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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第三章 函数
3.5 二次函数的应用
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，能解决相应的实际问题．
1．抛物线与线段长、面积、角度
（1）线段长计算
①核心公式：两点间距离公式（适用于任意两点）；
②简便方法：平行于x轴的线段，长度=两点横坐标差的绝对值；平行于y轴的线段，长度=两点纵坐标差的绝对值；
③常考场景：求抛物线顶点到坐标轴的距离、抛物线与x轴两交点之间的距离、动点到定点的线段长度；
④易错点：忽略线段长度为非负数，计算横坐标/纵坐标差时忘记加绝对值；使用两点间距离公式时，混淆横纵坐标的对应关系．
（2）面积计算
①割补法（通用方法）：将不规则图形（如抛物线与线段围成的图形、三角形与抛物线组合图形）分割/补全为直角三角形、矩形、梯形等规则图形，利用规则图形面积公式求和/差；
②特殊技巧（优先使用）：铅垂高×水平宽÷2，专门用于计算抛物线图象中斜三角形的面积，步骤简单、计算快捷；
③常考场景：求抛物线与x轴、y轴围成的三角形面积、动点与抛物线顶点/交点组成的图形面积；
④易错点：使用割补法时，分割的图形有重叠或遗漏；使用铅垂高法时，混淆“铅垂高”（垂直于x轴的线段长度）和“水平宽”（两点在x轴上的距离）的取值．
（3）角度计算
①基础方法：利用坐标计算线段斜率，判断两条线段的垂直（斜率之积为-1）或平行（斜率相等）关系，进而推导角度（如垂直则夹角为90°）；
②进阶方法：结合特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（正弦、余弦、正切），通过线段长度比求解角度，或根据角度求动点坐标；
③常考场景：判断抛物线图象中两条线段的夹角是否为特殊角、求动点运动过程中形成的角度大小；
④易错点：斜率计算出错（分子分母颠倒）；忽略特殊角对应的线段比例关系，计算时混淆正弦、余弦、正切的定义．
2．二次函数的实际应用
（1）利润最值问题
①数量关系：总利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-进价（或单件利润=原单件利润±调价幅度）；
②建模关键：设调价幅度（或售价）为自变量x，用x表示出销售量和单件利润，进而列出二次函数解析式（一般为开口向下的抛物线，最值在顶点处）；
③中考注意：自变量x的取值范围需符合实际（如售价不能低于进价、销售量不能为负数），最终结果需检验是否在取值范围内．
（2）图形面积最值问题
①常见场景：用围栏围矩形（一边靠墙）、动点在直线/抛物线上运动形成的图形（三角形、矩形）面积、图形拼接后的面积最值；
②建模关键：设矩形的边长（或动点的横坐标）为自变量x，用x表示出图形的另一边长（或相关线段长度），根据面积公式列出二次函数解析式；
③中考注意：区分“一边靠墙”与“四边都围”的围栏长度计算，避免遗漏自变量的取值限制（如边长不能为负数）．
（3）运动轨迹与高度问题
①常见场景：抛球、投篮、跳水、喷泉等，描述物体的高度随时间（或水平距离）的变化规律；
②建模关键：题目通常会给出二次函数解析式（或关键点坐标），自变量为时间t（或水平距离x），因变量为高度h；
③中考注意：明确自变量的实际意义（如时间t≥0），求“最大高度”即求二次函数的顶点纵坐标，求“物体落地时间”即求函数值为0时的自变量取值．
（4）解题关键
第一步：审题，提取题干中的数量关系，明确自变量、因变量，找出已知条件（关键点坐标、固定数值）；
第二步：建模，列出二次函数解析式（优先化为顶点式，方便求最值）；
第三步：求最值，根据二次项系数a的符号判断最值类型（a<0有最大值，a>0有最小值），利用顶点坐标求最值；
第四步：检验，判断所求最值对应的自变量取值是否符合实际意义，不符合则舍去，最终规范写出答案．
3．二次函数图象中的斜三角形面积问题
（1）铅垂高法
核心思路：过斜三角形的一个顶点（通常是动点）作x轴的垂线，交另外两点所在的直线于一点，垂线的长度即为“铅垂高”，另外两点在x轴上的水平距离即为“水平宽”；
计算公式：斜三角形面积水平宽铅垂高；
解题步骤：
①设动点坐标为（y用抛物线解析式表示）；
②求出铅垂高（动点纵坐标与交点纵坐标的绝对值差）；
③求出水平宽（固定两点的横坐标差的绝对值）；
④列出面积关于x的二次函数，求最值．
（2）坐标公式法
核心公式：若斜三角形三个顶点的坐标分别为、、，则面积；
中考注意：公式中绝对值不能省略（保证面积为正数）；代入坐标时，注意横纵坐标的对应关系，避免代错顺序；计算时分步进行，减少符号错误．
（3）割补法
核心思路：将斜三角形放在一个矩形（或梯形）内部，使三角形的三个顶点都在矩形（或梯形）的边上，用矩形（或梯形）的面积减去周围3个直角三角形的面积，得到斜三角形的面积；
中考注意：割补时，尽量选择边长易计算的矩形（或梯形），避免增加计算量；注意区分“补全”和“分割”的适用场景，灵活选择．
（4）常见考法
考法1：求动点形成的斜三角形面积的最值
解题步骤：
①设动点坐标，用抛物线解析式表示动点纵坐标；
②选择合适的面积计算方法（优先铅垂高法），列出面积关于自变量x的二次函数；
③确定自变量x的取值范围（动点所在线段/抛物线的范围）；
④结合二次函数性质，求面积的最大值/最小值．
考法2：已知斜三角形面积，求动点坐标或参数值
解题步骤：
①设动点坐标，列出面积计算公式，令面积等于已知值，得到关于x的一元二次方程；
②解方程，求出x的值；
③检验x的值是否在自变量取值范围内，舍去不合题意的解；
④代入抛物线解析式，求出动点的纵坐标，得到完整坐标．
■考点一 抛物线与线段长、面积、角度
◇典例1：（2025·广东·模拟）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m．
试探究：
①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值．
②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)①当时，的值最大，最大值为；②能，
【分析】（1）把代入，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）①由三角形的三边关系可知，，当P、A、C三点共线时，的值最大，为的长度，延长交直线于点P，则点P为所求的点．
求得，根据勾股定理可得的长．根据待定系数法可求直线的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解；
②设直线与x轴的交点为点D，作的外接圆与直线位于x轴下方的部分的交点为，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．在中，由勾股定理得的长，可得．由对称性得．
【详解】（1）把代入，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）①由三角形的三边关系可知，，
∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度，
∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点．
解，得
，
∴．
当时，，
∴，
则有，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点，
∵点P在直线上，
，
∴当时，的值最大，最大值为；
②设直线与x轴的交点为点D，如图，作的外接圆与直线的x轴下方部分交于点，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．连接，，
都是所对的圆周角，
，且射线上的其他点P都不满足，
∵圆心E必在边的垂直平分线即直线上，
∴点E的横坐标为2，
又，
∴圆心E也在边的垂直平分线上，
∵，，
∴线段的中点坐标为，
设边的垂直平分线解析式为，
∴，
∴，
∴边的垂直平分线解析式是，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
由对称性得，
∴符合题意的点P的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形的三边关系，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，外接圆的性质，关于x轴的对称点的特征，以及对称性．综合性较强，有一定的难度
◆变式训练
1．（2025·四川绵阳·中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，．；
(2)．
(3)能，边上的顶点的坐标为，或．
【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标；
（2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可．
【详解】（1）解：中，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∵抛物线经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
令，则，
∴，或，
∴．
∵
∴顶点；
（2）∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，交直线于点P，如图，
则，B关于直线对称，此时的周长最小，
过点作轴于点E，
∵轴，轴，
∴ ，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
（3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K，
设，
∵四边形为矩形，，
∴四边形，为矩形，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴，
∵，
∴H为的中点，
∴．
同理，点G为的中点，
∴．
②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形的面积取得最大值为．
∴，
∴点G为的中点，
∵，
∴为的中位线，
∴
∴，
∴．
综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2．（2025·海南·中考）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析
(2)不发生变化，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．
（1）①利用待定系数法代入计算求解即可；
②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可；
③根据二次函数的性质结合图象求解即可；
（2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②设直线的解析式为，将点A、B代入得：
，解得：，
∴，
∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
∴，，
∴，
由题意得：，
∴当时，取得最大值为9；
③∵，，
∴当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
（2）解：不发生变化，理由如下：
∵抛物线经过、两点．
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵点是线段上的动点，
∴，
∵点Q在抛物线上，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致，
∴问题（1）中③的结论未发生变化．
■考点二 二次函数的实际应用
◇典例2：（2025·河南郑州·模拟）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值；
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大 最大的利润是多少万元
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2) ，； ．
【分析】（）用待定系数法求出，的值即可；
（）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【详解】（1）把时，；时，代入得：
，解得：，；
（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，
，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
∴，
∴，
则与的函数图象如图所示：

由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，
当，时，，
∴的取值范围．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
◆变式训练
1．（2025·山东省德州市·中考）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
【答案】（1）窗户框架的宽为；
（2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为．
【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
（1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解；
（2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，
∴．
∵长宽之比为，
∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：．
将代入得，．
∴．
答：窗户框架的宽为．
（2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为，
∴，即，
∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为．
∴当时，最大值为．
∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为．
2．（2025·吉林省·中考）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解；
（1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解；
（2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可；
（3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当重合时，如下图：
，以为边作正方形，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：（负的舍去），
，
，
，
故答案为：7；
（2）解：当在线段上运动时，
，
当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图：
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）解：当正方形的对称中心与点B重合时，
，
，
即，
解得：，
，
．
■考点三 二次函数图象中的斜三角形面积问题
◇典例3：（2025·黑龙江龙东·中考）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点．
（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解；
（2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，
∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，
∴，
∴直线，
∵∥，
∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
◆变式训练
1．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可；
（2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可；
②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①令，解得，，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴，
过P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意舍去），，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵点在对称轴上，且与相似，
∴当时，
或，
设，
则或，
解方程，得，，
∴，
∴，
解，得，，
∴，
∴，
当时，
过P作于H，
则，
又，
∴，
又与相似，
∴与相似，，
∴或，
同理可求或，
综上：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键．
2．（2026·江苏省苏州市·模拟）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．
(1)如图1，求抛物线解析式；
(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示S；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）二次函数与轴有交点，根据根与系数的关系，即可求解；
（2）由（1）可知点的坐标，可求出直线的解析式，过点作轴，交于，交轴于，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）如图所示，作轴，，在轴上取一点，使得，可得等腰直角三角形，四边形是正方形，，，可求出直线，直线的解析式，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，且，
设，，
∴，
∴两边平方得，①，
∵，，
∴②，
∴①②得，，即
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图所示，过点作轴，交于，交轴于，
∵点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，
∴，
令抛物线中，则，
解得：或，
∴，，且，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点横坐标为，点在直线上，
∴，
∴，
∵，且，
∴．
（3）解：如图所示，作轴，，在轴上取一点，使得，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴等腰直角三角形，
∵轴，轴，且，
∴四边形是正方形，即，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，且四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍），
∴，
∴，且是等腰直角三角形，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，
解得：
∴直线的解析式为：，
∵直线，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图形的性质，三角形的面积计算方法，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
1．（2025·天津市和平区益中学校·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断．
【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点，
设二次函数解析式为，
代入，得：
解得，
∴，
由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误；
②二次函数解析式为，说法正确；
③矩形面积最大时，，说法错误；
④当时，矩形面积取最大值，
∴，
∴，说法正确．
所以，说法正确的是②④，共2个，
故选：B．
2．（2025·郑州·模拟）如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题．
根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案．
【详解】解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意；
B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意；
C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意；
D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据题意可得抛物线的解析式为，分析可知当最小时，的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点，分别求解出直线的解析式，找到最短路线，分别求出的值，比较两种情况取值更小的结果即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为，
∴，，
的周长为，且是定值，所以只需最小；
如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P，
设直线的解析式为，
由点，和点，可得，
解得：，
∴直线的解析式为，当时，，即，；
，，，，，
∴，
此时的周长为；
同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P，
设直线的解析式为，
由点，和点，可得，
解得：，
∴直线的解析式为，当时，，即，，
，，，，，
∴，
此时△PMN的周长为；
，，
∴，
∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称－－最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面直角坐标系中两点距离公式，在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点P，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，要分类讨论比较后再判断．
4．（2025·合肥四十五中·二模）二次函数中存在一些特殊的几何现象：
（1）如图，已知抛物线与直线，分别交于点，和，，且其对称轴交直线于点，连接，，则 ；
（2）如图，若将抛物线推广为一般式，已知其经过点，且与直线，分别相交于点，，，，且其对称轴交直线于点，连接，，已知，且，则该二次函数表达式 ．
【答案】
【分析】过点作交于，推导出是等腰直角三角形，则，再由，即可求的值；
由题可知是等腰三角形，则，过点作交于点，推导出，则抛物线的对称轴为直线，得到，再求出，将点、代入，即可求出．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作交于，
当时，，
解得或，
，
与间的距离为1，
故,
当时，，
解得或，
，，
故，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：；
，，
是等腰三角形，
，
，
过点作交于点，
，
，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
将点、代入，
，
解得，
，
故答案为：．
5．（2025·阜阳·模考）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）设直线的解析式为，
∵，点，
∴，解得：
∴直线的解析式为，
设过点C且与直线平行的直线解析式为，
当直线与抛物线有唯一的公共点，
则点C到的距离最大，
∴面积最大，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∴过点C且与直线平行的直线解析式为，
∴，解得：，
∴．
作轴交于点D，
则点的横坐标为，
又点在直线上，
∴，
∴点D的坐标为，
∴此时的面积．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
6．（2025·铁岭·模拟）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，三角形的中位线和点与圆的位置关系，先求出点的坐标，计算出圆心的坐标，连接，取的中点，当点与点重合时，连接，得，则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，由勾股定理得，所以最小值为．
【详解】解：，
令，则，
解得，或，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴,
∴，
当时，，
∴，
∴,
连接，取的中点，则,
当点与点重合时，连接，如图，
∴是的中位线，
∴，
则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，如图，
由勾股定理得，，
∴的最小值为：，
故答案为：．
7．（2026·贵州遵义播州·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．
【建立模型】
（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；
【初步应用】
（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；
【拓展应用】
（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3）
【分析】（1）根据坐标系特点，图2中设解析式为，图3中设函数表达式为，确定顶点坐标，待定系数法解答即可，
（2）根据函数的解析式，计算时的函数值即可；
（3）设抛物线的解析式为，则其顶点为，则，．把，代入，得；把，代入，得，解答即可．
本题考查了待定系数法，抛物线的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为，
可设抛物线的函数表达式为，
把代入，得：，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
选图3，则，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把，得：，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：选择图2，抛物线为．
因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．
从左到右第3根吊杆对应的x值为．
把代入，得
所以从左到右第3根吊杆的长度是．
选择图3，抛物线为．
因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．
从左到右第3根吊杆对应的x值为．
把代入，得
所以从左到右第3根吊杆的长度是．
（3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为，
的顶点在正方形内，，，，，
则，．
，
∴当和时，，
把代入，得：，，
把代入，得：，，
当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，
当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．
把，代入，得；
把，代入，得，
∴抛物线二次项系数的取值范围为．
解法2 如果以点B为原点建立坐标系，则，
设抛物线的解析式为，则其顶点为，
的顶点在正方形内，，，，
则，．
，
∴当和时，，
把代入，得，，
把代入，得，，
当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，
当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．
把，代入，得；
把，代入，得；
∴抛物线二次项系数的取值范围为．
8．学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
【答案】(1)；
(2)点为线段中点
(3)直线过线段中点，证明见解析
【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可；
（2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系；
（3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴
∵直线与抛物线交于两点，
∴，
解得：，，
当时，；当时，，
∴，．
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大为，
∵把代入点中，
∴点；
（2）由（1）得，当时，有最大值，
∴将代入点得：点，
∵，，
点的中点坐标为点，即点，
∴点和点重合，
∴当面积最大时，点为线段的中点；
（3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大．
证明：设抛物线解析式为：，直线：，
直线与抛物线交于两点，设，
∴则方程的解为：，，
∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴，即为关于的二次函数，
∵当时，，，
由二次函数对称性知，当时，有最大值，
∵
∴当时，有最大值，
∴，即点为线段中点．
∴当直线过线段中点时（或），最大．
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2026年中考一轮复习
3.5 二次函数的应用
函数
第3章
“—”
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，能解决相应的实际问题．
1．抛物线与线段长、面积、角度
（1）线段长计算
①核心公式：两点间距离公式（适用于任意两点）；
②简便方法：平行于x轴的线段，长度=两点横坐标差的绝对值；平行于y轴的线段，长度=两点纵坐标差的绝对值；
③常考场景：求抛物线顶点到坐标轴的距离、抛物线与x轴两交点之间的距离、动点到定点的线段长度；
④易错点：忽略线段长度为非负数，计算横坐标/纵坐标差时忘记加绝对值；使用两点间距离公式时，混淆横纵坐标的对应关系．
（2）面积计算
①割补法（通用方法）：将不规则图形（如抛物线与线段围成的图形、三角形与抛物线组合图形）分割/补全为直角三角形、矩形、梯形等规则图形，利用规则图形面积公式求和/差；
②特殊技巧（优先使用）：铅垂高×水平宽÷2，专门用于计算抛物线图象中斜三角形的面积，步骤简单、计算快捷；
③常考场景：求抛物线与x轴、y轴围成的三角形面积、动点与抛物线顶点/交点组成的图形面积；
④易错点：使用割补法时，分割的图形有重叠或遗漏；使用铅垂高法时，混淆“铅垂高”（垂直于x轴的线段长度）和“水平宽”（两点在x轴上的距离）的取值．
（3）角度计算
①基础方法：利用坐标计算线段斜率，判断两条线段的垂直（斜率之积为-1）或平行（斜率相等）关系，进而推导角度（如垂直则夹角为90°）；
②进阶方法：结合特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（正弦、余弦、正切），通过线段长度比求解角度，或根据角度求动点坐标；
③常考场景：判断抛物线图象中两条线段的夹角是否为特殊角、求动点运动过程中形成的角度大小；
④易错点：斜率计算出错（分子分母颠倒）；忽略特殊角对应的线段比例关系，计算时混淆正弦、余弦、正切的定义．
2．二次函数的实际应用
（1）利润最值问题
①数量关系：总利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-进价（或单件利润=原单件利润±调价幅度）；
②建模关键：设调价幅度（或售价）为自变量x，用x表示出销售量和单件利润，进而列出二次函数解析式（一般为开口向下的抛物线，最值在顶点处）；
③中考注意：自变量x的取值范围需符合实际（如售价不能低于进价、销售量不能为负数），最终结果需检验是否在取值范围内．
（2）图形面积最值问题
①常见场景：用围栏围矩形（一边靠墙）、动点在直线/抛物线上运动形成的图形（三角形、矩形）面积、图形拼接后的面积最值；
②建模关键：设矩形的边长（或动点的横坐标）为自变量x，用x表示出图形的另一边长（或相关线段长度），根据面积公式列出二次函数解析式；
③中考注意：区分“一边靠墙”与“四边都围”的围栏长度计算，避免遗漏自变量的取值限制（如边长不能为负数）．
（3）运动轨迹与高度问题
①常见场景：抛球、投篮、跳水、喷泉等，描述物体的高度随时间（或水平距离）的变化规律；
②建模关键：题目通常会给出二次函数解析式（或关键点坐标），自变量为时间t（或水平距离x），因变量为高度h；
③中考注意：明确自变量的实际意义（如时间t≥0），求“最大高度”即求二次函数的顶点纵坐标，求“物体落地时间”即求函数值为0时的自变量取值．
（4）解题关键
第一步：审题，提取题干中的数量关系，明确自变量、因变量，找出已知条件（关键点坐标、固定数值）；
第二步：建模，列出二次函数解析式（优先化为顶点式，方便求最值）；
第三步：求最值，根据二次项系数a的符号判断最值类型（a<0有最大值，a>0有最小值），利用顶点坐标求最值；
第四步：检验，判断所求最值对应的自变量取值是否符合实际意义，不符合则舍去，最终规范写出答案．
3．二次函数图象中的斜三角形面积问题
（1）铅垂高法
核心思路：过斜三角形的一个顶点（通常是动点）作x轴的垂线，交另外两点所在的直线于一点，垂线的长度即为“铅垂高”，另外两点在x轴上的水平距离即为“水平宽”；
计算公式：斜三角形面积水平宽铅垂高；
解题步骤：
①设动点坐标为（y用抛物线解析式表示）；
②求出铅垂高（动点纵坐标与交点纵坐标的绝对值差）；
③求出水平宽（固定两点的横坐标差的绝对值）；
④列出面积关于x的二次函数，求最值．
（2）坐标公式法
核心公式：若斜三角形三个顶点的坐标分别为、、，则面积；
中考注意：公式中绝对值不能省略（保证面积为正数）；代入坐标时，注意横纵坐标的对应关系，避免代错顺序；计算时分步进行，减少符号错误．
（3）割补法
核心思路：将斜三角形放在一个矩形（或梯形）内部，使三角形的三个顶点都在矩形（或梯形）的边上，用矩形（或梯形）的面积减去周围3个直角三角形的面积，得到斜三角形的面积；
中考注意：割补时，尽量选择边长易计算的矩形（或梯形），避免增加计算量；注意区分“补全”和“分割”的适用场景，灵活选择．
（4）常见考法
考法1：求动点形成的斜三角形面积的最值
解题步骤：
①设动点坐标，用抛物线解析式表示动点纵坐标；
②选择合适的面积计算方法（优先铅垂高法），列出面积关于自变量x的二次函数；
③确定自变量x的取值范围（动点所在线段/抛物线的范围）；
④结合二次函数性质，求面积的最大值/最小值．
考法2：已知斜三角形面积，求动点坐标或参数值
解题步骤：
①设动点坐标，列出面积计算公式，令面积等于已知值，得到关于x的一元二次方程；
②解方程，求出x的值；
③检验x的值是否在自变量取值范围内，舍去不合题意的解；
④代入抛物线解析式，求出动点的纵坐标，得到完整坐标．
■考点一 抛物线与线段长、面积、角度
◇典例1：（2025·广东·模拟）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接
，设点P的纵坐标表示为m．
试探究：
①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值．
②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）把代入，
得，解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）①由三角形的三边关系可知，，
∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度，
∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点．
解，得
，
∴．
当时，，
∴，
则有，
，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点，
∵点P在直线上，
，
∴当时，的值最大，最大值为；
②设直线与x轴的交点为点D，如图，作的外接圆与直线的x轴下方部分交于点，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．连接，，
都是所对的圆周角，
，且射线上的其他点P都不满足，
∵圆心E必在边的垂直平分线即直线上，∴点E的横坐标为2，
又，∴圆心E也在边的垂直平分线上，
∵，，∴线段的中点坐标为，
设边的垂直平分线解析式为，∴，∴，
∴边的垂直平分线解析式是，，
在中，，
由勾股定理得，
，，
，
由对称性得，
∴符合题意的点P的坐标为．
◆变式训练
1．（2025·四川绵阳·中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，
求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形
（顶点E，F，G，H在各边上）？
若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）中，令，则，∴，
令，则，∴，
∴，
∵抛物线经过A，B，C三点，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为．
令，则，∴，或，
∴．
∵∴顶点；
（2）∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，
交直线于点P，如图，
则，B关于直线对称，此时的周长最小，
过点作轴于点E，
∵轴，轴，
∴ ，
∵，∴为的中位线，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，∴，
∴直线的解析式为，
∴，∴，
∴．
（3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K，
设，
∵四边形为矩形，，
∴四边形，为矩形，，
∴，
∵∴，∴，
∴，∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴，
∵，
∴H为的中点，
∴．
同理，点G为的中点，∴．
②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，
设，
∵四边形为矩形，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
，
∵，∴当时，矩形的面积取得最大值为．
∴，
∴点G为的中点，
∵，
∴为的中位线，
∴
∴，
∴．
综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
2．（2025·海南·中考）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
解：（1）①∵，∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②设直线的解析式为，将点A、B代入得：
，解得：，
∴，
∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
∴，，
∴，
由题意得：，∴当时，取得最大值为9；
③∵，，
∴当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
（2）解：不发生变化，理由如下：
∵抛物线经过、两点．
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵点是线段上的动点，
∴，
∵点Q在抛物线上，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致，
∴问题（1）中③的结论未发生变化．
■考点二 二次函数的实际应用
◇典例2：（2025·河南郑州·模拟）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值；
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大 最大的利润是多少万元
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
解:（1）把时，；时，代入得：
，解得：，；
（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，
，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
∴，
∴，
则与的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，
当，时，，
∴的取值范围．
◆变式训练 1．（2025·山东省德州市·中考）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个
“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝
合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，
∴．
∵长宽之比为，
∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：．
将代入得，．
∴．
答：窗户框架的宽为．
（2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为，
∴，即，
∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为．
∴当时，最大值为．
∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为．
2．（2025·吉林省·中考）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为
，正方形与重叠部分图
形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值．
解：（1）当重合时，如下图：
，以为边作正方形，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：（负的舍去），
，
，
，故答案为：7；
（2）解：当在线段上运动时，，
当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图：
，
，，
，，，
解得：，
，
；
（3）解：当正方形的对称中心与点B重合时，
，
，
即，
解得：，
，
．
■考点三 二次函数图象中的斜三角形面积问题
◇典例3：（2025·黑龙江龙东·中考）如图，抛物线
交x轴于点A、点B，交y轴于点C，
且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，
∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，∴，
∴直线，
∵∥，∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
◆变式训练
1．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
解：（1）∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点，
∴，解得，
∴；
（2）①令，解得，，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，∴，
过P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意舍去），，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，，∴，
∵点在对称轴上，且与相似，
∴当时，或，
设，
则或，
解方程，得，，
∴，
∴，
解，得，，
∴，
∴，
当时，过P作于H，
则，
又，
∴，
又与相似，
∴与相似，，
∴或，
同理可求或，
综上：或．
2．（2026·江苏省苏州市·模拟）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．
(1)如图1，求抛物线解析式；
(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示S；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标．
解：（1）∵抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，且，
设，，
∴，
∴两边平方得，①，
∵，，
∴②，
∴①②得，，即
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图所示，过点作轴，交于，交轴于，
∵点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，∴，
令抛物线中，则，
解得：或，∴，，且，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点横坐标为，点在直线上，∴，
∴，
∵，
且，∴．
（3）解：如图所示，作轴，，在轴上取一点，使得，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴等腰直角三角形，
∵轴，轴，且，
∴四边形是正方形，即，
∴，
∴，∴，
∴，且，
∴，
且四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍），
∴，∴，且是等腰直角三角形，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，解得：
∴直线的解析式为：，
∵直线，
∴，解得：，∴．
1．（2025·天津市和平区益中学校·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形
的面积最大；④的值为12．其中正确
的结论的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
B
2．（2025·郑州·模拟）如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
D
3．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．或
C
4．（2025·合肥四十五中·二模）二次函数中存在一些特殊的几何现象：
（1）如图，已知抛物线与直线
，分别交于点，和，，
且其对称轴交直线于点，连接，
，则 ；
（2）如图，若将抛物线推广为一般式，已知其经过点，且与直线，分别相交于点，，，，且其对称轴交直线于点，连接，，已知，且，则该二次函数表达式 ．
5．（2025·阜阳·模考）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ．
6．（2025·铁岭·模拟）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
7．（2026·贵州遵义播州·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．
【建立模型】
（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；
【初步应用】
（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；
【拓展应用】
（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．
解：（1）选图2，则，，顶点坐标为，
可设抛物线的函数表达式为，
把代入，得：，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
选图3，则，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把，得：，
解得．∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：选择图2，抛物线为．
因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．
从左到右第3根吊杆对应的x值为．
把代入，得
所以从左到右第3根吊杆的长度是．
选择图3，抛物线为．
因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．
从左到右第3根吊杆对应的x值为．
把代入，得
所以从左到右第3根吊杆的长度是．
（3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为，
的顶点在正方形内，，，，，
则，．
，
∴当和时，，
把代入，得：，，
把代入，得：，，
当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，
当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．
把，代入，得；
把，代入，得，
∴抛物线二次项系数的取值范围为．
8．学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
解：（1）∵点在抛物线上，∴设点，
∵轴，∴，
∵点在直线上，∴点，
∴
∵直线与抛物线交于两点，
∴，解得：，，
当时，；当时，，∴，．
∴
.
∵，∴当时，有最大值，最大为，
∵把代入点中，∴点；
（2）由（1）得，当时，有最大值，
∴将代入点得：点，
∵，，
点的中点坐标为点，即点，
∴点和点重合，
∴当面积最大时，点为线段的中点；
（3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大．
证明：设抛物线解析式为：，直线：，直线与抛物线交于两点，设，
∴则方程的解为：，，
∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，∴，
∵点在直线上，∴点，
∴，即为关于的二次函数，
∵当时，，，
由二次函数对称性知，当时，有最大值，
∵
∴当时，有最大值，
∴，即点为线段中点．
∴当直线过线段中点时（或），最大．
75
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2
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第三章 函数
3.5 二次函数的应用
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，能解决相应的实际问题．
1．抛物线与线段长、面积、角度
（1）线段长计算
①核心公式：两点间距离公式（适用于任意两点）；
②简便方法：平行于x轴的线段，长度=两点横坐标差的绝对值；平行于y轴的线段，长度=两点纵坐标差的绝对值；
③常考场景：求抛物线顶点到坐标轴的距离、抛物线与x轴两交点之间的距离、动点到定点的线段长度；
④易错点：忽略线段长度为非负数，计算横坐标/纵坐标差时忘记加绝对值；使用两点间距离公式时，混淆横纵坐标的对应关系．
（2）面积计算
①割补法（通用方法）：将不规则图形（如抛物线与线段围成的图形、三角形与抛物线组合图形）分割/补全为直角三角形、矩形、梯形等规则图形，利用规则图形面积公式求和/差；
②特殊技巧（优先使用）：铅垂高×水平宽÷2，专门用于计算抛物线图象中斜三角形的面积，步骤简单、计算快捷；
③常考场景：求抛物线与x轴、y轴围成的三角形面积、动点与抛物线顶点/交点组成的图形面积；
④易错点：使用割补法时，分割的图形有重叠或遗漏；使用铅垂高法时，混淆“铅垂高”（垂直于x轴的线段长度）和“水平宽”（两点在x轴上的距离）的取值．
（3）角度计算
①基础方法：利用坐标计算线段斜率，判断两条线段的垂直（斜率之积为-1）或平行（斜率相等）关系，进而推导角度（如垂直则夹角为90°）；
②进阶方法：结合特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（正弦、余弦、正切），通过线段长度比求解角度，或根据角度求动点坐标；
③常考场景：判断抛物线图象中两条线段的夹角是否为特殊角、求动点运动过程中形成的角度大小；
④易错点：斜率计算出错（分子分母颠倒）；忽略特殊角对应的线段比例关系，计算时混淆正弦、余弦、正切的定义．
2．二次函数的实际应用
（1）利润最值问题
①数量关系：总利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-进价（或单件利润=原单件利润±调价幅度）；
②建模关键：设调价幅度（或售价）为自变量x，用x表示出销售量和单件利润，进而列出二次函数解析式（一般为开口向下的抛物线，最值在顶点处）；
③中考注意：自变量x的取值范围需符合实际（如售价不能低于进价、销售量不能为负数），最终结果需检验是否在取值范围内．
（2）图形面积最值问题
①常见场景：用围栏围矩形（一边靠墙）、动点在直线/抛物线上运动形成的图形（三角形、矩形）面积、图形拼接后的面积最值；
②建模关键：设矩形的边长（或动点的横坐标）为自变量x，用x表示出图形的另一边长（或相关线段长度），根据面积公式列出二次函数解析式；
③中考注意：区分“一边靠墙”与“四边都围”的围栏长度计算，避免遗漏自变量的取值限制（如边长不能为负数）．
（3）运动轨迹与高度问题
①常见场景：抛球、投篮、跳水、喷泉等，描述物体的高度随时间（或水平距离）的变化规律；
②建模关键：题目通常会给出二次函数解析式（或关键点坐标），自变量为时间t（或水平距离x），因变量为高度h；
③中考注意：明确自变量的实际意义（如时间t≥0），求“最大高度”即求二次函数的顶点纵坐标，求“物体落地时间”即求函数值为0时的自变量取值．
（4）解题关键
第一步：审题，提取题干中的数量关系，明确自变量、因变量，找出已知条件（关键点坐标、固定数值）；
第二步：建模，列出二次函数解析式（优先化为顶点式，方便求最值）；
第三步：求最值，根据二次项系数a的符号判断最值类型（a<0有最大值，a>0有最小值），利用顶点坐标求最值；
第四步：检验，判断所求最值对应的自变量取值是否符合实际意义，不符合则舍去，最终规范写出答案．
3．二次函数图象中的斜三角形面积问题
（1）铅垂高法
核心思路：过斜三角形的一个顶点（通常是动点）作x轴的垂线，交另外两点所在的直线于一点，垂线的长度即为“铅垂高”，另外两点在x轴上的水平距离即为“水平宽”；
计算公式：斜三角形面积水平宽铅垂高；
解题步骤：
①设动点坐标为（y用抛物线解析式表示）；
②求出铅垂高（动点纵坐标与交点纵坐标的绝对值差）；
③求出水平宽（固定两点的横坐标差的绝对值）；
④列出面积关于x的二次函数，求最值．
（2）坐标公式法
核心公式：若斜三角形三个顶点的坐标分别为、、，则面积；
中考注意：公式中绝对值不能省略（保证面积为正数）；代入坐标时，注意横纵坐标的对应关系，避免代错顺序；计算时分步进行，减少符号错误．
（3）割补法
核心思路：将斜三角形放在一个矩形（或梯形）内部，使三角形的三个顶点都在矩形（或梯形）的边上，用矩形（或梯形）的面积减去周围3个直角三角形的面积，得到斜三角形的面积；
中考注意：割补时，尽量选择边长易计算的矩形（或梯形），避免增加计算量；注意区分“补全”和“分割”的适用场景，灵活选择．
（4）常见考法
考法1：求动点形成的斜三角形面积的最值
解题步骤：
①设动点坐标，用抛物线解析式表示动点纵坐标；
②选择合适的面积计算方法（优先铅垂高法），列出面积关于自变量x的二次函数；
③确定自变量x的取值范围（动点所在线段/抛物线的范围）；
④结合二次函数性质，求面积的最大值/最小值．
考法2：已知斜三角形面积，求动点坐标或参数值
解题步骤：
①设动点坐标，列出面积计算公式，令面积等于已知值，得到关于x的一元二次方程；
②解方程，求出x的值；
③检验x的值是否在自变量取值范围内，舍去不合题意的解；
④代入抛物线解析式，求出动点的纵坐标，得到完整坐标．
■考点一 抛物线与线段长、面积、角度
◇典例1：（2025·广东·模拟）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m．
试探究：
①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值．
②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．
◆变式训练
1．（2025·四川绵阳·中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
2．（2025·海南·中考）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
■考点二 二次函数的实际应用
◇典例2：（2025·河南郑州·模拟）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值；
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大 最大的利润是多少万元
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
◆变式训练
1．（2025·山东省德州市·中考）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
2．（2025·吉林省·中考）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值．
■考点三 二次函数图象中的斜三角形面积问题
◇典例3：（2025·黑龙江龙东·中考）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
◆变式训练
1．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
2．（2026·江苏省苏州市·模拟）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．
(1)如图1，求抛物线解析式；
(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示S；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标．
1．（2025·天津市和平区益中学校·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·郑州·模拟）如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
3．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
4．（2025·合肥四十五中·二模）二次函数中存在一些特殊的几何现象：
（1）如图，已知抛物线与直线，分别交于点，和，，且其对称轴交直线于点，连接，，则 ；
（2）如图，若将抛物线推广为一般式，已知其经过点，且与直线，分别相交于点，，，，且其对称轴交直线于点，连接，，已知，且，则该二次函数表达式 ．
5．（2025·阜阳·模考）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ．
6．（2025·铁岭·模拟）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
7．（2026·贵州遵义播州·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．
【建立模型】
（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；
【初步应用】
（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；
【拓展应用】
（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．
8．学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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