点A2,求出线段AA2的长度.
解:(3)如图,AA2==.
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提能力
15. [2024河北]在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的 “特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中 “特征值”最小的是(  )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
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B
设A(a,b),AB=m,AD=n,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=n,AB=CD=m,
∴D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m,b+n).
∵<<,而<,
∴该矩形四个顶点中 “特征值”最小的是点B.
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16.[运算能力]如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,△ABO是等边三角形,点A的坐标为(2,0),将△ABO绕点A顺时针旋转90°得到△ADE.
(1)求点D的坐标;
解:如图,作DN⊥x轴于点N.
∵A(2,0),△OAB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=2,∠OAB=60°.
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∵△ABO绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,
∴AD=AB=2,∠BAD=90°,
∴∠DAN=180°-60°-90°=30°.
∴在Rt△DAN中,DN=AD=1,
∴AN===,
∴ON=OA+AN=2+,∴D(2+,1).
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(2)连接BE,BD,求△BDE的面积.
解:∵△ABO绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,
∴AE=OA=2,∠EAO=90°,
∴E点的坐标为(2,2).
∵△ABO是等边三角形,A点的坐标为(2,0),
∴易知B点的坐标为(1,),则△ABE的边AE上的高为1,
∴S△BDE=S△ABE+S△ADE-S△ABD=×2×1+×2×-×2×2=-1.
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16(共17张PPT)
第三章 函 数
第10课时 变量与函数
教材梳理篇
清基础
1.下列图象中,表示y是x的函数的是(  )
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B
2.[2024上海改编]函数y=中,自变量的取值范围是(  )
A.x<3 B.x≥3
C.x=3 D.x≠3
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D
3.当x=3时,函数y=的值是(  )
A.-1 B.-3
C.1 D.3
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B
4.[2024常州]若等腰三角形的周长为10,则底边长y与腰长x的函数关系式为(  )
A.y=10-x B.y=10-2x
C.y=5-x D.y=5-2x
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B
5. 碳酸钠的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示,则下列说法正确的是(  )
A.当t=60 ℃时,溶解度为49 g
B.溶解度随着温度的升高而增大
C.当t=40 ℃时,溶解度最大
D.要使溶解度大于43.6 g,温度只能控制在40 ℃~80 ℃
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C
6.将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央,小水杯中有部分水,现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水,如图所示,则小水杯内水面的高度h(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致是(  )
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B
7. 在冬天,人们会选择较厚的冰层进行冰钓,这是因为冰层越厚,所能承受的压力就越大,则在冰层厚度与其所能承受的压力的关系中,自变量是____________,因变量是______________________.
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冰层厚度
冰层所能承受的压力
8.计算成人标准体重的一种常用方法:体重(kg)等于身高(cm)减去105,则体重y(kg)与身高x(cm)之间的函数解析式为__________________.
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y=x-105
9.如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,动点P从点C出发沿CA-AB运动到点B,设点P的运动路程为x,△PCD的面积为y,y与x的图象如图②所示,则△ABC的面积为________.
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10.[立德树人·厚植家国情怀]中国无人机研发技术后来居上,世界领先,如图所示为某无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分)之间的函数关系图,上升和下降过程中速度都相同,根据所提供的图象信息解答下列问题:
(1)在上升或下降过程中,无人机升降的速度是多少?
解:根据图象发现无人机上升60米需要2分,
则60÷2=30(米/分).
答:无人机升降的速度为30米/分.
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(2)图中a,b表示的数分别是a=______,b=________;
(3)求第14分钟时无人机飞行的高度.
解:90-(14-12)×30=30(米).
答:第14分钟时无人机飞行的高度为30米.
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提能力
11.俗话说:“勤能补拙是良训,一分辛苦一分才.”小明前x天的背单词总量y与x之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,若小明在前n天的日平均背单词量最高,则n的值为_____.
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12.[中考趋势题·建模探究能力]北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园.小田和小旭在北京园博园游玩,两人同时从永定塔出发,沿相同的路线游览到达国际展园,路线如图①所示.记录得到以下信息:
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a.小田和小旭从永定塔出发行走的路程y1和y2(单位:km)与游览时间x(单位:min)的对应关系如图②.
b.在小田和小旭的这条游览路线上,依次有4个
景点,从永定塔到这4个景点的路程如下表:
景点 济南园 忆江南 北京园 锦绣谷
路程(km) 1 2 2.5 3
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根据以上信息,回答下列问题:
(1)在这条游览路线上,永定塔到国际展园的路程为______km.
(2)小田和小旭在游览过程中,除永定塔与国际展园外,在________(填写景点名称)相遇,此时距出发经过了______min.
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忆江南
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(3)下面有三个推断:
①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中,平均速度是 km/min;
②小旭比小田晚到达国际展园30 min;
③第60 min时,小田比小旭多走了 km.
所有合理推断的序号是________.
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②③(共22张PPT)
第三章 函 数
第11课时 一次函数的图象和性质
教材梳理篇
清基础
1.下列各点,在一次函数y=x+1的图象上的是(  )
A.(1,1) B.(2,0)
C.(0,1) D.(-1,1)
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C
2.将一次函数y=2x-3的图象沿y轴向上平移8个单位长度,所得直线的解析式为(  )
A.y=2x-5 B.y=2x+5
C.y=2x+8 D.y=2x-8
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B
3.若一次函数y=(m+2)x-1的函数值y随x的增大而减小,则m的值可以是(  )
A.-3 B.-2
C.0 D.2
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A
4.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的取值范围是
(  )
A.k>0,b>0
B.k<0,b>0
C.k>0,b<0
D.k<0,b<0
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C
5.[2024陕西]一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,-6),若点A与点B关于原点对称,则这个正比例函数的解析式为 (  )
A.y=3x B.y=-3x
C.y=x D.y=-x
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A
6.[2024广东]已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是(  )
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B
7.[2024天津]若正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象经过第一、第三象限,则k的值可以是____________________(写出一个即可).
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1(答案不唯一)
8.直线y=-2x+1与两坐标轴围成的三角形的面积为_______.
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9.[2024厦门第二中学二模4分]直线y=x+2经过M(1,y1),N(3,y2)两点,则y1______y2(填“>” “<”或“=”).
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10.[2024扬州]如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x、y轴交于A、B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为____________.
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x=-2
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与直线y=kx+b交于点A(-1,n),则关于x,y的方程组的解为___________.
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12.[2024北京]在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).
(1)求k,b的值;
解:将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1,解得k=1.将k=1,(2,1)代入函数y=kx+b(k≠0)中,得1=2+b,解得b=-1.
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(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=-kx+3的值,直接写出m的取值范围.
解:m的取值范围为m≥1.
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∵k=1,b=-1,
∴两个一次函数的解析式分别为y=x-1,y=-x+3.
由题意知,当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的图象在函数y=x-1和y=-x+3的图象的上方,则画出图象如答图.
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由图象得,当y=mx(m≠0)与y=x-1平行时符合题意或当y=mx(m≠0)与x轴的夹角大于y=mx(m≠0)与y=x-1平行时的夹角也符合题意.
易知当y=mx(m≠0)与y=x-1平行时,m=1,∴当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的图象在函数y=x-1和函数y=-x+3的图象的上方时,m≥1,∴m的取值范围为m≥1.
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提能力
13.[2024南充]当2≤x≤5时,一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6,则实数m的值为(  )
A.-3或0 B.0或1
C.-5或-3 D.-5或1
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A
14.[推理能力]如图,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2.有下列结论:
①m<0,n>0;
②直线y=nx+4n一定经过点(-4,0);
③m与n满足m=2n-2;
④不等式-x+m>nx+4n>0的解集为x<-2.
其中正确结论的序号是__________.
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①②③
15.[抽象能力]如图,已知直线l1经过点B(0,4),C(2,-4),交x轴于点D,P是x轴上一个动点,过点C,P作直线l2.
(1)求直线l1的解析式;
解:设直线l1的解析式为y=kx+b(k≠0),
由题意得解得
∴直线l1的解析式为y=-4x+4.
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(2)已知点A(9,0),当S△DPC=S△ACD时,求点P的坐标;
解:对于y=-4x+4,令y=0,则-4x+4=0,
解得x=1,∴D点的坐标为(1,0).∵A点的坐标为
(9,0),∴AD=8.
如图,过点C作CE⊥x轴于点E,
∵C点的坐标为(2,-4),∴CE=4,
∴S△ACD=×AD×CE=16.
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∵S△DPC=S△ACD,∴S△DPC=8.
设点P的坐标为(x,0),∴S△DPC=×|x-1|×4=8,解得x1=-3,x2=5,∴点P的坐标为(-3,0)或(5,0).
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(3)设点P的横坐标为m,点M(x1,y1),N(x2,y2)是直线l2上任意两个点,若x1>x2时,y1<y2,请直接写出m的取值范围.
解:m<2.
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15(共15张PPT)
第三章 函 数
第12课时 一次函数的应用
教材梳理篇
清基础
1.[立德树人·弘扬传统文化]“千里游学,古已有之”,两位老师带领x名学生到某红色旅游景点研学,此次研学每位老师的费用为40元,每名学生的费用为20元.设研学的总费用为y元,则y与x的函数关系为(  )
A.y=20x+40 B.y=40x+80
C.y=20x+80 D.y=40x+40
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C
2.[2024三明质检4分]某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践,菜地的一边靠墙,另外三边用木栏围成,木栏总长为40 m.如图所示,设矩形一边长为x m,与其相邻的另一边长为y m,当x在一定范围内变化时,y随x的变化而变化,则y与x满足的函数关系是(  )
A.正比例函数关系
B.一次函数关系
C.反比例函数关系
D.二次函数关系
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B
3. 铁的密度约为7.9×103 kg/m3,铁的质量m(kg)与体积V(m3)成正比例.一个体积为10 m3的铁块,它的质量为________________kg.
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79 000
4.某单位准备和甲、乙两个出租公司中的一个签订租车合同,设汽车每月行驶x km,每月应付给甲公司的费用为y1元,付给乙公司的费用为y2元,y1、y2与x的关系如图,若该单位每月行驶的路程为4 000 km,为了使费用最少,则应选择_____公司.
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5.[2024上海]某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时,销售额为1 000万元,当投入90万元时,销售额为5 000万元,则当投入80万元时,销售额为______________万元.
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4 500
6.[2024泉州泉港区三模改编]沸点测定是一种常用的物理实验方法,用于测定液体的沸点,小聪想用刻度不超过100 ℃的温度计测算出某种食用油沸点的温度.在老师的指导下,他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热,并每隔10 s测量一次锅中油温,得到的数据记录如下:
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
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(1)试求出y关于t的函数解析式;
解:根据表格中两个变量对应值变化的规律可知,时间每增加10 s,油的温度就升高20 ℃,易得油温y与加热的时间t满足一次函数关系,设锅中油温y与加热的时间t的函数解析式为y=kt+b(k≠0),
将(0,10),(10,30)代入,得解得
∴y关于t的函数解析式为y=2t+10.
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时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
(2)当加热110 s时,油沸腾了,请推算这种食用油沸点的温度.
解:当t=110时,y=2×110+10=230,
∴这种食用油的沸点温度是230℃.
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时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
提能力
7.如图,甲、乙两人以相同的路线前往离学校12 km的地方参加植树活动,图中l甲,l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(km)与时间t(min)之间的关系.根据图象判断下列说法错误的是(  )
A.甲比乙早出发6 min
B.甲行驶的路程s与时间t的函数关系式为s=0.5t
C.甲的速度是0.5 km/min,乙的速度是1 km/min
D.乙出发12 min后两人相遇,这时他们离学校6 km
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D
8. 如图,射线①是公共汽车线路收支差额y(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象,目前该线路亏损.射线②是公司提高票价后的函数图象.两射线与x轴的交点坐标分别是(1.5,0)、(0.6,0),则当乘客为1万人时,提
高票价后的收支差额较提价前增加______万元.
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9. [2024南平质检10分]北方某市对城市居民该冬季的采暖收费制定了如下收费标准:(以户为单位)
阶梯 采暖用气 销售价格
第一阶梯 0~1 500 m3(含1 500 m3)的部分 2.67元/m3
第二阶梯 1 500~2 500 m3(含2 500 m3)的部分 3.15元/m3
第三阶梯 2 500 m3以上的部分 3.63元/m3
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根据表中所给的数据回答以下问题:
(1)某户用气量为1 000 m3,求此户需缴纳的燃气费用;
解:2.67×1 000=2 670(元).
∴此户需缴纳的燃气费用为2 670元.
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阶梯 采暖用气 销售价格
第一阶梯 0~1 500 m3(含1 500 m3)的部分 2.67元/m3
第二阶梯 1 500~2 500 m3(含2 500 m3)的部分 3.15元/m3
第三阶梯 2 500 m3以上的部分 3.63元/m3
(2)设某户这个冬季用气量为x m3(0≤x≤2 500),缴纳燃气费用为y元,求y与x的函数解析式;
解:当0≤x≤1 500时,y=267x.当1 500<x≤2 500时,
y=315(x-1 500)+267×1 500=315x-4 725+4 005=315x-720,
∴y与x的函数解析式为y=
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(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为8 970元,求该户用了多少立方米的燃气.
解:当x=2 500时,
y=3.15x-720=3.15×2 500-720=7 155.
∵8 970>7 155,∴该户的燃气用量超过了2 500 m3.
8 970-2.67×1 500-3.15×(2 500-1 500)=1 815(元),
1 815÷3.63=500(m3),2 500+500=3 000(m3).
∴该户用了3 000 m3的燃气.
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9(共20张PPT)
第三章 函 数
第13课时 二次函数的图象和性质(一)
教材梳理篇
清基础
1.下列函数中,是二次函数的是(  )
A.y=-2x+2 B.y=-
C.y=2-3x2+2x D.y=+x2
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C
2.[2024福州高新区实验中学模拟4分]函数y=3(x-2)2+4的图象的顶点坐标是(  )
A.(3,4) B.(-2,4)
C.(2,4) D.(2,-4)
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C
3.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2的大致图象可能是
(  )
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C
4.[2024福州台江区华伦中学一模4分]关于函数y=-3(x+1)2-2,下列描述错误的是(  )
A.函数图象开口向下
B.对称轴是直线x=-1
C.函数的最大值是-2
D.当x>-1时,y随x的增大而增大
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D
5.[2024莆田城厢区一模4分]平面直角坐标系中有两个二次函数的图象,其顶点M、N皆在x轴上,且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点,各点位置如图所示,若AB=12,BC=4,CD=6,则MN的长度是(  )
A.8 B.9
C.10 D.11
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B
6.[2024福州屏东中学二模4分]已知点A(m,n)、B(m+1,n)是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点,若当x≤2时,y随x的增大而减小,则 m的值可能是(  )
A.-4 B.-1
C.1 D.2
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D
7.[中考趋势题·开放性试题][2024厦门湖里中学二模4分]若一个二次函数的最小值为3,则该二次函数的解析式可以是______________________________.(写出一个符合题意的函数解析式即可)
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y=x2+3(答案不唯一)
8.[2024福州鼓楼区格致中学模拟4分]已知二次函数y=3(x-a)2的图象上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是__________.
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a≤2
9.二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式3-2a-2b的值为________.
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-1
10.在平面直角坐标系中,若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上,则c的值为______.
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11.已知抛物线y=ax2-2ax+c(a>0),且经过点(-2,y1),(-3,y2),试比较y1和y2的大小:y1______y2(填“>”“<”或“=”).
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12.已知二次函数y=-x2+bx+c.
(1)当b=4,c=3时,
①求该函数图象的顶点坐标;
解:当b=4,c=3时,y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,∴该函数图象的顶点坐标为(2,7).
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解:∵该函数图象的顶点坐标为(2,7),开口向下,∴当-1≤x<2时,y随x的增大而增大,
当2<x≤3时,y随x增大而减小,
∴当x=2时,y有最大值,为7.
又2-(-1)>3-2,
∴当x=-1时取得最小值,最小值为-2,
∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
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②当-1≤x≤3时,求y的取值范围.
(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的解析式.
解:由题意知,抛物线的对称轴x=在y轴的右侧,∴b>0.
∵抛物线开口向下,x≤0时,y的最大值为2,∴c=2.又∵=3,∴b=±2.
∵b>0,∴b=2,∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+2.
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提能力
13.[2024宁德二模4分]已知点A(2-m,y1),B(m-6,y2),C在抛物线y=ax2+5ax+n(a<0)上.若点A在对称轴左侧,则y1,y2,y3的大小关系是____________________.
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y2<y1<y3
由题意知,抛物线y=ax2+5ax+n的对称轴为直线x=-=-.
∵a<0,∴抛物线开口向下,∴当x<-时,y随x的增大而增大,当x>
-时,y随x的增大而减小.
∵点B(m-6,y2)在抛物线y=ax2+5ax+n(a<0)上,
∴点B(m-6,y2)关于对称轴x=-的对称点为(1-m,y2).
∵易知1-m<2-m<-,∴y2<y1<y3.
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14.[中考趋势题·过程性学习]已知二次函数y=mx2-2mx+3(m为常数,且m≠0),当-1≤x≤2时,函数有最小值2,则m的值是    .
步骤1:确定二次函数图象的对称轴、开口方向
①已知二次函数y=mx2-2mx+3,则抛物线的对称轴为直线x=______;
②二次项系数为m(m为常数,且m≠0),则抛物线开口方向__________(填“确定”或“不确定”).
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不确定
步骤2:分类讨论与数形结合
①当m>0时,抛物线开口向上,画出草图如图①,当x=1时,函数有最小值2,则m-2m+3=2,解得m=1;
②当m<0时,抛物线开口向下,在图②的坐标系中画出草图,并补全剩余步骤:_________________________________________________________.
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14
当x=-1时,函数有最小值2,则m+2m+3=2,解得m=-
步骤3:得出结论
故m的值为_________.
解:画出草图如图.
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1或-(共19张PPT)
第三章 函 数
第14课时 二次函数的图象和性质(二)
教材梳理篇
清基础
1.[2024福州立志中学一模4分]将抛物线y=2x2先向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线是(  )
A.y=2(x-3)2-1 B.y=2(x+3)2-1
C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x-1)2-3
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A
2.一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过点(0,-4),则此二次函数的解析式为(  )
A.y=-2(x+2)2-4 B.y=-2(x-2)2+4
C.y=2(x+2)2-4 D.y=2(x-2)2+4
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B
3.二次函数y=x2-2x-1的图象与x轴的交点个数是(  )
A.0个 B.1个
C.2个 D.不能确定
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13
C
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数值y>0时,x的取值范围是(  )
A.x<-1
B.x>3
C.-1<x<3
D.x<-1或x>3
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D
5.如图,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+ c≤kx+m的解集是
(  )
A.x≤-3或x≥1 B.x≤-3
C.x≥1 D.-3≤x≤1
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13
A
6.[2024济宁]将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是__________.
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13
k≥3
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,m),若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-4=0无实数根,则m的取值范围是__________.
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m<4
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表,则该函数的解析式为_________________.
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 m 0 n …
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y=x2-4x+3
9.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,点A(-1,0)为其与x轴的一个交点,则
(1)抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为
______________;
(2)当____________________时,y=0;
(3)当________________时,ax2+bx+c>0;
(4)当____________________时,ax2+bx+c<0.
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(3,0)
x=-1或x=3
-1<x<3
x<-1或x>3
10.在平面直角坐标系中,若点P的横坐标与纵坐标相等,则称点P为和谐点,例如:点(1,1),(-2,-2),(0.5,0.5)……都是和谐点.若二次函数y=ax2+7x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(-3,-3),求该二次函数的解析式.
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解:设和谐点为(t,t),
把(t,t)代入y=ax2+7x+c,得at2+7t+c=t,
整理,得at2+6t+c=0,
∵t有且只有一个值,∴ Δ=62-4ac=0,即ac=9.
把(-3,-3)代入y=ax2+7x+c,得9a+c=18,即c=18-9a.
把c=18-9a代入ac=9,得a(18-9a)=9,
解得a1=a2=1,∴c=18-9×1=9,
∴此二次函数的解析式为y=x2+7x+9.
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提能力
11.[2024厦门第二实验学校二模4分]经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,则线段AB的长为(  )
A.10 B.12
C.13 D.15
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B
抛物线y=-x2+bx-b2+2c的对称轴为直线x=-=b.
∵抛物线经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点,
∴=b,即c=b-1,
∴y=-x2+bx-b2+2c=-x2+bx-b2+2b-2.
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∵抛物线与x轴有交点,
∴Δ=b2-4××(-b2+2b-2)≥0,
∴b2-4b+4≤0,即(b-2)2≤0,
∴b=2,∴c=b-1=2-1=1,
2-3b=2-6=-4,∴4b+c-1=8+1-1=8,
∴AB=4b+c-1-(2-3b)=8-(-4)=12.
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12.[2024烟台]已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列结论:① abc>0;②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根;③当-4<x<1时,y的取值范围为0<y<5;④若点(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函数图象上,则y1=y2;⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3.其中正确结论的序号为__________.
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①②④
13.[2024福州屏东中学模拟8分]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2-4ax-a(a≠0)的图象经过点A(0,-1).
(1)求该二次函数的解析式以及图象的顶点坐标;
解:∵二次函数y=ax2-4ax-a(a≠0)的图象经过点A(0,-1),∴-a=-1,解得a=1,
∴该二次函数的解析式为y=x2-4x-1.
∵y=x2-4x-1=(x-2)2-5,
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,-5).
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(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A,点(m,y1 )在一次函数y=2x+b的图象上,点(m+4,y2 )在二次函数y=ax2-2ax的图象上,若y1<y2,求m的取值范围.
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解:∵一次函数y=2x+b的图象经过点A,∴b=-1,
∴一次函数的解析式为y=2x-1,
∴点(m,y1)在一次函数y=2x-1的图象上,
∴y1=2m-1,
∵a=1,点(m+4,y2 )在二次函数y=x2-2x的图象上,∴y2=(m+4)2-2(m+4).
若y1<y2,则2m-1<(m+4)2-2(m+4),
即m2+4m+9>0.
∵m2+4m+4=(m+2)2≥0,∴m2+4m+9>0恒成立,∴m为任意实数.
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13(共17张PPT)
第三章 函 数
第15课时 二次函数的应用
教材梳理篇
清基础
1.若一种服装的销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y=-2x2+4x+5,则盈利(  )
A.最大值为5万元 B.最大值为7万元
C.最小值为5万元 D.最小值为7万元
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B
2.如图,某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示,函数关系为y=-x2,当水面宽度AB为20 m时,水面与桥拱顶的高度CO等于(  )
A.2 m B.4 m
C.10 m D.16 m
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B
3. 加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分)满足的函数关系为p=at2+bt+c(a,b,c是常数,a≠0),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为(  )
A.4.25分 B.4.00分
C.3.75分 D.3.50分
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C
4.如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是 y=-(x-9)(x+2),则铅球被推出的水平距离OA为______m.
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5.[2024厦门外国语学校模拟4分]汽车刹车后行驶的距离s(单位:m)关于行驶时间t(单位:s)的函数解析式是s=-3t2+30t,汽车刹车后到停下来前进了________m.
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6.[2024泰安]如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园,已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是__________平方米.
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450
7. 如图①为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看成是抛物线的一部分,如图②是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看成长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,试说明货车能否完全停到车棚内.
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解:∵CD=4 m,B(6,2.68),∴6-4=2,
在y=-0.02x2+0.3x+1.6中,当x=2时,y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12,
∵2.12>1.8,∴可判定货车能完全停到车棚内.
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8.[2024福州立志中学一模8分]某商场销售一种进价为30元/个的商品,当销售价格x(元/个)满足40<x<80时,其销售量y(万个)与x之间的关系式为y=-x+9,同时销售过程中的其他开支为50万元.
(1)求商场销售这种商品的净利润W(万元)与销售价格x的函数解析式;
解:(1)根据题意,得W=y(x-30)-50=(x-30)-50=-x2+12x-320.
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(2)销售价格定为多少时净利润最大,最大净利润是多少?
解:(2)W=-x2+12x-320=-(x2-120x+3 600)+360-320=-(x-60)2+40,
所以当x=60时,W最大=40.
答:销售价格定为60元/个时净利润最大,最大净利润是40万元.
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提能力
9.[2024天津]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;
②小球运动中的高度可以是30 m;
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
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C
10. [2024莆田砺成中学一模10分]嘉嘉在看小明和小亮玩打水仗游戏时有所悟,借此情境编制了一道数学题,请解答这道题:
小明和小亮玩打水仗,两人相距7米,两人身高都是1.5米.以水平线为x轴,小明所站立线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,点A(0,1.5)是小明水枪的喷口,小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2.5.小亮为了喷到小明,踮脚抬臂,
使得喷枪的喷口坐标为B(7,1.8),小亮水枪喷
出的水行走路线为抛物线C2:y=mx2+bx+c,
且其过点(4,3.6).
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(1)请通过计算说明小明能否喷到小亮;
解:(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2.5过点A(0,1.5),∴1.5=a(0-3)2+2.5,解得a=-,
∴抛物线C1为y=-(x-3)2+2.5.
当x=7时,y=-(7-3)2+2.5=.
∵0<<1.5,∴小明能喷到小亮.
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解:∵抛物线C2的顶点坐标为(4,3.6),
∴设抛物线C2为y=m(x-4)2+3.6.
∵抛物线C2过点B(7,1.8),
(2)①如果(4,3.6)是抛物线C2的顶点,请通过计算说明小亮能否喷到小明;
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∴1.8=m(7-4)2+3.6,解得m=-,
∴抛物线C2为y=-(x-4)2+3.6.
当x=0时,y=-(0-4)2+3.6=0.4,
∵0<0.4<1.5,∴小亮能喷到小明.
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解:-≤m≤-.
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②如果小亮能喷到小明,请直接写出m的取值范围.(共20张PPT)
第三章 函 数
第16课时 反比例函数
教材梳理篇
清基础
1.[2024重庆B卷]反比例函数y=-的图象一定经过的点是
(  )
A.(1,10) B.(-2,5)
C.(2,5) D.(2,8)
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B
2.反比例函数y=-的图象位于(  )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、四象限 D.第二、三象限
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B
3.[2024天津]若点A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是(  )
A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2
C.x3<x2<x1 D.x2<x1<x3
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B
4.[2024宁德二模4分]如图,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=-的图象相交于A,B两点.已知点A的横坐标是-3,则点B的坐标是(  )
A.(-3,2) B.(2,-3)
C.(3,-2) D.(-2,-3)
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C
5.如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(1,2),B(m,-1),则不等式ax+b≥的解集是(  )
A.x<-2或0<x<1
B.x≤-2或0<x<1
C.-2<x<0或x>1
D.-2≤x<0或x≥1
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D
6. 一盏亮度可调节的台灯,通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化.电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示.下列结论正确的是(  )
A.I=
B.当I>10 A时,R>22 Ω
C.当I=5 A时,R=40 Ω
D.当I>2 A时,0 Ω<R<110 Ω
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D
7.[2024三明三元区一模4分]已知点A(2,-4)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为________.
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8.[2024福州文博中学二模4分]在反比例函数y=的图象的每一支上,y都随x的增大而减小,请写出一个符合题意的k值:____________________.
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2(答案不唯一)
9. 在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0),若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为__________.
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10.[2024福州华伦中学一模4分]如图,反比例函数y=(k≠0)的图象上有一点A,△AOB的面积为5,则该反比例函数的解析式为__________.
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y=-
11.[2024南平一检8分]反比例函数y=的图象经过点A(1,6),B(a,2).
(1)求a的值;
解:∵反比例函数y=的图象经过点A(1,6),B(a,2),∴k=1×6=2a,∴a=3.
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(2)若点C(m,n)在反比例函数y=的图象上,其中n<3,求m的取值范围.
解:由(1)知反比例函数的解析式为y=,
∴当y=3时,x=2.
由k=6>0,易知在图象的每一支上,y随x的增大而减小.
∴当n<3时,有m>2或m<0.
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提能力
12.[代数推理][2024厦门第一中学二模4分]P(x1,y1),Q(x2,y2)为反比例函数y=的图象上的两点,若x1+x2=0,且x1<x2,则下列判断正确的是(  )
A.y1<y2 B.y1>y2
C.y1+y2=0 D.y1-y2=0
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C
13.如图,矩形OABC的面积为10,双曲线y=(x>0)与AB、BC分别交于点D、E,若AD=2BD,则k的值为_______.
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连接OB、OD.
∵矩形OABC的面积为10,
∴S△AOB=S矩形OABC=5.
∵AD=2BD,∴S△AOD=2S△BOD,
∴S△AOD=S△AOB=×5==|k|.
∵双曲线过第一象限,∴k>0,∴k=.
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14.[2024福州华伦中学一模10分]智能饮水机接通电源后开始自动加热,水温每分钟上升20 ℃,加热到100 ℃时,饮水机自动停止加热,水温开始下降,在水温开始下降的过程中,水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系.当水温降至室温时,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水
温和室温均为20 ℃,接通电源后,水温y(℃)
与通电时间x(min)之间的关系如图所示.
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(1)求当4<x≤a时,y与x之间的函数解析式;
解:设反比例函数的解析式为y=,
将(4,100)代入,得k=4×100=400,
则y与x之间的函数解析式为y=.
当y=20时,x==20=a,
即y与x之间的函数解析式为y=(4<x≤20).
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(2)在一个加热周期内,水温不低于40 ℃的时间有多长?
解:设当0≤x≤4时,y与x之间的函数解析式为y=mx+n,
将(0,20),(4,100)代入,得解得
则y=20x+20(0≤x≤4),
当y=40时,20x+20=40,解得x=1.
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对于y=(4<x≤20),当y=40时,x==10,
∵10-1=9(min),
∴在一个加热周期内,水温不低于
40 ℃的时间为9 min.
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