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2025年四川省内江市隆昌市知行中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. 2025 B. C. D.
2.气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于数据“”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，则从左面看到的这个几何体的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.对于函数自变量x的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
7.为了培养学生的阅读兴趣和提升文学素养，某市举行了一场中学生文学知识竞赛.经过激烈角逐，决赛成绩揭晓，以下是决赛成绩的分布情况：
成绩/分 100 99 98 97
人数 6 9 12 3
则本次文学知识竞赛决赛成绩的中位数和众数分别是( )
A. ，98 B. 9，6 C. ，98 D. 98，98
8.如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程( )
A. B. C. D.
10.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若，则BC的值是( )
A. 6
B. 5
C. 8
D. 4
11.规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★若关于x的方程【x，】★有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )
A. B. C. 且 D. 且
12.若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
二、填空题：本题共8小题，共44分。
13.因式分解：______.
14.若，是方程的两个实数根，则的值为______.
15.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长l为6cm，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为______
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______.
17.已知三个数x，y，z满足，，，则的值为______.
18.若，则的值是______.
19.如图，矩形ABCD中，，，E是BC边上的一个动点，将沿AE折叠，得到，则当CF最小时，折痕AE长为 .
20.对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以
计算：______；
若s，t都是“相异数”，其中，都是正整数，规定：，当时，求k的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题7分
计算：
22.本小题9分
如图，在四边形ABCD中，，点E在BC的延长线上，，连接AE，交CD边于点F，且，连接BD、
求证：；
若，求证：四边形ABCD为菱形；
在的条件下，若，，求菱形ABCD的面积.
23.本小题9分
第31届世界大学生夏季运动会简称“大运会”将于2023年7月28日至8月8日在成都举行.某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了非常关注、比较关注、很少关注、没有关注四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息，解答下列问题：
本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
求A所在扇形的圆心角度数；
学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率.
24.本小题9分
如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为，已知教学楼前台阶的斜坡CD的坡度为1：，台阶斜坡CD的铅直高度DE为2米，求旗杆AB的高度参考数据：，，
25.本小题10分
如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为，点A的坐标为，一次函数的图象经过点B，C，反比例函数图象也经过点
求反比例函数的关系式；
直接写出当时的解集；
若P是y轴上一点，当是等腰三角形时，求出点P的坐标.
26.本小题12分
由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
今年甲型号手机每台售价为多少元？
为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使中所有方案获利相同，a应取何值？
27.本小题12分
如图，AB是的直径，点E，C在上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点
求证：DC是的切线；
若，，
①求的半径；
②求线段DE的长.
28.本小题12分
如图，抛物线过点，，
求抛物线的表达式；
设P是直线BC上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标；
若点M是线段OC上的一动点，连接AM，求的最小值.
参考答案
一、选择题：
1.A
2.A
3.B
4.A
5.D
6.C
7.A
8.B
9.D
10.A
11.D
12.A
二、填空题：
13.
14.2027
15.2
16.
17.
18.
19.
20.10；
三、解答题：
21.解：
22.证明：，点E在BC的延长线上，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
证明：，，
四边形ABCD为平行四边形，
，，
是斜边的中线，
，
四边形ABCD为菱形；
解：如图，作于点H，
，，
，
四边形ABCD为菱形，
，
，，
，
，
，
菱形ABCD的面积
23.解：本次调查共抽取了名学生．
故答案为：
选项B的人数为人
补全条形统计图如图所示．
所在扇形的圆心角度数为
列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
甲、乙同时被选中的概率为
24.解：已知教学楼前台阶的斜坡CD的坡度为1：，如图，延长AD交BE的延长线于点F，
，
，
斜坡CD的铅直高度DE为2米，
，米，
在端点D处，测得顶端A的仰角为，
，
米，，
点C处，测得旗杆顶端A的仰角为，
，
在中，，
即：，
解得：，经检验，AB是等式的解，且符合题意，
答：旗杆AB的高度为米．
25.解：过点B作轴于点F，
，
又，
，
，
≌，
，，
点B的坐标为，
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：，
解得：，
故可得反比例函数解析式为；
结合点B的坐标及图象，可得：
当时，的解集为：；
分三种情况求解：如图，
①当时，
点P在y轴正半轴，
符合要求，不符合要求，
，，
，
，
，
；
②当时，点P在y轴负半轴，或，
③当时，设，
，
在中，由勾股定理，得
，
解得，
，
综上所述，点P坐标为或或或
26.解：设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得，
解得
经检验是方程的解，且符合题意．
故今年甲型号手机每台售价为1500元．
设购进甲型号手机m台，由题意得，
，
因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．
设总获利W元，购进甲型号手机m台，则
，
所以当时，中所有的方案获利相同．
27.证明：连接OC，
，
，
点C是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：①过点O作，垂足为G，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的半径为3；
②，
，
，
四边形OGDC是矩形，
，
，
，
线段DE的长为
28.解：由题意得：，
则，则，
故抛物线的表达式为：；
由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：，
过点P作轴交BC于点H，
设点，则点，则，
则面积，
即的最大面积为，此时，则点；
过点A作于点H，交OB于点M，则此时最小，
理由：由点B、C的坐标知，，则，
故为最小，
则，
即的最小值为

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