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人教版数学8年级下册培优精做课件21.3.1.1矩形的性质第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.一个角是
直角
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
矩形.
探究新知
知识点 1
矩形的定义
【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗 若是它们之间有何关系呢
探究新知
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
探究新知
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∠B＝90°
(答案不唯一)　
1.
如图，在 ABCD中，请添加一个条件：________，使得 ABCD成为矩形．
具备平行四边形所有的性质.
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
矩形的一般性质：
知识点 2
矩形的性质
探究新知
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A
B
C
D
探究新知
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2.
B
一个矩形的对称轴共有(　　)
A．1条
B．2条
C．4条
D．无数条
做一做
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
探究新知
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=90°.
又 ∵矩形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C , ∠B = ∠D,
∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
即矩形的四个角都是直角.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中,
∵∠ABC = ∠DCB = 90°,
又∵AB = DC ， BC = CB,
∴△ABC≌△DCB (SAS).
∴AC = BD,
即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等
探究新知
矩形特殊的性质:
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
探究新知
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3.
C
如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB＝(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形的两条对角线相等
边
对角线
角
数学语言：
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD ∥ BC ，CD ∥ AB.
∴AD =BC ，CD =AB.
∴AC= BD.
A
B
C
D
O
∴AO= CO ，OD = OB.
探究新知
矩形的性质
∴ ∠BAD=∠ABC=
∠BCD=∠ADC=90°.
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4.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.
∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，
即BF＝CE，
∴△ABF≌△DCE，∴AF＝DE.
(4分)如图，四边形ABCD是矩形，点E，F在边BC上，BE＝CF．求证：AF＝DE．
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,
∠AOB=60°，AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC 与 BD相等且相互平分.
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
探究新知
考点 1
利用矩形的性质求线段的长
矩形的对角线相等且互相平分
∴△OAB是等边三角形.
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5.
C
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠ACB＝∠ACD
将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.
G
D
C
B
A
A′
解:矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC, AB=CD， .
又∵△ADG沿DG折叠得到△A′DG,
∴△ADG≌ △ A′DG.
方法点拨：在矩形中，常遇到折叠问题，利用勾股定理列方程是解决问题的基本方法.
∴x2+42=(8-x)2 解得x=3. ∴ AG=3.
设AG=x，则BG=AB-AG=8-x，
在Rt△GA′B中，由勾股定理得,A′B2+A′G2=BG2
∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=AB-A′D=10-6=4，
探究新知
考点 2
利用矩形的性质解答折叠问题
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6.
B
在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OA＝3，则BD的长为(　　)
【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？
它的对称轴有几条？
矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？
A
B
C
D
E
F
G
H
.
O
知识点 3
探究新知
矩形的对称性及相关性质
矩形的性质：
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
矩形的性质：
中心对称： .
对称中心： .
中心对称图形
对角线的交点
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
O
这是矩形所特有的性质
探究新知
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7.
C
[教材P69例1变式][承德期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
A
B
C
D
O
两对全等的等腰三角形.
你在矩形中还发现了哪些基本图形？
探究新知
A
B
C
D
O
四个全等的直角三角形.
探究新知
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
　　如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能
得到什么结论？
B
C
O
A
　　Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？
知识点 4
直角三角形的性质
探究新知
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
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8.
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则EF的长为________．
O
C
B
A
D
证明:延长BO至D, 使OD=BO,
连接AD,DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO= AC .
∴BO= BD= AC.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究新知
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9.
A
[秦皇岛期末]如图，嘉嘉利用刻度直尺(单位：cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度1和7，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E,F分别是AB,AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4.
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.
探究新知
考点1 1
利用直角三角形的性质解答题目
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E,F在线段AD的垂直平分线上.
∴EF垂直平分AD.
探究新知
提示：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
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10.
D
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是(　　)
A．20°
B．40°
C．60°
D．70°
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11.
4
[福建中考]某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8 m，则DE的长为________m．
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12.
C
[邢台期中]如图，一架施工云梯AB靠在墙(垂直于地面)上，云梯底端A到墙根O的距离为7 m，云梯顶端B到地面的距离为24 m，在云梯中点处有一个操作平台M，连接OM，现将云梯的底端A向外移动到A′处，则OM的长将(　　)
A．小于12.5 m
B．大于12.5 m
C．等于12.5 m
D．大于或等于12.5 m
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13.
C
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为E，CE＝4，AC＝10，则ED的长为(　　)
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14.
10
[徐州中考]如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为________．
15.
解：如图，△BED
即为所求作的三角形．
(8分)[烟台中考]如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长．
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16.
(12分) 【问题呈现】如图①，点P是矩形ABCD边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为8和15．过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．求PE＋PF．
(1)【问题解决】小明发现：连接OP，利用矩形对角线的性质和S△AOP＋S△DOP＝S△AOD，即可求出PE＋PF的值，请你运用小明发现的方法，求PE＋PF；
(2)【规律应用】如图②，当点P是矩形ABCD边AB上任意一点时，PE＋PF＝________；
(3)【规律探究】如图③，当点P是AD延长线上任意一点时，PE和PF之间的数量关系是________________．
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矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
对角线相等
既是轴对称图形也是中心对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
课堂小结
定义
性质
直角三角形的性质

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