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第3讲　随机变量及其分布
1.(多选)(2024·新课标Ⅰ卷，T9)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(s2)，则(　　)(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
答案　BC
解析　依题可知=2.1，s2=0.01，
所以Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误；
因为X~N(1.8，0.12)，
所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7，
所以B正确，A错误.
2.(2025·全国Ⅰ卷，T14)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=　　　　.
答案　
解析　方法一　依题意，X的可能取值为1，2，3，
总的抽取方法数为53=125，
其中X=1表示3次抽取同一标号的球，选择球的标号有5种方式，
故P(X=1)==；
X=2表示恰好两种不同标号的球被取出(即一球出现2次，另一球出现1次)，
选择出现2次的球有5种方式，选择出现1次的球有4种方式，
其中出现1次的球第几次被取出有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60(种)，
故P(X=2)==；
X=3表示三种不同标号的球被取出，
可能情况有5×4×3=60(种)，
故P(X=3)==
所以E(X)=1×+2×+3×=.
方法二　依题意，假设随机变量Xi，其中i=1，2，3，4，5，
其中
Xi=
则X=Xi，
易知所有E(Xi)相等，
则E(X)=E(Xi)=E(Xi)=5E(Xi)，
由题意可知，i号球在单次抽取中未被取出的概率为
由于每次抽取相互独立，则3次均未取出i号球的概率为P(Xi=0)==
因此i号球至少被取出1次的概率为P(Xi=1)=1-=
故E(Xi)=
所以E(X)=5E(Xi)=5×=.
3.(2025·天津，T13)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为　　　　；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)=　　　.
答案　0.6　3.2
解析　设小桐一周跑11圈为事件A，第一次跑5圈为事件B，第二次跑5圈为事件C，
则P(A)=P(B)P(|B)+P()P(C|)=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6；
设运动量达标为事件D，则P(D)=P(A)+P()P(|)=0.6+0.5×0.4=0.8，
所以X~B(4，0.8)，E(X)=4×0.8=3.2.
命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为13~17分.
考查方向：一是求离散型随机变量的分布列及其均值与方差；二是分布列、均值与统计图表的综合应用；三是利用分布列、均值与方差进行决策或分析，此类试题的阅读量大，综合性较强.
考点一　分布列性质及应用
例1　(1)(2025·九江模拟)九江市教育局准备了9个相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等.记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)等于(　　)
A. B.4 C. D.2
答案　D
解析　∵每名教师抽到问题A的概率为=
由题意可知X~B
∴E(X)=6×=2.
(2)已知随机变量X的分布列如表所示，则D(X)等于(　　)
X a a+1
P x
A.a2 B. C. D.
答案　C
解析　因为+x=1，所以x=
由题意得，E(X)=a+(a+1)=a+
所以D(X)=+=.
[规律方法]　分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
跟踪演练1　(1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=3
C.D(X)= D.D(3X+2)=4
答案　ABC
解析　随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=
所以P(X=1)=
所以E(X)=D(X)=.
对于A，P(X=1)=E(X)，故A正确；
对于B，E(3X+2)=3E(X)+2=3，故B正确；
对于C，D(X)=故C正确；
对于D，D(3X+2)=9D(X)=9×=2，故D不正确.
(2)已知随机变量X的分布列如表，若E(X)=4，则a=　　　.
X 2 3 5
P a b 2b-a
答案　
解析　因为E(X)=4，
可得解得
考点二　随机变量的分布列
考向1　超几何分布
例2　(2025·济宁模拟)为了解高三1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛(满分100分)，成绩如下：
数据Ⅰ(高三1班)：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；
数据Ⅱ(高三2班)：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95.
(1)求数据Ⅰ(高三1班)的第80百分位数；
(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自高三2班的学生人数为X，求X的分布列和均值.
解　(1)将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，
因为10×80%=8，所以数据Ⅰ的第80百分位数为=89.
(2)数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分；
数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；
即符合题意的学生共6人，其中高三1班有2人，高三2班有4人.
可知X的所有可能取值为1，2，3，
则P(X=1)===
P(X=2)===
P(X=3)===
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×+2×+3×=2.
考向2　二项分布
例3　为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如表.
分数段 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 1 2 2 8 3 3 1
规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀.
(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生的成绩恰好都是优秀的概率；
(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、数学期望与方差.
解　(1)记从20名学生中抽取的2名学生的成绩恰好都是优秀为事件A，则P(A)===.
(2)由题意可知，抽到1名成绩为优秀的学生的概率为=X的可能取值为0，1，2.
则P(X=0)=×=
P(X=1)=×=
P(X=2)=×=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
方法一　E(X)=0×+1×+2×=.
方法二　E(X)=2×=.
方法一　D(X)=×+×+×=.
方法二　D(X)=2××=.
方法三　D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0×+1×+22×-=.
[规律方法]　求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.
跟踪演练2　某地为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动中的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
(2)“单板滑雪”的参与人数超过45的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和均值；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中，小明同学每个动作达到“优秀”的概率均为每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的均值达到不少于5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
解　(1)记“从10所学校中随机选取3所学校参与‘自由式滑雪’都超过40人”为事件A，参与“自由式滑雪”的人数超过40的学校共4所，
所以P(A)===.
(2)“单板滑雪”的参与人数在45以上的学校共4所，X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以P(X=0)===
P(X=1)===
P(X=2)===
P(X=3)===
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=+2×+3×=.
(3)记“小明同学在一轮测试中获得优秀”为事件B，
则P(B)=×+=
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布B
由题意得n≥5，得n≥
因为n∈N*，所以n的最小值为20，故至少要进行20轮测试.
考点三　正态分布
例4　(1)(2025·华大新高考联盟质检)已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100，16).现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在(96，112)和(92，108)的概率约为(结果保留小数点后两位，参考数据：若X服从正态分布(μ，σ2)，则P(μ-σA.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.84
答案　C
解析　P(96P(92故所求概率P≈0.84×0.954 5=0.801 78≈0.80.
(2)(多选)(2025·豫西模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　)
A.P(X>32)>P(Y>32)
B.P(X≤36)=P(Y≤36)
C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
答案　BCD
解析　由条件可知X~N(30，62)，Y~N(34，22)，根据正态曲线的对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A错误；
P(X≤36)=P(X≤30+6)， P(Y≤36)=P(Y≤34+2)，所以P(X≤36)=P(Y≤36)，故B正确；
P(X≤34)>0.5=P(Y≤34)，所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正确；
P(X≤40)[规律方法]　利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)P(X(3)P(a跟踪演练3　(2025·湖南名校联合体模拟)在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为ξ(单位：m，下同)，且ξ~N(2，0.012).
(1)若出产这样的成品圆钢10 000根，试估计长度在[1.97，2.03]内的圆钢根数；
(2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间[1.98，1.99)，另一根的长度在区间[2，2.02]内的概率(精确到0.01).
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解　(1)由已知得μ=2，σ=0.01，
所以P(1.97≤ξ≤2.03)=P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3，
所以长度在[1.97，2.03]内的圆钢根数约为10 000×0.997 3=9 973.
(2)圆钢的长度在区间[1.98，1.99)的概率P1=P(1.98≤ξ<1.99)=P(μ-2σ≤ξ<μ-σ)
=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈0.135 9，
圆钢的长度在区间[2，2.02]内的概率
P2=P(2≤ξ≤2.02)=P(μ≤ξ≤μ+2σ)=P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.477 25，
因此这两根圆钢其中一根的长度在区间[1.98，1.99)，另一根的长度在区间[2，2.02]内的概率约为
P=2P1P2≈2×0.135 9×0.477 25≈0.13.
专题突破练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·湖南名校联考)甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的试验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为(　　)
A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.96
答案　B
解析　根据题意可得命中次数X服从二项分布，即X~B(6，p)，
可得均值为E(X)=6p=2.4，解得p=0.4，
所以X的方差为D(X)=6×0.4×(1-0.4)=1.44.
2.一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　根据题意，恰有1个不合格品的概率为P==.
3.随机变量X的分布列如表所示，若随机变量Y=2X-1，则随机变量Y的数学期望E(Y)等于(　　)
X 0 1 2
P a
A. B. C.1 D.
答案　A
解析　由题意a=1--=故E(X)=0×+1×+2×=
而Y=2X-1，从而E(Y)=2E(X)-1=2×-1=.
4.(2025·南充模拟)某市20 000名学生参加一次数学测试(满分150分)，学生的测试成绩X近似服从正态分布N(100，102)，则测试成绩在[90，100]内的学生人数约为(　　)
附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
A.2 717 B.2 718
C.6 827 D.9 545
答案　C
解析　因为P(90≤X≤100) =P(μ-σ≤X≤μ) =P(μ-σ≤X≤μ+σ) ≈×0.682 7 =0.341 35.
所以测试成绩在[90，100]内的学生人数约为20 000×0.341 35=6 827.
5.袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.8
答案　C
解析　X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
则E(X)=×0+×1+×2+×3=2，
所以E(Y)=2E(X)+1=5.
6.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，
设质点向右移动k次，向左移动5-k次.
∴最终位置为x=k+(5-k)×(-1)=2k-5，
∴|x-1|≤1，解得0≤x≤2，
∴0≤2k-5≤2，解得≤k≤
∵k为正整数，∴k=3，
∴质点向右移动3次，向左移动5-3=2(次)，
∴该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率为
P=××=10××=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·渭南质检)下列说法正确的是(　　)
A.数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12
B.数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7
C.若随机变量X~B(10，p)，且E(X)=8，则D(X)=1.6
D.若随机变量Y~N(10，σ2)，且P(Y<6)=0.3，则P(6答案　ACD
解析　对于A，这8个数的平均数为=12，故A正确；
对于B，由10×30%=3可知，这10个数据的第30百分位数为=7.5，故B错误；
对于C，因为X~B(10，p)， 所以由E(X)=8得10p=8，即p=0.8，
因此D(X)=10×0.8×(1-0.8)=1.6，故C正确；
对于D，因为Y~N(10，σ2)，P(Y<6)=0.3，
所以P(6因此P(68.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 4 5
P 0.2 0.35 m 0.3
下列结论正确的是(　　)
A.m=0.15 B.E(X)=2.5
C.E(2X)=6 D.D(X)=2
答案　AC
解析　由题意有0.2+0.35+m+0.3=1 m=0.15，故A正确；
由E(X)=1×0.2+2×0.35+4×0.15+5×0.3=3，故B错误；
E(2X)=2E(X)=2×3=6，故C正确；
由D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.35+(4-3)2×0.15+(5-3)2×0.3=2.5，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.则事件“X=4且甲获胜”的概率为　　　　.
答案　0.1
解析　由题意可知，P(X=4)包含的事件为“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，
所以P(X=4)=0.5×0.6×0.5×0.4+0.5×0.4×0.5×0.4=0.1.
10.已知离散型随机变量ξ的分布列如表.
ξ -1 0 1
P a b
记“函数f(x)=3sin(x∈R)是偶函数”为事件A，则P(A)=　　　　.
答案　
解析　因为f(x)是偶函数，所以=kπ+(k∈Z)，
故ξ=2k+1(k∈Z).
又因为ξ=-1，0，1，所以ξ=±1，
故P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=-1)=a+b=1-=.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·金华十校模拟)有A，B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金x元.
(1)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率；(4分)
(2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求使得张某先猜A谜语和先猜B谜语所获得的奖金期望相同的x的值.(9分)
解　(1)设张某仅猜对其中一道谜语为事件M，猜对A谜语为事件A，猜对B谜语为事件B，
则P(M)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8×0.5+0.2×0.5=0.5.
(2)设张某先猜A谜语获得的奖金为ξ1元，先猜B谜语获得的奖金为ξ2元，
则ξ1的可能取值是0，10，10+x，ξ2的可能取值是0，x，10+x，
P(ξ1=0)=0.2，P(ξ1=10)=0.8×0.5=0.4，
P(ξ1=10+x)=0.8×0.5=0.4，
所以E(ξ1)=0×0.2+10×0.4+(10+x)×0.4=0.4x+8；
P(ξ2=0)=0.5，P(ξ2=x)=0.5×0.2=0.1，
P(ξ2=10+x)=0.5×0.8=0.4，
所以E(ξ2)=0×0.5+0.1x+(10+x)×0.4=0.5x+4.
由E(ξ1)=E(ξ2)得0.4x+8=0.5x+4，解得x=40.
12.(15分)(2025·聊城模拟)四名同学约好周末一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目.
(1)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率；(6分)
(2)用X，Y分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列及均值.(9分)
解　(1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲项目的概率为=参加乙项目的概率为1-=
设“这4个人中恰有k人去参加甲项目”为事件Ak(k=0，1，2，3，4).
则P(Ak)=··
故这4个人中恰有2人去参加甲项目的概率为P(A2)=··=.
(2)当X=0，Y=4或X=4，Y=0时，ξ==4，
当X=1，Y=3或X=3，Y=1时，ξ==2，
当X=2，Y=2时，ξ==0，
故ξ的所有可能取值为0，2，4.
由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ=0)=P(A2)=
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=×+×=
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=+=.
所以ξ的分布列是
ξ 0 2 4
P
所以E(ξ)=0×+2×+4×=.第3讲　随机变量及其分布
1.(多选)(2024·新课标Ⅰ卷，T9)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(s2)，则(　　)(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
2.(2025·全国Ⅰ卷，T14)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=　　　　.
3.(2025·天津，T13)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为　　　　；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)=　　　.
命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为13~17分.
考查方向：一是求离散型随机变量的分布列及其均值与方差；二是分布列、均值与统计图表的综合应用；三是利用分布列、均值与方差进行决策或分析，此类试题的阅读量大，综合性较强.
考点一　分布列性质及应用
例1　(1)(2025·九江模拟)九江市教育局准备了9个相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等.记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)等于(　　)
A. B.4 C. D.2
(2)已知随机变量X的分布列如表所示，则D(X)等于(　　)
X a a+1
P x
A.a2 B. C. D.
[规律方法]　分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
跟踪演练1　(1)(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=3
C.D(X)= D.D(3X+2)=4
(2)已知随机变量X的分布列如表，若E(X)=4，则a=　　　.
X 2 3 5
P a b 2b-a
考点二　随机变量的分布列
考向1　超几何分布
例2　(2025·济宁模拟)为了解高三1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛(满分100分)，成绩如下：
数据Ⅰ(高三1班)：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；
数据Ⅱ(高三2班)：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95.
(1)求数据Ⅰ(高三1班)的第80百分位数；
(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自高三2班的学生人数为X，求X的分布列和均值.
考向2　二项分布
例3　为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如表.
分数段 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 1 2 2 8 3 3 1
规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀.
(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生的成绩恰好都是优秀的概率；
(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、数学期望与方差.
[规律方法]　求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.
跟踪演练2　某地为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动中的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
(2)“单板滑雪”的参与人数超过45的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和均值；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中，小明同学每个动作达到“优秀”的概率均为每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的均值达到不少于5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
考点三　正态分布
例4　(1)(2025·华大新高考联盟质检)已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100，16).现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在(96，112)和(92，108)的概率约为(结果保留小数点后两位，参考数据：若X服从正态分布(μ，σ2)，则P(μ-σA.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.84
(2)(多选)(2025·豫西模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　)
A.P(X>32)>P(Y>32)
B.P(X≤36)=P(Y≤36)
C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
[规律方法]　利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)P(X(3)P(a跟踪演练3　(2025·湖南名校联合体模拟)在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为ξ(单位：m，下同)，且ξ~N(2，0.012).
(1)若出产这样的成品圆钢10 000根，试估计长度在[1.97，2.03]内的圆钢根数；
(2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间[1.98，1.99)，另一根的长度在区间[2，2.02]内的概率(精确到0.01).
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
专题突破练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·湖南名校联考)甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的试验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为(　　)
A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.96
2.一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.随机变量X的分布列如表所示，若随机变量Y=2X-1，则随机变量Y的数学期望E(Y)等于(　　)
X 0 1 2
P a
A. B. C.1 D.
4.(2025·南充模拟)某市20 000名学生参加一次数学测试(满分150分)，学生的测试成绩X近似服从正态分布N(100，102)，则测试成绩在[90，100]内的学生人数约为(　　)
附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
A.2 717 B.2 718
C.6 827 D.9 545
5.袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.8
6.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·渭南质检)下列说法正确的是(　　)
A.数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12
B.数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7
C.若随机变量X~B(10，p)，且E(X)=8，则D(X)=1.6
D.若随机变量Y~N(10，σ2)，且P(Y<6)=0.3，则P(68.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 4 5
P 0.2 0.35 m 0.3
下列结论正确的是(　　)
A.m=0.15 B.E(X)=2.5
C.E(2X)=6 D.D(X)=2
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.则事件“X=4且甲获胜”的概率为　　　　.
10.已知离散型随机变量ξ的分布列如表.
ξ -1 0 1
P a b
记“函数f(x)=3sin(x∈R)是偶函数”为事件A，则P(A)=　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·金华十校模拟)有A，B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金x元.
(1)猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率；(4分)
(2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求使得张某先猜A谜语和先猜B谜语所获得的奖金期望相同的x的值.(9分)
12.(15分)(2025·聊城模拟)四名同学约好周末一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目.
(1)求这4个人中恰有2人参加甲项目的概率；(6分)
(2)用X，Y分别表示这4个人中参加甲、乙项目的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列及均值.(9分)

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