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2026年中考一轮复习
3.4 二次函数
函数
第3章
“—”
1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系．
3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题．
4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
1．二次函数的定义
（1）定义：一般地，形如y=____________（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数．其中____是二次项，____是二次项系数，____是一次项，____是一次项系数，____是常数项．
（2）表达形式：
一般式：y＝______________（a、b、c是常数，a≠0）．
顶点式：y＝______________（a、b、c是常数，a≠0）．
交点式：y＝______________（a、b、c是常数，a≠0）．
ax2+bx+c
ax2
a
bx
b
c
ax2＋bx＋c
a(x－h)2＋k
a(x－x1)(x－x2)
（3）用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出解析式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常选择________来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择________来求解．
一般式
顶点式
交点式
2．二次函数的图象和性质
（1）抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：
①当a>0时，开口向____；当a<0时，开口向____；对称轴是________：顶点坐标是________．
②如果a>0，当xh时，y随x的增大而________；如果a<0，当xh时，y随x的增大而________．
上
下
x=h
（h，k）
减小
增大
增大
减小
a 图象 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
a>0 抛物线开口向____， 并向上无限延伸． 抛物线有最____点， 当时， y有最_____值， y最小值=_____ 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而________
a<0 抛物线开口向____， 并向下无限延伸． 抛物线有最____点， 当时， y有最_____值， y最大值= 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而________
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的图象和性质
上
低
小
减小
增大
下
高
大
增大
减小
3．二次函数的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都________，只是________不同．它们之间的平移关系如下：
相同
位置
注意：
（1）二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
（2）抛物线平移规律是“上加____减，____加右减” ．
下
左
4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的位置与a、b、c的关系
（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下．|a|越大抛物线开口越________．
（2）b=0，对称轴为________．a与b同号，对称轴在y轴________；a与b异号，对称轴在y轴________．
（3）c=0，图象经过________；c<0，图象与y轴的________相交；c>0，图象与y轴的________相交．
（4）b2－4ac=0，顶点在________上；
b2－4ac>0，与x轴________交点；
b2－4ac<0，与x轴________交点．
小
y轴
左侧
右侧
原点
负半轴
正半轴
x轴
有
没有
5．二次函数与方程、不等式之间的关系
（1）二次函数与一元二次方程
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论：
①如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是________，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个________．
②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：________公共点，有________公共点，有________公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：________实数根，有________的实数根，有________的实数根．
0
根
没有
一个
两个
没有
两个相等
两个不等
（2）二次函数与不等式
抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式______________的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式______________的解集．
ax2＋bx＋c＞0
ax2＋bx＋c＜0
■考点一 二次函数的定义
◇典例1：（2026·上海市闵行区·一模）下列函数中，二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
C
◆变式训练
1．（2025·永州十六中·模拟）二次函数的一次项系数是 ．
9
2．（2025·辽宁省名校联盟·调研）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（ ）
A． B． C． D．
B
■考点二 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
◇典例2：（2026·厦门海沧区北附学校·一模）二次函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
C
◆变式训练
1．（2026·湖北省襄阳市襄州区·模拟）抛物线的顶点坐标为 ．
2．（2026·安徽蚌埠固镇·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
C
■考点三 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
◇典例3：（2025·西安高新逸翠园初级中学·五模）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
C
◆变式训练
1．（2025·四川南充部分校·一诊）二次函数的最大值是 ．
1
2．（2025·甘肃省武威市古浪县定宁初级中学·一诊）如图，抛物线与轴交于两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该
抛物线的对称轴上是否存在点，使得
的周长最小？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：将代入抛物线中，得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为：．
（2） ，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
（3）存在．
解：连接交对称轴于点，连接，
两点关于抛物线的对称轴对称，
直线与的交点即为点，此时的周长最小，
，抛物线交轴于点，
当时，，即，
设直线的解析式为：，
将代入可得：
，解得：，
的解析式为：，
在对称轴上，
当时，，即．
■考点四 二次函数的图象与系数的关系
◇典例4：（2026·安徽·一模）已知抛物线 ，，为常数， 的顶点坐标为，与轴的交点在轴的上方，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
◆变式训练
1．（2025·山东临沂郯城·模拟）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为 ．
2
2．（2025·亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
■考点五 二次函数的平移
◇典例5：（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．阴影部分的面积为4
D
◆变式训练
1．（2025·福建福州·模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在第 象限．
四
2．（25-26九上·上海虹口·诊断）“已知抛物线经过点， 求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为．
(1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________；
(2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值．
（答案不唯一）
（2）解：将抛物线向上平移个单位后解析式为
，
∴抛物线的顶点坐标为，
关于原点的对称点为，
将代入，
得即，
解得．
■考点六 二次函数与方程、不等式
◇典例6：（2025·广东清远·模拟）已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
◆变式训练
1．（2026·河南濮阳范县·摸底）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ．
，
2．（2025·武汉·一模）如图，已知抛物线，根据图象，回答下列问题：

(1)判断下列各代数式的符号：a，b，c，，，；
(2)写出不等式的解集；
(3)若方程，有两个不相等的实根，求k的取值范围．
（1）解：由图象可知其顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
又∵图象过，
∴代入得：，得，
∴，
∴，，，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
由图可知：当时，，即，
；
（2）解：由对称性得：抛物线与x轴另一个交点为，

∴不等式的解集为或；
（3）解：方程，有两个不相等的实根，相当于抛物线与有两个不同的交点，
∴．
A 基础达标练
1．（2025·哈尔滨·中考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
A
2．（2025·陕西·中考）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程没有实数根
D．该函数的最大值不小于
D
3．（2025·青岛·中考）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是
B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
C
4．（2025·福建·中考）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
5．（2025·四川德阳·中考）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
6．（2025·徐州·中考）二次函数的最小值为 ．
7．（2025·广东广州·中考）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ．
或
8．（2025·盐城·中考）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ．
9．（2025·湖北武汉·中考）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，随的增大而减小；
③该函数图象与轴有两个不同的公共点；
④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．
其中正确的是 （填写序号）
①②④⑤
10．（2025·江苏淮安·中考）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
2
（2）解：，
，
，
，
该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：的对称轴为直线，
二次项系数，二次函数图像开口向上，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
即，
或．
B 强化提升练
11．（2025·山东滨州·中考）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围．
(3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围．
（1）解：把代入抛物线，得
解得．
∴．
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4，
∴，
∴当时，最小为，当时，最大为，
∴；
（3）∵直线向下平移个单位长度，
∴平移后直线解析式为．
由得，即．
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴．
解得．
又当时，，
解得，
∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上，
∴的取值范围为．
12．（2025·江苏省常州市·中考）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、
在新抛物线上，若对于满足
的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
3
（2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴；
（3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，
再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或．
53
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2
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第三章 函数
3.4 二次函数
1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系．
3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题．
4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
1．二次函数的定义
（1）定义：一般地，形如y=________________（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数．其中____是二次项，____是二次项系数，____是一次项，____是一次项系数，________是常数项．
（2）表达形式：
一般式：y＝______________（a、b、c是常数，a≠0）．
顶点式：y＝______________（a、b、c是常数，a≠0）．
交点式：y＝______________（a、b、c是常数，a≠0）．
（3）用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出解析式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常选择________来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择________来求解．
2．二次函数的图象和性质
（1）抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：
①当a>0时，开口向____；当a<0时，开口向____；对称轴是________：顶点坐标是________．
②如果a>0，当xh时，y随x的增大而________；如果a<0，当xh时，y随x的增大而________．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的图象和性质
a 图象 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
a>0 抛物线开口向________， 并向上无限延伸． 抛物线有最________点， 当时， y有最________值， y最小值= 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而________
a<0 抛物线开口向________， 并向下无限延伸． 抛物线有最________点， 当时， y有最________值， y最大值= 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而________
3．二次函数的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都________，只是________不同．它们之间的平移关系如下：
注意：
（1）二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
（2）抛物线平移规律是“上加________减，________加右减” ．
4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的位置与a、b、c的关系
（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下．|a|越大抛物线开口越________．
（2）b=0，对称轴为________．a与b同号，对称轴在y轴________；a与b异号，对称轴在y轴________．
（3）c=0，图象经过________；c<0，图象与y轴的________相交；c>0，图象与y轴的________相交．
（4）b2－4ac=0，顶点在________上；
b2－4ac>0，与x轴________交点；
b2－4ac<0，与x轴________交点．
5．二次函数与方程、不等式之间的关系
（1）二次函数与一元二次方程
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论：
①如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是________，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个________．
②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：________公共点，有________公共点，有________公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：________实数根，有________的实数根，有________的实数根．
（2）二次函数与不等式
抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式______________的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式______________的解集．
■考点一 二次函数的定义
◇典例1：（2026·上海市闵行区·一模）下列函数中，二次函数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·永州十六中·模拟）二次函数的一次项系数是 ．
2．（2025·辽宁省名校联盟·调研）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（ ）
A． B． C． D．
■考点二 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
◇典例2：（2026·厦门海沧区北附学校·一模）二次函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
◆变式训练
1．（2026·湖北省襄阳市襄州区·模拟）抛物线的顶点坐标为 ．
2．（2026·安徽蚌埠固镇·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
■考点三 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
◇典例3：（2025·西安高新逸翠园初级中学·五模）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·四川南充部分校·一诊）二次函数的最大值是 ．
2．（2025·甘肃省武威市古浪县定宁初级中学·一诊）如图，抛物线与轴交于两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
■考点四 二次函数的图象与系数的关系
◇典例4：（2026·安徽·一模）已知抛物线 ，，为常数， 的顶点坐标为，与轴的交点在轴的上方，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·山东临沂郯城·模拟）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为 ．
2．（2025·亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
■考点五 二次函数的平移
◇典例5：（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．阴影部分的面积为4
◆变式训练
1．（2025·福建福州·模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在第 象限．
2．（25-26九上·上海虹口·诊断）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为．
(1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________；
(2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值．
■考点六 二次函数与方程、不等式
◇典例6：（2025·广东清远·模拟）已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·河南濮阳范县·摸底）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ．
2．（2025·武汉·一模）如图，已知抛物线，根据图象，回答下列问题：
(1)判断下列各代数式的符号：a，b，c，，，；
(2)写出不等式的解集；
(3)若方程，有两个不相等的实根，求k的取值范围．
A 基础达标练
1．（2025·哈尔滨·中考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西·中考）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于
3．（2025·青岛·中考）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
4．（2025·福建·中考）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川德阳·中考）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·徐州·中考）二次函数的最小值为 ．
7．（2025·广东广州·中考）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ．
8．（2025·盐城·中考）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ．
9．（2025·湖北武汉·中考）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，随的增大而减小；
③该函数图象与轴有两个不同的公共点；
④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．
其中正确的是 （填写序号）
10．（2025·江苏淮安·中考）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
B 强化提升练
11．（2025·山东滨州·中考）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围．
(3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围．
12．（2025·江苏省常州市·中考）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第三章 函数
3.4 二次函数
1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系．
3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题．
4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
1．二次函数的定义
（1）定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数．其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项．
（2）表达形式：
一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k（a、b、c是常数，a≠0）．
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)（a、b、c是常数，a≠0）．
（3）用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出解析式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常选择顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择交点式来求解．
2．二次函数的图象和性质
（1）抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：
①当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是x=h：顶点坐标是（h，k）．
②如果a>0，当xh时，y随x的增大而增大；如果a<0，当xh时，y随x的增大而减小．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的图象和性质
a 图象 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
a>0 抛物线开口向上， 并向上无限延伸． 抛物线有最低点， 当时， y有最小值， y最小值= 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大
a<0 抛物线开口向下， 并向下无限延伸． 抛物线有最高点， 当时， y有最大值， y最大值= 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小
3．二次函数的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
注意：
（1）二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
（2）抛物线平移规律是“上加下减，左加右减” ．
4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的位置与a、b、c的关系
（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下．|a|越大抛物线开口越小．
（2）b=0，对称轴为y轴．a与b同号，对称轴在y轴左侧；a与b异号，对称轴在y轴右侧．
（3）c=0，图象经过原点；c<0，图象与y轴的负半轴相交；c>0，图象与y轴的正半轴相交．
（4）b2－4ac=0，顶点在x轴上；
b2－4ac>0，与x轴有交点；
b2－4ac<0，与x轴没有交点．
5．二次函数与方程、不等式之间的关系
（1）二次函数与一元二次方程
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论：
①如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根．
②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
（2）二次函数与不等式
抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
■考点一 二次函数的定义
◇典例1：（2026·上海市闵行区·一模）下列函数中，二次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意；
B、不是二次函数，故该选项不符合题意；
C、是二次函数，故该选项符合题意；
D、不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．（2025·永州十六中·模拟）二次函数的一次项系数是 ．
【答案】9
【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可．
【详解】解：，
，
∴一次项系数是9，
故答案为：9．
2．（2025·辽宁省名校联盟·调研）在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知时，，将代入各项函数解析式中求解并判断，即可解题．
【详解】解：由图ⅰ可知时，，
时，，，，
选项A、C、D不是与的函数关系式，不符合题意；
时，，
选项B是与的函数关系式，
故选：B．
■考点二 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
◇典例2：（2026·厦门海沧区北附学校·一模）二次函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式特征，当开口向上时，函数在顶点处取得最小值．
【详解】解：∵ 的顶点坐标为，且二次项系数，
∴ 函数有最小值，最小值为．
故选：C．
◆变式训练
1．（2026·湖北省襄阳市襄州区·模拟）抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了顶点式的性质，对于顶点式，其中顶点坐标为
根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
2．（2026·安徽蚌埠固镇·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质．
根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
而抛物线交轴于点，
∴点与点关于直线对称，
∵，
即点在与之间，
点在与之间，
，
故选：C．
■考点三 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
◇典例3：（2025·西安高新逸翠园初级中学·五模）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性比较函数值的大小是解题的关键；先求出对称轴，再根据时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小求解即可．
【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，，
，
故选：．
◆变式训练
1．（2025·四川南充部分校·一诊）二次函数的最大值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，二次函数 的二次项系数为负，因此抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得．
【详解】解：由二次函数可得，，，，
顶点横坐标为 ，
将 代入函数解析式，得 ，
故答案为：1．
2．（2025·甘肃省武威市古浪县定宁初级中学·一诊）如图，抛物线与轴交于两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标为
(3)存在，
【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径：
（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标；
（3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点．
【详解】（1）解：将代入抛物线中，得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为：．
（2） ，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
（3）存在．
解：连接交对称轴于点，连接，
两点关于抛物线的对称轴对称，
直线与的交点即为点，此时的周长最小，
，抛物线交轴于点，
当时，，即，
设直线的解析式为：，
将代入可得：
，
解得：，
的解析式为：，
在对称轴上，
当时，，即．
■考点四 二次函数的图象与系数的关系
◇典例4：（2026·安徽·一模）已知抛物线 ，，为常数， 的顶点坐标为，与轴的交点在轴的上方，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点坐标与函数表达式的关系、函数值的计算以及抛物线与轴交点的坐标特征，利用顶点坐标代入函数式推导系数关系，结合与坐标轴交点的位置判断系数符号即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴将代入函数解析式，得，
即，移项可得，故B选项正确；
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴当时，，故C选项错误；
由顶点式，展开得，则，
∵，
∴，即，故A选项错误；
∵抛物线的顶点坐标在第三象限，开口向上，
∴抛物线与轴有两个交点，即，故D选项错误；
故选：B．
◆变式训练
1．（2025·山东临沂郯城·模拟）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可．
【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴
∴，，，
∴，故①错误；
②∵二次函数与x轴交于，且对称轴为，
∴与x轴另一个交点为，
将代入
得：
将代入，得，
由图像可知，，故②错误；
③将变形得：，
由图像可知，二次函数与直线一定有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④将代入
得：
整理得：
将代入，得，
将代入
得：
将代入，得，
（1）+（2）得：，故④正确；
所以正确的个数为2个，
故答案为：2．
2．（2025·亳州·一模）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且与轴交于点，下列结论中：①；②；③（为任意实数）；④若抛物线经过，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及由二次函数图象与性质确定系数及式子符号、函数最大值定义、函数与方程的关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
先由二次函数图象与性质判定符号，进而判断①错误；令时，由图象中点的位置即可判断②正确；由最大值定义即可判断③正确；由函数图象与方程的关系即可判断④正确，从而得到答案．
【详解】解：由抛物线开口向下，可得；
由抛物线对称轴是直线，可得，结合即可确定；
由抛物线与轴交点在正半轴上，可得；
综上可得，故①错误；
二次函数图象与轴交于点，对称轴是直线，
二次函数图象与轴另一个交点为，
则当时，，故②正确；
由可得，则，
又抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，抛物线有最大值，为，
则由最大值定义，当时（为任意实数），，故③正确；
由抛物线的对称性可知，若抛物线经过，则抛物线必定经过，
关于的一元二次方程的两个根就是抛物线与直线的交点的横坐标，
当抛物线经过和时，关于的一元二次方程的两个根分别是，，故④正确；
综上所述，结论中正确的是②③④，共3个，
故选：C．
■考点五 二次函数的平移
◇典例5：（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．阴影部分的面积为4
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，平行四边形的性质等知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点．
根据二次函数的图象与性质和平行四边形的面积进行判断即可．
【详解】解：A、∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴，
∴，
故选项不符合题意；
B、抛物线与轴交点在轴的下方，
∴，
故选项不符合题意；
C、从图象可知当时，，
∴，
故选项不符合题意；
D、∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数的最小值是，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：，
故选项符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1．（2025·福建福州·模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．先将二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断平移后抛物线的顶点所在的象限即可．
【详解】解：，
该抛物线顶点坐标是，
将其沿轴向下平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，
，
，
，
，
顶点在第四象限．
故答案为：四．
2．（25-26九上·上海虹口·诊断）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为．
(1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________；
(2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
【分析】本题考查根与系数关系，抛物线的平移，关于原点对称的点的坐标；
（1）由，经过，得是的一个根，求另一个根即可解答；
（2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，经过，
∴是的一个根，
由根与系数关系，得，即，
解得，
∴添加的条件为；
（2）解：将抛物线向上平移个单位后解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
关于原点的对称点为，
将代入，
得即，
解得．
■考点六 二次函数与方程、不等式
◇典例6：（2025·广东清远·模拟）已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与x轴的交点，根据二次函数的开口方向，与x轴的交点数，判断出函数的单调性，对称性，逐项判断即可．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于，两点，
，B两点关于对称，
，即，
，
，故A正确，不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
，故B正确，不符合题意；
当时，，
，对称轴为直线，点 且，
时，，故C错误，符合题意；
当时，，
，抛物线在时，y随x的增大而减小，
当时，，
又，
，故D正确，不符合题意，
故选：C．
◆变式训练
1．（2026·河南濮阳范县·摸底）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ．
【答案】，
【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确得出抛物线与轴的交点坐标是解题关键．先通过对称轴得出的对称点，即为抛物线与轴的交点，再求出一元二次方程的根即可．
【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线，
设另一个交点的坐标为，
∴，解得，
∴抛物线与轴的另一个交点是，
∴一元二次方程的解是：，．
故答案为：，．
2．（2025·武汉·一模）如图，已知抛物线，根据图象，回答下列问题：
(1)判断下列各代数式的符号：a，b，c，，，；
(2)写出不等式的解集；
(3)若方程，有两个不相等的实根，求k的取值范围．
【答案】(1)，，，，，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程及不等式的关系．
（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，从而得出a、b、c的值，并能计算出，，的值；
（2）先求出抛物线与x轴另一个交点的坐标，再根据图象写出不等式的解集，即时，所对应的x的取值；
（3）抛物线与有两个不同的交点，根据图象求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知其顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
又∵图象过，
∴代入得：，得，
∴，
∴，，，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
由图可知：当时，，即，
；
（2）解：由对称性得：抛物线与x轴另一个交点为，
∴不等式的解集为或；
（3）解：方程，有两个不相等的实根，相当于抛物线与有两个不同的交点，
∴．
A 基础达标练
1．（2025·哈尔滨·中考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键．
根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值．
【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比，
得 , ，
∴ 顶点坐标为 ，
故选： A．
2．（2025·陕西·中考）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答．
【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小，
∴，对称轴为直线，
则，
∵，
即，
∴，
故A选项不符合题意；
该函数图象的顶点为，即，
∵，
∵
∵，
∴，
∴
∵，
∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，
故B选项不符合题意；
当该函数图象的顶点位于轴上，
令，则，
∵
∴该函数的最大值为，
当该函数图象的顶点位于第二象限，
此时该函数的最大值大于，
综上该函数的最大值不小于，
故D选项符合题意；
依题意，中的，
∵，
∴，
即
∴方程有两个不相等的实数根
故C选项不符合题意；
故选：D
3．（2025·青岛·中考）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键．
先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项．
【详解】解：A选项，二次函数，
令，解得，
∴原二次函数与轴的交点坐标为，
翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误；
B选项，二次函数，
对称轴为，
将代入函数解析式可得，
∴原二次函数顶点坐标为，
翻折后新函数图象的对称轴不变，为，
在处，函数没有最大值，B选项错误；
C选项，二次函数，
令，则有，
即，解得，，
∴原二次函数与轴的交点坐标为，，
翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，
∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确；
D选项，新函数图象的对称轴为，
由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，
当时，的值随值的增大而增大，D选项错误．
故选：C ．
4．（2025·福建·中考）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
5．（2025·四川德阳·中考）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可．
【详解】解：∵抛物线过点和（），
∴设抛物线为，
∴，
∴，，
∵且，
∴，，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，结论②错误；
由题意，第一种情况，若，
∵对称轴直线，
∴对称点的横坐标为，
∴两点间的横向距离为，
∵，
∴，即，
第二种情况，若，
∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，

∴，故结论③不正确；
当时，方程的根为和，
即，
∵，
∴不等式的解集为，结论④正确．
综上，正确结论为①④，共2个，
故选：B．
6．（2025·徐州·中考）二次函数的最小值为 ．
【答案】/0.75
【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解．
【详解】解：，
当时，二次函数取最小值，最小值为，
故答案为：．
7．（2025·广东广州·中考）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
把代入，
得，
即顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
整理得，
则，
∴，
∴
故答案为：或．
8．（2025·盐城·中考）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围．
【详解】解：，
∴函数图象的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴当时，；时，，当时，，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
9．（2025·湖北武汉·中考）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，随的增大而减小；
③该函数图象与轴有两个不同的公共点；
④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．
其中正确的是 （填写序号）
【答案】①②④⑤
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴该函数图象经过点；故①正确；
当时，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；故②正确；
∵，
∴，
∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误；
当时，
∵函数图象经过点，
∴的一个根为，
∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为，
∵，
∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确；
∵，
∴当时，，
由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且，
∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧，
∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限，
故有一个正根，
当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限，
故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
10．（2025·江苏淮安·中考）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入，解关于m的方程即可；
（2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况；
（3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得，
故答案为：2；
（2）解：，
，
，
，
该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：的对称轴为直线，
二次项系数，
二次函数图像开口向上，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
即，
或．
B 强化提升练
11．（2025·山东滨州·中考）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围．
(3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）把点代入函数解析式，进行求解即可；
（2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可；
（3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果．
【详解】（1）解：把代入抛物线，得
解得．
∴．
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4，
∴，
∴当时，最小为，当时，最大为，
∴；
（3）∵直线向下平移个单位长度，
∴平移后直线解析式为．
由得，即．
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴．
解得．
又当时，，
解得，
∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上，
∴的取值范围为．
12．（2025·江苏省常州市·中考）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键．
（1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果；
（2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴；
故答案为：3；
（2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴；
（3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或．
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