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专题一　考点3　力与曲线运动
　高考真题感悟
1．(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图．彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A．90　　　B．120　　　C．150　　　D．180
2．(2025·黑吉辽蒙卷)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动．为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A．一直减小 B．一直增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
3．(2025·云南卷)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食．鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A.两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
4．(2025·山东卷)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动．在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s．由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹．根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　　)
A．11 N　 　B．9 N　 　C．7 N　 　D．5 N
5．(2025·湖北卷)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ.击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
6．(2025·广东卷)(多选)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示．已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2.关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
考点题组专练
题组一　运动的合成与分解　平抛运动
7．(2025·安徽蚌埠模拟)如图所示，物体只在力 F作用下沿曲线从A运动到B，经过B点后突然使 F 的方向反向而大小不变，若BD为曲线AB 上B点的切线，则该物体可能(　　)
A．沿原曲线由B返回A 　B．沿曲线BE运动
C．沿直线BD运动 　D．沿曲线BC运动
8．(2025·山东师范大学附中模拟)如图所示，水平直杆上有一定点O，不可伸长的刚性连杆AO、AB可绕图中O、A、B三处转轴转动，OA杆长为L，AB杆长为2L，A端与一小球连接，B端套有一滑块，小球以角速度ω沿逆时针方向绕O做匀速圆周运动时，滑块B沿直线做往复运动，当连杆AO与OB垂直时，滑块B的速度大小为(　　)
A．ωL B．
C．ωL D．
9．(2025·重庆市模拟)在一段两岸宽200 m的平直河流中，河水流速v1与到岸边距离x之间的关系图像如图所示．一小船船头垂直岸边，保持在静水中不变的速度v2＝3 m/s向对岸行驶，在到达对岸的过程中，小船相对岸边运动的速度大小不可能为(　　)
A．6 m/s B．5 m/s
C．4.5 m/s D．3.5 m/s
10．(2025·江西部分学校联考)如图所示，鸟食从O点水平抛出后经0.3 s，一只小鸟(图中未画出)在空中的P点接到鸟食．若OP与水平方向的夹角为37°，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，则鸟食被抛出时的速度大小为(　　)
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．6 m/s
11．(2025·山东潍坊模拟)如图所示，斜面体ABC固定在水平面上，可视为质点的小球从A点正上方的P点水平抛出，恰击中C点，此时速度方向与水平方向的夹角为θ.已知A、P的高度差为H，B、C的高度差为h，A、B间的距离为L，则tan θ的值为(　　)
A． B．
C． D．
题组二　水平面内的圆周运动
12．(2025·山东淄博质检)如图所示为医学上常用的离心式血细胞分离机的原理示意图，分离机的工作台带动试管高速转动，因为不同的血液成分密度不同，所以在试管中从上而下自动分离出血浆、白细胞和红细胞．下列说法正确的是(　　)
A．离心机的转速越大，试管底部受到的压力越小
B．用离心机处理血液，红细胞因为受到了离心力作用，所以和血浆产生了分层
C.离心机的转速越大越容易实现血浆、白细胞和红细胞的分层
D．若在天宫空间站上利用此装置进行实验，由于完全失重将无法实现血液成分的分层
13．(2025·江苏淮安模拟)如图所示，质量为m的小球用细绳悬挂于P点，使小球在某一水平面内做匀速圆周运动．现保持圆周运动的圆心O到悬点P的距离不变，改变绳长l，则小球做匀速圆周运动的角速度ω、绳对小球的拉力F随绳长l变化的关系图像中正确的是(　　)
14．(2025·河北保定调研)如图所示，质量为m＝0.2 kg的物块(可视为质点)放置在水平转盘上，通过长为L＝20 cm的细线连接在转盘的竖直中心转轴上，细线刚好伸直且与竖直方向的夹角α＝60°，物块与转盘之间的动摩擦因数μ＝0.2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.转盘由静止开始缓慢加速转动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．细线上的拉力先增大后减小
B．转盘角速度达10 rad/s时，物块恰好与转盘分离
C．转盘角速度达 rad/s后，物块对转盘的压力开始减小
D．转盘角速度达10 rad/s时，细线的拉力为12 N
15．(2025·河北保定模拟)(多选)如图所示，一小球(视为质点)由轻绳a 和轻绳b分别系于轻杆上的A 点和B 点，轻杆绕轴AB 匀速转动，使得小球在水平面内做匀速圆周运动，两轻绳均伸直，轻绳a 与水平方向的夹角为30°，轻绳b水平且长度为.重力加速度大小为g.下列说法正确的是(　　)
A.轻绳b的弹力不可能为零
B．轻绳a 的弹力随角速度的增大而增大
C．当转动的角速度大于时，轻绳b将出现弹力
D．剪断轻绳b，轻绳 a 的弹力可能不变
16．(2025·北京东城模拟)(多选)如图所示，在光滑的水平面上放一个原长为L的轻质弹簧，劲度系数为k，它的一端固定，另一端系一个质量为m的小球．当小球在该平面上做半径为4L的匀速圆周运动时(　　)
A．小球做圆周运动的向心力为3kL
B．小球做圆周运动的线速度为2L
C．小球做圆周运动的角速度为
D．小球做圆周运动的周期为2π
题组三　竖直面内的圆周运动
17．(2025·天津模拟)如图所示，半径为R的半球形金属壳竖直固定放置，开口向上．质量为m的物块，沿着半球形金属壳内壁滑下，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是(　　)
A．物体需要的向心力大小为
B．物体受到的支持力大小为
C．物体受到的摩擦力大小为
D．物体受到的合力为0
18．(2025·广东领航高中联盟联考)(多选)如图甲、乙，半径均为R的竖直圆环、竖直圆管轨道固定在水平面上，两个质量均为m的小球P、Q(均可视为质点)分别在两轨道内做完整的圆周运动，小球Q的直径略小于圆管的孔径，不计一切摩擦，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球P在圆环轨道最低点处于失重状态
B．小球P运动到圆环轨道最高点时的最小速度为
C．小球Q运动到圆管轨道最高点时的最小速度为
D.若小球P、Q运动到各自轨道最高点对轨道的作用力大小均为，则小球P、Q经过最高点时的速度大小有可能相等
19．(2025·山东青岛模拟)(多选)如图所示，长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B(可视为质点)，球A距轴O的距离为L.现给系统一定初速度，使杆和球在竖直平面内转动．当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力．已知重力加速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是(　　)
A．球A、B转动角速度相等
B．杆对球B的弹力大小为3mg
C．球A的速度为2
D．球B对杆有向上的拉力
20．(2025·湖北多校联考)如下图所示，在倾角为α＝53°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，斜面固定在地面，取g＝10 m/s2，小球在A点最小速度为(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D．2 m/s
精选模拟演练
21.(2025·河北保定调研)某实验小组用如图所示的简易装置来研究曲线运动轨迹．将小球从桌边水平向右抛出，小球运动的过程中，有水平向右的恒定风力作用在小球上，则小球的运动轨迹可能是下图中的(　　)
22．(2025·山东潍坊模拟)如图所示，一辆汽车经过一段起伏路段，M、N分别为该路段的最低点和最高点，其对应圆弧的半径均为R，整个过程汽车速率不变且均未脱离路面．已知汽车质量为m，速率为v，下列说法正确的是(　　)
A．汽车通过M点时对路面的压力小于重力
B．汽车在M点的加速度大于N点的加速度
C．汽车通过N点时对路面的压力大小为mg＋m
D．v一定不大于
23．(2025·辽宁朝阳模拟)直角侧移门(如图甲所示)可以解决小户型浴室开关门不方便的问题，其结构可简化成如图乙和图丙(俯视图)所示，玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动，已知滑轮可视为质点，玻璃门的宽度为L＝1 m，在某次关门的过程中，使用者拉住把手使滑轮A从初始位置静止开始做加速度为a＝0.25 m/s2的匀加速运动，当玻璃门与滑轮A达到丁图所示位置时，滑轮B的速度大小为(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
24．(2025·广东江门模拟)(多选)一个小球从如图所示尺寸的多段斜面顶端以不同的速度水平抛出后还能落在该斜面上(包括水平段)，则其落到斜面上时的速度与水平方向的夹角可能是(　　)
A．30° B．40°
C．50° D．60°
25．(2025·山东聊城模拟)圆锥摆是我们在研究生活中的圆周运动时常遇到的一类物理模型．如图所示，质量相同的1、2两个小摆球(均可视为质点)用长度相等的细线拴在同一悬点，组成具有相同摆长和不同摆角的圆锥摆，若两个小摆球均在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力．则(　　)
A．两个小摆球角速度大小相等
B．细线对球1的拉力大于细线对球2的拉力
C．两个小摆球的向心力大小相等
D．小摆球1的向心加速度小于小摆球2的向心加速度
26．(2025·内蒙古鄂尔多斯模拟)(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点时的速度大小为v，其 图像如图乙所示，重力加速度 ，小球可视为质点，不计一切阻力．则下列说法正确的是(　　)
A．小球的质量为1 kg
B．小球做圆周运动的半径为2.5 m
C．v2＝时，在最高点杆对小球的弹力大小为40 N
D.v2＝时，小球的向心加速度大小为10 m/s2
27．(2025·天津南开区模拟)如图，两瓷罐P、Q(可视为质点)放在水平圆桌转盘上，质量分别为2m、m，离转轴OO′的距离分别为R、2R，与转盘间的动摩擦因数均为μ.使瓷罐随转盘做匀速圆周运动，P、Q与转盘均保持相对静止，用ω表示转盘的角速度，则(　　)
A.瓷罐随转盘一起做匀速圆周运动时，受到重力、支持力、静摩擦力和向心力四个力作用
B．P所受的摩擦力大于Q所受的摩擦力
C．当ω增大时，P开始滑动的临界角速度为ω＝
D．当ω增大时，P一定比Q先开始滑动
28．(2025·山东淄博质检)(多选)如图甲所示，一轻质细线一端连接在光滑固定圆锥的顶部，另一端系一质量m＝0.1 kg的小球，小球可视为质点．设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的拉力F随ω2变化的图像如图乙所示，g取10 m/s2.下列说法正确的是(　　)
A．圆锥母线与轴线的夹角θ＝45°
B．圆锥母线与轴线的夹角θ＝53°
C．细线的长度为 m
D．细线的长度为 m
29．(12分)(2025·河北保定模拟)如图所示，一轻杆制成的竖直直角支架，水平杆上A、B两端点用两根不可伸长的轻细绳BC、AC 分别与质量为m＝0.1 kg的小球连接，小球可视为质点，A、B 两端点的间距为R＝0.525 m，轻细绳BC长为l＝1.125 m，整个装置可绕竖直杆做匀速圆周运动，三角形ABC 始终在竖直平面内．当两轻细绳都拉直时，轻细绳AC与竖直方向夹角为53°，水平杆AB与轻细绳BC 的夹角为127°，g＝10 m/s2.
(1)若两轻细绳始终伸直，求小球角速度的取值范围；
(2)当小球角速度ω＝3 rad/s时，求两轻细绳张力的大小．(结果均保留两位有效数字)专题一　考点3　力与曲线运动
　高考真题感悟
1．(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图．彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A．90　　　B．120　　　C．150　　　D．180
答案：C
解析：根据题意可知跳绳的转动角速度为ω＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数为n＝＝150，C正确．
2．(2025·黑吉辽蒙卷)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动．为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A．一直减小 B．一直增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
答案：B
解析：设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得v块cos θ＝v sin θ，解得v＝，由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增大，B正确．
3．(2025·云南卷)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食．鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A.两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
答案：D
解析：鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，A、B错误；在水平方向有x＝v0t，如图所示，
过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，C错误，D正确．
4．(2025·山东卷)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动．在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s．由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹．根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　　)
A．11 N　 　B．9 N　 　C．7 N　 　D．5 N
答案：C
解析：根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为Δl＝0.6 m＝0.12 m，近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有v＝ m/s＝6 m/s，在最低点根据牛顿第二定律有T－mg＝m，代入数据解得T＝7 N，C正确．
5．(2025·湖北卷)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ.击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
答案：C
解析：网球水平方向上做匀速直线运动，有t＝，设球网高度为h，则对A点发出的球，有L－h＝v0sin θ·t＋gt2，对B点发出的球，有h＝－v0sin θ·t＋gt2，联立以上各式，可得tan θ＝，C正确．
6．(2025·广东卷)(多选)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示．已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2.关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
答案：AC
解析：对小球受力分析可知F向＝mg tan 45°＝mω2R，解得ω＝5 rad/s，A正确；线速度大小为v＝ωR＝2 m/s，B错误；向心加速度大小为an＝ω2R＝10 m/s2，C正确；所受支持力大小为FN＝ N，D错误．
考点题组专练
题组一　运动的合成与分解　平抛运动
7．(2025·安徽蚌埠模拟)如图所示，物体只在力 F作用下沿曲线从A运动到B，经过B点后突然使 F 的方向反向而大小不变，若BD为曲线AB 上B点的切线，则该物体可能(　　)
A．沿原曲线由B返回A 　B．沿曲线BE运动
C．沿直线BD运动 　D．沿曲线BC运动
答案：B
解析：物体从A到B做曲线运动，根据曲线运动规律可知合力在轨迹的凹侧，即在AB段物体所受恒力方向应是在AB段的下方．到达B点后，力的大小不变方向相反，变成向上，故轨迹应该是沿曲线BE，B正确．
8．(2025·山东师范大学附中模拟)如图所示，水平直杆上有一定点O，不可伸长的刚性连杆AO、AB可绕图中O、A、B三处转轴转动，OA杆长为L，AB杆长为2L，A端与一小球连接，B端套有一滑块，小球以角速度ω沿逆时针方向绕O做匀速圆周运动时，滑块B沿直线做往复运动，当连杆AO与OB垂直时，滑块B的速度大小为(　　)
A．ωL B．
C．ωL D．
答案：C
解析：当连杆AO与OB垂直时，几何关系可知∠ABO＝30°，将滑块的速度vB、小球速度vA均分解成沿杆AB方向和垂直于杆AB方向，则有vB cos 30°＝vA cos 30°，因为vA＝ωL，联立解得vB＝ωL，C正确．
9．(2025·重庆市模拟)在一段两岸宽200 m的平直河流中，河水流速v1与到岸边距离x之间的关系图像如图所示．一小船船头垂直岸边，保持在静水中不变的速度v2＝3 m/s向对岸行驶，在到达对岸的过程中，小船相对岸边运动的速度大小不可能为(　　)
A．6 m/s B．5 m/s
C．4.5 m/s D．3.5 m/s
答案：A
解析：由图像可知，水流速度在0～4 m/s之间，由速度合成可得v＝，即小船相对岸边运动的速度在3～5 m/s之间，只有A符合题意．
10．(2025·江西部分学校联考)如图所示，鸟食从O点水平抛出后经0.3 s，一只小鸟(图中未画出)在空中的P点接到鸟食．若OP与水平方向的夹角为37°，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，则鸟食被抛出时的速度大小为(　　)
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．6 m/s
答案：B
解析：鸟食在水平方向上和竖直方向上的位移大小分别为x＝v0t、y＝gt2，又＝tan 37°，解得v0＝2 m/s，B正确．
11．(2025·山东潍坊模拟)如图所示，斜面体ABC固定在水平面上，可视为质点的小球从A点正上方的P点水平抛出，恰击中C点，此时速度方向与水平方向的夹角为θ.已知A、P的高度差为H，B、C的高度差为h，A、B间的距离为L，则tan θ的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：根据平抛运动规律有L＝v0t，H－h＝gt2，竖直方向有vy＝gt，则tan θ＝，联立解得，A正确．
题组二　水平面内的圆周运动
12．(2025·山东淄博质检)如图所示为医学上常用的离心式血细胞分离机的原理示意图，分离机的工作台带动试管高速转动，因为不同的血液成分密度不同，所以在试管中从上而下自动分离出血浆、白细胞和红细胞．下列说法正确的是(　　)
A．离心机的转速越大，试管底部受到的压力越小
B．用离心机处理血液，红细胞因为受到了离心力作用，所以和血浆产生了分层
C.离心机的转速越大越容易实现血浆、白细胞和红细胞的分层
D．若在天宫空间站上利用此装置进行实验，由于完全失重将无法实现血液成分的分层
答案：C
解析：用离心机处理血液，血浆和红细胞做离心运动是因为受到的实际力不足以提供所需的向心力，不存在离心力，B错误；离心机的转速越大，则角速度越大，做圆周运动需要的向心力越大，试管底部对血液的弹力越大，根据牛顿第三定律可知，试管底部受到的压力越大，则越容易实现血浆和细胞的分层，A错误，C正确；若在天宫空间站上利用此装置进行实验，由于离心现象与重力无关，仍能实现血液成分的分层，D错误．
13．(2025·江苏淮安模拟)如图所示，质量为m的小球用细绳悬挂于P点，使小球在某一水平面内做匀速圆周运动．现保持圆周运动的圆心O到悬点P的距离不变，改变绳长l，则小球做匀速圆周运动的角速度ω、绳对小球的拉力F随绳长l变化的关系图像中正确的是(　　)
答案：B
解析：受力分析如图所示，
对球分析水平方向，根据牛顿第二定律可得F sin θ＝mω2l sin θ，竖直方向由平衡条件可得F cos θ＝mg，联立解得ω＝ ，角速度ω与绳长l无关，A错误，B正确；由上述公式解得F＝mω2l＝，绳对小球的拉力F与绳长l成正比，C、D错误．
14．(2025·河北保定调研)如图所示，质量为m＝0.2 kg的物块(可视为质点)放置在水平转盘上，通过长为L＝20 cm的细线连接在转盘的竖直中心转轴上，细线刚好伸直且与竖直方向的夹角α＝60°，物块与转盘之间的动摩擦因数μ＝0.2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.转盘由静止开始缓慢加速转动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．细线上的拉力先增大后减小
B．转盘角速度达10 rad/s时，物块恰好与转盘分离
C．转盘角速度达 rad/s后，物块对转盘的压力开始减小
D．转盘角速度达10 rad/s时，细线的拉力为12 N
答案：D
解析：转盘刚开始转动，细线未绷紧，细线上的拉力为零，随着转盘由静止开始缓慢地加速转动，当物块与转盘之间的静摩擦力达到最大．物块离开转盘前，拉力水平分力提供向心力FTsin α＝mω2L sin α，即FT＝mω2L，细线上的拉力增大；物块离开转盘后，设细线与竖直方向的夹角为θ，则FTsin θ＝mω2L sin θ，即FT＝mω2L，细线上的拉力继续增大，A错误；当物块与转盘间弹力为零时，在竖直方向FTcos α＝mg，由A选项可知，水平方向FT＝mω2L，解得ω＝10 rad/s，B错误；开始时由静摩擦力提供向心力，当达到静摩擦力时，细线上开始有拉力，物块对转盘的压力开始减小，此时μmg＝mω2L sin α，解得ω＝ rad/s，C错误；当ω＝10 rad/s＞10 rad/s，此时物块离开转盘，由A选项可知FT＝mω2L，解得FT＝12 N，D正确．
15．(2025·河北保定模拟)(多选)如图所示，一小球(视为质点)由轻绳a 和轻绳b分别系于轻杆上的A 点和B 点，轻杆绕轴AB 匀速转动，使得小球在水平面内做匀速圆周运动，两轻绳均伸直，轻绳a 与水平方向的夹角为30°，轻绳b水平且长度为.重力加速度大小为g.下列说法正确的是(　　)
A.轻绳b的弹力不可能为零
B．轻绳a 的弹力随角速度的增大而增大
C．当转动的角速度大于时，轻绳b将出现弹力
D．剪断轻绳b，轻绳 a 的弹力可能不变
答案：CD
解析：角速度合适时，球的向心力恰好由球的重力与轻绳a拉力的合力提供，此时轻绳b弹力为0，A错误；对小球，根据竖直方向上平衡得mg＝Fa sin 30°，轻绳a弹力Fa＝＝2mg，轻绳a的拉力不变，B错误；当轻绳b拉力为零时，有l，解得ω＝ ，当转动的角速度大于 时，轻绳b将出现弹力，C正确；由A选项可知轻绳b可能没有弹力，故轻绳b突然被剪断，轻绳a的弹力可能不变，D正确．
16．(2025·北京东城模拟)(多选)如图所示，在光滑的水平面上放一个原长为L的轻质弹簧，劲度系数为k，它的一端固定，另一端系一个质量为m的小球．当小球在该平面上做半径为4L的匀速圆周运动时(　　)
A．小球做圆周运动的向心力为3kL
B．小球做圆周运动的线速度为2L
C．小球做圆周运动的角速度为
D．小球做圆周运动的周期为2π
答案：AD
解析：由弹簧弹力提供小球做圆周运动的向心力，结合胡克定律得F向＝F弹＝k(4L－L)＝3kL，A正确；由弹簧弹力提供向心力可得3kL＝m·4L，解得v＝ω＝ ，T＝2π，B、C错误，D正确．
题组三　竖直面内的圆周运动
17．(2025·天津模拟)如图所示，半径为R的半球形金属壳竖直固定放置，开口向上．质量为m的物块，沿着半球形金属壳内壁滑下，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是(　　)
A．物体需要的向心力大小为
B．物体受到的支持力大小为
C．物体受到的摩擦力大小为
D．物体受到的合力为0
答案：A
解析：物体在最低点时，物体需要的向心力大小为F向＝，A正确；根据牛顿第二定律可得FN－mg＝m，解得物体受到的支持力大小为FN＝mg＋m，物体受到的摩擦力大小为Ff＝μFN＝，B、C错误；物体做圆周运动，需要合力提供向心力，故物体受到的合力一定不为0，D错误．
18．(2025·广东领航高中联盟联考)(多选)如图甲、乙，半径均为R的竖直圆环、竖直圆管轨道固定在水平面上，两个质量均为m的小球P、Q(均可视为质点)分别在两轨道内做完整的圆周运动，小球Q的直径略小于圆管的孔径，不计一切摩擦，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球P在圆环轨道最低点处于失重状态
B．小球P运动到圆环轨道最高点时的最小速度为
C．小球Q运动到圆管轨道最高点时的最小速度为
D.若小球P、Q运动到各自轨道最高点对轨道的作用力大小均为，则小球P、Q经过最高点时的速度大小有可能相等
答案：BD
解析：小球P在圆环轨道最低点，受到的支持力大于重力，处于超重状态，A错误；小球P运动到圆环轨道最高点时mg＝m，解得v1＝，B正确；小球Q运动到圆管轨道最高点最小速度为0，C错误；若小球P、Q运动到各自轨道最高点时，对轨道的作用力方向均向上时mg＋，小球P、Q经过最高点时的速度大小相等；若小球Q运动到轨道最高点对轨道的作用力方向向下，则mg－，而小球P在轨道最高点只能对轨道有向上的力，此时两球经过最高点的速度大小不相等，D正确．
19．(2025·山东青岛模拟)(多选)如图所示，长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B(可视为质点)，球A距轴O的距离为L.现给系统一定初速度，使杆和球在竖直平面内转动．当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力．已知重力加速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是(　　)
A．球A、B转动角速度相等
B．杆对球B的弹力大小为3mg
C．球A的速度为2
D．球B对杆有向上的拉力
答案：ABD
解析：球A、B属于同轴转动，所以球A、B转动角速度相等，A正确；当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零时，杆对两球的作用力大小相等、方向相反，由于此时杆对球A的弹力向上，则杆对球B的弹力向下，所以球B对杆有向上的拉力，设此时角速度为ω，杆对球B的弹力为F，对B球由牛顿第二定律可得mg＋F＝mω2·2L，对A球由牛顿第二定律可得F－mg＝mω2·L，联立解得ω＝ ，F＝3mg，B、D正确；球A的速度为vA＝ωL＝，C错误．
20．(2025·湖北多校联考)如下图所示，在倾角为α＝53°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，斜面固定在地面，取g＝10 m/s2，小球在A点最小速度为(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D．2 m/s
答案：B
解析：小球在A点最小速度时，小球所受重力沿斜面向下的分力提高向心力，则mg sin 53°＝解得v＝ m/s，B正确．
【模型构建】　斜面上的圆周运动模型的三种常见情形
精选模拟演练
21.(2025·河北保定调研)某实验小组用如图所示的简易装置来研究曲线运动轨迹．将小球从桌边水平向右抛出，小球运动的过程中，有水平向右的恒定风力作用在小球上，则小球的运动轨迹可能是下图中的(　　)
答案：C
解析：由题意可知，小球受竖直向下的重力和水平向右的风力，则小球受到的合力斜向右下，根据合力指向轨迹的凹侧可知，C轨迹正确．
22．(2025·山东潍坊模拟)如图所示，一辆汽车经过一段起伏路段，M、N分别为该路段的最低点和最高点，其对应圆弧的半径均为R，整个过程汽车速率不变且均未脱离路面．已知汽车质量为m，速率为v，下列说法正确的是(　　)
A．汽车通过M点时对路面的压力小于重力
B．汽车在M点的加速度大于N点的加速度
C．汽车通过N点时对路面的压力大小为mg＋m
D．v一定不大于
答案：D
解析：汽车通过M点时，加速度向上，则支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知压力大于重力，A错误；汽车的速率不变，向心加速度为a＝，汽车在M点的加速度等于N点的加速度，B错误；汽车通过N点时，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m，解得FN＝mg－m，根据牛顿第三定律可知，汽车通过N点时对路面的压力大小为mg－m，C错误；由于整个过程汽车速率不变且均未脱离路面，在最高点时有mg≥m，解得v≤，D正确．
23．(2025·辽宁朝阳模拟)直角侧移门(如图甲所示)可以解决小户型浴室开关门不方便的问题，其结构可简化成如图乙和图丙(俯视图)所示，玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动，已知滑轮可视为质点，玻璃门的宽度为L＝1 m，在某次关门的过程中，使用者拉住把手使滑轮A从初始位置静止开始做加速度为a＝0.25 m/s2的匀加速运动，当玻璃门与滑轮A达到丁图所示位置时，滑轮B的速度大小为(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
答案：B
解析：根据几何关系可知A运动的位移为，根据速度位移公式有，解得vA＝解得vB＝ m/s，B正确．
24．(2025·广东江门模拟)(多选)一个小球从如图所示尺寸的多段斜面顶端以不同的速度水平抛出后还能落在该斜面上(包括水平段)，则其落到斜面上时的速度与水平方向的夹角可能是(　　)
A．30° B．40°
C．50° D．60°
答案：BC
解析：设图中上方斜面倾角为α，下方斜面倾角为β，由图中几何关系可知tan α＝，tan β＝，若小球落在上方斜面上，根据平抛运动推论可得速度与水平方向的夹角的正切值为tan θ1＝2tan α＝，可得θ1＝53°，若小球落在下方斜面上，根据平抛运动推论可得速度与水平方向的夹角的正切值为tan θ2＝2tan β＝，可得θ2＝37°，小球落到斜面上时的速度与水平方向的夹角满足37°≤θ≤53°，B、C正确．
25．(2025·山东聊城模拟)圆锥摆是我们在研究生活中的圆周运动时常遇到的一类物理模型．如图所示，质量相同的1、2两个小摆球(均可视为质点)用长度相等的细线拴在同一悬点，组成具有相同摆长和不同摆角的圆锥摆，若两个小摆球均在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力．则(　　)
A．两个小摆球角速度大小相等
B．细线对球1的拉力大于细线对球2的拉力
C．两个小摆球的向心力大小相等
D．小摆球1的向心加速度小于小摆球2的向心加速度
答案：D
解析：小摆球水平面内做匀速圆周运动，设线长为l，细线与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝mω2l sin θ，解得ω＝，由于θ1＜θ2，有cos θ1＞cos θ2，ω1＜ω2，A错误；细线对球的拉力大小为FT＝，由于θ1＜θ2，有cos θ1＞cos θ2，T1＜T2，B错误；小摆球的向心力大小为F＝mg tan θ，由于θ1＜θ2，有tan θ1＜tan θ2，F126．(2025·内蒙古鄂尔多斯模拟)(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点时的速度大小为v，其 图像如图乙所示，重力加速度 ，小球可视为质点，不计一切阻力．则下列说法正确的是(　　)
A．小球的质量为1 kg
B．小球做圆周运动的半径为2.5 m
C．v2＝时，在最高点杆对小球的弹力大小为40 N
D.v2＝时，小球的向心加速度大小为10 m/s2
答案：AB
解析：根据题图可知当v2＝0时，mg＝FN＝10 N，可得m＝1 kg，A正确；当FN＝0时有mg＝m，解得R＝2.5 m，B正确；由FN＋mg＝m，可知v1＝5 m/s，当v2＝时，FN＝30 N，C错误；当v2＝时，小球的向心加速度大小为a＝＝20 m/s2，D错误．
27．(2025·天津南开区模拟)如图，两瓷罐P、Q(可视为质点)放在水平圆桌转盘上，质量分别为2m、m，离转轴OO′的距离分别为R、2R，与转盘间的动摩擦因数均为μ.使瓷罐随转盘做匀速圆周运动，P、Q与转盘均保持相对静止，用ω表示转盘的角速度，则(　　)
A.瓷罐随转盘一起做匀速圆周运动时，受到重力、支持力、静摩擦力和向心力四个力作用
B．P所受的摩擦力大于Q所受的摩擦力
C．当ω增大时，P开始滑动的临界角速度为ω＝
D．当ω增大时，P一定比Q先开始滑动
答案：C
解析：瓷罐随转盘一起做匀速圆周运动时，受到重力、支持力和静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力提供向心力，A错误；瓷罐随转盘一起做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，则有FfP＝2mω2R，FfQ＝mω2·2R＝2mω2R，P所受的摩擦力等于Q所受的摩擦力，B错误；当ω增大时，当P的静摩擦力达到最大时，有μ·2mg＝2mω2R，解得此时的角速度为ω＝ ，当Q的静摩擦力达到最大时，有μmg＝mω′2·2R，解得此时的角速度为ω′＝ ，P开始滑动的临界角速度为ω＝ ，Q开始滑动的临界角速度为ω′＝，Q一定比P先开始滑动，C正确，D错误．
28．(2025·山东淄博质检)(多选)如图甲所示，一轻质细线一端连接在光滑固定圆锥的顶部，另一端系一质量m＝0.1 kg的小球，小球可视为质点．设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的拉力F随ω2变化的图像如图乙所示，g取10 m/s2.下列说法正确的是(　　)
A．圆锥母线与轴线的夹角θ＝45°
B．圆锥母线与轴线的夹角θ＝53°
C．细线的长度为 m
D．细线的长度为 m
答案：BD
解析：由图可知，当ω2＝0时，绳子拉力为F＝ N，此时小球处于静止状态，根据受力平衡可得F＝mg cos θ，解得cos θ＝，所以θ＝53°，A错误，B正确；当ω2＞5(rad/s2)时，小球离开圆锥接触面，设此时圆锥母线与轴线的夹角为α，根据牛顿第二定律F sin θ＝mω2L sin θ，整理可得F＝mLω2，此时F-ω2图像的斜率为k＝＝mL，解得L＝ m，C错误，D正确．
29．(12分)(2025·河北保定模拟)如图所示，一轻杆制成的竖直直角支架，水平杆上A、B两端点用两根不可伸长的轻细绳BC、AC 分别与质量为m＝0.1 kg的小球连接，小球可视为质点，A、B 两端点的间距为R＝0.525 m，轻细绳BC长为l＝1.125 m，整个装置可绕竖直杆做匀速圆周运动，三角形ABC 始终在竖直平面内．当两轻细绳都拉直时，轻细绳AC与竖直方向夹角为53°，水平杆AB与轻细绳BC 的夹角为127°，g＝10 m/s2.
(1)若两轻细绳始终伸直，求小球角速度的取值范围；
(2)当小球角速度ω＝3 rad/s时，求两轻细绳张力的大小．(结果均保留两位有效数字)
答案：(1)2.5 rad/s≤ω≤3.3 rad/s　(2)0.54 N　0.94 N
解析：(1)两轻细绳始终伸直时，小球做圆周运动的半径为 r＝R＋l sin (127°－90°)
解得r＝1.2 m.
AC间绳的拉力恰为零时，小球的角速度为ω1，由牛顿第二定律得
mg tan 37°＝
解得ω1＝2.5 rad/s
BC间绳的拉力恰为零时，小球的角速度为ω2，由牛顿第二定律得
mg tan 53°＝
解得ω2＝ rad/s≈3.3 rad/s
要使两绳都伸直，小球角速度的范围为2.5 rad/s≤ω≤3.3 rad/s.
(2)当ω＝3 rad/s时，两绳都张紧，设轻细绳BC 的拉力为F1，轻细绳AC的拉力为F2.
在竖直方向，有F1cos 37°＋F2sin 37°＝mg
在水平方向，有F2cos 37°＋F1sin 37°＝mrω2
联立解得F1＝0.54 N，F2＝0.94 N．

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