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第6讲　电场
考点一　电场的性质
1.描述电场的物理量
2.计算电场强度常用的方法：公式法、平衡条件求解、叠加合成法、对称法、补偿法、等效法。
3.电势高低的判断
(1)利用电场线方向判断：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)公式法：①φ=；②点电荷中的电势φ=。
(3)利用电势差的正负判断：根据UAB=，将WAB、q的正负号代入，UAB>0，则φA>φB；UAB<0，则φA<φB。
4.电势能大小的判断
(1)做功判断法：由WAB=EpA-EpB可知，静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。
(2)电荷电势法：由Ep=qφ可知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。
(3)能量守恒法：若只有静电力做功，电荷的动能和电势能之和守恒，动能增大时，电势能减小，动能减小时，电势能增大。
5.电场强度矢量的叠加　电势标量的叠加
(1)电场强度矢量的叠加：电场强度是矢量，遵循平行四边形定则；
(2)电势标量的叠加：某点电荷Q在距离该电荷r处的电势φ=；多个电荷共同激发的电场中，某点的电势等于各个电荷单独在该点激发的电势的代数和。
如图所示，EP=2EAcos θ=cos θ，φP=-=0。
6.电场中的功能关系
(1)WG=-ΔEp重
(2)W电=-ΔEp电
(3)W合=ΔEk
(4)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。
(5)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
例1　(2025·云南卷·4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
答案　C
解析　根据等势面越密集处电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故A、B错误；一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc=-eUbc=2 eV，故C正确；一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad=-eUad=4 eV，由于电场力做正功，电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4 eV，故D错误。
例2　(2025·黑吉辽蒙卷·7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A.EkAC.EkA答案　C
解析　由题意可得在A点，弹簧伸长量为r，在B点和C点，弹簧压缩量为r，即三个位置弹簧弹性势能相等，则由A到B过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加，EkB>EkA；由B到C过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小，EkB>EkC；由A到C全过程则有qElAB-mglBC=EkC-EkA，因lAB==2r，lBC=2r，qE=mg，故EkC>EkA。因此EkB>EkC>EkA，故选C。
例3　(多选)(2025·山东卷·11)球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为+2q和+q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC=45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A.甲的质量小于乙的质量
B.C点电势高于D点电势
C.E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D.沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
答案　BD
解析　方法一　力矩平衡法
对甲、乙两小球整体受力分析如图所示，
甲、乙小球分别受重力、支持力、库仑力作用保持平衡，选O点为转轴，由图可知∠BOG>∠AOG，则L1G乙，m甲>m乙，A错误；
方法二　正弦定理法　由A、B两点间距离为R，可得2Rsin =R，故AB圆弧所对的圆心角θ=120°；对小球甲、乙分别受力分析，如图所示，由正弦定理可得=，=，由于FBA=FAB，可得m甲>m乙，故甲的质量大于乙的质量，A错误；将带正电的试探电荷由C点沿圆弧移至D点，静电力一直对其做正功，试探电荷的电势能一直减小，故电势一直减小，所以C点电势高于D点电势，B正确；由电场强度叠加原理可得，E点处的电场强度大小EE=-=，方向由A指向B；F点处的电场强度大小EF=-=，方向由B指向A，C错误；电势是标量，φ=k，OD与AB线段的交点距离两带电小球最近，所以该点电势最高，那么沿直线从O点到D点，电势先升高后降低，D正确。
考点二 电场中的图像问题
电场中几种常见的图像
v-t图像 从v-t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，只受静电力时可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向和大小、电势高低及电势能的变化情况
φ-x图像 (1)从φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，进而确定电场强度的方向 (2)φ-x图线的切线的斜率大小表示沿x轴方向电场强度E的大小
E-x图像 以电场强度沿x轴方向为例： (1)E>0表示电场强度沿x轴正方向，E<0表示电场强度沿x轴负方向，根据电场方向可判定电势高低 (2)图线与x轴围成的“面积”大小表示电势差大小
Ep-x 图像 (1)图线的切线斜率大小表示静电力大小 (2)可用于判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
例4　(多选)(2024·天津卷·8)某静电场在x轴正半轴的电势φ随x变化的图像如图所示，a、b、c、d为x轴上四个点。一负电荷仅在静电力作用下，以一定初速度从d点开始沿x轴负方向运动到a点，则该电荷(　　)
A.在b点电势能最小
B.在c点时速度最小
C.所受静电力始终做负功
D.在a点受静电力沿x轴负方向
答案　BD
解析　根据题意，由公式Ep=φq可知，负电荷在高电势位置的电势能较小，由题图可知，a点的电势最大，则负电荷在a点电势能最小，同理可知，c点的电势最小，则在c点时电势能最大，电荷仅在电场力作用下，电荷的电势能和动能之和不变，可知，电势能最大时，动能最小，则在c点时，电荷的动能最小，即速度最小，故A错误，B正确；根据沿电场线方向电势逐渐降低，结合题图可知，c点左侧电场方
向沿x轴正方向，c点右侧电场方向沿x轴负方向，可知，c点右侧负电荷受沿x轴正方向的电场力，c点左侧负电荷受沿x轴负方向的电场力，可知，在a点受静电力沿x轴负方向，从d点开始沿x轴负方向运动到a点，电场力先做负功再做正功，故C错误，D正确。
例5　(2025·黑龙江齐齐哈尔市一模)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A.从O点到C点，电势先升高后降低
B.粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C.粒子运动到C点时动能大于3Ek
D.粒子在AB段电势能减少量小于BC段电势能减少量
答案　C
解析　从O点到C点，电场强度方向保持不变，由于开始电场强度方向沿x轴正方向，沿电场线方向电势逐渐降低，则从O点到C点，电势逐渐降低，A错误；由题图可知电场强度先增大后减小，则静电力也是先增大后减小，所以粒子的加速度先增大后减小，一直做变加速运动，B错误；图线与横轴所围的面积表示电势差，则有UOC>3UOA，由动能定理有qUOA=Ek，qUOC=EkC，可得EkC>3Ek，所以粒子运动到C点时动能大于3Ek，C正确；粒子在AB段图线与横轴所围的面积大于BC段图线与横轴所围的面积，则UAB>UBC，所以粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，D错误。
考点三　带电粒子(带电体)在电场中运动
1.带电粒子(带电体)在电场中运动时重力的处理
基本粒子一般不考虑重力，带电体(如液滴、油滴、尘埃等)一般不能忽略重力，除有说明或明确的暗示外。
2.带电粒子在电场中的常见运动及分析方法
常见运动 受力特点 分析方法
变速直线运动 合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上 1.动力学观点：a=，E=，v2-=2ad，适用于匀强电场 2.功能观点：W=qU=mv2-m，匀强和非匀强电场都适用
带电粒子在匀强电场中的偏转 进入电场时v0⊥E，粒子做类平抛运动 运动的分解 偏转角：tan θ==== 侧移距离：y0==，y=y0+Ltan θ=(+L)tan θ
粒子斜射入电场，粒子做类斜抛运动 运动的分解 垂直电场方向做匀速直线运动：x=v0tsin θ 沿电场方向做匀变速直线运动：y=v0tcos θ-t2
　　　　　　　　　　　　　　　　
3.带电体在电场和重力场叠加场中的运动
常见运动 受力特点 分析方法
匀变速直线运动：进入叠加场时v0与F合在同一直线上 等效重力mg'=F合 等效重力加速度g'= 如图 动力学方法、功能关系、能量守恒
类平(斜)抛运动：进入叠加场时v0与F合有一定夹角 运动的分解： 垂直F合方向的匀速直线运动，沿F合方向的匀变速直线运动
在绳或轨道约束下的圆周运动 通过圆心作合力的平行线，找等效最高点或等效最低点 牛顿第二定律、功能关系、能量守恒
例6　(2025·河南省九师联盟质量监测)如图所示，平行边界A、B间有垂直于边界向右的匀强电场Ⅰ，平行边界B、C间有方向与边界成45°角斜向右下方的匀强电场Ⅱ，边界A上有一粒子源P，可以在纸面内向电场Ⅰ内各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，平行边界向下射出的粒子经电场Ⅰ偏转后，进入电场Ⅱ，在电场Ⅱ中做直线运动，平行边界向上射出的粒子，经电场Ⅰ、Ⅱ偏转，恰好垂直边界C射出。已知电场Ⅰ的电场强度为E，A、B间距为L，B、C间距为2L，不计粒子的重力和粒子间的作用力，求：
(1)所有粒子进电场Ⅱ时的速度大小；
(2)电场Ⅱ的电场强度的大小；
(3)边界C上有粒子射出区域的长度。
答案　(1)2　(2)E　(3)L
解析　(1)根据题意可知，平行边界向下射出的粒子出电场Ⅰ时，速度偏向角为45°，出电场Ⅰ时，沿电场Ⅰ方向的速度v1=
根据牛顿第二定律qE=ma
粒子出电场Ⅰ时的速度v=v1
解得v=2
根据动能定理可知，所有粒子进电场Ⅱ时的速度大小相同，都等于2。
(2)平行边界向上射出的粒子在电场Ⅰ中的速度偏向角也为45°，进电场Ⅱ时速度方向恰好与电场Ⅱ的电场强度垂直，此粒子在电场Ⅱ中做类平抛运动，设电场Ⅱ的电场强度大小为E'，则粒子在电场Ⅱ中的加速度大小为a'=
将粒子在电场Ⅱ中的运动沿电场方向和垂直电场方向分解，则x=vt，y=a't2
由于此粒子在电场Ⅱ中的偏向角为45°，因此有y=x
根据几何关系有x+y=2L
解得E'=E
(3)由(1)可知，粒子在P点射出的初速度大小为v0=v1=
由于沿平行边界射出的粒子出电场Ⅰ时速度的偏向角为45°，由此分析可知边界B上有粒子通过的区域长度为s1=4L
则在边界C上有粒子射出的区域长度s2=s1+2L+(x-y)
由(2)可知x=L，y=L
解得s2=L。
例7　(2025·云南昭通市检测)如图甲所示为一种“自动旋转电玩小球”玩具模型的简化图。内侧半径为R的光滑绝缘轨道竖直固定放置，轨道内部存在与轨道平面平行的匀强电场(方向未知)。轨道内侧有一质量为m，带电量为q(q>0)的五彩小球从轨道最低点P以某一初速度启动，在轨道平面内沿逆时针方向恰好能做完整的圆周运动。运动过程中，小球与轨道圆心O的连线与OP方向的夹角记为θ，乙图所示为小球在运动过程中的电势能Ep随角度θ的变化情况，已知重力加速度为g，则(　　)
A.匀强电场的方向水平向右
B.电场强度的大小为
C.小球运动过程中动能的最小值为mgR
D.小球运动过程中对轨道压力的最大值为(3+3)mg
答案　C
解析　如图所示，设M、N分别为圆环上与圆心O等高的两点，根据题图乙，当θ=0和θ=π时，小球的电势能均为0，则P、Q两点的连线为等势线，当θ=时，小球运动到N点，电势能EpN=mgR，当θ=时，小球运动到M点，电势能EpM=-mgR，综上所得，电场线的方向由N指向M，即水平向左，A错误；小球从N点运动到M点，由动能定理得Eq·2R=mgR-(-mgR)，解得E=，B错误；小球所受静电力F=Eq=mg，则小球所受合力，即小球在圆环内受到的等效重力为mg，方向与MN成45°角斜向左下，根据题意，小球运动到等效最高点时动能最小，由牛顿第二定律得mg=m，解得m=mgR，即Ekmin=mgR，C正确；当小球运动到等效最低点时对轨道的压力最大，小球从等效最高点到等效最低点的过程，根据动能定理得mg·2R=m-m，小球在等效最低点时，根据牛顿第二定律得FN-mg=m，联立解得FN=6mg，由牛顿第三定律有对轨道压力的最大值为6mg，D错误。
从重力场到等效重力场
重力场 等效重力场 (等效重力为mg')
恰好做完整圆周运动
从某一位置脱离轨道
圆锥摆
单摆
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.等效替换法
等效替换法是把陌生、复杂的物理现象、物理过程在保证某种效果、特性或关系不变的前提下，转化为简单、熟悉的物理现象、物理过程来研究，从而认识研究对象本质和规律的一种思想方法。等效替换法广泛应用于物理问题的研究中，如：力的合成与分解、运动的合成与分解、等效场、电场叠加中等效替换、等效电源、变压器问题中的等效电阻等。
2.对称法
对称法就是利用物理现象、物理过程具有对称性的特点来分析解决物理问题的方法。常见的应用：①运动的对称性，如竖直上抛运动中物体向上、向下运动的两过程中同位置处速度大小相等、加速度相等；②结构的对称性，如均匀带电的圆环，在其圆心处产生的电场强度为零；③几何关系的对称性，如粒子从某一直线边界垂直磁感线射入匀强磁场，再从同一边界射出匀强磁场时，速度与边界的夹角相
等；④场的对称性，等量同种、异种点电荷形成的场具有对称性；电流周围的磁场，条形磁体和通电螺线管周围的磁场等都具有对称性。
示例1　(多选)(2025·湖北卷·10)如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度(　　)
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2cos 54°+cos 18°)
答案　AD
解析　将五个点电荷等效成(q，-q)、(2q，-2q)这两组等量异种点电荷，如图所示，O点恰好在两组等量异种点电荷的中垂线上，则O点处电场强度的方向为沿x轴负方向，故A正确，B错误；五个点电荷与O点距离均为R，则E0=，由几何关系结合矢量合成法则，可知O点电场强度大小为E=2×2E0cos 54°+2E0cos 18°=2(2cos 54°+cos 18°)，故C错误，D正确。
3.类比法
将两个(或两类)研究对象进行对比，分析它们的相同或相似之处、相互的联系或所遵循的规律，然后根据它们在某些方面有相同或相似的属性，进一步推断它们在其他方面也可能有相同或相似的属性的一种思维方法，在处理一些物理背景很新颖的题目时，可以尝试使用这种方法。比如：恒力作用下或电场与重力场的叠加场中的类平抛问题、类斜抛问题，可直接类比使用平抛、斜抛相关结论。带电粒子绕电荷做椭圆运动类比卫星绕天体做椭圆运动(可利用开普勒定律求解相关问题)；声线类比光线等。
示例2　如图所示，光滑绝缘水平面上的O点固定一带正电的点电荷M，电荷量为Q；点电荷N的电荷量为-q(q>0)。图甲中N绕着M做半径r=a的圆周运动，运动周期为T；
图乙中点电荷N以M为焦点沿椭圆轨道运动。A、B分别为点电荷N距离点电荷M最近和最远点；OA=a、OB=3a，若取无穷远处电势为零，图甲和图乙两种电荷系统的电势能和动能之和分别为E甲和E乙，则点电荷N在从A点第一次运动到B点的过程中(　　)
A.在A点的电势能大于在B点的电势能
B.E甲大于E乙
C.vA=4vB
D.点电荷N从A点第一次运动到B点所用时间为T
答案　D
解析　由静电力做功与电势能的关系可得，点电荷N在A点的电势能小于在B点的电势能，故A错误；题图乙点电荷N运动到A点时，其动能比题图甲中的点电荷N动能大，而此位置甲、乙两图电荷系统的相对位置相同，所以电势能相同，两系统电势能和动能之和守恒，所以E乙>E甲，故B错误；类比开普勒第二定律(vA·Δt)a=(vB·Δt)3a，可得vA=3vB，故C错误；类比开普勒第三定律=，可得T乙=2T，点电荷N从A点第一次运动到B点所用时间t==T，故D正确。
专题强化练
[1选择题]　[分值：54分]
　　　　　　　　　　　　　　　　
[1~6题，每题4分，7~11题，每题6分]
[保分基础练]
1.(2025·广西卷·4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内两片金属箔张开，稳定后如图所示。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A.a B.b C.c D.d
答案　D
解析　b、c两点分别在金属外壳内部和金属杆的内部，处于静电场中的导体，内部的合电场强度为零，则两点的电场强度均为零。在金属箔上的最下端电荷分布比金属球上更密集，且d点距离金箔的下端较近，可知d点的电场强度比a点大，则电场强度最强的是d点，故选D。
2.(2025·甘肃卷·5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点，速度增大
D.负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
答案　D
解析　M、N两点电势相等，电场线由上到下，N、P在同一电场线上，沿电场线方向电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，故M点电势高于P点，选项A错误；M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，选项B错误；负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，选项C错误，D正确。
3.(2025·陕西商洛市模拟)如图甲所示，某计算机键盘的每个按键下方是由间距为d的水平活动金属片和固定金属片组成的电容式传感器，相关电路如图乙所示。若开始时两金属片间的P点有一静止的带电尘埃，现轻按按键A，两金属片的间距减小了d，则下列说法正确的是(　　)
A.电容器的电容变为原来的
B.两金属片间电场的电场强度大小变为原来的4倍
C.P点的电势变为原来的倍
D.该尘埃在P点的电势能比原来的大
答案　C
解析　根据C=，当两金属片的间距减小了d，解得==，即电容器的电容变为原来的倍，故A错误；两金属片一直与电源相连，电压U保持不变，根据E=，解得==，即两金属片间电场的电场强度大小变为原来的倍，故B错误；设P点到固定金属片的距离为d1，则P点原来的电势φP0=d1，当两金属片的间距减小了d时，P点的电势φP=·d1=φP0，故C正确；金属片间的电场强度方向向下，根据平衡条件可知，尘埃受到的电场力方向竖直向上，可知尘埃带负电，电荷量q<0，结合上述可知，P点的电势增大，根据Ep=qφ可知，该尘埃在P点的电势能比原来的小，故D错误。
4.(2024·贵州卷·7)如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于 (　　)
A. B. C. D.2
答案　B
解析　根据题意可知两电荷为异种电荷，假设qA为正电荷，qB为负电荷，两电荷在C点的电场强度如图，设圆的半径为r，根据几何知识可得rAC=r，rBC=r，tan 60°=，同时有EA=，EB=，联立解得=，故选B。
5.(多选)(2025·湖南卷·8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
答案　AD
解析　根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为φO=，φA=-，φB=，故OA中点的电势为φ'==0，故A正确；在OA线段上找出与B点等势的点M，可知xOM=d，BM连线为等势线，与BM连线垂直的线为电场线，如图所示，根据几何关系可知，电场线沿电场方向与x轴夹角的正切值tan θ=1，即θ=45°，根据电场强度与电势差的关系，可知，E==，B、C错误，D正确。
6.(2025·云南昆明市模拟)在如图所示的空间直角坐标系中，一不计重力且带正电的粒子从坐标为(L，0，L)处以某一初速度平行y轴正方向射出，经时间t，粒子前进的距离为L，在该空间加上匀强电场，粒子仍从同一位置以相同的速度射出，经相同时间t后恰好运动到坐标原点O，已知粒子的比荷为k，则该匀强电场的场强大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设沿xyz轴方向的加速度分别为ax、ay、az，则L=axt2，0=v0t-ayt2，L=azt2，不加电场时有L=v0t，则F=Eq=m，联立解得E=，故选A。
[争分提能练]
7.(2025·重庆卷·5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　)
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K所用时间之比为1∶2
答案　D
解析　根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿题图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由题图可知，沿初速度方向位移之比为2∶1，则初速度之比为2∶1，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1，则所用时间之比为1∶2，故D正确；沿电场方向的位移大小相等，由y=at2可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有qE=ma，可得=，可知带电粒子具有相同比荷，故A错误；带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误；沿电场方向，由公式vy=at可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为2∶1，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误。
8.(多选)(2023·山东卷·11)如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O'，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是(　　)
A.F'点与C'点的电场强度大小相等
B.B'点与E'点的电场强度方向相同
C.A'点与F'点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D.将试探电荷+q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
答案　ACD
解析　如图所示，由几何关系可知A点处正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，在F点的合场强和OF的夹角为钝角，因此将试探电荷+q从F移到O点过程中静电力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，D正确；由等量异种电荷的电势分布可知φA'=φ>0，φD'=-φ<0，φO'=0，φF'>0，因此φA'-φF'=φ-φF'<φO'-φD'=φ，C正确；由等量异种电荷的对称性可知F'和C'电场强度大小相等，B'和E'电场强度方向不同，A正确，B错误。
9.(八省联考·河南·6)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(　　)
A.将在ad之间做周期性运动
B.在d点的电势能大于a点的电势能
C.在b点与c点所受电场力方向相同
D.将沿x轴负方向运动，可以到达O点
答案　A
解析　由题图可知，a、d两点电势相等，根据Ep=qφ可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误；φ-x图像切线的斜率表示电场强度，由题图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据F=qE可知在b点与c点粒子所受电场力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，运动过程中仅有电场力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能与a点的动能均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。
10.(多选)(2025·山东临沂市一模)如图，带电荷量为6Q(Q>0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的N点，其正上方L处固定一电荷量为-Q的球2，斜面上距N点L处的M点有质量m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在M点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是(　　)
A.带正电
B.运动到MN中点处时，动能最大
C.运动至N点的速度大小为2
D.运动至N点的加速度大小为2g
答案　AD
解析　由于球2对球3的作用力沿斜面方向的分力大小为F1=mgsin 30°=mg，垂直斜面方向的分力大小为F2=mgcos 30°=mg，球3所受重力沿斜面方向的分力大小为G1=mgsin 30°=mg，垂直斜面方向的分力大小为G2=mgcos 30°=mg，由于F111.(2025·甘肃卷·7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2=±Um时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时，离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子，有可能分别打在A和B点
答案　B
解析　离子在加速电场中被加速时U1q=m，在偏转电场中做类平抛运动，则l=v0t，=·t2，解得Um=U1，选项A错误；当U2=±Um时离子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，根据数学相似三角形知识，则=，解得L=，选项B正确；根据y=·t2=，若其他条件不变，增大U1，则y变小，样品的辐照范围变小，选项C错误；由题图可知t1时刻所加的电场电压小于t2时刻所加的电场的电压，则t1时刻射入的离子打到A点时的竖直位移小于t2时刻射入的离子打到B点时的竖直位移，则选项D错误。
[2计算题]　[分值：40分]
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(8分)(2025·山西太原市期末)“质子疗法”原理如图甲，横截面积相同的金属圆筒依次接在交流电源的两极M、N上，M、N两极加上如图乙所示周期性变化的电压，电压的大小为U0。直线加速器0号金属圆板中央有质子源，质子由静止飘入直线加速器，正对圆心加速6次后水平飞出。质子从P向O射入有竖直向上匀强电场的圆形区域，最终轰击到圆上的癌细胞。已知圆形区域的半径为R，质子的质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间、质子的重力及相互作用均不计。求：
(1)(3分)质子水平飞出直线加速器的速度大小v0；
(2)(5分)若癌细胞处于Q点，OQ与水平方向夹角为θ，电场强度E的大小为多少？
答案　(1)2　(2)
解析　(1)质子在直线加速器中做直线运动，根据动能定理可得6eU0=m
所以v0=2
(2)质子在圆形区域电场中做类平抛运动，有eE=ma，R+Rcos θ=v0t，Rsin θ=at2
联立解得E=
2.(10分)(2025·广东深圳市模拟)如图，整个空间有场强大小为E=3×104 V/m的匀强电场，方向水平向右。ABC为竖直面的绝缘光滑轨道，其中AB部分是水平轨道，BC部分是半径为R=0.4 m的四分之一圆弧，两段轨道相切于B点。P为水平轨道上的一点，且xPB=0.4 m，把一质量m=0.1 kg、带电荷量q=+2.5×10-5 C小球从P点由静止释放，小球将在轨道内运动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，sin 53°=0.8，求：
(1)(3分)小球到达C点时的速率；
(2)(3分)小球从P点到C点的过程中动能的最大值；
(3)(4分)小球离开C点后再次到达AB同一水平高度时与P点的距离。
答案　(1)2 m/s　(2)0.4 J　(3)1.9 m
解析　(1)设小球在C点的速度大小是vC，则对于小球由P→C的过程中，由动能定理得
qE·(R+xPB)-mgR=m-0
解得vC=2 m/s
(2)由于qE=0.75mg
设小球从B到C的过程中，沿运动轨迹切线方向合力为零时到达D点，此时合力与竖直方向的夹角θ满足
tan θ==，即θ=37°，
则小球在D点的动能最大，由动能定理有
qExPB+qERsin θ-mgR(1-cos θ)=Ekm
Ekm=0.4 J
(3)以C点为原点，设小球再次回到AB高度时到达F点，则
-R=vCt-gt2
xPF=xPB+R+·t2
解得xPF=(1.4+0.3) m≈1.9 m
3.(10分)(2025·四川卷·13)如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)(3分)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)(7分)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。
答案　(1)　(2)2
解析　(1)由牛顿第二定律qE=ma
由运动学公式=at2
联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为
t=
(2)微粒第一次到达下极板时的速度大小为
v1=at=
由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为v2，满足-=2ad
代入解得v2=
同理可得微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为v3，满足-=2a
代入解得v3=2
故微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小为p=mv3=2。
4.(12分)(2025·江苏卷·13)如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)(3分)a运动到最高点的时间t；
(2)(9分)a到达最高点时，a、b间的距离H。
答案　(1)　(2)
解析　(1)对粒子a根据牛顿第二定律有qE=ma
a运动到最高点时，在竖直方向有v0sin θ=at
联立解得t=
(2)方法一　根据题意可知，两粒子均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两粒子一直在同一竖直线上，a到达最高点时，a粒子竖直方向上运动的位移为x1==
b粒子竖直方向上运动位移为x2=v0tsin θ+at2=
则粒子a到达最高点时与粒子b之间的距离H=x1+x2=
方法二　两粒子均受到相同静电力，以粒子a为参考系，则粒子b以2v0sin θ的速度向下做匀速直线运动，a到达最高点时，a、b间的距离H=2v0sin θ·t=。第6讲　电场
考点一　电场的性质
1.描述电场的物理量
2.计算电场强度常用的方法：公式法、平衡条件求解、叠加合成法、对称法、补偿法、等效法。
3.电势高低的判断
(1)利用电场线方向判断：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)公式法：①φ=；②点电荷中的电势φ=。
(3)利用电势差的正负判断：根据UAB=，将WAB、q的正负号代入，UAB>0，则φA>φB；UAB<0，则φA<φB。
4.电势能大小的判断
(1)做功判断法：由WAB=EpA-EpB可知，静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。
(2)电荷电势法：由Ep=qφ可知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。
(3)能量守恒法：若只有静电力做功，电荷的动能和电势能之和守恒，动能增大时，电势能减小，动能减小时，电势能增大。
5.电场强度矢量的叠加　电势标量的叠加
(1)电场强度矢量的叠加：电场强度是矢量，遵循平行四边形定则；
(2)电势标量的叠加：某点电荷Q在距离该电荷r处的电势φ=；多个电荷共同激发的电场中，某点的电势等于各个电荷单独在该点激发的电势的代数和。
如图所示，EP=2EAcos θ=cos θ，φP=-=0。
6.电场中的功能关系
(1)WG=-ΔEp重
(2)W电=-ΔEp电
(3)W合=ΔEk
(4)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。
(5)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
例1　(2025·云南卷·4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为-2 V、-1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
例2　(2025·黑吉辽蒙卷·7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A.EkAC.EkA例3　(多选)(2025·山东卷·11)球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为+2q和+q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC=45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A.甲的质量小于乙的质量
B.C点电势高于D点电势
C.E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D.沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
考点二 电场中的图像问题
电场中几种常见的图像
v-t图像 从v-t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，只受静电力时可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向和大小、电势高低及电势能的变化情况
φ-x图像 (1)从φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，进而确定电场强度的方向 (2)φ-x图线的切线的斜率大小表示沿x轴方向电场强度E的大小
E-x图像 以电场强度沿x轴方向为例： (1)E>0表示电场强度沿x轴正方向，E<0表示电场强度沿x轴负方向，根据电场方向可判定电势高低 (2)图线与x轴围成的“面积”大小表示电势差大小
Ep-x 图像 (1)图线的切线斜率大小表示静电力大小 (2)可用于判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
例4　(多选)(2024·天津卷·8)某静电场在x轴正半轴的电势φ随x变化的图像如图所示，a、b、c、d为x轴上四个点。一负电荷仅在静电力作用下，以一定初速度从d点开始沿x轴负方向运动到a点，则该电荷(　　)
A.在b点电势能最小
B.在c点时速度最小
C.所受静电力始终做负功
D.在a点受静电力沿x轴负方向
例5　(2025·黑龙江齐齐哈尔市一模)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A.从O点到C点，电势先升高后降低
B.粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C.粒子运动到C点时动能大于3Ek
D.粒子在AB段电势能减少量小于BC段电势能减少量
考点三　带电粒子(带电体)在电场中运动
1.带电粒子(带电体)在电场中运动时重力的处理
基本粒子一般不考虑重力，带电体(如液滴、油滴、尘埃等)一般不能忽略重力，除有说明或明确的暗示外。
2.带电粒子在电场中的常见运动及分析方法
常见运动 受力特点 分析方法
变速直线运动 合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上 1.动力学观点：a=，E=，v2-=2ad，适用于匀强电场 2.功能观点：W=qU=mv2-m，匀强和非匀强电场都适用
带电粒子在匀强电场中的偏转 进入电场时v0⊥E，粒子做类平抛运动 运动的分解 偏转角：tan θ==== 侧移距离：y0==，y=y0+Ltan θ=(+L)tan θ
粒子斜射入电场，粒子做类斜抛运动 运动的分解 垂直电场方向做匀速直线运动：x=v0tsin θ 沿电场方向做匀变速直线运动：y=v0tcos θ-t2
　　　　　　　　　　　　　　　　
3.带电体在电场和重力场叠加场中的运动
常见运动 受力特点 分析方法
匀变速直线运动：进入叠加场时v0与F合在同一直线上 等效重力mg'=F合 等效重力加速度g'= 如图 动力学方法、功能关系、能量守恒
类平(斜)抛运动：进入叠加场时v0与F合有一定夹角 运动的分解： 垂直F合方向的匀速直线运动，沿F合方向的匀变速直线运动
在绳或轨道约束下的圆周运动 通过圆心作合力的平行线，找等效最高点或等效最低点 牛顿第二定律、功能关系、能量守恒
例6　(2025·河南省九师联盟质量监测)如图所示，平行边界A、B间有垂直于边界向右的匀强电场Ⅰ，平行边界B、C间有方向与边界成45°角斜向右下方的匀强电场Ⅱ，边界A上有一粒子源P，可以在纸面内向电场Ⅰ内各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，平行边界向下射出的粒子经电场Ⅰ偏转后，进入电场Ⅱ，在电场Ⅱ中做直线运动，平行边界向上射出的粒子，经电场Ⅰ、Ⅱ偏转，恰好垂直边界C射出。已知电场Ⅰ的电场强度为E，A、B间距为L，B、C间距为2L，不计粒子的重力和粒子间的作用力，求：
(1)所有粒子进电场Ⅱ时的速度大小；
(2)电场Ⅱ的电场强度的大小；
(3)边界C上有粒子射出区域的长度。
例7　(2025·云南昭通市检测)如图甲所示为一种“自动旋转电玩小球”玩具模型的简化图。内侧半径为R的光滑绝缘轨道竖直固定放置，轨道内部存在与轨道平面平行的匀强电场(方向未知)。轨道内侧有一质量为m，带电量为q(q>0)的五彩小球从轨道最低点P以某一初速度启动，在轨道平面内沿逆时针方向恰好能做完整的圆周运动。运动过程中，小球与轨道圆心O的连线与OP方向的夹角记为θ，乙图所示为小球在运动过程中的电势能Ep随角度θ的变化情况，已知重力加速度为g，则(　　)
A.匀强电场的方向水平向右
B.电场强度的大小为
C.小球运动过程中动能的最小值为mgR
D.小球运动过程中对轨道压力的最大值为(3+3)mg
从重力场到等效重力场
重力场 等效重力场 (等效重力为mg')
恰好做完整圆周运动
从某一位置脱离轨道
圆锥摆
单摆
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.等效替换法
等效替换法是把陌生、复杂的物理现象、物理过程在保证某种效果、特性或关系不变的前提下，转化为简单、熟悉的物理现象、物理过程来研究，从而认识研究对象本质和规律的一种思想方法。等效替换法广泛应用于物理问题的研究中，如：力的合成与分解、运动的合成与分解、等效场、电场叠加中等效替换、等效电源、变压器问题中的等效电阻等。
2.对称法
对称法就是利用物理现象、物理过程具有对称性的特点来分析解决物理问题的方法。常见的应用：①运动的对称性，如竖直上抛运动中物体向上、向下运动的两过程中同位置处速度大小相等、加速度相等；②结构的对称性，如均匀带电的圆环，在其圆心处产生的电场强度为零；③几何关系的对称性，如粒子从某一直线边界垂直磁感线射入匀强磁场，再从同一边界射出匀强磁场时，速度与边界的夹角相
等；④场的对称性，等量同种、异种点电荷形成的场具有对称性；电流周围的磁场，条形磁体和通电螺线管周围的磁场等都具有对称性。
示例1　(多选)(2025·湖北卷·10)如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度(　　)
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2cos 54°+cos 18°)
3.类比法
将两个(或两类)研究对象进行对比，分析它们的相同或相似之处、相互的联系或所遵循的规律，然后根据它们在某些方面有相同或相似的属性，进一步推断它们在其他方面也可能有相同或相似的属性的一种思维方法，在处理一些物理背景很新颖的题目时，可以尝试使用这种方法。比如：恒力作用下或电场与重力场的叠加场中的类平抛问题、类斜抛问题，可直接类比使用平抛、斜抛相关结论。带电粒子绕电荷做椭圆运动类比卫星绕天体做椭圆运动(可利用开普勒定律求解相关问题)；声线类比光线等。
示例2　如图所示，光滑绝缘水平面上的O点固定一带正电的点电荷M，电荷量为Q；点电荷N的电荷量为-q(q>0)。图甲中N绕着M做半径r=a的圆周运动，运动周期为T；
图乙中点电荷N以M为焦点沿椭圆轨道运动。A、B分别为点电荷N距离点电荷M最近和最远点；OA=a、OB=3a，若取无穷远处电势为零，图甲和图乙两种电荷系统的电势能和动能之和分别为E甲和E乙，则点电荷N在从A点第一次运动到B点的过程中(　　)
A.在A点的电势能大于在B点的电势能
B.E甲大于E乙
C.vA=4vB
D.点电荷N从A点第一次运动到B点所用时间为T
专题强化练
[1选择题]　[分值：54分]
　　　　　　　　　　　　　　　　
[1~6题，每题4分，7~11题，每题6分]
[保分基础练]
1.(2025·广西卷·4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内两片金属箔张开，稳定后如图所示。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A.a B.b C.c D.d
2.(2025·甘肃卷·5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点，速度增大
D.负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
3.(2025·陕西商洛市模拟)如图甲所示，某计算机键盘的每个按键下方是由间距为d的水平活动金属片和固定金属片组成的电容式传感器，相关电路如图乙所示。若开始时两金属片间的P点有一静止的带电尘埃，现轻按按键A，两金属片的间距减小了d，则下列说法正确的是(　　)
A.电容器的电容变为原来的
B.两金属片间电场的电场强度大小变为原来的4倍
C.P点的电势变为原来的倍
D.该尘埃在P点的电势能比原来的大
4.(2024·贵州卷·7)如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于 (　　)
A. B. C. D.2
5.(多选)(2025·湖南卷·8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
6.(2025·云南昆明市模拟)在如图所示的空间直角坐标系中，一不计重力且带正电的粒子从坐标为(L，0，L)处以某一初速度平行y轴正方向射出，经时间t，粒子前进的距离为L，在该空间加上匀强电场，粒子仍从同一位置以相同的速度射出，经相同时间t后恰好运动到坐标原点O，已知粒子的比荷为k，则该匀强电场的场强大小为(　　)
A. B. C. D.
[争分提能练]
7.(2025·重庆卷·5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　)
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K所用时间之比为1∶2
8.(多选)(2023·山东卷·11)如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O'，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是(　　)
A.F'点与C'点的电场强度大小相等
B.B'点与E'点的电场强度方向相同
C.A'点与F'点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D.将试探电荷+q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
9.(八省联考·河南·6)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(　　)
A.将在ad之间做周期性运动
B.在d点的电势能大于a点的电势能
C.在b点与c点所受电场力方向相同
D.将沿x轴负方向运动，可以到达O点
10.(多选)(2025·山东临沂市一模)如图，带电荷量为6Q(Q>0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的N点，其正上方L处固定一电荷量为-Q的球2，斜面上距N点L处的M点有质量m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在M点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是(　　)
A.带正电
B.运动到MN中点处时，动能最大
C.运动至N点的速度大小为2
D.运动至N点的加速度大小为2g
11.(2025·甘肃卷·7)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O'点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2=±Um时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时，离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子，有可能分别打在A和B点
[2计算题]　[分值：40分]
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(8分)(2025·山西太原市期末)“质子疗法”原理如图甲，横截面积相同的金属圆筒依次接在交流电源的两极M、N上，M、N两极加上如图乙所示周期性变化的电压，电压的大小为U0。直线加速器0号金属圆板中央有质子源，质子由静止飘入直线加速器，正对圆心加速6次后水平飞出。质子从P向O射入有竖直向上匀强电场的圆形区域，最终轰击到圆上的癌细胞。已知圆形区域的半径为R，质子的质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间、质子的重力及相互作用均不计。求：
(1)(3分)质子水平飞出直线加速器的速度大小v0；
(2)(5分)若癌细胞处于Q点，OQ与水平方向夹角为θ，电场强度E的大小为多少？
2.(10分)(2025·广东深圳市模拟)如图，整个空间有场强大小为E=3×104 V/m的匀强电场，方向水平向右。ABC为竖直面的绝缘光滑轨道，其中AB部分是水平轨道，BC部分是半径为R=0.4 m的四分之一圆弧，两段轨道相切于B点。P为水平轨道上的一点，且xPB=0.4 m，把一质量m=0.1 kg、带电荷量q=+2.5×10-5 C小球从P点由静止释放，小球将在轨道内运动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，sin 53°=0.8，求：
(1)(3分)小球到达C点时的速率；
(2)(3分)小球从P点到C点的过程中动能的最大值；
(3)(4分)小球离开C点后再次到达AB同一水平高度时与P点的距离。
3.(10分)(2025·四川卷·13)如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)(3分)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)(7分)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。
4.(12分)(2025·江苏卷·13)如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)(3分)a运动到最高点的时间t；
(2)(9分)a到达最高点时，a、b间的距离H。

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