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第11讲　机械振动与机械波
考点一　机械振动
1.简谐运动的规律
规律 x=Asin(ωt+φ)
图像 反映同一质点在各个时刻的位移
受力特征 回复力F=-kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称 性特征 关于平衡位置O对称的两点，相对平衡位置的位移大小、加速度的大小、速度的大小相等；动能、势能相等
2.弹簧振子
(1)弹簧振子的周期与振幅、振动方向与水平方向的夹角无关，仅与弹簧的劲度系数k和振子的质量m有关。
(2)公式：T=2π。
3.单摆
示例图
周期 T=2π
超、失重的重力加速度 超重时g0=g+a 失重时g0=g-a
受力特征 回复力：F=mgsin θ=-x=-kx
最高点：Fn=m=0，FT=mgcos θ
最低点：Fn=m最大， FT=mg+m
例1　(2024·北京卷·9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt) m/s2
答案　D
解析　由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg，A错误；由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T=0.8 s，则ω==2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2，D正确。
变式1　(2025·浙江省模拟)如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧悬挂在天花板上的O点，质量为m的物块(视为质点)悬挂在弹簧的下端，系统静止时物块停在M点，现把物块竖直向下拉到N点，然后由静止释放。已知P点在M点的正上方，P、N两点到M点的距离相等，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是(　　)
A.物块由N运动到P，弹簧的弹力先减小后增大
B.把此装置放在光滑的固定斜面上，振动周期小于2π
C.把此装置移动到月球上，其振动周期大于2π
D.物块由N到P，重力的冲量大小为πmg
答案　D
解析　弹簧振子做简谐运动，系统静止时物块停在M点，说明M点为平衡位置。在M点时，弹簧的弹力为F=mg，弹簧的伸长量为Δx=，若MN=MP≤Δx，则物块从N到P弹簧弹力一直减小；若MN=MP>Δx，说明物块运动到P时弹簧处于压缩状态，则从N到P弹簧弹力先减小后增大，故A错误；弹簧振子的振动周期为T=2π，把此装置放在光滑的固定斜面上或移动到月球上，由于m、k不变，则振动周期不变，故B、C错误；根据简谐运动的对称性可得物块由N到P的运动时间为tNP==π，则物块由N到P，重力的冲量大小为I=mgtNP=πmg，故D正确。
例2　(2025·四川卷·5)如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则(　　)
A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B.小球丁第一次经过平衡位置时，小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
答案　C
解析　根据单摆周期公式T=2π，可知T丁>T丙>T乙>T甲，设甲的周期为T甲，根据题意可得2T甲==T丙=，可得T丙=2T甲，T乙=T甲，T丁=4T甲，可得T甲∶T乙=3∶4，T丙∶T丁=1∶2，根据单摆周期公式T=2π，结合T丙∶T丁=1∶2，可得小球丙、丁的摆长之比L丙∶L丁=1∶4，故C正确，D错误；小球甲第一次回到释放位置时，即经过时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，位移最大，加速度不为零，故A错误；根据上述分析可得T乙=T丁，小球丁第一次到达平衡位置时，小球乙振动的时间为，即，可知此时小球乙经过平衡位置，此时速度最大，动能最大，故B错误。
变式2　(2024·浙江6月选考·9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A.摆角变小时，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力大小为 N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
答案　B
解析　根据单摆的周期公式T=2π可知周期与摆角无关，故A错误；
同一根光滑细线，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图可得2FAcos 30°=mg
解得FA=FB== N
故C、D错误；
根据几何知识可知摆长为L==1 m，故周期为T=2π≈2 s，故B正确。
单摆模型的拓展
支撑面“单摆” 偏角很小时等效为单摆
复合场中的单摆 　 g0=g±　　　　　　g0=g
斜面上的单摆 g0=gsinθ g0=gsin θ
双线摆 等效摆长 等效摆长 l=l1sin θ　　l=l1sin θ+l3 小球在垂直纸面方向摆动
考点二　机械波
形成条件 (1)波源；(2)传播介质，如空气、水等
传播特点 (1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移 (2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同 (3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A (4)一个周期内，波向前传播一个波长
波的图像 (1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移 (2)意义：表示在波的传播过程中，某时刻各质点离开平衡位置的位移
波长、波速和 频率(周期) 的关系 (1)v=λf；(2)v=
波的叠加 (1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx=nλ(n=0，1，2，…)，振动减弱的条件为Δx=(2n+1)(n=0，1，2，…) (2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1+A2
波的多 解问题 由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题
波的特性 波的干涉
波的衍射
多普勒效应
例3　(2024·湖南卷·2)如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是(　　)
A.波长为3 m
B.波速为12 m/s
C.t0+0.25 s时刻，B点速度为0
D.t0+0.50 s时刻，A点速度为0
答案　D
解析　画出t0时刻A、B两点间波形如图所示
可知xAB=λ=6 m，解得λ=4 m，A错误；
波源的振动频率为f= Hz=1 Hz
故波速为v=λf=4 m/s，B错误；
质点的振动周期为T==1 s，因为0.25 s=，故B点在t0+0.25 s时刻运动到平衡位置，速度最大，C错误；
0.5 s=，故A点在t0+0.5 s时刻运动到波峰，速度为0，D正确。
针对训练1　(2025·云南卷·7)如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻，波源开始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则(　　)
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时，波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
答案　D
解析　根据题图所示波形可知λ=4 m，T=2.5 s-1.5 s，可得T=2 s，波速为v==2 m/s，故A错误；设波源的平衡位置与P点的距离为x0，根据矩形区域左侧t=1.5 s时的波形可知=1.5 s，解得x0=1 m，故B错误；由题图结合同侧法可知，波源刚开始的振动方向向下，由于t=1.0 s=T，可知此时波源处于平衡位置且向上运动，故C错误；t=5.5 s时，即从t=2.5 s时再经过3 s=T，可知P处质点处于平衡位置向上振动，Q处质点处于平衡位置向下振动，知此时平衡位置在P、Q处的两质点位移相同，故D正确。
例4　(2025·山东济南市诊断)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的波形图如图所示，此时P点偏离平衡位置的位移大小是振幅的二分之一。已知波速v=8 m/s，则此后P点第三次达到平衡位置的时间是(　　)
A. s B. s C. s D. s
答案　A
解析　由波形图可知λ=4 m，根据v=，解得T=0.5 s，圆频率为ω==4π rad/s，设P质点的振动方程为y=Asin(4πt+φ0)，将t=0，y=代入上述方程，则有=Asin(4π×0+φ0)，化简得=sin φ0，解得φ0=或φ0=，波沿x轴正方向传播，由“上下坡法”知此时P点沿y轴负方向运动，故φ0=，则P质点的振动方程为y=Asin(4πt+)，P质点从当前位置到第一次回到平衡位置所用时间Δt=T=，故P点从开始到第三次达到平衡位置的时间为t=Δt+T=T= s，故选A。
例5　(多选)(2024·山东卷·9)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t=0时刻二者在x=2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x=2 m处的质点P，下列说法正确的是(　　)
A.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm
C.t=1.0 s时，P向y轴正方向运动
D.t=1.0 s时，P向y轴负方向运动
答案　BC
解析　T1==2 s，T2==1 s
Δt1=0.5 s==，
甲波经0.5 sP质点处于波谷，
乙波经0.5 sP质点在平衡位置
根据叠加原理可知，t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm，故A错误，B正确；
Δt2=1.0 s==T2，
经1.0 s甲波在P点引起的振动向上，乙波在P点引起的振动也向上，
根据叠加原理可知，t=1.0 s时，P向y轴正方向运动，故C正确，D错误。
针对训练2　(多选)(2025·湖南卷·7)如图，A(0，0)、B(4，0)、C(0，3)在xy平面内，两波源分别置于A、B两点。t=0时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于xy平面。频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC、BC方向传播，波速均为10 m/s。下列说法正确的是(　　)
A.两横波的波长均为4 m
B.t=0.4 s时，C处质点加速度为0
C.t=0.4 s时，C处质点速度不为0
D.t=0.6 s时，C处质点速度为0
答案　AD
解析　两横波的波长均为λ==4 m，故A正确；两横波传到C处所需时间分别为t1= s=0.3 s，t2= s=0.5 s，T==0.4 s，故t=0.4 s时，只有A处波传到C处且振动了T，故C处质点处于正向或负向最大位移处，加速度最大，速度为零，故B、C错误；分析可知t=0.6 s时两横波都已传播到C处，C处质点到两波源的距离差为Δx=5 m-3 m=2 m=λ，故C处为振动减弱点，由于两列波振幅相同，故此时C处质点位移为零，速度为零，故D正确。
考点三　振动图像与波的图像综合应用
巧解振动图像与波的图像综合问题的基本方法
例6　(2025·湖北省部分学校联考三模)一列简谐横波沿x轴传播，波速为2 m/s，振幅为10 cm。图甲为该横波传播一个周期时的波形图，从此时开始计时，P点的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A.该横波波源的平衡位置在x=0处
B.0.75 s时刻P点速度达到最大
C.从波源开始振动到P点开始振动，波源处质点通过的路程为35 cm
D.从图甲时刻开始，波向前传播5 m的时间内，P点通过的路程为50 cm
答案　C
解析　由振动图像，0时刻P点向上运动，所以波沿x轴负向传播，该横波波源的平衡位置在x=4 m处，故A错误；由题图甲可知该横波波长λ=4 m，由v=，可知该横波周期T=2 s，P点到达平衡位置时速度最大，需要时间n+ s=(n+) s(n=0，1，2，3…)，故B错误；由简谐运动规律可知，P点从平衡位置到一半振幅处用时T，则由题图甲可得从波源开始振动到P点开始振动，波源处质点振动了T，通过路程为35 cm，故C正确；圆频率为ω==π rad/s，设质点P的振动方程为y=Asin(πt+φ0)，将t=0，y=5 cm代入有φ0=或，结合题图乙可知φ0=，波传播5 m为个波长，用时T，可知P点振动了一个周期又 s，则通过路程为[40+5+10-10sin(+)]cm=(55-5)cm，故D错误。
例7　(2025·福建福州市二模)如图甲所示，a、b为沿x轴传播的一列简谐横波上的两质点，相距为s=1 m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。
(1)若波在介质中传播的速度为v=4 m/s，求波长；
(2)若波沿x轴负方向传播，且波长大于0.7 m，求可能的波速值。
答案　(1)3.2 m　(2)1 m/s或5 m/s
解析　(1)由振动图像可知，波的振动周期T=0.8 s
波长λ=vT=3.2 m
(2)若波沿x轴负方向传播，则a、b间距离s=(n+)λ(n=0，1，2…)
解得λ= m(n=0，1，2…)
由于λ>0.7 m，n可以取0、1，对应波长λ1=4 m或λ2=0.8 m
则波速为v1== m/s=5 m/s
或v2== m/s=1 m/s。
　　题目选项中所需判断的物理量函数表达式以字母形式出现，表达式有明显区别(指数明显不同或物理量有的处在分子中，有的处在分母中)。可将对应物理量以国际单位制表示并加以约分，看最后剩余下的单位与所求的物理量单位是否相符，以此简单地排除不可能的选项。
示例　(2025·湖北省名校联盟联考)转动惯量(J=∑mi)是物体绕转轴转动时惯性的量度，其中ri是微元mi到转轴的距离。复摆是由大小和形状不发生变化的物体，绕固定水平轴在重力作用下做微小摆动的运动体系，如图所示，l是质心到转轴的距离，重力加速
度为g。复摆和单摆类似，可以视为简谐运动。根据所学物理知识，判断复摆的周期公式可能是(　　)
A.2π B.2π
C. D.
答案　A
解析　单摆的周期单位为秒(s)，由题意可知，转动惯量的公式为J=∑mi，其单位为kg·m2。四个选项的单位分别是秒(s)、秒分之一(s-1)、秒方(s2)以及秒方分之一(s-2)。根据量纲法分析可知，复摆的周期公式可能是T=2π，故选A。
专题强化练
[分值：60分]
　　　　　　　　　　　　　　　　
[1~7题，每题4分，8~10题，每题6分]
[保分基础练]
1.(2025·广东卷·1)关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是(　　)
A.系统的固有频率与驱动力频率有关
B.只要驱动力足够大，共振就能发生
C.应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D.观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
答案　C
解析　系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，A错误；只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，B错误；根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率小，观察者与波源相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率大，所以应用多普勒效应可以测量车辆的速度，C正确，D错误。
2.(多选)(2024·贵州卷·9)如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t=0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在t=1.5T时刻(　　)
A.位移最大，方向为正
B.速度最大，方向为正
C.加速度最大，方向为负
D.受到的回复力大小为零
答案　AC
解析　对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t=0时由静止释放，可知此时小球位于最低点。因小球的运动可视为简谐运动，周期为T，则小球在t=1.5T时刻处于最高点位置，此时位移最大，方向向上(正方向)；小球受到的回复力最大，方向向下，则小球的加速度最大，方向向下(负方向)，此时小球的速度为0。故选A、C。
3.(2024·安徽卷·3)某仪器发射甲、乙两列横波，在同一均匀介质中相向传播，波速v大小相等。某时刻的波形图如图所示，则这两列横波(　　)
A.在x=9.0 m处开始相遇
B.在x=10.0 m处开始相遇
C.波峰在x=10.5 m处相遇
D.波峰在x=11.5 m处相遇
答案　C
解析　由题意可知两列波的波速相同，所以相同时间内传播的距离相同，故两列横波在x=11.0 m处开始相遇，故A、B错误；甲波峰的横坐标为x1=5.0 m，乙波峰的横坐标为x2=16.0 m，由于两列波的波速相同，所以波峰在x'=5.0 m+ m=10.5 m处相遇，故C正确，D错误。
4.(2025·黑吉辽蒙卷·5)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P点位于其最大正位移处，曲线ab上的所有点均为振动减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是(　　)
答案　C
解析　根据题意，P点位于其最大正位移处，故可知此时P点位于两列波的波峰与波峰相交处，B、D错误；根据干涉规律可知，相邻波峰与波峰交点、波谷与波谷交点连线上的点都是振动加强点，故A图像中的曲线ab上的点存在振动加强点，A错误；C图像中曲线ab是波峰与波谷相交的减弱点的连线，是减弱线，故ab上的点总是振动减弱点，C正确。
5.(多选)(2025·重庆卷·8)一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动，水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所示，则(　　)
A.该波的波长为4r
B.该波的波速为2fr
C.此时浮筒在最低点
D.再经过，浮筒将在最低点
答案　AD
解析　根据题意此时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，故可得2λ=9r-r，即λ=4r，故A正确；该波的波速为v=λf=4rf，故B错误；由λ=4r，该时刻第1圈实线的半径为r=λ，由于波向外传播，根据同侧法可知此时浮筒处于平衡位置向下振动，故再经过=T，浮筒将在最低点，故C错误，D正确。
6.(多选)(2025·山东卷·9)均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为2 cm，波速均为1 m/s，M、N为介质中的质点。t=0时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是(　　)
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时，M向y轴正方向运动
D.t=6 s时，N向y轴负方向运动
答案　BD
解析　根据题图可知甲波的波长λ甲=4 m，根据λ甲=vT甲，可得T甲=4 s，A错误；根据题图可知(×2+)λ乙=4 m，可得λ乙=6 m，B正确；根据λ乙=vT乙，可得T乙=6 s，根据同侧法可知t=0时N向y轴负方向运动，t=6 s时即经过时间T乙，N仍向y轴负方向运动，D正确；t=6 s时即经过T甲+，结合“同侧法”可知M向y轴负方向运动，C错误。
7.(2025·四川乐山市诊断)沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的图像如图所示，该时刻P、Q两质点离开平衡位置的位移相同，此后P质点回到平衡位置的最短时间为0.1 s，Q质点回到平衡位置的最短时间为0.3 s，则(　　)
A.该波沿x轴负方向传播
B.该波的传播速度为10 m/s
C.t=0.2 s时，质点P的加速度方向沿y轴负方向
D.t=0.2 s时，质点P的纵坐标为-4 cm
答案　B
解析　由题图中P、Q两质点位置和P先回到平衡位置可知，题图中质点P向y轴负方向振动，所以该波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图可知，波长为λ=8 m，由P质点回到平衡位置的最短时间为0.1 s，Q质点回到平衡位置的最短时间为0.3 s，由简谐运动的对称性可知周期为T=2×(0.1+0.3) s=0.8 s，该波的传播速度为v== m/s=10 m/s，故B正确； t=0.2 s时，质点P在平衡位置下方向y轴负方向振动，加速度方向沿y轴正方向，故C错误；t=0.1 s时质点P在平衡位置向y轴负方向振动，从此时开始计时质点P的振动方程为y=-Asin ωt=-6sin t(cm)，当t=0.2 s-0.1 s=0.1 s时y=-3 cm，故D错误。
[争分提能练]
8.(多选)(2025·山东潍坊市三模)x轴上两波源P、Q的平衡位置坐标分别为x1=-10 m、x2=10 m，形成的简谐横波在同种均匀介质中相向传播，某时刻的波形如图所示。已知波的传播速度为2 m/s，下列说法正确的是(　　)
A.两波源的起振方向相反
B.从图示时刻经5 s两列波相遇
C.各质点振动稳定后，在P、Q之间(不包含P、Q)的连线上共有10个加强点
D.各质点振动稳定后，平衡位置在坐标原点的质点的振幅为45 cm
答案　AD
解析　由题图可知，某时刻，波源P产生的机械波刚好传到x=-6 m处，根据上下坡法可知，x=-6 m处的质点的速度方向沿y轴负方向，即波源P的起振方向沿y轴负方向，同理，某时刻，波源Q产生的机械波刚好传到x=4 m处，根据上下坡法可知，x=4 m处的质点的速度方向沿y轴正方向，即波源Q的起振方向沿y轴正方向，故两波源的起振方向相反，故A正确；由题知，在同种均匀介质中相向传播，则两列波的波速相等，为2 m/s，设经过时间t两列波相遇，则有10 m=2vt，解得t=2.5 s，故B错误；由题图可知，两列波的波长相等，都为4 m，又两列波的波速相等，则两列波的周期相等，所以两列波频率相等，故两波可发生稳定干涉。由A项分析知两波源起振方向相反，但波源Q比波源P早振动半个周期，则某振动加强点到两波源的距离的路程差等于波长的整数倍，设某振动加强点到P点的距离为x，则到Q点的距离为20 m-x，有|x-(20 m-x)|=nλ(n=0，1，2，…)，即|x-10 m|=n(n=0，1，2，…)，可得x轴上，坐标原点为振动加强点，且每隔半个波长有一个加强点，故在P、Q之间(不包含P、Q)的连线上共有9个加强点，加强点振幅为A=15 cm+30 cm=45 cm，故C错误，D正确。
9.(多选)(2025·陕晋宁青卷·8)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t=0时的波形图可能为(　　)
答案　AD
解析　根据振动图像可知当波的传播方向为a到b时，xab=λ+nλ，λ=，其中n=0，1，2…，因λ>1 m，可知n=0或n=1，即xab=λ或λ，当波的传播方向为b到a时，xab=λ+nλ，λ=，其中n=0，1，2…，因λ>1 m，可知n=0或n=1，即xab=λ或λ；同时t=0时，a处于平衡位置，b处于波谷位置，结合图像可知A、D符合题意。
10.(多选)(2025·山东烟台市、德州市、东营市一模)图甲是沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时的波形图，P、Q是位于x轴上的两个质点，间距为3 m，t=0时刻该波刚好传播到Q点，t= s( sA.该波的周期为2 s
B.该波的波速为6 m/s
C.x=0处质点的振动方程为y=6cos(πt+) cm
D.从t=0时开始，该波传至x=7 m处所用的时间为0.5 s
答案　ACD
解析　设x=0处质点振动方程为y=Acos(ωt+φ0)，当t=0时，由题图甲知x=0处质点的位移y=3 cm，质点沿y轴负方向运动，有3 cm=6cos φ0 cm，解得φ0=π，t= s时，由题图乙知x=0处质点处于平衡位置，y=0，0=6cos (t+φ0) cm，解得T=2 s，ω==π rad/s，则x=0处质点的振动方程为y=6cos(πt+) cm，故A、C正确；由题图甲可知，该波波长为λ=6 m，则波速大小v==3 m/s，故B错误；由题图乙知t= s时波传播到x1=6 m处，从t=0时开始，该波传至x=7 m处所用的时间为t2=t+=0.5 s，故D正确。
11.(14分)(2025·湖南常德市一模)“波”字最早用于描述水纹起伏之状，唐代诗人有“微风动柳生水波”的描述，水波可看成简谐横波。一列沿x轴负方向传播的水波在t=0时刻的波形如图所示，此时波刚好传播到平衡位置为x1=1.0 cm的P点，Q点是波上平衡位置为x2=6.0 cm的质点，在t1= s时刻，Q点(在t=0时刻后)首次位于波峰位置。求：
(1)(3分)该列波的传播速度v；
(2)(6分)质点Q的振动方程；
(3)(5分)t=0时刻后，质点P和质点Q第三次位移相同的时刻tx。
答案　(1)0.15 m/s　(2)y=0.04sin (t+) m
(3) s
解析　(1)t=0时刻，质点Q右端最近的波峰的平衡位置x3=16 cm，0~t1时间内，x3=16 cm处的振动形式传播至Q点，则v=
解得v=0.15 m/s
(2)质点Q的振幅A=0.04 m
设简谐横波的周期为T，则T== s
质点Q的圆频率ω== rad/s
设质点Q的初相位为φ，根据题意有
φ=ω·=π
则质点Q的振动方程为y=0.04sin (t+) m
(3)根据题意可知，质点P的振动方程为
y=0.04sin (t) m
质点P、质点Q第三次位移相同时
(tx+)+tx=5π
解得tx= s。第11讲　机械振动与机械波
考点一　机械振动
1.简谐运动的规律
规律 x=Asin(ωt+φ)
图像 反映同一质点在各个时刻的位移
受力特征 回复力F=-kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称 性特征 关于平衡位置O对称的两点，相对平衡位置的位移大小、加速度的大小、速度的大小相等；动能、势能相等
2.弹簧振子
(1)弹簧振子的周期与振幅、振动方向与水平方向的夹角无关，仅与弹簧的劲度系数k和振子的质量m有关。
(2)公式：T=2π。
3.单摆
示例图
周期 T=2π
超、失重的重力加速度 超重时g0=g+a 失重时g0=g-a
受力特征 回复力：F=mgsin θ=-x=-kx
最高点：Fn=m=0，FT=mgcos θ
最低点：Fn=m最大， FT=mg+m
例1　(2024·北京卷·9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt) m/s2
变式1　(2025·浙江省模拟)如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧悬挂在天花板上的O点，质量为m的物块(视为质点)悬挂在弹簧的下端，系统静止时物块停在M点，现把物块竖直向下拉到N点，然后由静止释放。已知P点在M点的正上方，P、N两点到M点的距离相等，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是(　　)
A.物块由N运动到P，弹簧的弹力先减小后增大
B.把此装置放在光滑的固定斜面上，振动周期小于2π
C.把此装置移动到月球上，其振动周期大于2π
D.物块由N到P，重力的冲量大小为πmg
例2　(2025·四川卷·5)如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则(　　)
A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B.小球丁第一次经过平衡位置时，小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
变式2　(2024·浙江6月选考·9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A.摆角变小时，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力大小为 N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
单摆模型的拓展
支撑面“单摆” 偏角很小时等效为单摆
复合场中的单摆 　 g0=g±　　　　　　g0=g
斜面上的单摆 g0=gsinθ g0=gsin θ
双线摆 等效摆长 等效摆长 l=l1sin θ　　l=l1sin θ+l3 小球在垂直纸面方向摆动
考点二　机械波
形成条件 (1)波源；(2)传播介质，如空气、水等
传播特点 (1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移 (2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同 (3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A (4)一个周期内，波向前传播一个波长
波的图像 (1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移 (2)意义：表示在波的传播过程中，某时刻各质点离开平衡位置的位移
波长、波速和 频率(周期) 的关系 (1)v=λf；(2)v=
波的叠加 (1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx=nλ(n=0，1，2，…)，振动减弱的条件为Δx=(2n+1)(n=0，1，2，…) (2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1+A2
波的多 解问题 由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题
波的特性 波的干涉
波的衍射
多普勒效应
例3　(2024·湖南卷·2)如图，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是(　　)
A.波长为3 m
B.波速为12 m/s
C.t0+0.25 s时刻，B点速度为0
D.t0+0.50 s时刻，A点速度为0
针对训练1　(2025·云南卷·7)如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻，波源开始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则(　　)
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时，波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
例4　(2025·山东济南市诊断)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的波形图如图所示，此时P点偏离平衡位置的位移大小是振幅的二分之一。已知波速v=8 m/s，则此后P点第三次达到平衡位置的时间是(　　)
A. s B. s C. s D. s
例5　(多选)(2024·山东卷·9)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t=0时刻二者在x=2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x=2 m处的质点P，下列说法正确的是(　　)
A.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm
C.t=1.0 s时，P向y轴正方向运动
D.t=1.0 s时，P向y轴负方向运动
针对训练2　(多选)(2025·湖南卷·7)如图，A(0，0)、B(4，0)、C(0，3)在xy平面内，两波源分别置于A、B两点。t=0时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于xy平面。频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC、BC方向传播，波速均为10 m/s。下列说法正确的是(　　)
A.两横波的波长均为4 m
B.t=0.4 s时，C处质点加速度为0
C.t=0.4 s时，C处质点速度不为0
D.t=0.6 s时，C处质点速度为0
考点三　振动图像与波的图像综合应用
巧解振动图像与波的图像综合问题的基本方法
例6　(2025·湖北省部分学校联考三模)一列简谐横波沿x轴传播，波速为2 m/s，振幅为10 cm。图甲为该横波传播一个周期时的波形图，从此时开始计时，P点的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A.该横波波源的平衡位置在x=0处
B.0.75 s时刻P点速度达到最大
C.从波源开始振动到P点开始振动，波源处质点通过的路程为35 cm
D.从图甲时刻开始，波向前传播5 m的时间内，P点通过的路程为50 cm
例7　(2025·福建福州市二模)如图甲所示，a、b为沿x轴传播的一列简谐横波上的两质点，相距为s=1 m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。
(1)若波在介质中传播的速度为v=4 m/s，求波长；
(2)若波沿x轴负方向传播，且波长大于0.7 m，求可能的波速值。
　　题目选项中所需判断的物理量函数表达式以字母形式出现，表达式有明显区别(指数明显不同或物理量有的处在分子中，有的处在分母中)。可将对应物理量以国际单位制表示并加以约分，看最后剩余下的单位与所求的物理量单位是否相符，以此简单地排除不可能的选项。
示例　(2025·湖北省名校联盟联考)转动惯量(J=∑mi)是物体绕转轴转动时惯性的量度，其中ri是微元mi到转轴的距离。复摆是由大小和形状不发生变化的物体，绕固定水平轴在重力作用下做微小摆动的运动体系，如图所示，l是质心到转轴的距离，重力加速
度为g。复摆和单摆类似，可以视为简谐运动。根据所学物理知识，判断复摆的周期公式可能是(　　)
A.2π B.2π
C. D.
专题强化练
[分值：60分]
　　　　　　　　　　　　　　　　
[1~7题，每题4分，8~10题，每题6分]
[保分基础练]
1.(2025·广东卷·1)关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是(　　)
A.系统的固有频率与驱动力频率有关
B.只要驱动力足够大，共振就能发生
C.应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D.观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
2.(多选)(2024·贵州卷·9)如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在t=0时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在t=1.5T时刻(　　)
A.位移最大，方向为正
B.速度最大，方向为正
C.加速度最大，方向为负
D.受到的回复力大小为零
3.(2024·安徽卷·3)某仪器发射甲、乙两列横波，在同一均匀介质中相向传播，波速v大小相等。某时刻的波形图如图所示，则这两列横波(　　)
A.在x=9.0 m处开始相遇
B.在x=10.0 m处开始相遇
C.波峰在x=10.5 m处相遇
D.波峰在x=11.5 m处相遇
4.(2025·黑吉辽蒙卷·5)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P点位于其最大正位移处，曲线ab上的所有点均为振动减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是(　　)
5.(多选)(2025·重庆卷·8)一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动，水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所示，则(　　)
A.该波的波长为4r
B.该波的波速为2fr
C.此时浮筒在最低点
D.再经过，浮筒将在最低点
6.(多选)(2025·山东卷·9)均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为2 cm，波速均为1 m/s，M、N为介质中的质点。t=0时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是(　　)
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时，M向y轴正方向运动
D.t=6 s时，N向y轴负方向运动
7.(2025·四川乐山市诊断)沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的图像如图所示，该时刻P、Q两质点离开平衡位置的位移相同，此后P质点回到平衡位置的最短时间为0.1 s，Q质点回到平衡位置的最短时间为0.3 s，则(　　)
A.该波沿x轴负方向传播
B.该波的传播速度为10 m/s
C.t=0.2 s时，质点P的加速度方向沿y轴负方向
D.t=0.2 s时，质点P的纵坐标为-4 cm
[争分提能练]
8.(多选)(2025·山东潍坊市三模)x轴上两波源P、Q的平衡位置坐标分别为x1=-10 m、x2=10 m，形成的简谐横波在同种均匀介质中相向传播，某时刻的波形如图所示。已知波的传播速度为2 m/s，下列说法正确的是(　　)
A.两波源的起振方向相反
B.从图示时刻经5 s两列波相遇
C.各质点振动稳定后，在P、Q之间(不包含P、Q)的连线上共有10个加强点
D.各质点振动稳定后，平衡位置在坐标原点的质点的振幅为45 cm
9.(多选)(2025·陕晋宁青卷·8)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t=0时的波形图可能为(　　)
10.(多选)(2025·山东烟台市、德州市、东营市一模)图甲是沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时的波形图，P、Q是位于x轴上的两个质点，间距为3 m，t=0时刻该波刚好传播到Q点，t= s( sA.该波的周期为2 s
B.该波的波速为6 m/s
C.x=0处质点的振动方程为y=6cos(πt+) cm
D.从t=0时开始，该波传至x=7 m处所用的时间为0.5 s
11.(14分)(2025·湖南常德市一模)“波”字最早用于描述水纹起伏之状，唐代诗人有“微风动柳生水波”的描述，水波可看成简谐横波。一列沿x轴负方向传播的水波在t=0时刻的波形如图所示，此时波刚好传播到平衡位置为x1=1.0 cm的P点，Q点是波上平衡位置为x2=6.0 cm的质点，在t1= s时刻，Q点(在t=0时刻后)首次位于波峰位置。求：
(1)(3分)该列波的传播速度v；
(2)(6分)质点Q的振动方程；
(3)(5分)t=0时刻后，质点P和质点Q第三次位移相同的时刻tx。

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