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人教版数学8年级下册培优精做课件21.3.1.2矩形的判定第二十一章四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
问题1 请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？
　　除了矩形的定义外，有没有
其他判定矩形的方法呢？
知识点 1
矩形的判定定理1
探究新知
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
证明
逆命题
（修正）
问题2 你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
性质　
猜想　
判定定理 　
探究新知
同样，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
　　小明的猜想:　对角线相等的四边形是矩形．
　　
　　
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A
1.
四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定 ABCD为矩形的是(　　)
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．∠B＝∠D
D．AB＝BC
问题3 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
【讨论】你能证明这一猜想吗？
探究新知
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等还平分.
2.
(4分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
返回
证明：∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB.
又∵∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD≌△BOC，∴AD＝BC.
∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明:
∴ AB=DC.
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）.
∵ AB//CD ,
∴ ∠ABC+∠DCB=180°.
∴ ∠ABC=∠DCB=90°.
又∵四边形ABCD是平行
四边形,
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠ABC=∠DCB.
∵四边形 ABCD是平行四边形，
又∵ AC=DB，BC=CB,
探究新知
对角线相等的平行四边形是矩形 .
矩形的判定定理1：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
探究新知
返回
3.
D
[德阳中考]如图，要使 ABCD是矩形，需要增加的
一个条件可以是(　　)
A．AB∥CD
B．AB＝BC
C．∠B＝∠D
D．AC＝BD
如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC.
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
探究新知
考点1 1
利用对角线判定矩形
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4.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB.
∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
(4分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
O
1
2
如图 ABCD中, ∠1= ∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AO=CO= AC,DO=BO= .
又∵∠1= ∠2，
∴AO=BO.∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
巩固练习
5.
(4分)如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
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解：四边形AECF是矩形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵BE＝DF，
∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
问题1 前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，
它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
探究新知
知识点 2
矩形的判定定理2
做一做 某同学由“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
你能证明上述结论吗？
探究新知
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC , AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
探究新知
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言：
探究新知
矩形的判定定理2：
探究新知
归纳总结
矩形的几种判定方法:
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法1：
方法2：
方法3：
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6.
C
[沧州期末]诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是(　　)
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形 EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AF,DF分别平分∠BAD,∠ADC,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠H=∠AEB=90°.
∴∠F=90°.
∴ ∠DAF+∠ADF= ∠BAD+ ∠ADC= (∠BAD+∠ADC)=90°.
考点1 1
利用角判断四边形是矩形
探究新知
∴AB∥CD.
∴∠FEH=∠AEB=90°.
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7.
证明：∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEB＝90°，∠DFB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠DEB＋∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝180°－∠DEB＝90°，
∴∠DEB＝∠DFB＝∠EDF＝90°，
∴四边形DEBF是矩形．
(4分)如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，求证：四边形DEBF是矩形．
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8.
D
[石家庄期末]依据图中所示的数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　)
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9.
C
如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是(　　)
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
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10.
2.4
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝
4 cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为________cm．
11.
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∵CE∥AD，∴∠ECD＝180°－∠ADC＝90°，
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
(8分)[邯郸复兴区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
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有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结

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