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2026年中考一轮复习
3.2 一次函数
函数
第3章
“—”
1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式．
2．能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数．
3．体会一次函数与二元一次方程的关系．
4．能用一次函数解决简单实际问题．
1．一次函数定义
一般地，形如________（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数；当b=0时，一次函数________叫作正比例函数．
y=kx+b
y=kx
2．一次函数图象和性质
（1）正比例函数y=kx的图象是一条经过________的直线．当k>0时，直线y=kx经过第________象限，y随x的增大而________；当k<0时，直线y=kx经过第________象限，y随x增大反而________．
（2）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象交x轴于点A（，0），交y轴于点B（0，____）．
原点
一、三
增大
二、四
减小
b
2．一次函数图象和性质
（3）当k>0时，图象从左至右是“上升”的，y随x的增大而________．
①b>0，图象位于第___________象限；
②b=0，图象位于第___________象限；
③b<0，图象位于第___________象限；
当k<0时，图象从左至右是“下降”的，y随x的增大而________．
①b>0，图象位于第___________象限；
②b=0，图象位于第___________象限；
③b<0，图象位于第___________象限．
增大
一、二、三
一、三
一、三、四
减小
一、二、四
二、四
二、三、四
3．一次函数图象与解析式
（1）已知一次函数图象求解析式：在函数图象上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2），把A，B两点坐标代入解析式________，求出________的值，即可知一次函数解析式（待定系数法）．
（2）已知一次函数解析式画函数图象：根据解析式求出两点A（，0），B（0，____），在平面直角坐标系中描出A，B两点，画直线AB，即是此一次函数的图象．
y=kx+b
k，b
b
3．一次函数图象与解析式
（3）用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
①设出函数关系式；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）代人函数关系式中，得到关于系数的方程（组）；
③解方程（组），求出系数的值，写出函数关系式．
注意：直线y=k1+bl和y=k2+b2平行时，k1k2；直线y=k1+bl和y=k2+b2垂直时，k1k2=．
4．一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系，如：
（1）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），当y=0时，即为一元一次方程kx+b=0（k，b是常数，≠0），解是x=．
（2）—次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），当y>0时，即为一元一次不等式kx+b>0（k，b是常数，k≠0），解是直线y=kx+b在x轴上方所有点的横坐标的集合．
4．一次函数与方程、不等式的关系
（3）在同一坐标平面内有两个一次函数图象，若y1的图象在y2的图象上方（或下方），则y1____y2（y1____y2）；若它们交于一点，则________坐标就是两个解析式所组成的方程的解．
>
<
交点
■考点一 正比例函数的定义
◇典例1：（2025·上海·中考）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
D
◆变式训练
1．（2025·山西·中考）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A． B． C． D．
C
2．（2025·安徽合肥·琥珀教育集团·三模）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
A
■考点二 一次函数的定义
◇典例2：（2025·广东广州·中考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
◆变式训练
1．（2025·四川广安·中考）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可）
2．（2026·陕西·陕师大附中·中考一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A． B．5 C．3 D．
A
■考点三 一次函数的图象和性质
◇典例3：（2025·四川省甘孜州·中考）函数的图象为( )
A． B． C． D．
A
◆变式训练
1．（2025·黑龙江大庆·中考）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 ．
（答案不唯一）
2．（2025·河南驻马店汝南·三模）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
B
■考点四 一次函数与方程、不等式
◇典例4：（2025·大连沙河口区·模拟）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
◆变式训练
1．（2025·江苏省苏州市·定心卷）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
2．（2025·江苏苏州·模拟）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积．
解：根据题意得方程组，解得，∴，
在直线中，当时，，解得，
∴，
在直线中，当时，，解得，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴．
◇典例5：（2025·内蒙古·中考）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A． B．
C． D．
■考点五 一次函数的实际应用
A
◆变式训练
1．（2025·山西临汾永和·二模）电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为 千克．
75
2．（2025·山东临沂郯城·模拟）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元．
(1)求A、B这两种书籍的进货单价．
(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案．
(3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？
（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得
，
解得，
答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元；
（2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本，
，
解①得，，解②得，，
∴，
∴有三种方案：
①A进110本，B进130本．
②A进111本，B进129本．
③A进112本, B进128本；
（3）解：设获利为w元，根据题意，得
，
∵，
∴获利w随着m的增大而减小，
当时，获利w最大，
当时，即，
选第一种方案：
获利（元），
所以最大获利为2350元．
■考点六 一次函数与几何综合
◇典例6：（2025·南京·中考）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后
过点的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
B
◆变式训练
1．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时， ．
2．（2025·辽宁大连·多校一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E．
(1)求证：；
(2)若点C的坐标为，求直线的解析式．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，
在和中，，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
设直线的解析式为：，把A，C坐标代入得：
，解得，∴直线的解析式为，
令，可求得，∴，∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，把和的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式．
A 基础达标练
1．（2025·江苏南通·中考）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
D
2．（2025·陕西·中考）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ）
A． B． C． D．
B
3．（2025·江苏苏州·中考）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度 324 330 336 348
研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ）
A． B． C． D．
B
4．（2025·河北·中考）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
A
5．（2025·山东滨州·中考）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论：
①纸片的面积是；
②点E的坐标为；
③若直线既平分矩形的面积又平分
的面积，则直线的解析式为；
④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
D
6．（2025·青海西宁·中考）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ．
或
7．（2025·宁夏·中考）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ．
8．（2025·江苏淮安·中考）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
6（大于5均可）
9．（2025·天津市和平区益中学校·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系．
(1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____, ；
(2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式；
(3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km；
(4)在甲到达B地前，当 h时，
甲、乙两人相距2km；
(5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km．
15
1
4
1.2或2或2.6
24
B 强化提升练
10．（2025·黑龙江龙东·中考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．
设，，，
，…的面积分别为，，
，，，则 ．
11．（2025·南京·中考）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是______；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围．
解：（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，
平移后的函数解析式为，
当时，与轴交点的纵坐标，
①若，则，
是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线，
时，，时，，
当时，的取值范围是；
则平移后得到的顶点为，
②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
(a)(b)
②函数的图象与轴、轴的交点分别为，，
，，
当时，，
，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，随的增大而减小，
当时，，
，
对称轴为直线，
，
随的增大而增大，
故可能的序号是(a)(b)．
故答案为：(a)(b)．
47
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2
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第三章 函数
3.2 一次函数
1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式．
2．能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数．
3．体会一次函数与二元一次方程的关系．
4．能用一次函数解决简单实际问题．
1．一次函数定义
一般地，形如________（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数；当b=0时，一次函数________叫作正比例函数．
2．一次函数图象和性质
（1）正比例函数y=kx的图象是一条经过________的直线．当k>0时，直线y=kx经过第________象限，y随x的增大而________；当k<0时，直线y=kx经过第________象限，y随x增大反而________．
（2）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象交x轴于点A（，0），交y轴于点B（0，________）．
（3）当k>0时，图象从左至右是“上升”的，y随x的增大而________．
①b>0，图象位于第________象限；
②b=0，图象位于第________象限；
③b<0，图象位于第________象限；
当k<0时，图象从左至右是“下降”的，y随x的增大而________．
①b>0，图象位于第________象限；
②b=0，图象位于第________象限；
③b<0，图象位于第________象限．
3．一次函数图象与解析式
（1）已知一次函数图象求解析式：在函数图象上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2），把A，B两点坐标代入解析式________，求出________的值，即可知一次函数解析式（待定系数法）．
（2）已知一次函数解析式画函数图象：根据解析式求出两点A（，0），B（0，________），在平面直角坐标系中描出A，B两点，画直线AB，即是此一次函数的图象．
（3）用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
①设出函数关系式；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）代人函数关系式中，得到关于系数的方程（组）；
③解方程（组），求出系数的值，写出函数关系式．
注意：直线y=k1+bl和y=k2+b2平行时，k1k2；直线y=k1+bl和y=k2+b2垂直时，k1k2=．
4．一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系，如：
（1）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），当y=0时，即为一元一次方程kx+b=0（k，b是常数，≠0），解是x=．
（2）—次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），当y>0时，即为一元一次不等式kx+b>0（k，b是常数，k≠0），解是直线y=kx+b在x轴上方所有点的横坐标的集合．
（3）在同一坐标平面内有两个一次函数图象，若y1的图象在y2的图象上方（或下方），则y1________y2（y1________ y2）；若它们交于一点，则________坐标就是两个解析式所组成的方程的解．
■考点一 正比例函数的定义
◇典例1：（2025·上海·中考）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·山西·中考）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A． B． C． D．
2．（2025·安徽合肥·琥珀教育集团·三模）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
■考点二 一次函数的定义
◇典例2：（2025·广东广州·中考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·四川广安·中考）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可）
2．（2026·陕西·陕师大附中·中考一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A． B．5 C．3 D．
■考点三 一次函数的图象和性质
◇典例3：（2025·四川省甘孜州·中考）函数的图象为( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·黑龙江大庆·中考）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 ．
2．（2025·河南驻马店汝南·三模）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
■考点四 一次函数与方程、不等式
◇典例4：（2025·大连沙河口区·模拟）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·江苏省苏州市·定心卷）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
2．（2025·江苏苏州·模拟）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积．
■考点五 一次函数的实际应用
◇典例5：（2025·内蒙古·中考）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·山西临汾永和·二模）电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为 千克．
2．（2025·山东临沂郯城·模拟）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元．
(1)求A、B这两种书籍的进货单价．
(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案．
(3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？
■考点六 一次函数与几何综合
◇典例6：（2025·南京·中考）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◆变式训练
1．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时， ．
2．（2025·辽宁大连·多校一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E．
(1)求证：；
(2)若点C的坐标为，求直线的解析式．
A 基础达标练
1．（2025·江苏南通·中考）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西·中考）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏苏州·中考）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度 324 330 336 348
研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北·中考）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东滨州·中考）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论：
①纸片的面积是；
②点E的坐标为；
③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为；
④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·青海西宁·中考）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ．
7．（2025·宁夏·中考）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ．
8．（2025·江苏淮安·中考）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
9．（2025·天津市和平区益中学校·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系．
(1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ；
(2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式；
(3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km；
(4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km；
(5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km．
B 强化提升练
10．（2025·黑龙江龙东·中考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ．
11．（2025·南京·中考）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围．
②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第三章 函数
3.2 一次函数
1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式．
2．能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数．
3．体会一次函数与二元一次方程的关系．
4．能用一次函数解决简单实际问题．
1．一次函数定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数；当b=0时，一次函数y=kx叫作正比例函数．
2．一次函数图象和性质
（1）正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线．当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，y随x增大反而减小．
（2）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象交x轴于点A（，0），交y轴于点B（0，b）．
（3）当k>0时，图象从左至右是“上升”的，y随x的增大而增大．
①b>0，图象位于第一、二、三象限；
②b=0，图象位于第一、三象限；
③b<0，图象位于第一、三、四象限；
当k<0时，图象从左至右是“下降”的，y随x的增大而减小．
①b>0，图象位于第一、二、四象限；
②b=0，图象位于第二、四象限；
③b<0，图象位于第二、三、四象限．
3．一次函数图象与解析式
（1）已知一次函数图象求解析式：在函数图象上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2），把A，B两点坐标代入解析式y=kx+b，求出k，b的值，即可知一次函数解析式（待定系数法）．
（2）已知一次函数解析式画函数图象：根据解析式求出两点A（，0），B（0，b），在平面直角坐标系中描出A，B两点，画直线AB，即是此一次函数的图象．
（3）用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
①设出函数关系式；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）代人函数关系式中，得到关于系数的方程（组）；
③解方程（组），求出系数的值，写出函数关系式．
注意：直线y=k1+bl和y=k2+b2平行时，k1k2；直线y=k1+bl和y=k2+b2垂直时，k1k2=．
4．一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系，如：
（1）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），当y=0时，即为一元一次方程kx+b=0（k，b是常数，≠0），解是x=．
（2）—次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），当y>0时，即为一元一次不等式kx+b>0（k，b是常数，k≠0），解是直线y=kx+b在x轴上方所有点的横坐标的集合．
（3）在同一坐标平面内有两个一次函数图象，若y1的图象在y2的图象上方（或下方），则y1>y2（y1< y2）；若它们交于一点，则交点坐标就是两个解析式所组成的方程的解．
■考点一 正比例函数的定义
◇典例1：（2025·上海·中考）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可．
【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意；
B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意；
C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意；
D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意；
故答案为：D．
◆变式训练
1．（2025·山西·中考）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴与成正比例，即是的正比例函数，
∴，
故选：．
2．（2025·安徽合肥·琥珀教育集团·三模）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据为正比例函数，设，由令中即可，进一步即可得出，则，代入计算即可．
【详解】解：∵为正比例函数，
∴设，
∵，
∴只需令中即可，
即，
∴，
∴，
∴要求中，令，代入得
∴，
故选：A．
■考点二 一次函数的定义
◇典例2：（2025·广东广州·中考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得
∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，
∴把代入得，解得；
把代入得，解得；
则，
故选：D．
◆变式训练
1．（2025·四川广安·中考）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解．
【详解】解：当时，，
∴的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
2．（2026·陕西·陕师大附中·中考一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标特征满足函数表达式是解题的关键.
由点P在函数图象上可得，代入代数式并化简求值.
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴.
∴.
故选：A.
■考点三 一次函数的图象和性质
◇典例3：（2025·四川省甘孜州·中考）函数的图象为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案．
先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项．
【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．
令，则，解得，即函数与x轴的交点为；
令，则，即函数与y轴的交点为；
观察图像，只有A选项与计算结果匹配．
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·黑龙江大庆·中考）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
设一次函数解析式，根据题意可得，即可写出符合题意的一次函数解析式．
【详解】解：设一次函数解析式，
当时，，
∴与y轴交点为，
∵图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大，
∴，
∴解析式可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
2．（2025·河南驻马店汝南·三模）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。
根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。
【详解】解：①当点Q在上时，如图
有，，
∴（）．
此时y与x之间的函数为一次函数．
②当点Q在上时，如图
有，，
∴，
∴（）．
此时y与x之间的函数为二次函数．
综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项．
故选B．
■考点四 一次函数与方程、不等式
◇典例4：（2025·大连沙河口区·模拟）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．
观察图象找到当时的值即为本题的答案．
【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点，
即当时，
所以关于的方程的解为，
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·江苏省苏州市·定心卷）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据函数图像解答即可求解．
【详解】解：由函数图像可知，当时，函数的图像不在函数图像的上方，即，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
2．（2025·江苏苏州·模拟）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中直线与坐标轴围成的面积，掌握一次函数交点的计算方法，图形面积的计算方法是解题的关键．根据两条直线相交，可联立方程组求得点的坐标，根据直线与坐标轴有交点可求得点的坐标，如图所示，可得，过点作于点，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意得方程组，解得，
∴，
在直线中，当时，，解得，
∴，
在直线中，当时，，解得，
∴，
如图所示，过点作于点，

∴，，
∴．
■考点五 一次函数的实际应用
◇典例5：（2025·内蒙古·中考）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解．
【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：，
由图象可代入得：，
解得：，
∴，
当，则
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·山西临汾永和·二模）电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为 千克．
【答案】75
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
先由待定系数法求出函数解析式，再把为90欧代入解析式即可求解．
【详解】解：由图可知，与踏板上人的质量之间的关系为一次函数关系，设函数关系式为（其中，为常数，），
把和代入得：
，解得，
∴，
当为90欧时，，
解得：，
故答案为：75．
2．（2025·山东临沂郯城·模拟）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元．
(1)求A、B这两种书籍的进货单价．
(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案．
(3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？
【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元
(2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本
(3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，
（1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解；
（2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解；
（3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果．
【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得
，
解得，
答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元；
（2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本，
，
解：①得，，
解：②得，，
∴，
∴有三种方案：
1．A进110本，B进130本．
2．A进111本，B进129本．
3. A进112本, B进128本；
（3）解：设获利为w元，根据题意，得
，
∵，
∴获利w随着m的增大而减小，
当时，获利w最大，
当时，即，
选第一种方案：
获利（元），
所以最大获利为2350元．
■考点六 一次函数与几何综合
◇典例6：（2025·南京·中考）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答．
【详解】解：令则，
∴，
即，
令，则，
即，
∵沿轴翻折，
∴沿轴翻折得
设的解析式为，
把，代入
得，
∴，
则，
∴沿轴翻折不过点，
∴①不符合题意；
②令则，
解得，
即经过点，
令，则
即经过点，
连接，如图所示：
∵，，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴与关于直线对称，
故沿函数的图像翻折过点，
∴②符合题意；
③
依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，
当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点；
当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；
过程如下：
∴，
此时点，
把代入，
得
∴不在，
即绕原点按顺时针方向旋转不经过点，
故③不符合题意；
∵绕点按顺时针方向旋转，且，
∴记为T点，连接，
∴，
∴，
则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，
故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，
∴④符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
◆变式训练
1．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时， ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，得到直线与圆位置关系是解题的关键．
首先根据直角三角形斜边中线性质确定点C的运动轨迹，得到点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆，再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质来求解b的值
【详解】解：∵，C是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，已知，则,
∴点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆，
设直线l与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，作于点D，如下图：
当直线l与圆只有1个交点时，直线l与圆相切，此时圆心到直线l的距离等于圆的半径，
∴，
在直线中，令，则，令，则求得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2025·辽宁大连·多校一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E．
(1)求证：；
(2)若点C的坐标为，求直线的解析式．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题．
（1）证明和即可得出结论；
（2）设直线的解析式为：，把A，C坐标代入可求出m和n的值，进而可求出的长，因为，所以M的坐标又可求出，再设直线的解析式为，把M和B点的坐标代入求出k和b的值即可求出直线的解析式．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设直线的解析式为：，把A，C坐标代入得：
解得，
∴直线的解析式为，
令，可求得，
∴，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，把和的坐标代入得：
解得：，
∴直线的解析式．
A 基础达标练
1．（2025·江苏南通·中考）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴时， 时，
故选： ．
2．（2025·陕西·中考）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
根据题意可知，即可得出随的增大而增大．
【详解】解：，，
随的增大而增大，
，
∴经过一，三象限
∴B符合条件，C，D不符合条件
∵直线，
∴直线经过原点
点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合，
故选：．
3．（2025·江苏苏州·中考）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度 324 330 336 348
研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题．
【详解】解： 满足公式，
由表格数据可得，
解得，
即，
当温度t为时，，
故选：B．
4．（2025·河北·中考）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，代入
∴
∴
∴直线的解析式为
∵，
A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，
B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，
C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，，
∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，
D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意，
故选：A．
5．（2025·山东滨州·中考）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论：
①纸片的面积是；
②点E的坐标为；
③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为；
④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】如图，延长交轴于， 求解，，，，，可得，，可得①符合题意；可得，可得②符合题意；如图，连接交于点，连接交于点，结合矩形和平行四边形，可得直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积，进一步可得③符合题意；如图，连接，过作于，求解，进一步可得④符合题意．
【详解】解：如图，延长交轴于，
∵一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为，
∴，，，，，
∴，，纸片面积为：，故①符合题意；
∴，故②符合题意；
如图，连接交于点，连接交于点，
∵矩形和平行四边形，
∴直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积，
∵，，，
∴，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；故③符合题意；
如图，连接，过作于，
由题意可得：，而的面积为，
∴，
∴，
∵当最小时，最大，
∴当时，最小，
∵，
∴，解得：，
此时，
∴m与n之间的关系式为，故④符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，矩形，平行四边形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
6．（2025·青海西宁·中考）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ．
【答案】或
【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作轴，则：，，
∴或，
设直线的解析式为，
∴当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
综上：或；
故答案为：或．
7．（2025·宁夏·中考）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系．
明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解．
【详解】∵直线与直线交于点，
∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式，
即方程组的解为点A的坐标．
故答案为：．
8．（2025·江苏淮安·中考）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【答案】6（答案不唯一，大于5均可）
【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解．
【详解】解：直线经过点，
，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，
即，，
∴，
，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，
∴，
∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，
∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
9．（2025·天津市和平区益中学校·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系．
(1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ；
(2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式；
(3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km；
(4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km；
(5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km．
【答案】(1)；15；1
(2)
(3)4
(4)1.2或2或2.6
(5) ；24
【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键．
（1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可；
（2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可；
（3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可；
（4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可；
（5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可．
【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达，
而乙的速度为，
由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同，
则，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为,
当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：；
当时，设y关于x的函数表达式为，
图象经过，两点，代入函数表达式得：
解得
因此，y关于x的函数表达式为,
综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：；
（3）解：由图象可知，时，乙到达地，
则在中，令得，
因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为，
故答案为：；
（4）解：由题意得，乙的骑行速度为，
则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：，
①甲、乙两人相遇前后相距时，
则，
解得或；
②乙到达地后，甲、乙相距时,
则
综上所述，当或或时，甲、乙两人相距，
故答案为：或或；
（5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为，
乙的函数表达式为，
则，
解得，
此时距离地的距离为．
因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地
故答案为：，．
B 强化提升练
10．（2025·黑龙江龙东·中考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得．
【详解】解：当时，，
点的坐标是，
点在直线上，
设点的坐标是，
则点的坐标是，点的坐标是，
四边形是正方形，
，，
，
解得：，
的坐标是，
正方形的边长为，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
设点的坐标为，
则点的坐标是，点的坐标是，
，
四边形是正方形，
，，
，
解得：，
，
的坐标是，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
的坐标是，的坐标是，
，
的坐标是，点的坐标是，
，
，，
，
又四边形和均为正方形，
轴，轴，
，
，
，且相似比为，
，
当时，，
同理可证，且相似比为，
则，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果．
11．（2025·南京·中考）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围．
②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
【答案】
（1）
（2）① ② (a)(b)
【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标．
（2）由题意平移后的函数解析式为，则，
①若，则，利用二次函数的增减性即可求解；
②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可．
【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为，
令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为．
故答案为；；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，
则平移后得到的顶点为，
平移后的函数解析式为，
当时，与轴交点的纵坐标，
①若，则，
是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线，
时，，时，，
当时，的取值范围是；
②函数的图象与轴、轴的交点分别为，，
，，
当时，，
，
对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
随的增大而减小，
当时，，
，
对称轴为直线，
，
随的增大而增大，
故可能的序号是(a)(b)．
故答案为：(a)(b)．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
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