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第五章　一元函数的导数及其应用
第一单元　导数的概念及其意义
课时1　变化率问题
1. 会求瞬时速度.
2. 会求曲线上某点处的切线的斜率.
平均速度与瞬时速度的概念以及两者之间的关系，曲线割线与切线斜率的概 念以及两者之间的关系，体会极限思想.
教学过程设计
　　在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识 定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数 增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能 否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.
平均速度和瞬时速度
问题1：跳水运动员的速度
探究：在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2 ＋2.8t＋11.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
在1≤t≤1.5这段时间里，
例如，在0≤t≤0.2这段时间里，
探究：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t＝1 s时的瞬时速度吗？

当Δt＜0时，在时间段[1＋Δt，1]内 当Δt＞0时，在时间段[1，1＋Δt]内
Δt Δt
－0.01 －6.951 0.01 －7.049
－0.001 －6.995 1 0.001 －7.004 9
－0.000 1 －6.999 51 0.000 1 －7.000 49
－0.000 01 －6.999 951 0.000 01 －7.000 049
－0.000 001 －6.999 995 1 0.000 001 －7.000 004 9
…… ……
思考：（1）求运动员在t＝0.5 s时的瞬时速度；
（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度？
所以运动员在t＝0.5 s时的瞬时速度为v（0.5）＝－2.1 m/s.


所以运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度为v（t0）＝（2.8 －9.8t0）m/s.
割线斜率和切线斜率
问题2：抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆 相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线f（x） ＝x2为例进行研究.
探究：你认为应该如何定义抛物线f（x）＝x2在点P0（1，1）处的切线？
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f（x）＝x2在点P0（1，1）处的切 线，我们通常在点P0（1，1）的附近任取一点P（x，x2），考察抛物线f （x）＝x2的割线P0P的变化情况.
观察：如图5.1－1，当点P（x，x2）沿着抛物线f（x）＝x2趋近于点P0 （1，1）时，割线P0P有什么变化趋势？
图5.1－1
我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f（x）＝x2在点P0（1，1）处的切线.
探究：我们知道，斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f（x）＝x2在 点P0（1，1）处的切线P0T的斜率k0呢？
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过 不断缩短横坐标间隔｜Δx｜来提高近似表示的精确度，得到如下表格.
Δx＜0 Δx＞0
Δx k＝Δx＋2 Δx k＝Δx＋2
－0.01 1.99 0.01 2.01
－0.001 1.999 0.001 2.001
－0.000 1 1.999 9 0.000 1 2.000 1
－0.000 01 1.999 99 0.000 01 2.000 01
－0.000 001 1.999 999 0.000 001 2.000 001
…… ……
观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当Δx无限趋近于0 时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？
我们发现，当Δx无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的 一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k都无限趋近于2.
从几何图形上看，当横坐标间隔｜Δx｜无限变小时，点P无限趋近于点P0， 于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T. 这时，割线P0P的斜率k无限趋 近于点P0处的切线P0T的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0＝2.
图5.1－2

目标检测
1. 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋ 2.8t＋11.求运动员在t＝1.5 s时的瞬时速度.

2. 试求抛物线f（x）＝x2在点（－1，1）处切线的斜率.
1. 火箭发射t s后，其高度（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h （t）＝0.9t2.求：
（1）在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；
（2）发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度.

2. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位： s）之间的关系为y（t）＝－4.9t2，求t＝1 s时小球的瞬时速度.
3. 求抛物线f（x）＝x2＋1在点（0，1）处的切线方程.
1. 一个物体从10 m高处做自由落体运动，t s时该物体距离地面的高度（单 位：m）为h（t）＝－4.9t2＋10.求该物体在t＝1 s时的瞬时速度，并解释 此时物体的运动状况.
2. 某质点沿直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系 式y＝5t2＋6.求：
（1）2≤t≤3这段时间内的平均速度；
（2）t＝2 s时的瞬时速度.
小结提升
1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？
小结：（1）求瞬时速度，平均速度与瞬时速度的关系.
2. 通过本节课的学习，你有哪些困惑？
（2）求曲线在一点处的切线的斜率，曲线的割线与切线的关系.
（3）本节内容体现了数学的极限思想.

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