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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第三章 函数
3.3 反比例函数
1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．
2．能画反比例函数的图象，根据图象和表达式（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况．
3．能用反比例函数解决简单实际问题．
1．反比例函数定义
（1）定义：形如（k是常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量（自变量的取值范围是非零的一切实数），y是x的函数，k是比例系数．
（2）三种表达形式：①；②y=kx-1；③xy=k．（k为常数，k≠0）
2．反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，且不与两坐标轴相交．
（2）性质：
①当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
②当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
③反比例函数的图象是轴对称图形，有两条对称轴，分别是y=x和y= x；反比例函数的图象也是中心对称图形．
3．利用待定系数法求反比例函数表达式的步骤
（1）设出反比例函数解析式（k为常数，k≠0）；
（2）把图象上一点坐标A（a，b）代入解析式，得到k的值，即k=ab；
（3）写出这个反比例函数的解析式．
4．比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积S=，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积S=|k|．
（2）常见的面积类型：
5．反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：联立两个函数解析式，利用方程思想求解．
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解．
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论判断．
（4）比较函数值的大小：图象在上方的函数值大，图象在下方的函数值小，结合交点坐标，确定对应的取值范围．
6．反比例函数的实际应用
（1）根据题意找出自变量与因变量之间的关系；
（2）设出函数解析式；
（3）运用待定系数法求出函数解析式；
（4）根据反比例函数的解式或性质解决相关问题．
■考点一 反比例函数的定义
◇典例1：（2025·重庆大渡口区·一诊）下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，将点代入反比例函数进行计算即可求解，掌握根据反比例函数自变量的值求函数值的计算方法是解题的关键．
【详解】解：A、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
故选：C
◆变式训练
1．（2025·青岛·中考）若和是反比例函数图象上的两点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数图象与性质，由是反比例函数图象上的点，可得反比例函数为，再进一步求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数图象上的点，
∴，
∴反比例函数为，
∵是反比例函数图象上的点，
∴，
解得：．
故答案为：
2．（2025·云南丽江·二模）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意；
B：是反比例函数，符合题意；
C：不是反比例函数，不符合题意；
D：不是反比例函数，不符合题意；
故选：B．
■考点二 反比例函数的图象
◇典例2：（2025·西藏·中考）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可．
【详解】解：由题意得，
∴a与h的函数关系式为，
∴此函数是一个以为自变量的反比例函数，
边上的高为，
∴，
故选：B．
◆变式训练
1．（2026·江西·原创卷）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：结合物理知识可得，
∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，同时自变量是正数．
故选：D．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键．
先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择．
【详解】解：如图：
∵的图象在第二象限，
∴，
∵ 的图象都在第一象限，
∴，
当时，，由图象可知，，
∴，
故选：A．
■考点三 反比例函数的性质
◇典例3：（2025·辽宁阜新·26中零模）点，在反比例函数，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由可知反比例函数图象经过第二、四象限，通过判断点A，B的横坐标的正负性可得点A，B所在的象限，即可解答．
【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限，
∵，
∴反比例函数图象上的点位于第二象限，点位于第四象限，
∴．
故选：A．
◆变式训练
1．（2026·江苏连云港海州实验中学·模拟卷）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，图象位于第一、三象限，据此得到，再解不等式即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
则比例系数，
解得，
故答案为：．
2．（2025·山东滨州·中考）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可．
【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意；
B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意；
D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
故选：C．
■考点四 反比例函数系数k的几何意义
◇典例4：（2025·甘肃省武威市·二模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据题意可得，则，进而根据k的几何意义，即可求解．
【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点，
两点关于原点对称，
，
，
，
∵双曲线在一、三象限，
，
故选：B．
◆变式训练
1．（2025·高要实验中学·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可．
【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
2．（2025·甘肃省定西市·四模）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活应用k的几何意义．
根据反比例函数k的几何意义和的面积为的面积减去的面积即可解决问题．
【详解】解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点，
点B是反比例函数的图象上一点，
∴，
∴，
故答案为：2．
■考点五 反比例函数与一次函数综合问题
◇典例5：．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
先根据正比例函数和反比例函数图象的性质得反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为，然后观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在正比例函数图象下方，即．
【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称，
∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为，
∴当或时，．
故选：．
◆变式训练
1．（2025·包头青山·二机一中·模拟）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点，则点C到线段的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征、两点间距离公式、坐标与图形、三角形的面积公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式是解答的关键．
根据题意得到，，根据坐标与图形性质和两点坐标距离公式得到轴，，，最后根据三角形等面积法即可求解．
【详解】解：由条件可知，，
∴，，
∵过点A的一次函数的图象与y轴交于点，
∴轴，，，
∴，
设点C到线段的距离为h，
又∵，
∴，
解得，
∴点C到线段的距离为，
故答案为：．
2．（2025·贵州省黔东南·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
（1）将点，点坐标代入反比例函数解析式可求的值，用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据函数图象可求不等式的解集．
【详解】（1）解：反比例函数的图象过点，
．
反比例函数的解析式为．
一次函数的图象过，
，即．
一次函数的解析式为．
（2）解：根据函数图象可得：不等式的解集为或．
■考点六 实际问题与反比例函数
◇典例6：（2026·河南濮阳范县·摸底）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．容器内气体的质量（质量）是5kg
B．当时，
C．当容器的体积为时，气体的密度为
D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值，
先求出m的值判断A；再根据反比例函数值随着x的增大而减小解答B，D；然后求出当时的函数值解答C．
【详解】解：∵，
∴容器内气体的质量为，
所以A不正确；
当时，，
所以当时，，
所以B不正确；
当时，，
所以当容器的体积，气体的密度是，
可知C正确；
当时，气体的密度随着容器体积的增大而减小，
则D不正确．
故选：C．
◆变式训练
1．（2025·哈尔滨·中考）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ．
【答案】20
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，
将，代入解得，
故答案为：．
2．（2025·浙江·零模）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．
(1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式．
(2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？
【答案】(1)
(2)压强由加压到，则气体体积压缩了
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算．
（1）设，利用待定系数法即可得到结论；
（2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案．
【详解】（1）解：设，
把代入中得：，
解得，
压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为；
（2）在中，当时，，当时，，
，
压强由加压到，则气体体积压缩了．
A 基础达标练
1．（2025·江苏镇江·中考）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质．
首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上，
∴，，
∵，
∴
∴当时，解得，
∴；
当时，解得；
综上所述，则的取值范围是或．
故选：A．
2．（2025·海南·中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键．
【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，，
由函数图象可得，当或时，，
∴不等式的解集为或，
故选：D．
3．（2025·广东广州·中考）若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限．
【详解】解：确定k的符号：
由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数．
∵反比例函数的图象位置由的符号决定：
当时，图象位于第一、三象限；
当时，图象位于第二、四象限．
因为负数，故图象在第二、四象限．
综上，正确答案为选项C．
故选：C
4．（2025·吉林长春·中考）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　）
A．24 B．27 C．45 D．50
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键．
先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断．
【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：，
代入点得：，
解得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，；当时，，
∵，
∴在第一象限内，随着的增大而减小，
∴，
∴的值可以为，
故选：C．
5．（2025·湖北省·中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
该反比函数解析式为，
∴在第一象限随的增大而减小；
当时，，
∴电流可以为，
故选：A．
6．（2025·湖北武汉·中考）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则，反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则，据此作答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，
∴即可，
∴，
故答案为：1（答案不唯一）．
7．（2025·江苏南通·中考）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系．
根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可．
【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为，
则（定值），
即与成反比例关系，
∵，
∴，
∵面向下放在地上，地面所受压强为，
∴面向下放在地上时，地面所受压强为，
故答案为：．
8．（2025·山东省·中考）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点的横坐标为1，
∴点的坐标为，
∴点的纵坐标为1，
∴点的坐标为，
同理点的横坐标为，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
∴四个点一个循环，
∵余1，
∴点的坐标与点相同，是，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．（2025·贵州·中考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数．
（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；
（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；
（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴；
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
B 强化提升练
10．（2025·江苏宿迁·中考）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；
①；②；③．
(2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
(3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
(3)或
【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论；
（2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解；
（3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意；
设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为，
由题意得，，
∴不等式组无解，
∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意；
∵，
∴函数的最小值为2，
∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2，
∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意；
∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①；
故答案为：①；
（2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，
由题意得，，
解得：，
∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，
∴关于的不等式组有解，
∴或或，
解得：或或，即，
∴实数的取值范围为；
（3）解：设“2阶完美点”的坐标为，
由题意得，，
∴“2阶完美点”在函数上，
∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，
∴函数与函数只有一个交点，
令，整理得，
设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，
当时，，
若函数与轴有2个交点，则当时，有，
∴，
解得：；
若函数与轴只有1个交点，则，
整理得：，
解得：或，
当时，则与轴的交点的横坐标为，
∵，
∴符合题意；
当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去；
综上所述，实数的取值范围为或．
【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
11．（2025·黑龙江大庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及的面积；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为，
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：作轴于点，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
∵，
∴点A的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），经检验，是原方程的解，
∴点D的坐标为，
∴；
（3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴，，
∴，
∴，
当轴时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，
∴点Q的坐标为；
当时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键．
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2026年中考一轮复习
3.3 反比例函数
函数
第3章
“—”
1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．
2．能画反比例函数的图象，根据图象和表达式（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况．
3．能用反比例函数解决简单实际问题．
1．反比例函数定义
（1）定义：形如（k是常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是________量（自变量的取值范围是________的一切实数），y是x的________，k是________．
（2）三种表达形式：①；②y=___；③xy=___．
（k为常数，k≠0）
自变
非零
函数
比例系数
kx-1
k
2．反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是________，且不与两坐标轴相交．
（2）性质：①当k>0时，双曲线的两支分别位于第________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________．
②当k<0时，双曲线的两支分别位于第________象限，在每个象限内，y随x的增大而________．
③反比例函数的图象是轴对称图形，有两条对称轴，分别是y=___和y=____；反比例函数的图象也是____________图形．
双曲线
一、三
减小
二、四
增大
x
x
中心对称
3．利用待定系数法求反比例函数表达式的步骤
（1）设出反比例函数解析式（k为常数，k≠0）；
（2）把图象上一点坐标A（a，b）代入________，得到k的值，即k=________；
（3）写出这个反比例函数的解析式．
解析式
ab
4．比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积S=，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积S=．
（2）常见的面积类型：
; ; ;
|k|
|k|
5．反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：联立两个函数解析式，利用方程思想求解．
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解．
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论判断．
（4）比较函数值的大小：图象在上方的函数值大，图象在下方的函数值小，结合交点坐标，确定对应的取值范围．
6．反比例函数的实际应用
（1）根据题意找出自变量与因变量之间的关系；
（2）设出函数解析式；
（3）运用待定系数法求出函数解析式；
（4）根据反比例函数的解式或性质解决相关问题．
■考点一 反比例函数的定义
◇典例1：（2025·重庆大渡口区·一诊）下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
C
◆变式训练
1．（2025·青岛·中考）若和是反比例函数图象上的两点，则 ．
2．（2025·云南丽江·二模）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
B
■考点二 反比例函数的图象
◇典例2：（2025·西藏·中考）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
B
◆变式训练
1．（2026·江西·原创卷）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（ ）
A． B． C． D．
D
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
A
■考点三 反比例函数的性质
◇典例3：（2025·辽宁阜新·26中零模）点，在反比例函数，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
A
◆变式训练
1．（2026·江苏连云港海州实验中学·模拟卷）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 .
2．（2025·山东滨州·中考）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
C
■考点四 反比例函数系数k的几何意义
◇典例4：（2025·甘肃省武威市·二模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
B
◆变式训练
1．（2025·高要实验中学·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　）
A． B．
C．4 D．
D
2．（2025·甘肃省定西市·四模）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ．
■考点五 反比例函数与一次函数综合问题
◇典例5：．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（ ）
A．
B．或
C．或
D．或
C
◆变式训练
1．（2025·包头青山·二机一中·模拟）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点，则点C到线段的距离为 ．
2．（2025·贵州省黔东南·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集．
（1）解：反比例函数的图象过点，
．
反比例函数的解析式为．
一次函数的图象过，
，即．
一次函数的解析式为．
（2）解：根据函数图象可得：不等式的解集为或．
■考点六 实际问题与反比例函数
◇典例6：（2026·河南濮阳范县·摸底）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．容器内气体的质量（质量）是5kg
B．当时，
C．当容器的体积为时，气体的密度为
D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大
C
◆变式训练
1．（2025·哈尔滨·中考）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ．
20
2．（2025·浙江·零模）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．
(1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式．
(2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？
（1）解：设，
把代入中得：，
解得，
压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为；
（2）在中，当时，，当时，，
，
压强由加压到，则气体体积压缩了．
A 基础达标练
1．（2025·江苏镇江·中考）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
A
2．（2025·海南·中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．或
D
3．（2025·广东广州·中考）若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
C
4．（2025·吉林长春·中考）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　）
A．24 B．27 C．45 D．50
C
5．（2025·湖北省·中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A． B． C． D．
A
6．（2025·湖北武汉·中考）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ．
1（答案不唯一）
7．（2025·江苏南通·中考）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为 ．
8．（2025·山东省·中考）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ．
9．（2025·贵州·中考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与
有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中的值是 ；
100
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
解：（与之间的函数图象，如图所示：
解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
B 强化提升练
10．（2025·江苏宿迁·中考）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组
成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；
①；②；③．
(2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，
求实数的取值范围；
(3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
①
（2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，
由题意得，，解得：，
∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，
∴关于的不等式组有解，
∴或或，
解得：或或，即，
∴实数的取值范围为；
（3）解：设“2阶完美点”的坐标为，
由题意得，，
∴“2阶完美点”在函数上，
∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，
∴函数与函数只有一个交点，
令，整理得，
设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，
当时，，
若函数与轴有2个交点，则当时，有，
∴，解得：；
若函数与轴只有1个交点，则，
整理得：，解得：或，
当时，则与轴的交点的横坐标为，
∵，∴符合题意；
当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去；
综上所述，实数的取值范围为或．
11．（2025·黑龙江大庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及的面积；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：作轴于点，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，∴点C的坐标为，
∵，∴点A的坐标为，设直线的解析式为，
∴，解得，∴直线的解析式为，
联立得，解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴点D的坐标为，
∴；
（3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴，，
∴，
∴，
当轴时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，∴点Q的坐标为；
当时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
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第三章 函数
3.3 反比例函数
1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．
2．能画反比例函数的图象，根据图象和表达式（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况．
3．能用反比例函数解决简单实际问题．
1．反比例函数定义
（1）定义：形如（k是常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是________量（自变量的取值范围是________的一切实数），y是x的________，k是________．
（2）三种表达形式：①；②y=________；③xy=________．（k为常数，k≠0）
2．反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是________，且不与两坐标轴相交．
（2）性质：
①当k>0时，双曲线的两支分别位于第________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________．
②当k<0时，双曲线的两支分别位于第________象限，在每个象限内，y随x的增大而________．
③反比例函数的图象是轴对称图形，有两条对称轴，分别是y=________和y=________；反比例函数的图象也是________图形．
3．利用待定系数法求反比例函数表达式的步骤
（1）设出反比例函数解析式（k为常数，k≠0）；
（2）把图象上一点坐标A（a，b）代入________，得到k的值，即k=________；
（3）写出这个反比例函数的解析式．
4．比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积S=，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积S=．
（2）常见的面积类型：
5．反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：联立两个函数解析式，利用方程思想求解．
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解．
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论判断．
（4）比较函数值的大小：图象在上方的函数值大，图象在下方的函数值小，结合交点坐标，确定对应的取值范围．
6．反比例函数的实际应用
（1）根据题意找出自变量与因变量之间的关系；
（2）设出函数解析式；
（3）运用待定系数法求出函数解析式；
（4）根据反比例函数的解式或性质解决相关问题．
■考点一 反比例函数的定义
◇典例1：（2025·重庆大渡口区·一诊）下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·青岛·中考）若和是反比例函数图象上的两点，则 ．
2．（2025·云南丽江·二模）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
■考点二 反比例函数的图象
◇典例2：（2025·西藏·中考）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2026·江西·原创卷）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
■考点三 反比例函数的性质
◇典例3：（2025·辽宁阜新·26中零模）点，在反比例函数，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
◆变式训练
1．（2026·江苏连云港海州实验中学·模拟卷）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是
2．（2025·山东滨州·中考）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
■考点四 反比例函数系数k的几何意义
◇典例4：（2025·甘肃省武威市·二模）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◆变式训练
1．（2025·高要实验中学·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　）
A． B． C．4 D．
2．（2025·甘肃省定西市·四模）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ．
■考点五 反比例函数与一次函数综合问题
◇典例5：．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
◆变式训练
1．（2025·包头青山·二机一中·模拟）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点，则点C到线段的距离为 ．
2．（2025·贵州省黔东南·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集．
■考点六 实际问题与反比例函数
◇典例6：（2026·河南濮阳范县·摸底）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．容器内气体的质量（质量）是5kg
B．当时，
C．当容器的体积为时，气体的密度为
D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大
◆变式训练
1．（2025·哈尔滨·中考）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ．
2．（2025·浙江·零模）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．
(1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式．
(2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？
A 基础达标练
1．（2025·江苏镇江·中考）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
2．（2025·海南·中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
3．（2025·广东广州·中考）若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．（2025·吉林长春·中考）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　）
A．24 B．27 C．45 D．50
5．（2025·湖北省·中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖北武汉·中考）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ．
7．（2025·江苏南通·中考）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为 ．
8．（2025·山东省·中考）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ．
9．（2025·贵州·中考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
B 强化提升练
10．（2025·江苏宿迁·中考）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；
①；②；③．
(2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
(3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
11．（2025·黑龙江大庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及的面积；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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